제어 이론

제어이론은 엔지니어링된 프로세스와 기계에서 동적 시스템의 제어를 다룬다.목표는 시스템을 원하는 상태로 구동하는 동시에 지연, 오버슈트 또는 정상 상태의 오류를 최소화하고 제어 안정성을 보장하는 시스템 입력의 적용을 제어하는 모델 또는 알고리즘을 개발하는 것입니다(대부분의 최적화를 목표로 합니다).

이를 위해서는 필요한 수정 동작을 갖춘 컨트롤러가 필요합니다.이 컨트롤러는 Controlled Process Variable(PV; 제어된 프로세스 변수)을 감시하고 이를 기준 또는 설정점(SP)과 비교합니다.프로세스 변수의 실제 값과 원하는 값의 차이(오류 신호 또는 SP-PV 오류)를 피드백으로 적용하여 제어된 프로세스 변수를 설정 지점과 동일한 값으로 만드는 제어 액션을 생성합니다.또한 연구되는 다른 측면은 제어성과 관찰성입니다.이는 제조, 항공기, 통신 및 기타 산업에 혁명을 일으킨 고급 자동화 유형의 기반입니다.이는 센서를 사용하여 측정을 수행하고 제어 ^[1]밸브와 같은 "최종 제어 요소"를 통해 측정된 변수를 설정 범위 내에 유지하도록 계산된 조정을 수행하는 피드백 제어입니다.

일반적으로 블록 다이어그램으로 알려진 다이어그램 스타일을 광범위하게 사용합니다.시스템 함수 또는 네트워크 함수로도 알려진 전송 함수는 시스템을 설명하는 미분 방정식에 기초한 입력과 출력 사이의 관계에 대한 수학적 모델입니다.

통제 이론은 주지사 운영에 대한 이론적 기초가 제임스 클러크 ^[2]맥스웰에 의해 처음 기술된 19세기부터 시작되었다.제어이론은 1874년 에드워드 루트, 찰스 스투름, 1895년 아돌프 후르비츠에 의해 더욱 발전되었고, 1922년부터는 니콜라스 미노르스키에 ^[3]의한 PID 제어이론의 개발에 모두 기여했다.수학적 제어이론의 주요 응용 분야는 산업용 프로세스 제어 시스템 설계를 다루는 제어 시스템 공학이지만, 다른 응용 분야는 훨씬 더 광범위합니다.피드백 시스템의 일반 이론으로서, 제어 이론은 피드백이 발생하는 곳마다 유용합니다. 따라서 제어 이론은 생명 과학, 컴퓨터 공학, 사회학 및 운영 ^[4]연구에도 적용됩니다.

역사

다양한 유형의 제어 시스템이 고대로 거슬러 올라가지만, 이 분야에 대한 보다 공식적인 분석은 물리학자 제임스 클럭 맥스웰이 1868년에 수행한 On ^[5]Governers라는 제목의 원심 조속기의 역학 분석에서 시작되었습니다.풍차의 ^[6]속도를 조절하기 위해 원심 조속기가 이미 사용되었습니다.맥스웰은 시스템의 지연이 과잉 보상과 불안정한 행동을 초래할 수 있는 자기 진화의 현상을 기술하고 분석했습니다.이것은 맥스웰의 동급생인 에드워드 존 루스가 선형 ^[7]시스템의 일반 클래스에 대한 맥스웰의 결과를 추상화하는 동안 이 주제에 대한 많은 관심을 불러일으켰다.독립적으로, 아돌프 후르비츠는 1877년에 미분 방정식을 사용하여 시스템 안정성을 분석했고, 그 결과 현재 Routh-Hurwitz ^[8][9]정리로 알려져 있다.

동적 제어의 주목할 만한 적용 분야는 승무원 비행 영역이었다.라이트 형제는 1903년 12월 17일 첫 시험 비행을 성공시켰고 상당한 기간 동안 그들의 비행을 통제할 수 있는 능력으로 구별되었다.몇 초 이상 지속되는 비행에는 비행기에 대한 지속적이고 신뢰할 수 있는 제어가 필요했다.

제2차 세계 대전까지, 통제 이론은 중요한 연구 분야가 되었다.Irmgard Flügge-Lotz는 불연속 자동 제어 시스템 이론을 개발하였고,^[10][11] 뱅뱅 원리를 항공기용 자동 비행 제어 장비 개발에 적용하였다.불연속 제어에 대한 다른 적용 분야에는 화재 제어 시스템, 유도 시스템 및 전자 장치가 포함되었다.

때로는 시스템의 안정성을 향상시키기 위해 기계적인 방법이 사용됩니다.예를 들어, 선박 안정기는 물밑에 설치된 지느러미이며, 수평으로 나타납니다.현대 선박에서는 자이로스코프로 제어되는 능동 지느러미일 수 있으며, 이 지느러미는 배에 작용하는 바람이나 파도에 의해 발생하는 롤링에 대항하기 위해 공격 각도를 변경할 수 있는 능력을 가지고 있다.

우주 경쟁은 또한 정확한 우주선 제어에 의존했고 제어 이론은 또한 경제와 인공지능과 같은 분야에서 점점 더 많이 사용되고 있다.여기서, 좋은 조절기 정리에 따르는 내부 모델을 찾는 것이 목표라고 말할 수 있다.따라서 예를 들어, 경제학에서 (주식 또는 상품) 거래 모델이 시장의 행동을 더 정확하게 나타낼수록, 그 시장을 더 쉽게 통제할 수 있다(그리고 그것으로부터 "유용한 일"(수익)을 추출할 수 있다).AI에서는 인간의 담화 상태를 모델링하는 챗봇을 예로 들 수 있다. 인간의 상태를 더 정확하게 모델링할 수 있을수록(예: 전화 음성 지원 핫라인에서) 인간을 더 잘 조종할 수 있다(예: 도움말 라인에 전화를 걸게 한 문제를 해결하기 위한 시정 조치를 수행하도록).이 마지막 두 예는 제어이론의 좁은 역사적 해석을 운동운동을 모델링하고 조절하는 미분방정식의 집합으로 받아들이고, 그것을 식물과 상호작용하는 조절기의 광범위한 일반화로 확장한다.

