점성용액

수학에서 점성 해법 개념은 1980년대 초 피에르루이 라이온스와 마이클 크랜달에 의해 부분 미분 방정식(PDE)에 대한 '솔루션'이 의미하는 고전적 개념을 일반화하여 도입되었다.점성 솔루션은 동적 프로그래밍 (해밀턴-자코비-벨만 방정식), 차동 게임 (해밀턴-자코비-벨만 방정식)에서 발생하는 첫 번째 순서 방정식을 포함하여 PDE의 많은 응용에서 사용할 수 있는 자연적 솔루션 개념인 것으로 밝혀졌다.아이작스 방정식)^[1]^[2] 또는 전방 진화 문제, 그리고 확률적 최적 제어 또는 확률적 미분 게임에서 발생하는 것과 같은 2차 방정식.

고전적인 개념은 PDE였다.

F(x,u,Du,D^{2}u)=0

도메인 $x\in \Omega$ $x\in \Omega$ $x\in \Omega$ ${\displaystyle$ x $\in \Oomega}$ 에 걸쳐 $x$ ${\displaystyle$ x $},$ $u$ ${\$ $displaystyle$ $D^{2}u$ $Du$ $D^{2}u$ }, $D^{2}u$ D 2 u {\ $displaystytle$ D $^{2}u}$ 과 $D^2 u$ 같이 도메인 전체에 걸쳐 연속적이고 차별화할 수 있는 함수 u(x)를 찾을 수 있으면 해결책이 있다 $x\in \Omega$ .

스칼라 방정식이 퇴보 타원형(아래 정의)인 경우 점성용액이라는 약한 용액의 유형을 정의할 수 있다.점성 솔루션 개념 하에서는 모든 곳에 차별화될 필요가 없다. $D$ $u$ $Du$ 또는 $Du$ D $D^{2}u$ $D^{2}u$ $D^{2}u$ 중 하나가 존재하지 $D^{2}u$ 않지만 적절한 일반화된 의미로 방정식을 만족하는 점이 있을 수 있다.그 정의는 특정한 종류의 특이점만을 허용하기 때문에 그러한 존재, 고유성, 그리고 균일한 한계 하에서의 안정성은 많은 종류의 방정식을 유지한다.

정의

점성 용액의 정의를 나타내는 몇 가지 동등한 방법이 있다.사용자 안내서의 반제트를 사용한 정의 또는 플레밍 및 소너 책의^[3] II.4절을 참조하십시오.^[4]

퇴화 타원체: An equation $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ in a domain $\Omega$ is defined to be degenerate elliptic if for any two symmetric matrices $X$ and $Y$ such that $Y-X$ is positive definite, and any values of $x\in \Omega$ , $u\in \mathbb {R}$ and $p\in \mathbb {R} ^{n}$ , we have the inequality $F(x,u,p,X)\geq F(x,u,p,Y)$ . For example, $-\Delta u=0$ (where ${$ $\displaystyle \Delta }$ denotes the Laplacian) is degenerate elliptic since in this case, $F(x,u,p,X)=-{\text{trace}}(X)$ , and the trace of $X$ is the sum of its eigenvalues.모든 실제 1차 방정식은 타원형이다.

점성 침전: An upper semicontinuous function $u$ in $\Omega$ is defined to be a subsolution of the above degenerate elliptic equation in the viscosity sense if for any point $x_{0}\in \Omega$ and any $C^{2}$ function $\phi$ such that $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ and $\phi \geq u$ in a neighborhood of $x_{0}$ , we have ${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),$ $D^{2}\phi(x_{0})\leq$ 0 $}$ .

점성 초점화: A lower semicontinuous function $u$ in $\Omega$ is defined to be a supersolution of the above degenerate elliptic equation in the viscosity sense if for any point $x_{0}\in \Omega$ and any $C^{2}$ function $\phi$ $\phi$ such that $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ and $\phi \leq u$ in a neighborhood of $x_{0}$ , we have ${\displaystyle F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),$ $D^{2}\phi(x_{0})\geq$ 0 $}$ .

점성용액: 연속함수 $\Omega$ u는 $\Omega$ 으로 $F(x,u,Du,D^2 u) = 0$ pDE $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ , $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ , D $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ , D $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ , $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ 2 $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ ) = $F(x,u,Du,D^{2}u)=0$ ${\$ $displaystyle$ $F(x,u,Du,D^{$ 2}u $)=$ $0}$ 의 $\Omega$ $점성$ 솔루션이다 $.$ 점도의 의미에서의 경계 조건은 여기에서 논의되지 않았다는 점에 유의하십시오.

