상승 시간

전자제품에서 전압 또는 전류 스텝 함수를 설명할 때 상승 시간은 신호가 지정된 낮은 값에서 지정된 높은 ^[1]값으로 바뀌는 데 걸리는 시간입니다.이러한 값은 비율 또는^[2] 동일한 기준 값에 대한 백분율로^[3] 표시할 수 있습니다.아날로그 전자 제품 및 디지털 전자^{[citation needed]} 제품에서는 이러한 비율이 일반적으로 ^[4]출력 스텝 높이의 10%와 90%(또는 동등한 0.1과 0.9)입니다. 그러나 다른 값이 일반적으로 사용됩니다.^[5]제어 이론의 응용 프로그램인 Levine(1996, 페이지 158)에 따르면 상승 시간은 "응답이 최종 값의 x%에서 y%로 상승하는 데 필요한 시간"으로 정의되며, 감쇠된 2차 시스템의 상승 시간은 0%에서 100%, 임계 감쇠된 ^[6]2차 시스템의 상승 시간은 5%에서 95%, 초과 감쇠된 시스템의 상승 시간은 10%에서 90%입니다.Orwiler(1969, 페이지 22)에 따르면, 표시된 음의 편차를 일반적으로 하강 ^[7]시간이라고 부르더라도 "상승 시간"이라는 용어는 양의 또는 음의 단계 응답에 적용된다.

개요

상승 시간은 고속 입력 ^[8]신호에 반응하는 회로의 능력을 나타내는 척도이기 때문에 고속 전자제품에서 기본적으로 중요한 아날로그 파라미터입니다.회로, 발전기, 데이터 측정 및 전송 장비의 상승 시간을 줄이기 위한 많은 노력이 있었다.이러한 감소는 보다 빠른 전자 소자에 대한 연구와 부유 회로 매개변수(주로 용량 및 인덕턴스)의 감소 기술에서 발생하는 경향이 있습니다.고속 전자 기기의 영역 이외의 애플리케이션에서는 (최신 기술에 비해) 긴 상승 시간이 바람직할 수 있습니다.예를 들어 상승 시간이 길어지는 경우, 특히 전구의 수명이 길어지거나 아날로그 SW를 사용하여 디지털 신호를 제어하는 경우 등입니다.즉, 상승 시간이 길수록 용량성 피드 스루가 낮아지고 제어된 아날로그 신호 라인에 대한 커플링 노이즈가 감소합니다.

상승 시간에 영향을 미치는 요인

특정 시스템 출력의 경우, 그 상승 시간은 입력 신호의 상승 시간과 시스템의 ^[9]특성에 따라 달라집니다.

예를 들어 저항성 회로의 상승 시간 값은 주로 부유 캐패시턴스와 인덕턴스에 기인합니다.모든 회로에는 저항뿐만 아니라 캐패시턴스 및 인덕턴스도 있기 때문에 정상 상태에 도달할 때까지 부하에서의 전압 및/또는 전류의 지연이 명백합니다.순수 RC회로에서는 출력 라이즈 타임(10~90%)은 약 2.2 ^[10]RC와 동일합니다.

대체 정의

연방 표준 1037C(1997, 페이지 R-22)와 Levine(1996, 페이지 158)이 제공한 약간의 일반화와는 별도로 상승 시간의 다른 정의를 가끔 사용한다.^[11] 이러한 대체 정의는 고려된 기준 수준에 대해서만 표준과 다르다.예를 들면, 스텝 함수 응답의 50%점을 통과하는 접선의 절편점에 그래픽으로 대응하는 시간 간격을 사용하는 ^[12]경우가 있다.Elmore(1948, 페이지 57)^[13]에 의해 도입된 또 다른 정의는 통계학과 확률론의 개념을 사용한다.스텝 응답 V(t)를 고려하여 지연시간_D t를 그 제1도함수 Vθ(t)의 제1모멘트 즉, 재지정한다.

${\displaystyle t_{D}=tfrac {int _{0}^{+\infty}tV^{\int _{0}^{+\infty}V^{\prime}(t)\mathrm {d}t}.}$

마지막으로, 그는 두 번째 순간을 이용하여 상승 시간_r t를 정의한다.

${\displaystyle t_{r}^{2}=hcfrac {int _{0}^{+\infty}{{t-t_{D}^{\prime}{{\prime}}{\mathrm {d}t}{\}{\prim {dar }}{\}좌우측 긴 방향}$

모델 시스템의 상승 시간

표기법

분석에 필요한 모든 주의사항 및 전제조건은 다음과 같습니다.