개방 루프 및 폐쇄 루프(피드백) 제어

기본적으로 두 가지 유형의 제어 루프, 즉 개방 루프 제어와 폐쇄 루프(피드백) 제어가 있습니다.

오픈 루프 제어에서는 컨트롤러로부터의 제어 액션은 "프로세스 출력"(또는 "제어된 프로세스 변수" - PV)과는 독립적입니다.그 좋은 예가 타이머만으로 제어되는 중앙난방 보일러입니다. 따라서 건물의 온도에 관계없이 일정한 시간 동안 열이 가해집니다.제어 작용은 보일러의 시간적 온/오프이며, 프로세스 변수는 건물 온도이지만 어느 쪽도 연결되어 있지 않습니다.

클로즈드 루프 제어에서 컨트롤러로부터의 제어 동작은 프로세스 변수(PV) 값의 형태로 프로세스로부터의 피드백에 의존합니다.보일러 유추의 경우, 폐쇄 루프에는 건물 온도 (PV)를 온도 조절기에 설정된 온도(설정 지점 - SP)와 비교하는 온도 조절기가 포함됩니다.그러면 보일러의 온/오프를 전환하여 건물을 원하는 온도로 유지하기 위한 컨트롤러 출력이 생성됩니다.따라서 클로즈드 루프 컨트롤러는 컨트롤러가 프로세스 변수를 "기준 입력" 또는 "설정 포인트"와 같도록 조작하는 제어 동작을 확실히 하는 피드백 루프를 가진다.이 때문에 클로즈드 ^[12]루프 컨트롤러는 피드백컨트롤러라고도 불립니다

영국표준기관에 따르면 폐쇄루프제어시스템의 정의는 "모니터링 피드백을 가진 제어시스템, 이 피드백의 결과로 형성된 편차신호는 편차를 ^[13]0으로 감소시키는 경향이 있는 최종제어요소의 동작을 제어하기 위해 사용된다"는 것이다.

마찬가지로 피드백 제어 시스템은 시스템 변수의 함수를 비교하고 그 차이를 ^[14]제어 수단으로 사용함으로써 시스템 변수 간에 소정의 관계를 유지하는 경향이 있는 시스템이다.

기타 예

제어 시스템의 예로는 차량의 속도를 운전자가 원하는 일정 속도 또는 기준 속도로 유지하도록 설계된 차량의 크루즈 컨트롤이 있습니다.컨트롤러는 크루즈 컨트롤, 플랜트는 자동차, 시스템은 자동차와 크루즈 컨트롤입니다.시스템 출력은 차량의 속도이며, 컨트롤 자체는 엔진의 스로틀 위치이며, 이 위치는 엔진이 어느 정도의 출력을 제공하는지를 결정합니다.

크루즈 컨트롤을 구현하는 원시적인 방법은 운전자가 크루즈 컨트롤을 작동할 때 스로틀 위치를 잠그는 것입니다.하지만, 만약 크루즈 컨트롤이 평탄하지 않은 길의 연장선에서 작동한다면, 자동차는 오르막길에서 천천히, 내리막길에서 더 빠르게 주행할 것이다.이러한 유형의 컨트롤러는 피드백이 없기 때문에 개방 루프 컨트롤러라고 불리며, 시스템 출력(차량 속도) 측정치를 사용하여 컨트롤(스로틀 위치)을 변경하지 않습니다.그 결과, 컨트롤러는 도로 경사 변경과 같이 자동차에 작용하는 변화를 보상할 수 없습니다.

폐루프 제어시스템에서 차량의 속도를 감시하는 센서로부터의 데이터(시스템 출력)는 속도를 나타내는 양과 원하는 속도를 나타내는 기준량을 연속적으로 비교하는 컨트롤러에 입력된다.오류라고 하는 차이에 따라 스로틀 위치(컨트롤)가 결정됩니다.그 결과 차량의 속도가 기준 속도와 일치합니다(원하는 시스템 출력 유지).이제 차량이 오르막길을 오를 때 입력(감지된 속도)과 기준 사이의 차이에 따라 스로틀 위치가 연속적으로 결정됩니다.감지된 속도가 기준 아래로 떨어지면 차이가 증가하고 스로틀이 열리며 엔진 출력이 증가하여 차량의 속도가 빨라집니다.이러한 방식으로 컨트롤러는 차량의 속도 변화에 동적으로 대응합니다.이러한 제어 시스템의 중심 개념은 피드백 루프이며, 컨트롤러는 시스템 출력에 영향을 미치고, 시스템 출력은 측정되어 컨트롤러에 피드백됩니다.

고전적 제어 이론

개방 루프 컨트롤러의 한계를 극복하기 위해 제어 이론은 피드백을 도입합니다.폐루프 컨트롤러는 피드백을 사용하여 동적 시스템의 상태 또는 출력을 제어한다.이 이름은 시스템의 정보 경로에서 유래합니다. 프로세스 입력(예: 전기 모터에 인가되는 전압)은 프로세스 출력(예: 모터의 속도 또는 토크)에 영향을 미칩니다. 프로세스 출력은 센서로 측정되고 컨트롤러에 의해 처리됩니다. 그 결과(제어 신호)가 프로세스에 대한 입력으로 "피드백"되어 루프가 닫힙니다.

클로즈드 루프 컨트롤러에는 오픈 루프 컨트롤러에 비해 다음과 같은 이점이 있습니다.

• 장애 제거(위 순항 제어 예제의 힐 등)
• 모델 구조가 실제 프로세스와 완전히 일치하지 않고 모델 매개변수가 정확하지 않은 경우 모델 불확실성에도 불구하고 성능 보장
• 불안정한 과정을 안정시킬 수 있다
• 파라미터 변동에 대한 감도 저하
• 참조 추적 성능 향상

일부 시스템에서는 폐쇄 루프 제어와 개방 루프 제어가 동시에 사용됩니다.이러한 시스템에서 개방 루프 제어는 피드포워드라고 불리며 기준 트래킹 성능을 더욱 향상시키는 역할을 한다.