예

Consider the boundary value problem $u'(x) =1$ , or $F(u')= u' -1=0$ , on $(-1,1)$ with boundary conditions $u(-1)=u(1)=0$ . Then, the function $u(x)=1-|x|$ $[\displaystyle u(x)=1-$ x $}$ 은 $u(x)=1-|x|$ 점성 용액이다.

실제로 경계조건이 클래스적으로 충족되며, $|u'(x)|=1$ $|u'(x)|=1$ ( x $|u'(x)|=1$ ) $|u'(x)|=1$ = 1 ${\displaystyle u'(x) =1$ }은 $($ 는) x $x=0$ = $x=0$ $x=0$ 을(를) 제외하고 내륙에 잘 정의되어 $|u'(x)|=1$ 있다 $x=0$ Thus, it remains to show that the conditions for viscosity subsolution and viscosity supersolution hold at $x=0$ . Suppose that $\phi (x)$ is any function differentiable at $x=0$ with $\phi (0)=u(0)=1$ and $\phi (x)\geq u(x)$ $\phi (x)\geq u(x)$ near $x=0$ . From these assumptions, it follows that $\phi (x)-\phi (0)\geq - x$ . For positive $x$ , this inequality implies ${\displaystyle \$ 임 _{x\to 0^{+}}{\frac{\phi())-\phi(0)}{)}}\geq-1}, x를 위해 x/x)밖g n())=1{\displaystyle x())=1}사용하고 0{\displaystyle x>0}. 반면에 x에<0{\displaystyle x<0}, 우리는)→ 0≤ 1{\displaystyle \lim_{0^x\to 그 lim −ϕ())− ϕ(0)을 가지고 있다.{-}}{\frac{ $\phi (x)-\phi (0)}{x}}\leq 1}$ . Because $\phi$ is differentiable, the left and right limits agree and are equal to $\phi '(0)$ , and we therefore conclude that $\phi '(0) \leq 1$ , i.e., ${\displaystyle F(\phi '(0))\le$ $q 0$ 따라서 $u$ $u$ 은 $u$ 점성 하위 용액이다.Moreover, the fact that $u$ is a supersolution holds vacuously, since there is no function $\phi (x)$ differentiable at $x=0$ with $\phi (0)=u(0)=1$ and $\phi (x)\leq u(x)$ near $x=0$ $x=0$ 0 ${\displaystyle x=0$ 이는 $u$ $u$ 이(가) 점도 솔루션임을 의미한다 $u$ .

실제로 $u$ $u$ 이 $u$ (가) 이러한 문제에 대한 고유한 점도 솔루션이라는 것을 증명할 수도 있다.독특함 부분은 좀 더 정밀한 논쟁을 포함한다.

토론

솔루션

u_{\epsilon }

제품군

u_{\epsilon }

u_{\

displaystyle u_{\\epsilon }}}

u(x)=1-|x|

) =

u(x)=1-|x|

-

u(x)=1-|x|

displaystyle u(x)=1-

x

u(x)=1-|x|

이전 경계값 문제는 $f=1$ = $f=1$ ${\displaystyle f=1$ }을 $($ 를) 갖는 단일 공간 차원의 eikonal 방정식이며 $f=1$ 여기서 해결책은 도메인의 경계까지의 서명된 거리 함수로 알려져 있다.참고 또한 앞의 예에서 $F$ $F$ 기호의 중요성 $F$ 특히 경계 조건이 동일한 $-F=0$ PDE $-F=0$ - $-F=0$ = 0 $-F=0$ 에 대한 점도 용액은 $u(x)=|x|-1$ ) $u(x)=|x|-1$ = $u(x)=|x|-1$ - 1 ${\displaysty u(x)=$ x $-1$ 이것은 솔루션 $u(x)=1-|x|$ ( $u(x)=1-|x|$ ) - $u(x)=1-|x|$ 을 관찰하여 설명할 수 있다. $u(x)=1- x$ is the limiting solution of the vanishing viscosity problem $F(u')=[u']^{2}-1=\epsilon u''$ as $\epsilon$ goes to zero, while $u(x)= x -1$ is the limit solution of the vanisHing 점도 문제 − F(u′)1−[u′]2)ϵ 너 ″{\displaystyle -Fᆬ=1-[너의]^{2}=\epsilon 너"}사람은 쉽게 그런 식으로(()))ϵ -LSB- ln ⁡(벌 ⁡(1/ϵ))− ln ⁡(벌 ⁡(x/ϵ)){\displaystyle u_{\epsilon}())=\epsilon는 경우에는 \ln((1/\epsilon\cosh))-\ln((x/\epsilon\cosh)을 확인할 수 있.[5])}은 결심 및 실행을 해결하고 일고 있다.해결책은 너 쪽으로 F(u′))[u′]2− 각 ϵ 을을 위해 1)ϵ 너 ″{\displaystyle Fᆫ=[너의]^{2}-1=\epsilon 너"};0{\displaystyle \epsilon>0}. 또한, u{\displaystyle u_{\epsilon}ϵ 솔루션의 가족}hub)ϵ{\displaystyle \epsilon}1−){\displaystyle u=1-)}대anishes(그림 참조).

