루트 로커스

나선형

제어 이론과 안정성 이론에서, 뿌리 위치 분석은 특정 시스템 매개변수의 변화에 따라 시스템의 뿌리가 어떻게 변화하는지, 일반적으로 피드백 시스템 내에서 이득이 되는지를 조사하는 그래픽 방법이다. 이것은 월터 R이 개발한 고전적 제어 이론 분야의 안정성 기준으로 사용되는 기법이다. 시스템의 안정성을 결정할 수 있는 에반스. 루트 로커스는 게인 매개변수의 함수로서 복합 s-평면에 있는 폐쇄 루프 전달 함수의 극을 표시한다(극-영점 그림 참조).

"Spirulle"이라고 불리는 특별한 연장자를 사용하는 그래픽 방법은 한때 각도를 결정하고 뿌리 로키를 그리는데 사용되었다.^[1]

사용하다

폴 위치가 2차 시스템의 고유 진동수와 댐핑 비율에 미치는 영향 이 극의 복잡한 결합체(이 극은 0이 아닌 상상의 구성요소를 가지고 있기 때문에 반드시 존재함)는 보이지 않는다.

시스템의 안정성을 결정하는 것 외에도, 루트 로커스를 사용하여 피드백 시스템의 댐핑 비율(ζ)과 고유 주파수(Ω_n)를 설계할 수 있다. 일정한 댐핑 비율의 선은 원점에서 방사상으로 그릴 수 있으며, 일정한 자연 주파수의 선은 중심점이 원점과 일치하는 아크코신으로 그릴 수 있다. 원하는 댐핑 비율 및 고유 주파수와 일치하는 루트 로커스를 따라 점을 선택하면 게인 K를 계산하여 컨트롤러에서 구현할 수 있다. 루트 로커스를 사용하는 보다 정교한 제어기 설계 기법은 대부분의 제어 교재에서 이용할 수 있다. 예를 들어, 지연, 납, PI, PD 및 PID 제어기는 대략 이 기법을 사용하여 설계할 수 있다.

댐핑 비율과 고유 주파수의 정의는 전체 피드백 시스템이 두 번째 순서 시스템에 의해 충분히 근사하게 추정된다고 가정한다. 즉, 시스템은 지배적인 쌍의 극을 가지고 있다. 그렇지 않은 경우가 많으므로 최종 설계를 시뮬레이션하여 프로젝트 목표가 충족되는지 확인하는 것이 좋다.

정의

피드백 시스템의 근본 위치는 특정 시스템 매개변수의 다양한 값에 대해 폐쇄 루프 폴의 가능한 위치에 대한 복잡한 s-평면의 그래픽 표현이다. 루트 로커스의 일부인 점들은 각도 조건을 만족시킨다. 루트 위치의 특정 지점에 대한 매개변수 값은 크기 조건을 사용하여 얻을 수 있다.

$X(s)$ 신호 $X(s)$ ( $X(s)$ s ) $X$ 과 $X(s)$ 출력 신호 $Y(s)$ ( $Y(s)$ ) $Y$ 이(가) 있는 피드백 시스템이 있다고 가정합시다 $Y(s)$ $G(s)$ 경로 전송 함수는 $G(s)$ ( s $G(s)$ ) $G$ 이고 $G(s)$ 피드백 경로 전송 함수는 $H(s)$ ( $H(s)$ ) $H$ 입니다 $H(s)$

이 시스템의 경우 폐쇄^[2] 루프 전송 기능은

T(s)={\frac {Y(s)}{X}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H}}}}

따라서 폐쇄 루프 전달 함수의 폐쇄 루프 폴은 $1+G(s)H(s)=0$ $1+G(s)H(s)=0$ 1 $1+G(s)H(s)=0$ + G $1+G(s)H(s)=0$ ( $1+G(s)H(s)=0$ ) H $1+G(s)H(s)=0$ ( $1+G(s)H(s)=0$ ) $1+G(s)H(s)=0$ = 0 $1+G(s)H(s)=0$ 의 뿌리가 된다 $1+G(s)H(s)=0$ 이 방정식의 뿌리는 $G(s)H(s)=-1$ ( s $G(s)H(s)=-1$ ) $G(s)H(s)=-1$ ( $G(s)H(s)=-1$ ) $G(s)H(s)=-1$ = - $G(s)H(s)=-1$ ${\displaysty G(s)H(s)=1$

순수한 지연이 없는 시스템에서 $G(s)H(s)$ G $G(s)H(s)$ ( $G(s)H(s)$ ) $G(s)H(s)$ ( $G(s)H(s)$ ) $G(s)H$ 은 합리적인 다항식 함수로서 다음과 $G(s)H(s)$ ^[3] 같이 표현될 수 있다.