일반적인 폐쇄 루프 컨트롤러 아키텍처는 PID 컨트롤러입니다.

폐쇄 루프 전송 기능

시스템 y(t)의 출력은 센서 측정 F를 통해 기준값 r(t)와의 비교에 피드백됩니다.그런 다음 컨트롤러 C는 기준과 출력 사이의 오류 e(차이)를 취하여 제어 P의 시스템에 대한 입력 u를 변경합니다.이것은 그림에 나타나 있습니다.이런 종류의 컨트롤러는 폐쇄 루프 컨트롤러 또는 피드백 컨트롤러입니다.

이것은 싱글 입력/싱글 출력(SISO) 제어 시스템이라고 불립니다.여러 개의 입력/출력을 가진 MIMO(Multi-Input-Multi-Output) 시스템이 일반적입니다.이러한 경우 변수는 단순한 스칼라 값 대신 벡터를 통해 표현됩니다.일부 분산 파라미터 시스템의 경우 벡터는 무한차원(일반적으로 함수)일 수 있습니다.

컨트롤러 C, 플랜트 P 및 센서 F가 선형 및 시간 불변(즉, 전달 함수 C, P 및 F의 요소는 시간에 의존하지 않음)이라고 가정하면 위의 시스템은 변수에 대한 라플라스 변환을 사용하여 분석할 수 있다.이를 통해 다음과 같은 관계가 제공됩니다.

${\displaystyle Y(s)=P(s)U(s)}$

${\displaystyle U(s)=C(s)E(s)}$

$\displaystyle E(s)=R(s)-F(s)Y(s)}$

R의 관점에서 Y에 대한 해결은 다음을 제공합니다.

${\displaystyle Y(s)=\left({\frac {P(s)C(s)}{1+P(s)F(s)}}}\right)R(s)=H(s)R(s)}$

$식{\displaystyle }$H (${\displaystyle \frac{s}{}}$ ) ${\displaystyle =\frac{}{}P\frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$s )${\displaystyle \frac{}{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle \frac{s}{}}$ ) 1${\displaystyle \frac{}{}}$+${\displaystyle \frac{F}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$s )${\displaystyle \frac{P}{}}$ (${\displaystyle \frac{s}{}}$ ) C${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle \frac{s}{}}$ )$$\ $displaystyle$ H ( s ) =$flac { P$ ($s$ ) C ( s $){$1 +$F$ ($s$ )$C$ ( s ) } { 1 + F ( s )$$} is$$ is is is transfer transfer transfer transfer transfer transfer transfer transfer transfer transfer transfer transfer transfer function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function function분자는 r에서 y로의 순방향(오픈 루프) 게인이고, 분모는 피드백 루프를 돌 때의 이득인 1 더하기, 이른바 루프 게인입니다.${\displaystyle P}$(${\displaystyle s}$ )${\displaystyle C}$ (${\displaystyle s}$ )${\displaystyle 1}$ 1$${ $displaystyle$P ($s$ ) C ( $s$) \$gg$$$1$$인 경우, 즉, 각 s 값을 가지는 큰 규격을 가지고 있으며${\displaystyle ,}$ F${\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\$ 1 { $displaystyle F ($ s ) \ $1$ 1$$인 ${\displaystyle 경우}$, Y ( s )는 R(s)와 거의 동등하고, 출력은 정밀하게 참조됩니다.

PID 피드백 제어

비례적분파생제어장치(PID Controller)는 제어시스템에서 널리 사용되는 제어루프 피드백 메커니즘 제어기술이다.

PID 컨트롤러는 원하는 설정점과 측정 프로세스 변수의 차이로서 오차값 e(t)를 연속적으로 산출하여 비례항, 적분항 및 미분항에 근거해 보정을 실시한다.PID는 비례-적분-파생물의 이니셜리즘으로, 오류 신호에 대해 작동하여 제어 신호를 생성하는 세 개의 항을 나타냅니다.

이론적인 이해와 적용은 1920년대부터 시작되었으며, 그것들은 거의 모든 아날로그 제어 시스템에 구현되어 있습니다; 원래는 기계 컨트롤러에서, 그 다음에는 이산 전자 장치를 사용하고 나중에는 산업 공정 컴퓨터에서 사용됩니다.PID 컨트롤러는 아마도 가장 많이 사용되는 피드백 제어 설계일 것입니다.

u(t)가 시스템으로 전송되는 제어 신호이고 y(t)가 측정된 출력이고 r(t)가 원하는 출력이며 e(t) = r(t) - y(t)가 추적 오류인 경우 PID 컨트롤러는 일반적인 형식을 가집니다.

$\displaystyle u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int ^{t}e(\tau){\text{d}}\tau +K_{D}{\frac {\text{d}e(t)}{\text{d}}t}}}}.}$

바람직한 폐쇄 루프 역학은 발전소 모델에 대한 특정 지식 없이 종종 반복적으로 "조정"을 통해 K, K_I 및 K의_P 세 가지_D 매개변수를 조정함으로써 얻어진다.안정성은 종종 비례항만을 사용하여 보장할 수 있습니다.적분 항을 사용하면 스텝 외란(공정 제어에서 종종 눈에 띄는 규격)을 기각할 수 있습니다.파생항은 반응의 댐핑 또는 쉐이핑을 제공하기 위해 사용됩니다.PID 컨트롤러는 가장 잘 확립된 제어 시스템 클래스입니다.단, 특히 MIMO 시스템을 고려하는 경우에는 더 복잡한 경우에 사용할 수 없습니다.

Laplace 변환을 적용하면 변환된 PID 컨트롤러 방정식이 생성됩니다.

${\displaystyle u(s)=K_{P},e(s)+K_{I},{\frac {1}{s}},e(s)+K_{D},s,e(s)}$

${\displaystyle u(s)=\left(K_{P}+K_{I},{\frac {1}{s}}+K_{D},s\right)e(s)}$

PID 컨트롤러 전송 기능을 사용하여

${\displaystyle C(s)=\left(K_{P}+K_{I},{\frac {1}{s}}+K_{D},s\right}).}$

폐쇄 루프 시스템 H의 PID 컨트롤러를 조정하는 예로서 다음과 같은 1차 플랜트를 고려합니다.

