해밀턴의 흐름에 따른 지질학

Geodesics as Hamiltonian flows

수학에서 지오데틱 방정식은 2차 비선형 미분 방정식이며, 일반적으로 운동 방정식의 형태로 제시된다. 그러나 해밀턴 방정식의 형태로 결합한 1차 방정식의 집합으로 제시될 수도 있다. 이 후자의 공식은 이 글에서 개발되었다.

개요

지오디컬은 "곡선 공간의 직선"이라고 흔히들 말한다. 지오데틱 방정식에 대한 해밀턴-자코비 접근법을 사용함으로써 이 문장은 매우 직관적인 의미를 부여할 수 있다:지오데틱스는 어떤 힘도 경험하지 않는 입자의 움직임을 묘사한다. 평탄한 공간에서 일직선으로 움직이는 입자가 외부 힘을 경험하지 않으면 계속해서 일직선으로 움직일 것이라는 것은 잘 알려져 있는데, 이것이 뉴턴의 번째 법칙이다. 그러한 움직임을 설명하는 해밀턴인은 p모멘텀= 2/ 2 [\ H=}/ 잘 알려져 있다. 입자의 직선운동으로 이어지는 것은 운동량의 보존이다. 곡면에서는 거리를 정확하게 측정하기 위해서는 측정 지표를 사용해야 한다는 점을 제외하고 정확히 동일한 아이디어가 작용하고 있다. 모멘텀a를 정확하게 측정하려면 메트릭스의 역치를 사용해야 한다. 곡선 표면에서 자유 입자의 움직임은 여전히 위와 정확히 같은 형태를 가지고 있다. 즉, 전적으로 운동 용어로 구성된다. 그 결과 발생하는 동작은 어떤 의미에서 여전히 '직선'이며, 그래서 지오디컬은 '곡선 공간의 직선'이라고 말하는 경우가 있다. 이 사상은 아래에서 더 자세히 전개된다.

최소 작용 원리의 적용으로서 지질학

(의사-)리만 다지관 M이 주어진 경우, 지오데틱최소 작용 원리의 적용에서 비롯되는 곡선으로 정의될 수 있다. 곡선 에너지의 최소화를 통해(또는 극단을 찾아냄) 변이 원리를 사용하여 그 모양을 설명하는 미분 방정식을 도출할 수 있다. 부드러운 곡선이 주어짐

다지관 M실제 숫자 라인의 간격 I을 매핑하고, 에너지를 기록한다.

여기서 은(는) I 지점의 {\ I 있는 {{\\ 대한 접선 벡터입니다 여기 g (, , , , ⋅ , ⋅;\

위에서 주어진 에너지를 작용으로 삼아 오일러-라그랑주 방정식이나 해밀턴-자코비 방정식 중 하나를 해결할 수 있다. 두 가지 방법 모두 지질 방정식을 해결책으로 제시하지만, 해밀턴-자코비 방정식은 아래와 같이 다지관의 구조에 대한 더 큰 통찰력을 제공한다. M국부좌표면에서는 (Euler-Lagrange) 지오데시 방정식은

여기서 xa(t)는 곡선 ((t)의 좌표, b 크리스토펠 기호이며, 반복 지수는 합계 규칙의 사용을 암시한다.

지질 방정식에 대한 해밀턴식 접근법

지질학은 다지관의 등골 공간에 정의된 특수한 해밀턴 벡터장해밀턴 흐름으로 이해할 수 있다. 해밀턴은 다지관의 미터법으로 구성되며, 따라서 운동 용어로 전적으로 구성된 2차 형태다.

지오데틱 방정식은 2차 미분 방정식으로, 아래와 같이 추가 독립 변수를 도입하여 1차 방정식으로 다시 표현할 수 있다. 좌표 xa 있는 좌표 근린 U는 의 로컬 사소한 부분화를 유도한다는 점에 유의하십시오.

점을 보내는 지도에 의해.

η= a{\ R 그런 다음 해밀턴을 소개한다.

여기서 gab(x)는 미터법 텐서(gab)의 역행이다: gbc(x)g()= Δ a {\_{a 좌표 변환에서 미터법 텐서의 동작은 H가 변수의 변화에서 불변함을 의미한다. 그러면 측지 방정식은 다음과 같이 기록될 수 있다.

그리고

이러한 방정식에 의해 결정되는 흐름공극 흐름이라고 한다. 한 방정식을 다른 방정식으로 단순하게 대체하면 접선 번들 TM에 지오데틱 흐름을 제공하는 오일러-라그랑주 방정식을 얻는다. 지오데틱 선은 다지관 M에 대한 지오데틱 흐름의 일체형 곡선의 투영이다. 이것은 해밀턴의 흐름이며 해밀턴의 흐름은 지오데틱스를 따라 일정하다.

따라서, 지오데틱 흐름은 코탄젠트 다발을 일정한 에너지 레벨 세트로 분할한다.

각 에너지 E ≥ 0에 대해 다음과 같이 한다.

= E 0

참조

  • 테렌스 타오, 오일러-아놀드 방정식, 2010: http://terrytao.wordpress.com/2010/06/07/the-euler-arnold-equation/ 토론 시작부분 참조
  • 랄프 아브라함과 제롤드 E. 마스덴, 기계학 재단, (1978) 벤자민 쿠밍스, 런던 ISBN0-8053-0102-XSee 섹션 2.7.
  • B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, Modern Geometry: 방법 적용, 파트 I, (1984) 스프링거-버락, 베를린 ISBN 0-387-90872-2 5장, 특히 섹션 33을 참조한다.