G(s)H=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{m})\cdots(s+p_{1}){{1}{{1}}{(s+p_{2})}}}}}

여기서 $-z_{i}$ - $-z_{i}$ $-z_{i}$ ${\$ 는 $-z_{i}$ m $m$ 0이고 $m$ $-p_{i}$ $-p_{i}$ $-p_{i}$ ${\$ 는 $-p_{i}$ $n$ ${\displaysty n}$ 극이며 $n$ , $K$ ${\\displaysty$ K $}$ 은 스칼라 이득이다 $K$ . 일반적으로 루트 로커스 도표는 파라미터 $K$ $K$ 의 다양한 값에 대한 전송 함수의 극 위치를 나타낸다 $K$ 루트 로커스 그림은 $G(s)H(s)=-1$ 의 $G(s)H(s)=-1$ 점이며, $K$ 서 K $K$ 의 모든 값에 $G(s)H(s)=-1$ G $G(s)H(s)=-1$ ( s $G(s)H(s)=-1$ ) H $G(s)H(s)=-1$ ( $G(s)H(s)=-1$ ) $G(s)H(s)=-1$ = $G(s)H(s)=-1$ - $G(s)H(s)=-1$ ${\displaystyle G(s)H$ =- $1}$ 이 된다 $K$

$K$ $K$ 의 인수와 간단한 $K$ 단항식의 사용은 각도를 추가하거나 빼서 크기를 곱하거나 나누는 벡터 기법으로 합리적 다항식의 평가를 할 수 있다는 것을 의미한다. 벡터 공식은 요인 $G(s)H(s)$ ( $(s-a)$ $G(s)H(s)$ ) $G(s)H(s)$ ( s ) H ( $G(s)H(s)$ ) ${\displaystyle$ $(s-a)$ ( $s-a)}$ 의 $(s-a)$ 각 단일 항이 s-평면에서 $s$ {\ $displaystyle a}$ 에서 $s$ $s$ 까지의 $a$ 벡터를 나타낸다는 $G(s)H(s)$ 사실에서 비롯된다. 다항식은 이러한 벡터 각각의 크기와 각도를 고려하여 평가할 수 있다.

벡터 수학에 따르면, 합리적인 다항식의 결과의 각도는 분자의 모든 각도에서 분모의 모든 각도의 합을 뺀 값이다. 따라서 s-평면의 점이 루트 로커스에 있는지 여부를 시험하기 위해 모든 개방 루프 폴과 0에 대한 각도만 고려할 필요가 있다. 이것은 각도 조건이라고 알려져 있다.

마찬가지로 합리적 다항식의 결과의 크기는 분자의 모든 크기의 산물로 분모에 있는 모든 크기의 산물로 나눈 것이다. $K$ {\ $displaystyle K}$ 이(가 $)$ 다양하고 $K$ 임의의 실제 값을 취할 수 있기 때문에 s-평면의 점이 루트 로커스의 일부인지 판단하기 위해 크기를 계산할 필요가 없는 것으로 나타났다. 루트 위치의 각 점에 대해 $K$ $K$ 값을 계산할 수 있다 $K$ . 이것은 크기 조건이라고 알려져 있다.

루트 로커스는 게인 $K$ $K$ 이 $K$ (가) 다양하기 때문에 닫힌 루프 폴의 위치만 제공한다. $K$ $K$ 값은 0의 위치에 영향을 주지 않는다 $K$ . 오픈 루프 0은 클로즈드 루프 0과 동일하다.

각도 조건

복합 s-평면의 $s$ $점$ s $s$ 은 다음과 같은 경우 각도 조건을 만족한다.

\angle(G(s)H=\pi

라고 말하는 것과 같다.

\sum \sum _{i=1}^{m}\angle(s+z_{i}-\sum _{i}-\sum _{i}\n1}^{n}\angle(s+p_{i}=\pi }}}

$\pi$ , 개방좌표 0에서 점 $s$ {\ $displaystyle$ $s}$ 까지의 각도 합계는 개방좌표에서 $점$ s ${\displaystyle$ s $}$ 까지 각도를 뺀 값이다 $.$ $yle \pi }$ 또는 180도. 이러한 해석은 점 $s$ $s$ 과 $s$ (와) 0/pole 사이의 각도 차이로 오인해서는 안 된다는 점에 유의하십시오.

규모 조건

$K$ $K$ 값은 다음과 같은 경우 루트 로커스의 지정된 $s$ $s$ 지점에 $s$ 대한 크기 조건을 만족한다 $K$ .

G(s)H =1

라고 말하는 것과 같다.