${\displaystyle P(s)=param frac {A}{1+sT_{P}}}}}:$

여기서 A와_P T는 몇 가지 상수입니다.플랜트 생산량은 다음을 통해 피드백됩니다.

${\displaystyle F(s)=param frac {1}{1+sT_{F}}}}:$

여기서_F T는 상수이기도 합니다.${\displaystyle K_{}}$ P ${\displaystyle {}_{}K}$ ( ${\displaystyle 1\mathrm{}}$+ ${\displaystyle T\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{T_{}}{}}$I$$) { $display k$_ { P } $= K$ \$left$ ( $1$+ { \ $frac${$T$_ { D } } { $T$_ { { T _ { { ）$I}}\right$ K_D = KT_D 및 ${\displaystyle KI\frac{}{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $(\$ K_${$$I} = flac {K} {T_{$$I$ PID 컨트롤러 전송 함수를 다음과 같이 직렬 형식으로 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle C(s)=K\left(1+{\frac {1}s)T_{I}}\right)(1+sT_{D}}$

P(s), F(s) 및 C(s)를 폐쇄 루프 전송 함수 H(s)에 연결하면 다음과 같이 설정됩니다.

${\displaystyle K=paramfrac {1}{A}}, T_{I}=T_{F}, T_{D}=T_{P}}$

H(s) = 1. 이 예에서 이 튜닝을 사용하면 시스템 출력은 기준 입력을 정확히 따릅니다.

그러나 실제로는 순수 미분기는 시스템의 노이즈와 공진 모드의 증폭으로 인해 물리적으로 실현 가능하지도^[15] 않고 바람직하지도 않습니다.따라서 대신 위상 리드 보상기 유형 접근법 또는 로우 패스 롤오프 방식의 미분기가 사용됩니다.

선형 및 비선형 제어 이론

제어 이론의 분야는 다음 두 가지로 나눌 수 있습니다.

• 선형 제어 이론 – 이는 중첩 원리를 따르는 장치로 구성된 시스템에 적용됩니다. 즉, 출력이 대략 입력에 비례한다는 것을 의미합니다.이들은 선형 미분 방정식에 의해 제어됩니다.메이저 서브클래스는 LTI(Linear Time Universent) 시스템이라고 불리는 시간에 따라 변하지 않는 파라미터를 가진 시스템입니다.이러한 시스템은 라플라스 변환, 푸리에 변환, Z 변환, 보데 플롯, 루트 궤적 및 나이키스트 안정성 기준과 같은 매우 일반적인 강력한 주파수 영역 수학적 기술에 적합합니다.이는 대역폭, 주파수 응답, 고유값, 게인, 공진 주파수, 0 및 극과 같은 용어를 사용하여 시스템에 대한 설명으로 이어지며, 이는 대부분의 관심 시스템에 대한 시스템 응답 및 설계 기술을 위한 솔루션을 제공합니다.
• 비선형 제어 이론 – 중첩 원리를 따르지 않는 광범위한 종류의 시스템을 대상으로 하며, 모든 실제 제어 시스템이 비선형이기 때문에 보다 실제 시스템에 적용됩니다.이러한 시스템은 종종 비선형 미분 방정식의 지배를 받습니다.이들을 다루기 위해 개발된 소수의 수학적 기법은 더 어렵고 훨씬 덜 일반적이며, 종종 좁은 범주의 시스템에만 적용된다.여기에는 한계 주기 이론, 푸앵카레 지도, 랴푸노프 안정성 정리 및 함수 설명이 포함됩니다.비선형 시스템은 시뮬레이션 언어를 사용하여 연산 시뮬레이션을 하는 등 컴퓨터에서 수치적 방법을 사용하여 종종 분석됩니다.안정점 근처의 해만이 관심 있는 경우, 비선형 시스템은 종종 섭동 이론을 사용하여 선형 시스템에 의해 근사함으로써 선형화할 수 있으며 선형 ^[16]기술을 사용할 수 있다.

분석 기술 - 주파수 영역 및 시간 영역

제어 시스템을 분석하고 설계하기 위한 수학적 기법은 두 가지 범주로 분류된다.

• 주파수 영역 – 이 유형에서는 시스템의 입력, 출력 및 피드백을 나타내는 수학적 변수가 주파수의 함수로 표시됩니다.입력 신호와 시스템의 전송 함수는 푸리에 변환, 라플라스 변환 또는 Z 변환과 같은 변환에 의해 시간 함수에서 주파수의 함수로 변환됩니다.이 기술의 장점은 수학의 단순화를 가져온다는 것입니다; 시스템을 나타내는 미분 방정식은 풀기 훨씬 쉬운 주파수 영역에서 대수 방정식으로 대체됩니다.단, 주파수 영역 기술은 위에서 설명한 바와 같이 선형 시스템에서만 사용할 수 있습니다.
• 시간 도메인 상태 공간 표현: 이 유형에서는 상태 변수의 값이 시간 함수로 표시됩니다.이 모델에서 분석되는 시스템은 하나 이상의 미분 방정식으로 나타납니다.주파수 영역 기술은 선형 시스템으로 제한되기 때문에 시간 영역은 실제 비선형 시스템을 분석하는 데 널리 사용됩니다.이것들은 해결하기 더 어렵지만, 시뮬레이션 언어와 같은 현대 컴퓨터 시뮬레이션 기법은 그들의 분석을 일상화했다.

