슬라이딩 모드 제어

제어 시스템에서 슬라이딩 모드 제어(SMC)는 시스템의 정상 거동의 단면을 따라 시스템을 "슬라이드"하도록 강제하는 불연속 제어 신호(또는 더 엄격하게 설정값 제어 신호)를 적용하여 비선형 시스템의 역학을 변화시키는 비선형 제어 방법이다. 국가-피드백 통제법은 시간의 연속적인 기능이 아니다. 대신, 상태 공간의 현재 위치에 따라 연속적인 구조에서 다른 구조로 전환할 수 있다. 따라서 슬라이딩 모드 제어는 가변 구조 제어 방법이다. 다중 제어 구조물은 궤적이 항상 다른 제어 구조로 인접 지역을 향해 이동하도록 설계되어 있으며, 따라서 최종 궤적이 하나의 제어 구조 내에 완전히 존재하지 않을 것이다. 대신 제어구조의 경계를 따라 미끄러진다. 이러한 경계를 따라 미끄러질 때 시스템의 움직임을 슬라이딩 모드라고^[1] 하며, 경계로 구성된 기하학적 위치를 슬라이딩(하이퍼) 표면이라고 한다. 현대적인 제어 이론의 맥락에서, SMC에 따른 시스템과 같은 가변 구조 시스템은 시스템이 모두 연속적인 상태 공간을 통해 흐르지만 다른 이산 제어 모드를 통해서도 이동하기 때문에 하이브리드 동적 시스템의 특별한 사례로 볼 수 있다.

소개

그림 1은 슬라이딩 모드 제어 하에 있는 시스템의 예시 궤적을 보여준다. 슬라이딩 표면은 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle s=0}$로 설명되며, 표면의 슬라이딩 모드는 시스템 궤적이 표면에 도달한 유한 시간 이후 시작된다. 슬라이딩 모드의 이론적 설명에서, 시스템은 슬라이딩 표면에만 국한되며 표면을 따라 슬라이딩하는 것으로 볼 필요가 있다. 그러나 슬라이딩 모드 제어의 실제 구현은 높은 빈도와 일반적으로 비결정적 스위칭 제어 신호로 시스템이 슬라이딩 표면의 좁은 동네에서 "대화"하도록 하는 이러한 이론적 거동에 가깝다. 채터링은 슬라이딩 표면 주위의 데드밴드 또는 경계 레이어 또는 기타 보상 방법을 사용하여 줄일 수 있다. 일반적으로 시스템이 비선형적이지만, $s{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle s=0}$ 표면으로$$ 제한했을 때 그림 1에서 시스템의 이상화(즉, 비채터링) 동작은 기하급수적으로 안정된 기원을 가진 LTI 시스템이다.

직관적으로 슬라이딩 모드 제어는 동적 시스템의 궤적이 제한된 슬라이딩 모드 하위 공간을 따라 미끄러지도록 하기 위해 실질적으로 무한 이득(infinite gain)을 사용한다. 이 축소된 순서 슬라이딩 모드로부터의 궤적은 바람직한 특성을 가지고 있다(예를 들어 시스템은 원하는 평형상태에서 정지할 때까지 자연스럽게 미끄러진다). 슬라이딩 모드 제어의 주요 강도는 강건성이다. 제어는 두 상태(예: "on"/"off" 또는 "forward"/"reverse") 사이의 전환처럼 간단할 수 있기 때문에, 정밀할 필요가 없으며 제어 채널로 들어가는 매개변수 변동에 민감하지 않을 것이다. 또한 제어법은 연속 함수가 아니기 때문에 슬라이딩 모드는 유한한 시간(즉, 점근거동보다 나은 시간)에 도달할 수 있다. 특정 공통 조건에서 최적성은 뱅뱅 제어의 사용이 필요하므로 슬라이딩 모드 제어는 광범위한 동적 시스템 집합에 대한 최적 제어기를 설명한다.