• Levine(1996, 페이지 158, 2011, 9-3(313))에 이어 상승 시간을 추정하는 신호의 기준 값에 대해 x%를 백분율 낮은 값으로, y%를 백분율 높은 값으로 정의합니다.
• t는₁ 분석 대상 시스템의 출력이 정상 상태 값의 x%에 있는 반면₂ t는 y%에 있는 시간(초 단위)입니다.
• t는_r 분석된 시스템의 상승 시간으로 초 단위로 측정됩니다.정의상
  $${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}.}$$

  
• f는_L 헤르츠 단위로 측정되는 분석 시스템의 낮은 차단 주파수(-3dB 포인트)입니다.
• f는_H 헤르츠 단위로 측정되는 분석 시스템의 높은 컷오프 주파수(-3dB 포인트)입니다.
• h(t)는 시간 영역에서 분석된 시스템의 임펄스 응답입니다.
• H(θ)는 주파수 영역에서 분석된 시스템의 주파수 응답입니다.
• 대역폭은 다음과 같이 정의됩니다.
  $${\displaystyle BW=f_{H}-f_{L}}$$

  
  낮은 컷오프 주파수_L f는 보통 높은 컷오프 주파수_H f보다 수십 년 낮기 때문에
  $${\displaystyle BW\cong f_{H}}$$

  
• 여기서 분석되는 모든 시스템은 0(로우패스 시스템)까지 확장되는 주파수 응답을 가집니다.
  $$\displaystyle f_{L}=0,\왼쪽 긴 화살표 \,f_{H}=대역폭$$

  
  정확합니다.
• 단순화를 위해 "상승시간 계산의 단순한 예" 섹션에서 분석된 모든 시스템은 단일 게인 전기 네트워크이며 모든 신호는 전압으로 간주됩니다. 입력은 Vvolts의₀ 단계 함수이며 이는 다음을 의미합니다.
  $${{displaystyle {V(t_{1})}{V_{0}}={x\%}{100}}\qquad {V(t_{2})}={V_{0}}={y\%}{100}}}}}$$

  
• θ는 감쇠비, θ는 주어진₀ 2차 시스템의 고유 주파수입니다.

상승 시간 계산의 간단한 예

이 섹션의 목적은 일부 단순한 시스템에 대한 단계 응답 상승 시간의 계산이다.

가우스 응답 시스템

시스템은 다음과 같은 주파수 응답을 특징으로 하는 경우 가우스 응답을 갖는다고 합니다.

${\displaystyle H(\mega) = e^{-{\frac {\frac ^{2}}{\flac ^{2}}}$

여기서 θ > 0은 상수로,^[14] 다음 관계에 의해 높은 컷오프 주파수와 관련지어집니다.

$\displaystyle f_{H = cong 0.0935 \ pi } { \ cong rt { \ frac { 3 } { 20 } \ ln 10 } }$

이러한 주파수 응답을 원인 ^[15]필터에 의해 실현할 수 없는 경우에도 그 유용성은 캐스케이드 스테이지 수가 점근적으로 무한대로 ^[16]상승함에 따라 1차 로우 패스 필터의 캐스케이드 접속의 거동이 이 시스템의 거동에 더욱 근접한다는 사실에 있다.해당 임펄스 응답은 표시된 주파수 응답의 역 푸리에 변환을 사용하여 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle {\mathcal {F}^{-1}\{H\}(t)=h(t)}}\int \int _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {{2}}{\frac ^{{\f}}}}{i\dclacclash ={i\frac}$

단계 대응의 정의를 직접 적용하여

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)=sqrt {V_{pi }}\int \infty }^{\frac {-\infty}{\frac {-\frac }{-\frac ^{2}}d\flac =sfrac {V_{0}{{\infty }{\fy}}\fy } \f}{V_{0}}=paramfrac {1}{2}}\left [1+\mathrm {erf}\left\frac {{2}}\right]}$

시스템의 10% ~ 90% 상승 시간을 결정하려면 다음 두 방정식을 시간 동안 풀어야 합니다.

${\displaystyle {V(t_{1})}{V_{0}}=0.1=paramfrac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf}\leftfrac\frac {{1}}\right]\qquad {{frac {V(t_{2})}{V_{0}=0}.9=paramfrac {1}{2}}\left [1+\mathrm {erf}\left\frac {param t_{2}}{2}}\right],}$

오류 함수의 알려진 특성을 사용하여 t = -t₁ = t를₂ 구합니다. t = t₂₁ - t = 2t이므로_r,

${\displaystyle t_{r}=flac {4}{\operatorname {erf}^{-1}(0.8)}\cong {f_{f}H}}}}},}$

그리고 마지막으로

$\displaystyle t_{r}\cong\frac {0.34}{BW}}\quad\왼쪽 긴 화살표\quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$^[17]

1단 로패스 RC 네트워크

단순한 1단계 로우패스 RC 네트워크의 경우,^[18] 10% ~ 90% 상승 시간은 네트워크 시간 상수에 비례합니다 δ = RC:

$\displaystyle t_{r}\cong 2.displays\displays }$

비례 상수는 V 진폭의 단위₀ 스텝 함수 입력 신호에 대한 네트워크의 스텝 응답 지식에서 도출할 수 있습니다.