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

+

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

s

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

+

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

1

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

+

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

2

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

s

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

+ p 1

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

+ p

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

+ p 2

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

+ p 2

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

+

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

2

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

+

K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1

= 1 {\

displaystyle

K

{{\frac {s+z_{1} s+z_{

2} \

cdots s+z_{1

}{

1} s+p_{

2} } \

cdots+

p_

{n}{n

루트 위치 스케치

RL = 루트 위치, ZARL = 0각 루트 위치

루트 로커스 방법은 몇 가지 기본 규칙을 사용하여 $K$ $K$ 의 값이 달라짐에 $K$ 따라 루트가 가로지르는 경로(로쿠스)의 전체적인 모양을 표시할 수 있다. 그러면 루트 위치의 플롯은 $K$ $K$ 의 다른 값에 대한 이 피드백 시스템의 안정성과 역동성에 대한 아이디어를 제공한다 $K$ ^[4]^[5] 규칙은 다음과 같다.

개방형 루프 폴 및 0 표시
홀수 수의 극과 0의 왼쪽에 실제 축 부분을 표시하십시오.
점근추출물 찾기

P를 극의 수, Z를 0의 수로 한다.

P-Z={\text{number of impactotes}\,

점증상자는 $\alpha$ {\ $displaystyle \alpha$ }( $\alpha$ 중앙이라고 함)에서 실제 축을 교차하고 다음과 같이 주어진 $\phi$ 각도 $\phi$ {\ $displaystyle \phi }:$

\phi _{l}={\frac {180^{\circle }+(l-1)360^{\circle }}}{P-Z},l=1,2,\ldots,P-Z

\alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}}}

여기서 $\sum _{P}$ $\sum _{P}$ ${\$ 는 극의 모든 위치를 합한 것이며 $\sum _{P}$ , $\sum _{Z}$ $\sum _{Z}$ ${\$ \ $sum _{Z$ }는 명시적인 0의 모든 위치를 합한 것이며 $\sum _{Z}$ , $\operatorname {Re} ()$ $\operatorname {Re} ()$ ( $\operatorname {Re} ()$ ) ${\display \operatorname {Re}}}}}}}$ 은 우리가 실제 부분에만 관심이 있다는 것을 의미한다 $\operatorname {Re} ()$ .

이탈 각도를 찾기 위한 테스트 지점의 위상 조건
분리/차단 지점 계산

분리점은 다음 방정식의 뿌리에 위치한다.

{\frac {dG(s)H}{ds}=0{\text{ 또는 }{\frac {d{\d}(z)}{dz}=0

일단 z를 위해 풀면 진짜 뿌리는 이탈/재진입 포인트를 준다. 복잡한 뿌리는 이탈/재진입 부족에 해당한다.

플롯 루트 위치

일반적인 폐쇄 루프 분모 이성 다항식

1+G(s)H=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}}

특성 방정식은 다음과 같이 단순화할 수 있다.

s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m}s^{m}+Kb_{1}ldots + (a_{0}+Kb_{0}})=0.

이 방정식에 대한 $s$ $s$ $s$ 의 해법은 폐쇄 루프 전달 함수의 루트 위치다.

예

주어진

1+G(s)H=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1},

우리는 특성 방정식을 가질 것이다.

s^{3}+3s^{2}+(5+K)+(1+3K)=0.

$다음$ MATLAB 코드는 K {\displaystyle $K}$ 이(가) 기술된 수동 방법과 함께 변경됨에 $K$ 따라 폐쇄 루프 전송 기능의 루트 위치를 표시한다. rlocus 내장 함수:

% 수동 방법 K_array = (0:0.1:220).'; NK = 길이(K_array); x_array = 0(NK, 3); y_array = 0(NK, 3);  을 위해 엔케이 = 1:NK    K = K_array(엔케이);    C = [1, 3, (5 + K), (1 + 3*K)];    r = 뿌리.(C).';    x_array(엔케이,:) = 진짜(r);    y_array(엔케이,:) = 상상하다(r); 종지부를 찍다  형상을 나타내다(); 음모를 꾸미다(x_array, y_array); 격자무늬 에 관하여;  % 내장 방법 sys = tf([1, 3], [1, 3, 5, 1]); 형상을 나타내다(); 라로쿠스(sys);