슬라이딩 모드 컨트롤러의 한 가지 적용은 전력 변환기를 전환하여 작동하는 전기 드라이브를 제어하는 것이다.^{[2]: "Introduction"} 이러한 변환기의 불연속 작동 모드 때문에, 불연속 슬라이딩 모드 컨트롤러는 펄스 폭 변조를 통해 또는 이산 상태만을 취할 수 있는 출력에 연속 신호를 적용하는 유사한 기법으로^{[nb 1]} 적용해야 할 수 있는 연속 컨트롤러보다 자연스러운 구현 선택이다. 슬라이딩 모드 제어는 로봇공학에서 많은 응용 프로그램을 가지고 있다. 특히 이 제어 알고리즘은 성공도가 높은 모의 거친 바다 속 무인 지대함 제어 추적에 활용돼 왔다.^[3][4]

슬라이딩 모드 제어는 제어 작용이 보다 온건한 다른 형태의 비선형 제어보다 더 주의하여 적용해야 한다. 특히 액츄에이터는 지연 및 기타 결함을 가지기 때문에 하드 슬라이딩 모드 제어 작용은 수다, 에너지 손실, 발전소 손상 및 모델링되지 않은 역학 관계를 유발할 수 있다.^{[5]: 554–556} 연속 제어 설계 방법은 이러한 문제에 취약하지 않으며 슬라이딩 모드 제어기를 모방하도록 만들 수 있다.^{[5]: 556–563}

제어 방식

다음에 설명된 비선형 동적 시스템 고려

${\dottyle {\mathbf {x}}}}}}}}=f(\mathbf {x},t)+B(\mathbf {x},t)\,\mathbf {u}(t)}$ (1)

, where

${\displaystyle \mathbf {x}(t)\triangleq {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\vdots \\x_{n-1}(t)\x_{n}(t)\mathbe} ^{n}}}}}}}}}}}}}$

n차원 상태 벡터로서

${\displaystyle \mathbf {u}(t)\triangleq {\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\\vdots \\\u_{m-1}(t)\nd{bmatrix}\in {R}^{m}}}}}$

m-차원 입력 벡터로서 상태 피드백에 사용된다. The functions ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle B:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n\times m}}$ are assumed to be continuous and sufficiently smooth so that the Picard–Lindelöf theorem can을 사용하여 $솔루션{\displaystyle \mathbf{}}$ x${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {x}(t)}$이(가) 방정식 (1)에 존재하며 고유함을 보장한다.

A common task is to design a state-feedback control law ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} (t))}$ (i.e., a mapping from current state ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ at time t to the input ${\displaystyle \mathbf {u} }$) to stabilize the dynamical system in Equation (1) around the origin $$${\displaystyle \mathbf{x}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0,\dots ,}$ 0 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {⊺}^{}}$ ${\$ $\}\}\}\}\}$즉, 관리법상 시스템이 원점에서 멀어져서 시작될 때마다 그 원점으로 돌아온다. 예를 들어 상태 벡터 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 구성 요소 x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 일부 출력이 알려진 신호(예: 바람직한 사인파 신호)에서 벗어난 차이를 나타낼 수$$ 있다. $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 컨트롤$$}}이 x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}{1}{1}을$$ 빠르게 보장할$$ 수 있는 경우ly는 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{1}=0}($으$)$로 돌아가면 출력이 원하는 사인파이를 추적한다. 슬라이딩 모드 제어에서 설계자는 시스템이 구성 공간의 하위 공간에 제약을 받는다면 시스템이 바람직하게 동작한다는 것을 안다(예: 안정된 평형을 가지고 있다). 슬라이딩 모드 제어는 시스템 궤적을 이 아공간으로 강제 이동시킨 다음 그들이 미끄러지도록 그 궤적을 고정시킨다. 이 축소된 하위 공간을 슬라이딩(하이퍼) 표면이라고 하며, 폐쇄 루프 피드백이 궤도를 따라 미끄러지도록 강제할 때 폐쇄 루프 시스템의 슬라이딩 모드라고 한다. 이 아공간을 따라 궤적은 LTI 시스템의 고유 벡터(즉, 모드)를 따라 궤도에 비유할 수 있지만, 높은 게인 피드백으로 벡터장을 주물러서 슬라이딩 모드를 시행한다. 갈라진 틈으로 굴러가는 대리석처럼 궤도는 미닫이 모드에 갇혀 있다.

