루스-허위츠 정리

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수학에서 루스-허위츠 정리는 주어진 다항식의 모든 뿌리가 왼쪽 반면에 놓여 있는지 여부를 판단하는 테스트를 한다.이 성질을 가진 다항식들을 후르비츠 안정 다항식이라고 부른다.루스-허위츠 정리는 동적 시스템과 제어 이론에서 중요한데, 이는 안정 선형 시스템의 미분 방정식의 특성 다항식이 왼쪽 반평면(음의 고유값)에 한정된 뿌리를 가지고 있기 때문이다.따라서 정리는 시스템을 풀지 않고 선형 역학 시스템이 안정적인지 여부를 판단하기 위한 시험을 제공한다.루스-허위츠 정리는 1895년에 증명되었고, 에드워드 존 루스와 아돌프 허위츠의 이름을 따서 명명되었다.

공증

f(z)는 가상 축에 뿌리가 없는 n 도(복잡한 계수를 가진)의 다항식(즉, Z = i는 가상 단위, c는 실제 숫자)이 되도록 한다.${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{0}(y)}($도 n의 다항식) 및 ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{1}(y)}($도보다 완전히 작은 0이 아닌 다항식)을 f${\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$($y${\$displaysty)$로 정의하자.$=P_{0}(y)+iP_{1}(y)},$ 각각 가상의 선에 있는 f의 실제 부분과 가상의 부분$.$

더 나아가, 다음을 가리키는 말이다.

• p 왼쪽 반면에 있는 f의 뿌리 수(승수를 고려)
• q 오른쪽 반면에 있는 f의 뿌리 수(승수를 고려)
• ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle \arg }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$( i ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \Delta \arg f(iy)}$ y가 -time에서 +time까지 실행될 때 f(iy) 인수의 변동$$;
• w(x)는 유클리드 알고리즘을 적용하여$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle P_{0}(y)}$ 및 $P$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}y)}$ ${\displaystyle P_{1}(y)}$에서 얻은 일반화된 스터름 체인의 변형 수입니다.
• ${\displaystyle I_{}^{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle I_{-\infit }^{+\infit }r}$는 실제 라인 위의 합리적인 함수 r의 Cauchy 지수다.

성명서

위에서 소개된 명언과 함께 루스-허리츠 정리에서는 다음과 같이 기술하고 있다.

${\displaystyle p-q={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=\왼쪽.{\cHB{case}+I_{-\inful }^{+\nflac {P_{0}(y)}{P_{1}(y)}{{P_{1}}}}{{{{1}}}}}{{\text}}\이상 }\[10pt]-I_{-\inflott}}}{\frac {P_{{{{1}(y)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.{P_{0}(y)}&{\text{ 짝수 학위용}\end{case}\right\}=w(+\fty )-w(-\fty).}$

예를 들어 첫 번째 평등에서 f(iy)의 변이가 양수일 때 f(z)는 그 오른쪽보다 상상의 축의 왼쪽에 더 많은 뿌리를 내릴 것이라고 결론을 내릴 수 있다.동등 p - q = w(+∞) - w(-∞)는 스투름의 정리의 복잡한 상대라고 볼 수 있다.차이점을 주목하라: 스투름의 정리에서는 왼쪽 멤버는 p + q이고 오른쪽 멤버에서 나온 w는 스투름 체인의 변형 수(w는 현재 정리에서는 일반화된 스투름 체인을 가리킨다)이다.

루스-허위츠 안정성 기준

f(z)가 hurwitz-stable ifff p -q = n이라는 것은 사소한 것이기 때문에 우리는 이 정리를 이용하여 쉽게 안정성 기준을 결정할 수 있다.따라서 w(+∞) = n, w(-∞) = 0을 부과하여 f(z) 계수에 대한 조건을 얻는다.

참조

• Routh, E.J. (1877). A Treatise on the Stability of a Given State of Motion, Particularly Steady Motion. Macmillan and co.
• Hurwitz, A. (1964). "On The Conditions Under Which An Equation Has Only Roots With Negative Real Parts". In Bellman, Richard; Kalaba, Robert E. (eds.). Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory. New York: Dover.
• Gantmacher, F. R. (2005) [1959]. Applications of the Theory of Matrices. New York: Dover. pp. 226–233. ISBN 0-486-44554-2.
• Rahman, Q. I.; Schmeisser, G. (2002). Analytic theory of polynomials. London Mathematical Society Monographs. New Series. Vol. 26. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853493-0. Zbl 1072.30006.

외부 링크

• 매스월드 입력