기본 속성

점성 용액의 세 가지 기본 특성은 존재, 고유성, 안정성이다.

용액의 고유성을 위해서는 방정식에 대한 몇 가지 추가적인 구조적 가정이 필요하다.그러나 그것은 매우 많은 종류의 퇴행 타원 방정식에 대해 보여질 수 있다.^[4]그것은 비교 원칙의 직접적인 결과물이다.비교 원칙이 가지고 있는 몇 가지 간단한 예는 다음과 같다.

$u+H(x,\nabla u)=0$ + $u+H(x,\nabla u)=0$ $u+H(x,\nabla u)=0$ , $u+H(x,\nabla u)=0$ $u+H(x,\nabla u)=0$ ) $u+H(x,\nabla u)=0$ = $u+H(x,\nabla u)=0$ ${\displaystyle u+H(x,\nabla u)=0},$ 두 변수 모두 H가 균일하게 연속된 경우 $u+H(x,\nabla u)=0$ .
(Uniformly elliptic case) $F(D^{2}u,Du,u)=0$ so that $F$ is Lipschitz with respect to all variables and for every $r\leq s$ and $X\geq Y$ , ${\displaystyl$ $\lambda >0$ $F(Y,p,s)\geq F(X,p,r)+\lambda X-Y$ } 일부 $\lambda >0$ some > $\lambda >0$ 0 ${\displaystyle \lambda >0}.$

해결책의 존재는 비교 원칙이 유지되고 경계 조건이 어떤 식으로든 시행될 수 있는 모든 경우에 있다(디리클레 경계 조건의 경우 장애물 기능을 통해).첫 번째 순서 방정식의 경우 소멸 점성법을^[6]^[2] 사용하거나 대부분의 방정식에 대해 Perron의 방법을 사용하여 얻을 수 있다.^[7]^[8]^[2]점도의 의미에서 경계조건에 대한 일반화된 개념이 있다.일반화된 경계 조건의 경계 문제에 대한 해결책은 비교 원칙이 유지될 때마다 해결 가능하다.^[4]
$∞{\$ 의 솔루션 안정성은 다음과 $L^{\infty }$ 같다. 일련의 솔루션(또는 하위 솔루션 또는 초과 솔루션)에 대한 국소적으로 균일한 한계는 솔루션(또는 서브솔루션 또는 슈퍼솔루션)이다.보다 일반적으로 점성 하위 및 초점화 개념도 반완화 한계로 보존된다.^[4]

역사

점성 해결책이라는 용어는 해밀턴-자코비 방정식과 관련하여 1983년 마이클 G. 크랜달과 피에르루이 라이온스의 작품에서 처음 나타난다.^[6]그 명칭은 사라져 가는 점성법에 의해 해결책의 존재가 얻어졌다는 사실에 의해 정당화된다.해결책의 정의는 사실 이전에 로렌스 C에 의해 주어졌었다. 1980년 ^[9]에반스그 후 1984년 크랜달, 에반스, 라이온스의 공동 작업에서 해밀턴-자코비 방정식의 점성 용액의 정의와 성질을 다듬었다.^[10]

매우 특별한 경우를 제외하고는 2차 타원 방정식이 고유한 점성 솔루션을 가질지 알 수 없었기 때문에 몇 년 동안 점성 용액에 대한 연구는 1차 방정식에 집중되었다.돌파구는 1988년 로버트 젠슨이 도입해 거의 모든 곳에 제2의 파생상품이 있는 솔루션에 대한 정규화된 근사치를 사용하여 비교원리를 입증하는 방법과 함께 나왔다(현대의 증명에서는 이것이 초-콘볼루션과 알렉산드로프 정리로 달성된다).^[11]