슬라이딩 모드 제어 방식에는

1. 시스템 궤적이 이 다지관에 고정되었을 때 바람직한 동작을 나타내도록 초경면 또는 다지관(즉, 슬라이딩 표면)을 선택한다.
2. 시스템 궤적이 교차하고 다지관에 유지되도록 피드백 이득을 찾는다.

슬라이딩 모드 제어법은 연속성이 없기 때문에 유한한 시간(즉, 슬라이딩 표면의 안정성이 무증상보다 좋다)에 슬라이딩 모드까지 궤적을 구동할 수 있는 능력이 있다. 그러나$$ 궤적이 슬라이딩 표면에 도달하면 시스템은 슬라이딩 모드의 특성을 취한다(예: 원점 $x{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$

슬라이딩 모드 설계자는 상태 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$\sigma :\mathb {R}\{n$}\to $\mathb{R}}{m}}$을$($를) 나타내는$$ 전환$$ 함수 $function{\displaystyle }$: R ${\displaystyle {}^{}}$→ R $methbf {x}$을(를) 선택한다.

• 이 슬라이딩 표면 외부에 있는 $상태$ x ${\$에는 $\sigma {\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\neq 0}$이(가) ${\displaystyle 있다\mathbf{}}.$
• 이 슬라이딩 표면에 있는 상태는 ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$ 입니다$.$

슬라이딩 모드-제어 법은 이 거리의 표지에 근거하여 한 주에서 다른 주로 바뀐다. 따라서 슬라이딩 모드 제어는 ${\displaystyle \mathrm{stiff}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$인 슬라이딩 모드의 방향으로 항상 뻣뻣한 압력처럼 작용한다$.$ 바람직한 $x{\displaystyle \mathbf{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {x}(t)$ 궤적이 슬라이딩 표면에 접근하게 되며, 제어법이 연속되지 않기 때문에(${\displaystyle 즉\mathbf{}}$ 전환된다. 궤적이 이 표면을 가로질러 이동함에 따라), 표면은 유한한 시간에 도달한다. 궤적이 표면에 도달하면 궤적을 따라 미끄러지며 $예$를 들어 x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$ {$x} =\mathbf {0}$ 원점으로 이동할$$ 수 있다. 그래서 전환 기능은 궤도가 움직일 수 밖에 없는 일정한 높이의 윤곽을 가진 지형도와 같다.

The sliding (hyper)surface is of dimension ${\displaystyle n\times m}$ where n is the number of states in ${\displaystyle \mathbf {x} }$ and m is the number of input signals (i.e., control signals) in ${\displaystyle \mathbf {u} }$. For each control index ${\displaystyle 1\leq k\leq m}$, there is an $$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\properties 1$} 슬라이딩$$ 표면:

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} \mathb {R}^{n}:\sigma _{k}(\mathbf {x} )=0\right\}}}$ (2)

SMC 설계의 중요한 부분은 슬라이딩 모드(${\displaystyle 즉\mathbf{}}$, $\sigma {\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\$가 존재하고 시스템 궤도를 따라 도달할 수 있도록 제어법을 선택하는 것이다. 슬라이딩 모드 제어의 원칙은 적절한 제어 전략에 의해 시스템이 바람직한 특징을 보이는 슬라이딩 표면에 머물도록 시스템을 강제로 구속하는 것이다. 시스템이 슬라이딩 제어에 의해 슬라이딩 표면에 머무르도록 제한되는 경우, 시스템 역학은 방정식 (2)에서 구한 감차 시스템에 의해 제어된다.

