해밀턴장론

이론물리학에서 해밀턴 장 이론은 고전 해밀턴 역학에 대한 현장-이론적 아날로그 이론이다.라그랑지아 장 이론과 함께 고전 장 이론의 형식주의다.양자장 이론에도 응용이 있다.

정의

별개의 입자 시스템을 위한 해밀턴은 그들의 일반화된 좌표와 결합 모멘텀, 그리고 아마도 시간의 함수다.연속체와 장의 경우 해밀턴 역학은 적합하지 않지만 많은 점 질량을 고려하고 연속 한계, 즉 무한히 많은 입자가 연속체나 장을 형성하는 것을 취함으로써 확장할 수 있다.각 점 질량은 하나 이상의 자유도를 가지므로, 필드 제형은 무한히 많은 자유도를 가진다.

스칼라장 1개

해밀턴 밀도는 들판에 대한 연속 아날로그다; 그것은 들판의 함수, 결합 "모멘텀" 들판, 그리고 아마도 공간과 시간이 스스로 조정된다.하나의 스칼라장 $φ (x,$ $t)$ 에 대해 해밀턴 밀도는 다음과^{[nb 1]} 같이 라그랑지안 밀도에서 정의된다.

{H}(\phi ,\pi ,\mathbf {x},t)={\dot {\pi }}\pi -{\mathcal {L}(\phi ,\nabla \pi,\partial \pi /\partial t,\mathbf {x}, {x}, .t)\)\)\,

"델" 또는 " "la" 연산자와 함께, $x$ 는 우주에서 어떤 점의 위치 벡터, $t$ 는 시간이다.라그랑지안 밀도는 시스템 내의 분야, 그 공간과 시간 파생상품의 함수로서, 아마도 공간과 시간이 스스로 조정될 수 있다.일반화된 좌표에 의해 기술된 이산 입자 시스템의 경우 라그랑지안 함수와 필드 아날로그다.

모든 일반화된 좌표가 상응하는 일반화된 모멘텀을 갖는 해밀턴 역학에서와 같이, $필드$ $x (x,$ t)은 결합 모멘텀 필드 $π (x,$ $t$ )를 가지며 $,$ 이 필드의 시간 파생에 관하여 라그랑지안 밀도의 부분 파생물로 정의된다.

\pi ={\frac {\partial {\mathcal{L}}{\partial {\phi}}}\partial {\phi}}}\partial \pi}}

과대^{[nb 2]} 계수가 전체 시간 파생상품 $d$ / $dt$ 가 아닌 부분 시간 파생상품 $\partial/\partial t$ 를 나타내는 경우.

많은 스칼라 필드

많은 필드 $φ i (x,$ $t)$ 및 이들의 결합체 $π i (x,$ $t)$ 에서 해밀턴 밀도는 모두 다음 함수의 함수다.

{\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.

각 결합 영역이 그 영역에 대해 정의되는 경우,

{\daptyle \pi _{i}(\mathbf {x},t)={\frac {\partial {\mathcal{L}}{\partial {\dot{\phi}}}\,}\,}

일반적으로, 임의의 수의 필드에 대해 해밀턴 밀도에 통합된 부피는 해밀턴인에게 다음과 같은 3가지 공간적 차원을 제공한다.

H=\int {\mathcal {H}\d^{3}x\,

해밀턴 밀도는 단위 공간 볼륨당 해밀턴 밀도 입니다.해당 치수는 [에너지][길이]⁻³이며⁻³, SI 단위로는 미터당 줄, Jm이다.

텐서 및 스피너 필드

위의 방정식과 정의는 벡터장 및 보다 일반적으로 텐서장 및 스피너장까지 확장될 수 있다.물리학에서 텐서 필드는 보슨을 묘사하고 스피너 필드는 페르미온을 묘사한다.

운동 방정식

들판의 운동 방정식은 이산 입자에 대한 해밀턴 방정식과 비슷하다.필드의 수에 관계없이:

해밀턴식장 방정식

${\dottyle {\dot{\pi }_{i}=+{\fraca{\delta{\data{H}}{\delta \pi _{i}}}}{\dot{\data}=-{\delta {\data}{H}}\delta \pi _}}}}}}}\deltai}}}}}}}}}}\delta \delta \delta _{{{{{{{{}}}}}}}}}$

여기서 다시 과대 계수는 부분 시간 파생상품이며, 밭에 관한 변동 파생상품이다.