이후 몇 년 동안 점성 용액의 개념은 퇴화된 타원형 PDE 분석에 점점 더 보편화되었다. 안정성에 기초하여 Barles와 Souganidis는 유한 차이 체계의 융합에 대한 매우 간단하고 일반적인 증거를 얻었다.^[12]특히 루이스 카파렐리의 연구와 함께 균일하게 타원형 케이스에서 점성 용액의 추가적인 규칙성 특성을 얻었다.^[13]점성 용액은 타원형 PDE 연구의 중심 개념이 되었다.특히 점성 용액은 무한도 라플라시안의 연구에 필수적이다.^[14]

현대적 접근법에서 해결책의 존재는 Perron 방법을 통해 가장 많이 얻어진다.^[4]사라지는 점성법은 일반적으로 2차 방정식에서는 실용적이지 않다. 왜냐하면 인공 점성이 추가된다고 해서 고전적인 해결책의 존재가 보장되는 것은 아니기 때문이다.더욱이 점성 용액의 정의는 일반적으로 물리적 점성을 수반하지 않는다.그럼에도 불구하고 점성 용액의 이론은 점성 유체와 무관한 것으로 간주되기도 하지만, 무회전 유체는 해밀턴-자코비 방정식으로 설명될 수 있다.^[15]이 경우 점도는 비회전성, 비압축성 유체의 대량 점도에 해당한다.제안된 다른 명칭은 Crandall-Lions 솔루션으로, 그들의 선구자들에게 경의를 표하며, $∞{\$ L $^{\ft}}$ -취약 $L^{\infty }$ 솔루션으로, 그들의 안정성 특성을 언급하거나, 그들의 가장 특징적인 특성을 나타내는 비교 솔루션을 가리켰다.

참조

^ Dolcetta, I.; Lions, P., eds. (1995). Viscosity Solutions and Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-62910-6.
^ ^a ^b ^c Tran, Hung V. (2021). Hamilton-Jacobi Equations : Theory and Applications. Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-6511-7. OCLC 1240263322.
^ 웬델 H.Fleming, H. M. Soner, Eds, (2006), Controlled Markov Processs and Scottity Solutions.스프링거, ISBN 978-0-387-26045-7
^ ^a ^b ^c ^d ^e Crandall, Michael G.; Ishii, Hitoshi; Lions, Pierre-Louis (1992), "User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 27 (1): 1–67, arXiv:math/9207212, Bibcode:1992math......7212C, doi:10.1090/S0273-0979-1992-00266-5, ISSN 0002-9904
^ Barles, Guy (2013). "An Introduction to the Theory of Viscosity Solutions for First-Order Hamilton–Jacobi Equations and Applications". Hamilton-Jacobi Equations: Approximations, Numerical Analysis and Applications. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2074. Berlin: Springer. pp. 49–109. doi:10.1007/978-3-642-36433-4_2. ISBN 978-3-642-36432-7.
^ ^a ^b Crandall, Michael G.; Lions, Pierre-Louis (1983), "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations", Transactions of the American Mathematical Society, 277 (1): 1–42, doi:10.2307/1999343, ISSN 0002-9947, JSTOR 1999343
^ Ishii, Hitoshi (1987), "Perron's method for Hamilton-Jacobi equations", Duke Mathematical Journal, 55 (2): 369–384, doi:10.1215/S0012-7094-87-05521-9, ISSN 0012-7094
^ Ishii, Hitoshi (1989), "On uniqueness and existence of viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic PDEs", Communications on Pure and Applied Mathematics, 42 (1): 15–45, doi:10.1002/cpa.3160420103, ISSN 0010-3640
^ Evans, Lawrence C. (1980), "On solving certain nonlinear partial differential equations by accretive operator methods", Israel Journal of Mathematics, 36 (3): 225–247, doi:10.1007/BF02762047, ISSN 0021-2172
^ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C.; Lions, Pierre-Louis (1984), "Some properties of viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations", Transactions of the American Mathematical Society, 282 (2): 487–502, doi:10.2307/1999247, ISSN 0002-9947, JSTOR 1999247
^ Jensen, Robert (1988), "The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations", Archive for Rational Mechanics and Analysis, 101 (1): 1–27, Bibcode:1988ArRMA.101....1J, doi:10.1007/BF00281780, ISSN 0003-9527
^ Barles, G.; Souganidis, P. E. (1991), "Convergence of approximation schemes for fully nonlinear second order equations", Asymptotic Analysis, 4 (3): 271–283, doi:10.3233/ASY-1991-4305, ISSN 0921-7134
^ Caffarelli, Luis A.; Cabré, Xavier (1995), Fully nonlinear elliptic equations, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 43, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0437-7
^ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (2001), "Optimal Lipschitz extensions and the infinity Laplacian", Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 13 (2): 123–129, doi:10.1007/s005260000065
^ Westernacher-Schneider, John Ryan; Markakis, Charalampos; Tsao, Bing Jyun (2020). "Hamilton-Jacobi hydrodynamics of pulsating relativistic stars". Classical and Quantum Gravity. 37 (15): 155005. arXiv:1912.03701. doi:10.1088/1361-6382/ab93e9.

