해밀턴 벡터장

수학과 물리학에서, 공감각 다지관의 해밀턴 벡터 장은 어떤 에너지 기능이나 해밀턴을 위해 정의된 벡터 필드다.물리학자 겸 수학자 윌리엄 로완 해밀턴 경의 이름을 딴 해밀턴 벡터 장은 해밀턴의 고전역학 방정식을 기하학적으로 표현한 것이다.해밀턴 벡터 필드의 적분 곡선은 해밀턴 형태의 운동 방정식에 대한 해답을 나타낸다.해밀턴 벡터장의 흐름에서 발생하는 공감각 다지관의 차이점형성은 물리학에서는 표준변환, 수학에서는 (해밀턴어)공감형변환으로 알려져 있다.^[1]

해밀턴 벡터 필드는 임의의 포아송 다지관에서 보다 일반적으로 정의될 수 있다.다지관의 함수 f와 g에 해당하는 해밀턴 벡터장 2개의 리 브라켓은 그 자체로 해밀턴 벡터장이며, f와 g의 포아송 브라켓이 준 해밀턴식 벡터장이다.

정의

(M, Ω)이 공감각 다지관이라고 가정한다.Ω의 공선형태는 비데오제니 섬유선형 이형성을 설정한다.

${\displaystyle \omega:TM\to T^{*}M,}$

접선 번들 TM과 등선 번들 T*M 사이, 역행 번들 사이

${\displaystyle \Oomega:T^{*}M\to TM,\quad \오메가 =\오메가 ^{-1}.}$

따라서, 공통적인 다지관 M에 있는 하나의 형태는 벡터장으로 식별될 수 있으며 모든 다른 함수 H: M → R은 M에 있는 모든 벡터 필드 Y에 대해 정의함으로써 해밀턴식 H와 함께 해밀턴식 벡터 필드라고 불리는 고유한 벡터 필드 X를_H 결정한다.

${\d}H(Y)=\오메가(X_{H}Y)}$

참고: 일부 저자는 해밀턴 벡터 필드를 반대 기호로 정의한다.물리학과 수학 문학에서 다양한 관습을 염두에 두어야 한다.

예

M이 2n 차원 동시 다지관이라고 가정하자.그런 다음 현지에서는 M에서 표준 좌표(q¹, ..., qⁿ, q₁, p_n, ..., p)를 선택할 수 있는데, 여기서 동정형 형식이 다음과 같이 표현된다: ^[2]$\Omega {\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle q^{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\daystyle \omega =\sum _{i}\mathrmethrm${d}$q^{i}\wedge {d}p_{d}}}}}}}}}}}}.$

여기서 d는 외부 파생상품을 나타내고 ∧은 외부제품을 나타낸다.Then the Hamiltonian vector field with Hamiltonian H takes the form:^[1] ${\displaystyle \mathrm {X} _{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=$$\Oomega \,\mathrm {d}H,}$

여기서 Ω은 2n × 2n 제곱 행렬이다.

${\displaystyle \Oomega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix},}$

그리고

${\daystyle \mathrm {d}H={\begin{bmatrix}{\frac {\partial q^{i}}\\\partial H}{\partial p_{i}}}\partial H}{\partial p_}}\end{bmatrix}}}}}.}$

행렬 Ω은 종종 J로 표시된다.

M = R이²ⁿ (지구적) 표준 좌표를 가진 2n차원 동시적 벡터 공간이라고 가정하자.

• $H{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$일 경우$$ X ${\displaystyle H_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle q^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle X_{}$$H}=\partial /\partial q^{i};}$
• $H{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$일 경우 $X$ ${\displaystyle H_{}}$= -${\displaystyle \mathrm{\partial }}$/ ${\displaystyle \partial \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle X_{H}=-\partial /\p^{i};}$
• $만약{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle }$H =${\displaystyle 1}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}(}$ (${\displaystyle p_{}{}^{}}$i ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$H=$1/2\sum (p_{i}^{2}}:$ ${\displaystyle X_{}}$H$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}\mathrm{}/}$ /${\displaystyle \mathrm{}{}^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$ i${\displaystyle {}^{}}${\$displaysty X_{{}}}}}$$H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i};}$
• if ${\displaystyle H=1/2\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}}$ then ${\displaystyle X_{H}=-\sum a_{ij}q_{i}\partial /\partial p^{j}.$$}$

특성.

• 과제 f ↦ X는_f 선형이기 때문에 두 해밀턴 함수의 합이 해당 해밀턴 벡터 필드의 합으로 변환된다.
• (q¹, ..., qⁿ, p₁, ..., p_n)가 M의 표준 좌표(위 참조)라고 가정한다.그렇다면 γ(t) = (q(t),p(t))는 해밀턴 방정식의 솔루션인 경우에만 해밀턴 벡터 필드 X의_H 일체형 곡선이다:^[1] $q{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$= ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{H}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p_{}}{}}$ i ${\dot{q^}{i}={\frac {\partial$ H$}{\partial p_{i}}}}}}}}}}}}.$

${\displaystyle {\dot{p}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}.}$

• The Hamiltonian H is constant along the integral curves, because ${\displaystyle \langle dH,{\dot {\gamma }}\rangle =\omega (X_{H}(\gamma ),X_{H}(\gamma ))=0}$. That is, H(γ(t)) is actually independent of t.이 성질은 해밀턴 역학의 에너지 보존에 해당한다.
• 보다 일반적으로 두 함수 F와 H가 0 포아송 괄호(아래 cf)를 갖는 경우 F는 H의 적분 곡선을 따라 일정하며, 마찬가지로 H도 F의 적분 곡선을 따라 일정하다.이 사실은 노에더의 정리 뒤에 숨은 추상적인 수학적 원리다.^{[nb 1]}
• 공감각형 Ω은 해밀턴의 흐름에 의해 보존된다.동등하게 Lie 파생상품 $L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{{}_{}}}$ ${\displaystyle {H_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle {\mathcal$ {$L}_{X_{{}}}$$H}}\오메가 =0.$$}$

포아송 괄호

해밀턴 벡터 필드의 개념은 이 공식에 의해 정의된 동일선 다지관 M, 포아송 브래킷의 서로 다른 함수에 대한 스큐 대칭 이린어 연산을 유도한다.

${\displaystyle \{f,g\}=\omega(X_{g},X_{f})=dg(X_{f})={\mathcal{L}_{X_{f}g}$

여기서 $L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$은 벡터 필드 X를 따라 Lie 파생물을 나타낸다$$.${\displaystyle {\mathrm{더욱이}}_{}}$ $다음$과 같은 정체성을 유지할 수 있다${\displaystyle {:}_{}}$^[1]X { f${\displaystyle {}_{}}$, g ${\displaystyle {\}}_{}}$=${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle X_{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$

여기서 오른손은 해밀턴식 f와 g와 함께 해밀턴식 벡터 필드의 리 브라켓을 나타낸다.As a consequence (a proof at Poisson bracket), the Poisson bracket satisfies the Jacobi identity:^[1] ${\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0,}$

즉, 포아송 괄호 안에 부여된 M의 상이한 기능의 벡터 공간은 R보다 Lie 대수학의 구조를 가지고 있으며, 할당 f ↦ X는_f Lie 대수 동형이며, 커널은 국소 상수 함수(M이 연결되면 상수 함수)로 구성된다.

언급

메모들

인용된 작품