{\frac {\delta }{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial (\nabla \phi _{i})}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial (\partial \phi _{i}/\partial t)}}\,,

· 도트 제품과 함께, 단순한 부분파생상품 대신에 사용해야 한다.텐서 인덱스 표기법(합계 규약 포함)에서는 다음과 같다.

{\frac {\phi _{i}}={\frac \phi _{i}}={\frac \phi _{\phi _}{\frac }{\frac }{\mu }\pi _{i}}}}}}

여기서 $\partial μ$ 은 사경사선이다.

위상공간

필드 $φ$ 과_i 결합 $π$ 은_i 무한 차원 위상 공간을 형성하는데, 그 이유는 필드의 자유도가 무한하기 때문이다.

포아송 괄호

$φ$ 과_i $π$ 의_i 분야에 따라 달라지는 두 가지 기능, 그 공간적 파생상품, 공간과 시간 좌표,

A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,

그리고 통합이 인수되는 볼륨의 경계에는 필드가 0이며, 필드 이론적 포아송 브래킷은 (양자역학의 정류자와 혼동되지 않도록)로 정의된다.^[1]

[A,B]_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,

여기서 $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$ $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$ / $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$ $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$ $\delta {\mathcal {F}/\delta f$ 은 $\delta {\mathcal {F}}/\delta f$ 변동 파생 모델이다.

{\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.

표면의 장(場)이 사라지는 동일한 조건에서, 다음 결과는 $A$ 의 시간 진화( $B$ 의 경우와 유사하게)를 유지한다.

{\frac {dA}{dt}=[A,H]+{\frac {\partial A}{\partial t}}}

$A$ 의 총 시간 파생 모델, 부품별 통합 및 위의 포아송 대괄호를 사용하여 확인할 수 있다.

명시적 시간 독립성

다음 결과는 라그랑지안과 해밀턴 밀도가 명백히 시간 독립적이라면 사실이다(그들은 여전히 분야와 그 파생상품을 통해 암묵적 시간 의존성을 가질 수 있다).

운동 및 잠재적 에너지 밀도

해밀턴 밀도는 총 에너지 밀도, 운동 에너지 밀도( ${\mathcal {T}}$ ${\$ { $T$ 및 잠재적 에너지 밀도( ${\mathcal {V}}$ ${\$ { $V}),$

{\mathcal{H}={\mathcal{T}+{\mathcal{V}\,.

연속성 방정식

위의 해밀턴 밀도 정의의 부분적 시간 파생물을 취하고, 암묵적 분화와 결합 운동장의 정의를 위해 체인 규칙을 사용하면 연속성 방정식이 주어진다.

{\frac {\partial {H}}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0

해밀턴의 밀도는 에너지 밀도로 해석될 수 있다.

\mathbf{S} ={\frac {\partial {\mathcal{L}}{\partial (\nabla \pi )}{\partial \partial \pi }}}}}

에너지 플럭스 또는 단위 표면 면적당 단위 시간 당 에너지의 흐름

상대론적 장 이론

공변 해밀턴 장 이론은 해밀턴 장 이론의 상대론적 공식이다.

해밀턴식 장 이론은 보통 고전적인 장 이론에 적용될 때 공감하는 해밀턴식 형식주의를 의미하며, 무한 차원 위상 공간에서 순간적인 해밀턴식 형식주의 형태를 취하고, 표준 좌표는 어느 순간의 장 기능인 경우를 말한다.^[2]이 해밀턴식 형식주의는 양자 게이지 이론과 같은 분야의 정량화에 적용된다.공변 해밀턴 자기장 이론에서 표준 모멘텀a^μ_i p는 모든 세계 좌표 x에^μ 관하여 필드의 파생형에 해당한다.^[3] 공변 해밀턴 방정식은 초정기 라그랑지인의 경우 오일러-래그랑주 방정식과 동등하다.공변 해밀턴 자기장 이론은 해밀턴-데 돈더,^[4] 다성형,^[5] 다성형^[6] 및 k-성형^[7] 변종에서 개발된다.공변 해밀턴 장 이론의 위상 공간은 유한차원 다축체 또는 다축체 다지관이다.

해밀턴식 비자율역학은 시간축에 걸쳐 섬유다발에 대한 공변량 해밀턴식 자기장 이론, 즉 실선 Ⅱ로 공식화된다.