시스템 상태 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가) $\sigma {\displaystyle (x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\$을(가) 충족하도록$$ 하려면 다음을 수행해야 한다$.$

1. 시스템이 초기 조건에서 ${\displaystyle \sigma \mathbf{}}$${\displaystyle (x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\$에 도달할 수 있는지 확인하십시오.
2. $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$에 도달하면 제어 작업은 ${\displaystyle \sigma \mathbf{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$에서 시스템을 유지할 수 있다$.$

폐쇄 루프 솔루션의 존재

제어법은 연속성이 없기 때문에 확실히 국소적으로 립슈비츠가 연속적이지 않기 때문에 폐쇄 루프 시스템에 대한 해결책의 존재와 고유성은 피카르-린델뢰프 정리로는 보장되지 않는다는 점에 유의한다. 따라서 해결책은 필리포프(Filippov)의 의미로 이해되어야 한다.^[1][6] Roughly speaking, the resulting closed-loop system moving along ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ is approximated by the smooth dynamics ${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} ;}$ however, this smooth behavior may not be truly realizable. 마찬가지로 고속 펄스 폭 변조 또는 델타 시그마 변조는 두 상태만을 가정하는 출력을 생성하지만 유효 출력은 연속적인 모션 범위를 통해 변동한다. 이러한 복잡성은 연속 제어기를 생성하는 다른 비선형 제어 설계 방법을 사용하면 피할 수 있다. 어떤 경우에는 슬라이딩 모드 제어 설계는 다른 연속 제어 설계에 의해 근사치를 구할 수 있다.^[5]

이론 기초

다음과 같은 정리들이 가변 구조 제어의 기초를 이룬다.

정리 1: 슬라이딩 모드의 존재

Lyapunov 함수 후보 고려

${\displaystyle V(\sigma(\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\sigma ^{\intercal }}(\mathbf {x} )={\frac {1}{1}}}}}\sigma(\mathbf {x}}}}{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}:{2}}:}}}}:{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ (3)

where ${\displaystyle \ {\mathord {\cdot }}\ }$ is the Euclidean norm (i.e., ${\displaystyle \ \sigma (\mathbf {x} )\ _{2}}$ is the distance away from the sliding manifold where ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$). 등식 (1)에 의해 주어진 시스템과 등식 (2)에 의해 주어진 슬라이딩 표면의 경우, 슬라이딩 모드가 존재하기에 충분한 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\intercal }} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0\qquad {\text{(i.e., }}{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0{\text{)}}}$

$\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$이(가) 주어진 표면의 한 근방에서$.$

꾸밈없이(는 스칼라 통제 같은 경우 즉, m=1{\displaystyle m=1}), σ ⊺σ ˙<>를 달성하기 위해;그래서σ{\displaystyle \sigma}과σ ˙{\displ 0}일 경우, 피드백 제어 법 u()){\displaystyle u(\mathbf{x})}에서 온 것 0{\displaystyle \sigma ^{\intercal}{\dot{\sigma}}<>입니다.aystyl$e {\dot {\probma }}$에는 반대 기호가 있다. 그것은

• ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\$$displaystyle$ $u(\mathbf {x} )}$이$($가) 양수일$$ 때$$$\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$(${\displaystyle }$${\displaystyle x\mathbf{}}$${\displaystyle }$) ${\$$dot{\$$mathbf$${x}}}$이($)$ 음수로$$ 설정된다$$.
• ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\$$displaystyle$ $u(\mathbf {x} )}$이$($가) 음수일$$ 때${\displaystyle \stackrel{}{}}\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$( x${\displaystyle }$) ${\$$dot {\$$mathma$$}}(\$mathbf {$x$$}$ )이$$(가) 양수일 때 σ($)$가 된다.

참고:

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\dot {\mathbf {x} }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}}$

따라서 피드백 제어법 $u{\displaystyle \mathbf{}(x\mathbf{}}$ )$${\$displaystyle \mathbf {u}(\mathbf {x}$ )은${\displaystyle \stackrel{}{}}\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}${\$dot{\dot${\ma$}}}$에 직접적인 영향을 미친다$$$.$