고전적인 제어이론의 주파수 영역 해석과는 대조적으로, 현대 제어이론은 물리 시스템의 수학적 모델인 시간 영역 상태 공간 표현을 1차 미분방정식에 관련된 입력, 출력 및 상태 변수의 집합으로 이용한다.입력, 출력 및 상태의 수에서 추상화하기 위해 변수는 벡터로 표현되고 미분 방정식과 대수 방정식은 행렬 형식으로 작성됩니다(후자는 동적 시스템이 선형일 때만 가능합니다).상태 공간 표현('시간 영역 접근법'이라고도 함)은 여러 입력과 출력이 있는 시스템을 모델링하고 분석할 수 있는 편리하고 콤팩트한 방법을 제공합니다.입력 및 출력에서는 시스템에 대한 모든 정보를 인코딩하기 위해 Laplace 변환을 기록해야 합니다.주파수 영역 접근법과는 달리 상태 공간 표현 사용은 선형 구성요소가 있고 초기 조건이 0인 시스템으로 제한되지 않습니다."상태 공간"은 축이 상태 변수인 공간을 말합니다.시스템 상태는 해당 ^[17][18]공간 내의 점으로 나타낼 수 있습니다.

시스템 인터페이스 - SISO 및 MIMO

제어 시스템은 입력 및 출력 수에 따라 다른 범주로 나눌 수 있습니다.

• Single-Input Single-Output(SISO; 싱글 입력 싱글 출력) – 이것은 가장 단순하고 일반적인 유형으로, 1개의 출력이 1개의 제어 신호에 의해 제어됩니다.예를 들어, 위의 크루즈 컨트롤의 예나 오디오 시스템의 예로서 컨트롤 입력은 입력 오디오 신호이고 출력은 스피커로부터의 음파입니다.
• MIMO(Multiple Input Multiple Output)– 복잡한 시스템에서 볼 수 있습니다.예를 들어, Keck와 MMT와 같은 현대의 대형 망원경에는 각각 액추에이터에 의해 제어되는 많은 개별 세그먼트로 구성된 거울이 있습니다.미러 전체의 형상은 초점면에 있는 여러 센서로부터의 입력을 이용하여 MIMO 능동광학제어시스템에 의해 지속적으로 조정되며, 열팽창, 수축, 회전 시의 응력 및 대기 난류로 인한 파면 왜곡으로 인한 미러 형상의 변화를 보상한다.원자로와 인간 세포와 같은 복잡한 시스템은 대형 MIMO 제어 시스템으로 컴퓨터에 의해 시뮬레이션된다.

제어 이론의 주제

안정성.

입력이 없는 일반적인 동적 시스템의 안정성은 랴푸노프 안정성 기준을 사용하여 설명할 수 있습니다.

• 선형 시스템은 출력이 유계 입력에 대해 유계된 상태를 유지하는 경우 안정적 BIBOutput bounded-output(BIBO; 경계 출력)
• 입력을 받는 비선형 시스템의 안정성은 랴푸노프 안정성과 BIBO 안정성과 유사한 개념을 결합한 입력-상태 안정성(ISS)이다.

단순화를 위해 다음 설명에서는 연속 시간 및 이산 시간 선형 시스템에 초점을 맞춥니다.

수학적으로 이것은 인과 선형 시스템이 안정적이려면 전달 함수의 모든 극이 음의 실제 값을 가져야 한다는 것을 의미한다. 즉, 각 극의 실제 부분은 0보다 작아야 한다.실질적으로 안정성을 위해서는 전달 기능 복합 극이 있어야 합니다.

• 전달 함수를 얻기 위해 라플라스 변환을 사용할 때 연속 시간 동안 복소 평면의 열린 왼쪽 절반에 표시됩니다.
• Z 변환이 사용되는 경우 이산 시간 동안 단위 원 안에 있어야 합니다.

두 사례의 차이는 단순히 연속 시간 대 이산 시간 전달 함수를 표시하는 전통적인 방법 때문입니다.연속 라플라스 변환은$x축$이 실축이고 이산 Z 변환이 원형 좌표인 데카르트 좌표에 $있습니다{\displaystyle }$. 이때 ${\$ {\$displaystyle \rho$}축은$$$$ 실축입니다.

위의 적절한 조건이 충족되면 시스템은 점근적으로 안정적인 것으로 간주됩니다. 점근적으로 안정적인 제어 시스템의 변수는 항상 초기 값에서 감소하며 영구적인 진동을 나타내지 않습니다.영구 진동은 극에 0(연속 시간 케이스)과 정확히 같은 실제 부분 또는 1(이산 시간 케이스)과 같은 계수(이산 시간 케이스)가 있을 때 발생합니다.단순히 안정된 시스템 응답이 시간이 지남에 따라 감소하거나 성장하지 않고 진동이 없는 경우에는 약간 안정적입니다. 이 경우 시스템 전송 함수는 복소 평면 원점에 비반복 극을 가집니다(즉, 연속 시간 경우에는 실제 및 복잡한 성분이 0입니다).진동은 실제 부분이 0인 극에 0이 아닌 가상 부분이 있을 때 발생합니다.

문제의 시스템이 임펄스 응답을 가지고 있는 경우

$\displaystyle \x[n]=0.5^{n}u[n]}$

Z 변환(이 예 참조)은 다음과 같이 주어진다.

$(\displaystyle\X(z)=sublicfrac{1}{1-0.5z^{-1}}})$

이 값은 $=$ ${\displaystyle 0}$.5({$displaystyle$ z$=0$.5}($$상상 부분 없음)의 극성을 가집니다.이 시스템은 극이 단위 원 안에 있기 때문에 BIBO(점근적으로) 안정적입니다.

단, 임펄스 응답이

$\ displaystyle \ x [ n ]= 1.5^{n}u[n]}$

Z 변환은

$(\displaystyle\X(z)=sublicfrac{1}{1-1.5z^{-1}}})$

z $({displaystyle$ z$=1.$5})의 극을 가지며 극의 계수가 1보다 엄격히 크기 때문에 BIBO가 안정되지 않습니다.

시스템의 극을 분석하기 위한 수많은 도구가 있습니다.여기에는 루트 궤적, 보데 그림 또는 나이키스트 그림과 같은 그래픽 시스템이 포함됩니다.

기계적 변경으로 장비(및 제어 시스템)의 안정성이 향상될 수 있습니다.선원들은 배의 안정성을 향상시키기 위해 밸러스트를 첨가한다.유람선은 배의 측면에서 약 30피트(10m) 동안 횡방향으로 뻗어나가는 앤티롤 핀을 사용하며, 롤링에 반대하는 힘을 개발하기 위해 축을 중심으로 지속적으로 회전합니다.