[1] Dolcetta, I.; Lions, P., eds. (1995). Viscosity Solutions and Applications. Berlin: Springer. ISBN 3-540-62910-6.

[:0-2] Tran, Hung V. (2021). Hamilton-Jacobi Equations : Theory and Applications. Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-6511-7. OCLC 1240263322.

[3] 웬델 H.Fleming, H. M. Soner, Eds, (2006), Controlled Markov Processs and Scottity Solutions.스프링거, ISBN 978-0-387-26045-7

[CIL-4] Crandall, Michael G.; Ishii, Hitoshi; Lions, Pierre-Louis (1992), "User's guide to viscosity solutions of second order partial differential equations", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 27 (1): 1–67, arXiv:math/9207212, Bibcode:1992math......7212C, doi:10.1090/S0273-0979-1992-00266-5, ISSN 0002-9904

[GB-5] Barles, Guy (2013). "An Introduction to the Theory of Viscosity Solutions for First-Order Hamilton–Jacobi Equations and Applications". Hamilton-Jacobi Equations: Approximations, Numerical Analysis and Applications. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 2074. Berlin: Springer. pp. 49–109. doi:10.1007/978-3-642-36433-4_2. ISBN 978-3-642-36432-7.

[CL-6] Crandall, Michael G.; Lions, Pierre-Louis (1983), "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations", Transactions of the American Mathematical Society, 277 (1): 1–42, doi:10.2307/1999343, ISSN 0002-9947, JSTOR 1999343

[I1-7] Ishii, Hitoshi (1987), "Perron's method for Hamilton-Jacobi equations", Duke Mathematical Journal, 55 (2): 369–384, doi:10.1215/S0012-7094-87-05521-9, ISSN 0012-7094

[I2-8] Ishii, Hitoshi (1989), "On uniqueness and existence of viscosity solutions of fully nonlinear second-order elliptic PDEs", Communications on Pure and Applied Mathematics, 42 (1): 15–45, doi:10.1002/cpa.3160420103, ISSN 0010-3640

[E-9] Evans, Lawrence C. (1980), "On solving certain nonlinear partial differential equations by accretive operator methods", Israel Journal of Mathematics, 36 (3): 225–247, doi:10.1007/BF02762047, ISSN 0021-2172

[CEL-10] Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C.; Lions, Pierre-Louis (1984), "Some properties of viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations", Transactions of the American Mathematical Society, 282 (2): 487–502, doi:10.2307/1999247, ISSN 0002-9947, JSTOR 1999247

[J-11] Jensen, Robert (1988), "The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial differential equations", Archive for Rational Mechanics and Analysis, 101 (1): 1–27, Bibcode:1988ArRMA.101....1J, doi:10.1007/BF00281780, ISSN 0003-9527

[BS-12] Barles, G.; Souganidis, P. E. (1991), "Convergence of approximation schemes for fully nonlinear second order equations", Asymptotic Analysis, 4 (3): 271–283, doi:10.3233/ASY-1991-4305, ISSN 0921-7134

[CC-13] Caffarelli, Luis A.; Cabré, Xavier (1995), Fully nonlinear elliptic equations, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 43, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0437-7

[CEG2001-14] Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (2001), "Optimal Lipschitz extensions and the infinity Laplacian", Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 13 (2): 123–129, doi:10.1007/s005260000065

[15] Westernacher-Schneider, John Ryan; Markakis, Charalampos; Tsao, Bing Jyun (2020). "Hamilton-Jacobi hydrodynamics of pulsating relativistic stars". Classical and Quantum Gravity. 37 (15): 155005. arXiv:1912.03701. doi:10.1088/1361-6382/ab93e9.

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