도달 가능성: 유한 시간 내에 슬라이딩 매니폴드 장착

슬라이딩 모드 $\sigma {\displaystyle (x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\$가) 유한$$ 시간에 도달하도록 하려면 $d{\displaystyle \mathrm{}}$⁡ $/${$d}$ V$/{\operatorname {d}$ t$}$을(를) 0에서 더 강하게 경계해야 한다$$. 즉, 너무 빨리 사라지면 슬라이딩 모드에 대한 매력은 점근증이 될 뿐이다. 슬라이딩 모드가 유한 시간 내에 입력되도록 하기 위해,^[7]

${\displaystyle {\frac {\d}V}{\operatorname {d}t}\leq -\mu({\sqrt{V}})^{\alpha }}}}$

여기서 > ${\displaystyle \mu >0}$ 및 < α ${\displaystyle$ 0$<\displaystyle \leq$ 1$}$은 상수다.

비교 보조정리별 설명

이 조건은 슬라이딩 모드 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ [${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle V\in [0,1$

${\displaystyle {\frac {\d}V}{\operatorname {d}t}\leq -\mu({\sqrt {V})^{\alpha }\leq -\mu {v}.}$

${\displaystyle \mathrm{V}}$ ${\displaystyle \in }$( 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle V\in (0,1]})$의 경우$,$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {V}{\frac {\properatorname {d}{\operatorname {d}{\d} t}\leq -\mu ,}$

즉, 체인 규칙($예{\displaystyle }$: W ${\displaystyle }$ W${\displaystyle }$/ ${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$ ${\$ W$$ ${\displaystyle \triangleq }$ ${\displaystyle 2V\sqrt{}}$ ${\$에 의해 다음을 의미한다.

${\displaystyle {\mathord {\underbrace {D^{+}{\Bigl (}{\mathord {\underbrace {2{\mathord {\overbrace {\sqrt {V}} ^{{}\propto \ \sigma \ _{2}}}}} _{W}}}{\Bigr )}} _{D^{+}W\,\triangleq \,{\mathord {{\text{Upper right-hand }}{\dot {W}}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu }$

여기서 $D{\displaystyle {}^{}}$+ ${\$는 ${\displaystyle 2V\sqrt{}}$ ${\$ 2${\sqrt{V}}$의 오른쪽 상단 파생상품이며 기호$$ $\propto {\displaystyle }$ ${\displaystyle \propto}$은 비례성을 나타낸다. So, by comparison to the curve ${\displaystyle z(t)=z_{0}-\mu t}$ which is represented by differential equation ${\displaystyle {\dot {z}}=-\mu }$ with initial condition ${\displaystyle z(0)=z_{0}}$, it must be the case that ${\displaysty$$le$ 2${\sqrt{V(t)}}\leq V_{0}-\mu t}$ 모든 t에 대해$$. Moreover, because ${\displaystyle {\sqrt {V}}\geq 0}$, ${\displaystyle {\sqrt {V}}}$ must reach ${\displaystyle {\sqrt {V}}=0}$ in finite time, which means that V must reach ${\displaystyle V=0}$ (i.e., the system enters the sliding mode) in finite time.^[5] $V{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$은(는) 전환함수 ${\$$mathord{\cdot }\{2}$의 유클리드 규범 ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \Vert {}_{}}$ ‖ ${\$$displaystyle \sigma}$에 비례하므로$$, 이 결과는 슬라이딩 모드에 대한 접근 속도가 0에서 확실히 경계되어야 함을 의미한다$.$

슬라이딩 모드 제어에 대한 결과

슬라이딩 모드 제어의 맥락에서, 이 조건은 다음을 의미한다.

${\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\intercal }} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\mathord {\overbrace {\ \sigma \ _{2}} ^{\sqrt {V}}}})^{\alpha }}$

여기서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \{\mathord {\cdot }\}$은(는) 유클리드 규범이다. 스위칭 함수 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$이(가) 스칼라 값으로 평가되는 경우, 충분한 조건이 된다.

${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \le }$ - -${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\${\$dot {\sigma }\$leq -$\mu \sigma ^{\alpha$ $\}\}.$

$\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha =$1}을$($를) 복용하면 스칼라 충분 조건이 된다.