제어성과 관찰성

적용할 최적의 제어전략을 결정하기 전, 또는 시스템을 제어하거나 안정시킬 수 있는지 여부를 결정하기 전에 제어성과 관찰성이 시스템 분석의 주요 이슈입니다.제어성은 적절한 제어 신호를 사용하여 시스템을 특정 상태로 강제 이행시킬 수 있는 가능성에 관련되어 있습니다.상태를 제어할 수 없는 경우 어떤 신호도 상태를 제어할 수 없습니다.상태를 제어할 수 없지만 그 역학이 안정되어 있는 경우, 그 상태를 안정화 가능 상태라고 합니다.대신 관측 가능성은 출력 측정을 통해 시스템 상태를 관찰할 수 있는 가능성과 관련이 있습니다.상태를 관찰할 수 없는 경우 컨트롤러는 관찰할 수 없는 상태의 동작을 판별할 수 없기 때문에 이를 사용하여 시스템을 안정시킬 수 없습니다.그러나 위의 안정화 조건과 마찬가지로 상태를 관찰할 수 없는 경우에도 여전히 검출할 수 있을 수 있습니다.

기하학적 관점에서 제어되는 시스템의 각 변수 상태를 살펴보면 폐쇄 루프 시스템에서 양호한 동작을 보장하기 위해 이들 변수의 모든 "나쁜" 상태를 제어하고 관찰할 수 있어야 합니다.즉, 시스템의 고유값 중 하나를 제어할 수 없고 관측할 수 없는 경우, 동역학의 이 부분은 폐쇄 루프 시스템에서 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.이러한 고유값이 안정적이지 않으면 이 고유값의 역학은 폐쇄 루프 시스템에 존재하며, 따라서 불안정해집니다.상태-공간 표현의 전달 함수 실현에는 관측할 수 없는 극이 존재하지 않으며, 이것이 동적 시스템 분석에서 후자가 선호되는 이유이다.

제어할 수 없거나 관측할 수 없는 시스템의 문제에 대한 해결책으로는 액추에이터와 센서를 추가하는 것이 있습니다.

제어사양서

지난 몇 년간 몇 가지 다른 제어 전략이 고안되었습니다.이는 매우 일반적인 시스템(PID 컨트롤러)에서 매우 특정 등급의 시스템(특히 로봇공학 또는 항공기 순항 제어)에 전념하는 다른 시스템까지 다양하다.

제어 문제에는 몇 가지 사양이 있을 수 있습니다.물론 안정성은 항상 존재합니다.컨트롤러는 개방 루프의 안정성에 관계없이 폐쇄 루프 시스템이 안정적인지 확인해야 합니다.컨트롤러의 선택이 불충분하면 오픈 루프 시스템의 안정성이 저하될 수 있습니다.이는 일반적으로 피해야 합니다.어디λ ¯{\displaystyle{\overline{\lambda}}}은 단순히 Re[λ]<>고 요청하는 고정된 값은 0보다 큰, 가끔 그것은 닫힌 루프에 각별한 역학을 얻기 위해:그녀의 친척들은 극, −λ ¯{\displaystyle Re[\lambda]<-{\overline{\lambda}}Re[λ]<>필요}, 원할 것이다. 0{\di$splaystyle$ Re$[\lambda$]<$0$

또 다른 전형적인 사양은 스텝 장애의 거부입니다. 오픈 루프 체인(즉, 제어 대상 시스템 직전의)에 있는 인테그레이터를 포함하여 쉽게 이를 달성할 수 있습니다.다른 종류의 장애는 다른 유형의 하위 시스템을 포함해야 한다.

다른 "고전적인" 제어 이론 사양은 폐쇄 루프 시스템의 시간-응답에 관한 것이다.여기에는 상승 시간(제어 시스템이 섭동 후 원하는 값에 도달하는 데 필요한 시간), 피크 오버슈트(원하는 값에 도달하기 전에 응답에 의해 도달한 가장 높은 값) 및 기타(설정 시간, 1/4-decay)가 포함됩니다.주파수 영역의 사양은 보통 견고성과 관련이 있습니다(후 참조).

최신 성능 평가에서는 일부 통합 추적 오류(IAE, ISA, CQI)를 사용합니다.

모델 식별 및 견고성

제어 시스템은 항상 어느 정도의 견고성 특성을 가지고 있어야 합니다.견고한 컨트롤러는 합성에 사용되는 수학적 컨트롤러와 약간 다른 시스템에 적용해도 특성이 크게 변하지 않는 컨트롤러입니다.수학적으로 표현하기 위해 사용되는 일련의 미분 방정식처럼 실제로 동작하는 실제 물리적 시스템은 없기 때문에 이 요건은 중요합니다.일반적으로 계산을 단순화하기 위해 보다 단순한 수학적 모델이 선택됩니다.그렇지 않으면 진정한 시스템 역학은 너무 복잡하여 완전한 모델이 불가능할 수 있습니다.

시스템 식별

모델의 역학을 지배하는 방정식을 결정하는 과정을 시스템 식별이라고 합니다.이는 오프라인에서 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 근사 수학 모델(일반적으로 전달 함수 또는 행렬)을 계산하는 일련의 측정 실행입니다.그러나 출력에서 그러한 식별은 관측할 수 없는 역학을 고려할 수 없다.$때때로$ 모델은 알려진 물리적 방정식으로부터 직접 구축됩니다. 예를 들어 질량 스프링-점화 시스템의 경우 m x${\displaystyle \delta }$ (${\displaystyle }$t ) ${\displaystyle =}$ - ${\displaystyle K}$x (${\displaystyle t}$) - ${\displaystyle B\mathrm{}}$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$δ (${\displaystyle t}$) \ $display style$ m ${\ dot { x$} ( t ) = - $Kx$( $t)$ \ $mathrm${ $B （$ t$$} { B } ( $t$} ) "$가{\displaystyle }$ 다음과 같이 가정합니다.이러한 방정식에 포함된 모든 매개변수(이하 "변수"라 함)는 절대 정밀도로 알려져 있지 않습니다. 제어 시스템은 공칭에서 벗어난 참 매개변수 값을 사용하여 물리적 시스템에 연결된 경우에도 올바르게 작동해야 합니다.