z-평면 대 s-평면

또한 루트 로커스 방법은 s-평면의 이산 상대인 z-평면의 루트 로쿠스를 계산하여 샘플링된 데이터 시스템의 분석에 사용할 수 있다. $등식$ z = $e$ 는^sT 연속적인 s-평면 극(제로가 아님)을 z-도메인에 매핑하며, 여기서 $T$ 는 샘플링 기간이다. 안정적이고 왼쪽 절반의 s-평면이 z-평면의 단위 원 내부에 배치되며, s-평면 원점은 z = 1(e⁰ = 1)과 동일하다. s-평면의 일정한 댐핑의 대각선은 원점을 향해 곡선을 그리면서 z 평면의 (1,0)에서 나선선 주위를 맵핑한다. 나이키스트 앨리어싱 기준은 x축에 의해 z-평면에 그래픽으로 표현된다. 여기서 $ΩnT$ = $π$ . 연속 감쇠 라인은 무한정 나선형을 설명했지만 샘플링된 데이터 시스템에서 주파수 함량은 나이키스트 주파수의 정수 배수로 낮은 주파수로 앨리어싱된다. 즉, z-평면의 루트가 상수 감쇠의 다른 더 좋은 감쇠 나선 곡선의 첫 번째 루프에 똑같이 잘 매핑되기 때문에 샘플링된 응답은 더 낮은 주파수와 더 잘 감쇠된 것으로 나타난다. z-평면 전송 함수(다항식의 제로/폴 비율)에서 직접 구현될 수 있는 속성을 가진 z-평면 제어기가 오픈 루프 전송 함수의 z-평면 플롯에서 그래픽으로 상상할 수 있고 즉시 분석되는 많은 다른 흥미롭고 관련 매핑 속성이 설명될 수 있다.징뿌리뿌리

루트 로커스는 그래픽 앵글 기법이기 때문에 루트 로커스 $규칙$ 은 $z$ 와 s 평면에서 동일하게 작용한다.

루트 위치의 개념은 단일 파라미터 $K$ 가 변화하는 많은 시스템에 적용될 수 있다. 예를 들어 정확한 값이 불확실한 시스템 파라미터를 스위프하여 동작을 결정하는 것이 유용하다.

참고 항목

참조

^ Evans, Walter R. (1965), Spirule Instructions, Whittier, CA: The Spirule Company
^ 1967, 페이지 331.
^ 1967, 페이지 332.
^ Evans, W. R. (January 1948), "Graphical Analysis of Control Systems", Trans. AIEE, 67 (1): 547–551, doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059708, ISSN 0096-3860, S2CID 51634121
^ Evans, W. R. (January 1950), "Control Systems Synthesis by Root Locus Method", Trans. AIEE, 69 (1): 66–69, doi:10.1109/T-AIEE.1950.5060121, ISSN 0096-3860, S2CID 51633514

Kuo, Benjamin C. (1967). "Root Locus Technique". Automatic Control Systems (second ed.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. pp. 329–388. ASIN B000KPT04C. LCCN 67016388. OCLC 3805225.

추가 읽기

Ash, R. H.; Ash, G. H. (October 1968), "Numerical Computation of Root Loci Using the Newton-Raphson Technique", IEEE Transactions on Automatic Control, 13 (5): 576–582, doi:10.1109/TAC.1968.1098980
Williamson, S. E. (May 1968), "Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part I)", Control Magazine, 12 (119): 404–407
Williamson, S. E. (June 1968), "Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part II)", Control Magazine, 12 (120): 556–559
Williamson, S. E. (July 1968), "Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part III)", Control Magazine, 12 (121): 645–647
Williamson, S. E. (May 15, 1969), "Computer Program to Obtain the Time Response of Sampled Data Systems", Electronics Letters, 5 (10): 209–210, Bibcode:1969ElL.....5..209W, doi:10.1049/el:19690159
Williamson, S. E. (July 1969), "Accurate root locus plotting including the effects of pure time delay. Computer-program description", Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, 116 (7): 1269–1271, doi:10.1049/piee.1969.0235

외부 링크

위키북: 제어 시스템/루트 로커스
카네기 멜론 / 미시간대 자습서
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루트 로커스 방법: 수공법으로 그리기
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"루트 로커스": Windows용 무료 루트 로커스 플로터/분석기
제어 시 루트 로커스TheoryPro.com
제어 시스템의 루트 로커스 분석
SISO 오픈 루프 모델의 루트 위치 계산을 위한 MATLAB 기능
Wechsler, E. R. (January–March 1983), "Root Locus Algorithms for Programmable Pocket Calculators" (PDF), Telecommunications and Data Acquisition Progress Report, NASA, 73: 60–64, Bibcode:1983TDAPR..73...60W
루트 위치 플롯을 위한 Mathematica 함수
Šekara, Tomislav B.; Rapaić, Milan R. (1 October 2015). "A revision of root locus method with applications". Journal of Process Control. 34: 26–34. doi:10.1016/j.jprocont.2015.07.007.

[1] Evans, Walter R. (1965), Spirule Instructions, Whittier, CA: The Spirule Company

[FOOTNOTEKuo1967331-2] 1967, 페이지 331.

[FOOTNOTEKuo1967332-3] 1967, 페이지 332.

[4] Evans, W. R. (January 1948), "Graphical Analysis of Control Systems", Trans. AIEE, 67 (1): 547–551, doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059708, ISSN 0096-3860, S2CID 51634121

[5] Evans, W. R. (January 1950), "Control Systems Synthesis by Root Locus Method", Trans. AIEE, 69 (1): 66–69, doi:10.1109/T-AIEE.1950.5060121, ISSN 0096-3860, S2CID 51633514

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