${\displaystyle \sgnname {sgn}(\dot {\buffma }}}\req -\mu }$

다음 조건과 같을 겁니다

( )$≠$ ( ( ) μμ μ μ μ μ μ \ \ \ \ $\operatorname {sgn}(\dot {\sigma }}}})\qquad {\\text{\\\qquad {\\\\\\\jeqqqqqqq \ma$ \ma \$ma$ \$ma$ \mumozmozmozmozmozmozma

즉,시스템은항상 전환 표면=0{\displaystyle \sigma =0}(를)향해 이동해야 하며, 전환 움직이는 표면 쪽으로 속도 σ{\dot{\sigma}}}은(는)0이 아닌하한을 가져야 한다. So, even though ${\displaystyle \sigma }$ may become vanishingly small as ${\displaystyle \mathbf {x} }$ approaches the ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ surface, ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$ must always be bounded firmly away from zero. 이 조건을 보장하기 위해 슬라이딩 모드 컨트롤러는 ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$= 0 ${\displaystyle \sigma =0}$ 매니폴드에서$$ 불연속적으로 작동하며, 궤도가 매니폴드를 통과할 때 하나의 0이 아닌 값에서 다른 값으로 전환된다.

정리 2: 매력 영역

방정식 (1)에 의해 주어지는 시스템과 방정식 (2)에 의해 주어지는 슬라이딩 표면의 경우$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle x\mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ :${\displaystyle {}^{}\sigma }$ (${\displaystyle x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {n}} \in \mathb:\sigma(\mathbf${x}=\$mathbf$ {$0} \})$가 주어지는 하위 공간에 도달할 수 있다.

${\displaystyle \{\mathbf {x} \mathbb {R} ^{n}:\sigma ^{\intercal }(\mathbf {x} ){\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )<0\}$

That is, when initial conditions come entirely from this space, the Lyapunov function candidate ${\displaystyle V(\sigma )}$ is a Lyapunov function and ${\displaystyle \mathbf {x} }$ trajectories are sure to move toward the sliding mode surface where ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$. 더욱이 정리 1의 도달성 조건이 충족되면 슬라이딩 모드는 $V{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$이 유한$$ 시간 내에 0에서 더 강하게 경계되는 영역으로 진입하게 된다. 따라서 슬라이딩 모드 ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$= 0 ${\displaystyle \sigma =0}$은(는) 유한 시간에 달성된다.

정리 3: 슬라이딩 모션

내버려두다

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial {\mathbf {x}}}B(\mathbf {x},t)}}$

언어도단이다 즉, 시스템은 슬라이딩 모드에 더 가깝게 이동하기 위해 궤적을 이동할 수 있는 제어장치가 항상 존재하도록 하는 일종의 제어 능력을 가지고 있다. ${\displaystyle 그런\mathbf{}}$ 다음 ${\displaystyle \sigma \mathbf{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\$이(가) 있는 슬라이딩 모드가 되면$$ 시스템이 해당 슬라이딩 모드로 유지된다. 슬라이딩 모드 궤적을 따라 $\sigma {\displaystyle (x\mathbf{}}$) ${\displaystyle \sigma(\mathbf {x}$)는 일정하므로$$ 슬라이딩 모드 궤적은 미분 방정식으로 설명된다.

${\displaystyle \stackrel{}{\sigma }}$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$

$x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 평형이 이 미분 방정식에 대해 안정적이면 시스템이 슬라이딩 모드 표면을 따라 평형을 향해 미끄러진다.

슬라이딩 모드의 등가 제어 법칙은 풀어서 찾을 수 있다.

${\dottyle {\dot {\matsma }}(\mathbf {x} )=0}$

등가 제어법 ${\displaystyle u\mathbf{}(}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {u}(\mathbf {x} )$에 대해$.$ 그것은

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma}{\partial \mathbf {x}}}}}}}}{\partbf {x},t)+B(\mathbf {x},t)} ^{\dot {\\mathbf {x}=\mathbf {0}} {0}$

그래서 등가 조절은

${\displaystyle \mathbf {u} =-\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)}$

즉, 실제 제어 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) 연속되지 않더라도 $\sigma {\displaystyle (x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$이(가)가 시스템을 이 연속 제어에 의해 구동된 것처럼 작동하도록 하는$$ 슬라이딩 모드를 빠르게 전환한다.