일부 고급 제어 기술에는 "온라인" 식별 프로세스가 포함됩니다(나중에 참조).모델의 파라미터는 컨트롤러 자체가 동작하고 있는 동안 계산됩니다("식별"이러한 방식으로 파라미터의 급격한 변화가 발생하는 경우(예: 로봇의 암에서 무게가 방출되는 경우) 컨트롤러는 올바른 성능을 보장하기 위해 스스로 조정합니다.

분석.

시스템의 전송 기능을 고려하여 Nyquist 및 Bode 다이어그램을 사용하여 SISO(싱글 입력 싱글 출력) 제어 시스템의 견고성을 주파수 영역에서 분석할 수 있습니다.항목에는 게인 및 위상 여유 및 진폭 여유 등이 있습니다.MIMO(멀티 입력 멀티 출력) 및 일반적으로 보다 복잡한 제어 시스템의 경우 각 제어 기술에 대해 고안된 이론적 결과를 고려해야 합니다(다음 섹션 참조).즉, 특정한 견고성 품질이 필요한 경우, 엔지니어는 이러한 특성을 특성에 포함시킴으로써 제어 기법으로 주의를 옮겨야 한다.

제약

특정 건전성 문제는 입력 및 상태 제약이 있는 경우 제어 시스템이 적절하게 작동해야 하는 요건이다.물리적 세계에서는 모든 신호가 제한됩니다.예를 들어 과도한 속도로 밸브를 회전시키려고 하는 등 컨트롤러가 물리적 시스템이 따라올 수 없는 제어 신호를 보낼 수 있습니다.이로 인해 폐쇄 루프 시스템의 바람직하지 않은 동작이 발생하거나 액추에이터 또는 기타 서브시스템이 손상되거나 파손될 수 있습니다.문제를 해결하기 위해 모델 예측 제어(나중에 참조) 및 안티 와인드업 시스템 등 특정 제어 기술을 사용할 수 있습니다.후자는 제어 신호가 지정된 임계값을 초과하지 않도록 하는 추가 제어 블록으로 구성됩니다.

시스템 분류

선형 시스템 제어

MIMO 시스템의 경우 개방 루프 시스템의 상태 공간 표현과 원하는 위치에 극을 할당하는 피드백 매트릭스를 계산하여 극 배치가 수학적으로 수행될 수 있다.복잡한 시스템에서는 컴퓨터 지원 계산 기능이 필요할 수 있으며 항상 견고성을 보장할 수는 없습니다.또한 모든 시스템 상태는 일반적으로 측정되지 않으므로 관찰자를 극 배치 설계에 포함 및 통합해야 한다.

비선형 시스템 제어

로봇 공학이나 항공우주 산업과 같은 산업에서의 프로세스는 일반적으로 비선형 역학이 강합니다.제어 이론에서는 때때로 이러한 클래스의 시스템을 선형화하고 선형 기술을 적용하는 것이 가능하지만, 많은 경우 비선형 시스템의 제어를 허용하는 스크래치 이론에서 고안해야 할 수 있습니다.예를 들어 피드백 선형화, 백스텝, 슬라이딩 모드 제어, 궤도 선형화 제어 등은 일반적으로 랴푸노프의 이론에 기초한 결과를 이용한다.미분 기하학은 잘 알려진 선형 제어 개념을 비선형 사례로 일반화하는 도구로서 널리 사용되어 왔으며, 더 어려운 문제를 만드는 섬세함을 보여 준다.제어 이론은 또한 인지 ^[19]상태를 지시하는 신경 메커니즘을 해독하는 데 사용되어 왔다.

분산형 시스템 제어

시스템이 여러 컨트롤러에 의해 제어되는 경우 문제는 분산 제어 중 하나입니다.분산은 여러 면에서 도움이 됩니다. 예를 들어, 제어 시스템이 더 넓은 지리적 영역에서 작동하도록 도와줍니다.분산형 제어 시스템의 에이전트는 통신 채널을 사용하여 상호 작용하고 작업을 조정할 수 있습니다.

결정론적 및 확률적 시스템 제어

확률적 제어 문제는 상태 변수의 진화가 시스템 외부에서 무작위 충격을 받는 문제이다.결정론적 제어 문제는 외부 무작위 충격의 영향을 받지 않는다.

주요 관리 전략

모든 제어 시스템은 먼저 폐쇄 루프 동작의 안정성을 보장해야 합니다.선형 시스템의 경우 극을 직접 배치하여 얻을 수 있습니다.비선형 제어 시스템은 시스템의 내부 역학을 고려하지 않고 안정성을 보장하기 위해 특정 이론(일반적으로 알렉산드르 랴푸노프의 이론에 기초함)을 사용합니다.다양한 사양을 충족할 수 있는 가능성은 고려된 모델과 선택한 제어 전략에 따라 달라집니다.