참고 항목

메모들

^ 라그랑비아 밀도의 모든 파생상품과 좌표를 다음과 같이 축약하는 것은 표준적인 표기법 남용이다.
${\mathcal {L}(\phi ,\partial _{\mu })$
$μ$ 는 값 0(시간 좌표)과 1, 2, 3(공간 좌표)을 취하는 지수여서 엄격하게 하나의 파생상품이나 좌표만 존재할 것이다.일반적으로 모든 공간 및 시간 파생상품은 라그랑지안 밀도에 나타나며, 예를 들어 카르테지안 좌표에서 라그랑지안 밀도는 다음과 같은 완전한 형태를 가진다.
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
여기서는 같은 것을 쓰지만, using을 사용하여 모든 공간적 파생물을 벡터로서 축약한다.
^ 이것은 이 맥락에서 표준 표기법이며, 대부분의 문헌은 그것이 부분적인 파생품이라고 명시적으로 언급하지 않는다.일반적으로 함수의 총시간파생상품과 부분시간파생상품은 같지 않다.

인용구

^ 그리너 & 라인하르트 1996, 2장
^ 고테이, M, 고전적 장 이론과 변동의 미적분학을 위한 다원적 프레임워크.II. "기후, 분석 및 기하학: 라그랑주 이후 200년"(북 홀랜드, 1991년)에서 공간 + 시간 분해
^ Giachtta, G, Mangiarotti, L, Sardanashvily, G, "고급 고전 현장 이론", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7.
^ 크롭코바, O, 해밀턴의 필드 이론 J. Geom.물리 43호(2002년) 93.
^ Giachtta, G, Mangiarotti, L, Sardanashvily, G, 공변 해밀턴 방정식, J. Phys.A32(1999) 6629; arXiv:hep-th/9904062.
^ 에체베리아-엔리케스, A, 무노스-레칸다, M, 로마-로이, N, 다지질 해밀턴식 1차 현장 이론의 기하학, J. 수학.체육 41 (2002) 7402.
^ 레이, A, 로만 로이, N. 살다고, M. 건터의 형식주의(k-형식론적 형식주의) 고전장 이론:스키너-러스크 접근법과 진화 연산자 J. 수학.물리적 46(2005) 052901.

참조

Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws -. Springer. p. 218. doi:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.
Goldstein, Herbert (1980). "Chapter 12: Continuous Systems and Fields". Classical Mechanics (2nd ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. pp. 562–565. ISBN 0201029189.
Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization, Springer, ISBN 3-540-59179-6
Fetter, A. L.; Walecka, J. D. (1980). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover. pp. 258–259. ISBN 978-0-486-43261-8.

[1] 라그랑비아 밀도의 모든 파생상품과 좌표를 다음과 같이 축약하는 것은 표준적인 표기법 남용이다.
${\mathcal {L}(\phi ,\partial _{\mu })$
$μ$ 는 값 0(시간 좌표)과 1, 2, 3(공간 좌표)을 취하는 지수여서 엄격하게 하나의 파생상품이나 좌표만 존재할 것이다.일반적으로 모든 공간 및 시간 파생상품은 라그랑지안 밀도에 나타나며, 예를 들어 카르테지안 좌표에서 라그랑지안 밀도는 다음과 같은 완전한 형태를 가진다.
${\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$
여기서는 같은 것을 쓰지만, using을 사용하여 모든 공간적 파생물을 벡터로서 축약한다.

[2] 이것은 이 맥락에서 표준 표기법이며, 대부분의 문헌은 그것이 부분적인 파생품이라고 명시적으로 언급하지 않는다.일반적으로 함수의 총시간파생상품과 부분시간파생상품은 같지 않다.

[3] 그리너 & 라인하르트 1996, 2장

[4] 고테이, M, 고전적 장 이론과 변동의 미적분학을 위한 다원적 프레임워크.II. "기후, 분석 및 기하학: 라그랑주 이후 200년"(북 홀랜드, 1991년)에서 공간 + 시간 분해

[5] Giachtta, G, Mangiarotti, L, Sardanashvily, G, "고급 고전 현장 이론", World Scientific, 2009, ISBN 978-981-283-895-7.

[6] 크롭코바, O, 해밀턴의 필드 이론 J. Geom.물리 43호(2002년) 93.

[7] Giachtta, G, Mangiarotti, L, Sardanashvily, G, 공변 해밀턴 방정식, J. Phys.A32(1999) 6629; arXiv:hep-th/9904062.

[8] 에체베리아-엔리케스, A, 무노스-레칸다, M, 로마-로이, N, 다지질 해밀턴식 1차 현장 이론의 기하학, J. 수학.체육 41 (2002) 7402.

[9] 레이, A, 로만 로이, N. 살다고, M. 건터의 형식주의(k-형식론적 형식주의) 고전장 이론:스키너-러스크 접근법과 진화 연산자 J. 수학.물리적 46(2005) 052901.

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