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau}}}\오른쪽)}}$

시간문제 해결

${\displaystyle\frac{V(t)}{V_{0}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\frac }}\right)\long leftarrow\long leftarrow\light(right)\frac {V(t)}{V_{0}}-1=-e^{-{\frac {t}{\frac }}\filength \Long 왼쪽 화살표 \filength 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}=e^{-{\frac {t}{\frac }}}}}$

그리고 마지막으로

$\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}){V_{0}}\right)=-{\frac {t}{\frac}}}\fln \왼쪽 화살표 \frac t=-\frac \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}){V_{0}}\right}$

t와₂ t는 이렇게 되어 있기 때문에₁

${\displaystyle {V(t_{1})}{V_{0}}=0.1\qquad {V(t_{2})}{V_{0}}=0.9,}$

이 방정식을 풀면 t와₂ t에 대한₁ 분석식을 찾을 수 있습니다.

${\displaystyle t_{1}=-;\ln \left(1-0.1\right)=-\ln \left(0.9\right)=-\ln \left\frac {9}{10}=\ln\ln \left\frac {9}{9}\right}{\ln\right}({\ln\right})$

$\displaystyle t_{2}=\display \ln {10}$

따라서 상승 시간은 시간 ^[19]상수에 비례합니다.

$\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\display \cdot \ln 9\cong \display \cdot 2.displays}$

자, 이제 주의해서

${\displaystyle \displays = RC = scfrac {1}{2\pi f_{H}}}}},}$^[20]

그리고나서

${\displaystyle t_{r}=snfrac {2\ln 3){2\pi f_{H}} = frac {\pi f_{H}}\cong {frac {0.349}{f_{H}}}}},}$

고주파 컷오프는 대역폭과 같기 때문에

$\displaystyle t_{r}\cong\frac {0.35}{BW}}\quad\왼쪽 긴 화살표\quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$^[17]

마지막으로 20%~80%의 상승시간을 고려할 경우 t는_r 다음과 같이 됩니다.

$\displaystyle t_{r}=\cdot \ln \frac {8}{2}=(2\ln 2)\cong 1.386\cln \ln \ln\ln\ln\ln\ln\ln 왼쪽 화살표\lnfrac t_{r}=pi BW}\cong {022}.BW}}}$

1단 로우패스 LR 네트워크

간단한 단 단계 1/4미만인 저역 RL네트워크 해도 10%로 90%상승 시간은 네트워크 시간 상수 τ).mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{비례한다.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}L⁄R.이 어설션의 정식 증명은 앞의 항에서 나타내는 바와 같이 진행됩니다.상승 시간의 최종 표현식의 차이는 2개의 다른 회선의 시간 상수 θ에 대한 표현식의 차이뿐입니다.이 경우, 다음의 결과가 됩니다.

$\displaystyle t_{r}=\cdot \ln 9=cdot frac {L}{R}\cdot \ln 9\cong \frac {L}{R}\cdot 2.cdot}$

감쇠된 2차 시스템의 상승 시간

Levine(1996, 페이지 158)에 따르면 제어이론에 사용되는 언더댐프 시스템의 상승시간은 일반적으로 파형이 최종값의 ^[6]0%에서 100%로 가는 시간으로 정의된다.따라서 언더댐프 2차 시스템의 상승시간은 다음과 같은 ^[21]형태를 가진다.

${\displaystyle t_{r}\cdot \mega _{0}=black {1-\zeta ^{2}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left\flac {1-\zeta ^{2}}{\zeta }}\right}$

2차 시스템의 정규화된 상승 시간에 대한 2차 근사치, 단계 응답, 0 없음:

${\displaystyle t_{r}\cdot _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12}$

여기서 θ는 감쇠비, θ는₀ 네트워크의 고유 주파수입니다.

계단식 블록의 상승 시간

각각_ri 상승 시간 t, i = 1,…,n을 가지며 스텝 응답에 오버슈트가 없는 n개의 계단식 비상호작용 블록으로 구성된 시스템을 고려합니다. 또한 첫 번째 블록의 입력 신호에는 값이_rS ^[22]t인 상승 시간이 있다고 가정합니다.그 후 출력신호는 다음과 같은 상승시간_r0 t가 된다.

${\displaystyle t_{r_}O}}=sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}^2}+\dots +t_{r_{n}^2}}^{2}}}}$

밸리에 따르면;월맨(1948년,를 대신하여 서명함. 77–78), 중심 극한 정리의 이 결과는 결과이고 월맨(1950년)에 의해 증명되었다:&.[23][24] 하지만, 그 문제의 구체적인 분석 Petitt에 의해 &, 제시된다 또한 신용 엘모어 첫번째 다소 엄격한 bas에 대한 이전의 공식을 증명하기 위해(1948년)맥 워터(1961년, §4–9,를 대신하여 서명함. 107–115)[25].이에요.^[26]

「 」를 참조해 주세요.

• 가을 시간
• 주파수 응답
• 임펄스 응답
• 스텝 응답
• 정산시간

메모들

레퍼런스