주요 제어 기술 목록

• 적응 제어는 프로세스 파라미터의 온라인 식별 또는 컨트롤러 게인의 수정을 사용하여 강력한 견고성을 얻을 수 있습니다.적응 제어는 1950년대에 항공우주 산업에서 처음으로 적용되었고, 그 분야에서 특히 성공을 거두었다.
• 계층제어시스템은 일련의 디바이스와 관리소프트웨어가 계층트리 내에 배치되어 있는 제어시스템의 일종이다.트리의 링크가 컴퓨터 네트워크에 의해 구현되면 계층형 제어 시스템도 네트워크 제어 시스템의 한 형태입니다.
• 지능형 제어는 동적 시스템을 제어하기 위해 인공 신경 네트워크, 베이지안 확률, 퍼지 논리,^[20] 기계 학습, 진화 계산 및 유전 알고리즘 또는 이러한 방법의 조합과 같은 다양한 AI 컴퓨팅 접근 방식을 사용한다.
• 최적 제어는 제어 신호가 특정 "비용 지수"를 최적화하는 특정 제어 기법입니다. 예를 들어, 인공위성의 경우 제트 추력은 연료를 가장 적게 소비하는 원하는 궤도로 유도하는 데 필요합니다.폐루프 안정성을 보장할 수 있다는 것이 입증되었기 때문에 두 가지 최적 제어 설계 방법이 산업 애플리케이션에 널리 사용되어 왔다.모델 예측 제어(MPC)와 선형 4차 가우스 제어(LQG)입니다.첫 번째는 많은 산업 공정에서 중요한 특징인 시스템 내 신호의 제약을 보다 명확하게 고려할 수 있습니다.그러나 MPC의 "최적 제어" 구조는 폐쇄 루프 제어 시스템의 진정한 성능 지수를 최적화하지 않기 때문에 이러한 결과를 얻기 위한 수단일 뿐이다.PID 컨트롤러와 함께 MPC 시스템은 프로세스 제어에서 가장 널리 사용되는 제어 기술입니다.
• 강력한 제어는 제어기 설계에 대한 접근법의 불확실성을 명시적으로 다룬다.강력한 제어 방법을 사용하여 설계된 제어기는 ^[21]설계에 사용된 실제 시스템과 공칭 모델 사이의 작은 차이를 처리할 수 있는 경향이 있다.Bode와 다른 방법들의 초기 방법들은 꽤 견고했다; 1960년대와 1970년대에 발명된 상태-공간 방법들은 때때로 견고성이 결여된 것으로 밝혀졌다.현대의 강력한 제어 기법의 예로는 던컨 맥팔레인 및 키스 글로버에 의해 개발된 H-무한 루프 쉐이핑, Vadim Utkin에 의해 개발된 슬라이딩 모드 제어(SMC), 스마트 전력 그리드 ^[22]애플리케이션에서 대량의 이질적인 전기 부하 제어를 위해 설계된 안전 프로토콜 등이 있다.강력한 방법은 작은 모델링 오류가 있을 때 강력한 성능 및/또는 안정성을 달성하는 것을 목표로 합니다.
• 확률적 제어는 모델의 불확실성과 함께 제어 설계를 다룬다.전형적인 확률적 제어 문제에서는 모델과 제어기에 무작위 소음과 교란이 존재한다고 가정하고 제어 설계는 이러한 무작위 편차를 고려해야 한다.
• 자기조직적 중요도 제어는 자기조직적 시스템이 에너지를 방출하는 프로세스를 간섭하려는 시도로 정의할 수 있습니다.

시스템 및 제어 담당자

많은 활동적이고 역사적인 인물들은 다음을 포함한 통제 이론에 중요한 기여를 했다.

• Pierre-Simon Laplace는 확률론에 대한 그의 연구에서 Z 변환을 발명했는데, 이것은 현재 이산 시간 제어 이론 문제를 해결하는 데 사용됩니다.Z 변환은 그의 이름을 딴 라플라스 변환과 이산 시간에 상당합니다.
• Irmgard Flugge-Lotz는 불연속 자동 제어 이론을 개발하여 자동 항공기 제어 시스템에 적용하였다.
• 1890년대의 알렉산더 랴푸노프는 안정성 이론의 시초이다.
• 해롤드 S. 블랙은 1927년에 음성 피드백 증폭기의 개념을 발명했다.그는 1930년대에 안정적인 네거티브 피드백 증폭기를 개발하는데 성공했다.
• Harry Nyquist는 1930년대에 피드백 시스템에 대한 나이키스트 안정성 기준을 개발했습니다.
• Richard Bellman은 1940년대부터 ^[23]동적 프로그래밍을 개발했습니다.
• 워렌 E. 딕슨, 통제 이론가이자 교수입니다.
• 안드레이 콜모고로프는 1941년에 비엔나-콜모고로프 필터를 공동 개발했습니다.
• Norbert Wiener는 1940년대에 Wiener-Kolmogorov 필터를 공동 개발하여 사이버네틱스라는 용어를 만들었습니다.
• John R. Ragazini는 1950년대에 제어 이론에서 디지털 제어와 Z 변환의 사용을 도입했습니다(라플라스 발명).
• 레프 폰트랴긴은 최대 원리와 뱅뱅 원리를 소개했다.
• Pierre-Louis Lions는 점성 솔루션을 확률적 제어 및 최적 제어 방법으로 개발했습니다.
• 루돌프 E. 칼만은 시스템과 통제에 대한 국가-공간 접근법을 개척했다.제어성과 관찰성의 개념을 도입했습니다.선형 추정을 위한 Kalman 필터 개발.
• 비선형 제어 이론의 주요 기여자 중 한 명이었고 섭동 방법에 대한 많은 책을 출판한 알리 H. Nayfeh
• Jan C. Willems 입력/상태/출력 시스템에 대한 Lyapunov 기능의 일반화로서 소멸성의 개념을 도입했습니다.랴푸노프 함수의 아날로그라고 불리는 저장 함수의 구성은 제어 이론에서 선형 행렬 부등식(LMI)의 연구로 이어졌다.그는 수학 체계 이론에 대한 행동 접근법을 개척했다.

「 」를 참조해 주세요.

제어 시스템의 예

제어 이론의 주제

기타 관련 토픽

레퍼런스

추가 정보

• Levine, William S., ed. (1996). The Control Handbook. New York: CRC Press. ISBN 978-0-8493-8570-4.
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• Christopher Kilian (2005). Modern Control Technology. Thompson Delmar Learning. ISBN 978-1-4018-5806-3.
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• Franklin; et al. (2002). Feedback Control of Dynamic Systems (4 ed.). New Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-032393-4.
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화학 공학용

• Luyben, William (1989). Process Modeling, Simulation, and Control for Chemical Engineers. McGraw Hill. ISBN 978-0-07-039159-8.

외부 링크

• Matlab용 제어 튜토리얼 - 여러 가지 다른 방법으로 해결된 실제 제어 예제 세트입니다.
• 조정 및 베스트 프랙티스 제어
• 고급 제어 구조, 제어 이론을 설명하는 무료 온라인 시뮬레이터
• 루프 제어 이론의 어두운 면은 2012년 APEC에서 강의된 전문 세미나입니다(올란도, FL).