마찬가지로, 슬라이딩 모드의 시스템 궤적은 마치

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {f(\mathbf {x} ,t)-B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)} ^{f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u}=f(\mathbf {x} ,t)\left(\mathbf {I} -B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x}{x},t)}^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x}}}}}}}$

결과 시스템이 슬라이딩 모드 미분 방정식과 일치함

${\dottyle {\dot {\mathbf {x}}(\mathbf {x})=\mathbf {0}$

, 슬라이딩 모드 표면 ${\displaystyle \sigma \mathbf{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 0 ${\$ 도달 단계로부터의 궤적 조건은 이제 위의 파생된 단순한 조건으로 감소한다. 따라서 시스템이 슬라이딩 모드를 찾는 동안 해당 기간 동안 초기 과도현상이 발생한 후 보다 간단한 ${\displaystyle \mathrm{simpler}}$= 0 ${\displaystyle {\dot{\sigma }=0}$ 조건을$$ 따르는 것으로 가정할 수 있다. 동일성 equality${\displaystyle (x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$이(가) 근사적으로만$$ 유지되는 경우에도 동일한 움직임이 근사적으로 유지된다.

이러한 이론으로부터 슬라이딩 모션이 제어 채널을 통해 시스템에 진입하는 충분히 작은 장애에 대해 불변(즉, 무감각)하다는 것을 알게 된다. 즉, ˙ ˙ 0 0 0 0 0 $^$ ^ ^ ^ $\sigma ^{\intercal }{\dot{\sigma$ $}}}}{\$이 0에서 균일하게 경계를 이루도록 조정기가 크기만 하면, 아무런 지장이 없는 것처럼 슬라이딩 모드가 유지된다. 특정 장애 및 모델 불확실성에 대한 슬라이딩 모드 제어의 비침습성 특성은 가장 매력적인 특징이며, 강건하다.

아래 예에서 논의한 바와 같이 슬라이딩 모드 제어법은 제약을 유지할 수 있다.

${\displaystyle {\dot}+x=0}$

어떤 형태의 시스템이라도 무증상적으로 안정시키기 위해서.

${\ddotyle {x}=a(t,x,{\dot{x}})+u}$

$a{\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle$ a$(\cdot )}$이(가) 유한 상한인 경우 이 경우 슬라이딩 모드는 다음과 같다.

${\displaystyle {\dot}=-x}$

(즉, $여기$서 x ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$+ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\dot{x}+x=0}).$ 즉, 시스템이 이런 식으로 제약을 받으면 단순한 안정적 선형계처럼 작용하여${\displaystyle }$($x$ ${\displaystyle x\stackrel{}{})}$)${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 0}$ $){\dot{x$}}}}{\$dot{x}}=(0,0})$ 원점에서$$ 전지구적으로 기하급수적으로 안정된 평형을 갖게 된다.

제어 설계 예제

• 단일 입력 u($$예: ${\displaystyle \mathrm{m}}$= 1 ${\displaystyle m=1})$를 사용하여 방정식 (1)에 설명된 식물을 고려하십시오. 전환 함수를 선형 조합으로 선택

${\displaystyle \mathbf {x}\mathq s_{1}x_{1}+s_{2}x_{2}+\cdots +s_{n-1}x_{n-1}x_{n1}+s_{n}x_{n}}}}}$ (4)

$여기$서 1 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$에 대한 중량 i> ${\displaystyle s_{i}>0}$은$([\backslash$$displaystyle 1\leq$ i$\leq n}).$ $슬라이딩{\displaystyle }$ 표면은 x${\displaystyle (x\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sigma(\mathbf {x} )=0}$인 심플렉스다$.$ 궤적이 이 표면을 따라 미끄러지도록 강요될 때,

$}{\dottyle {\dottyle {\\dotma }}(\mathbf {x} )=0}$

등등

${\displaystyle s_{1}{\dot {x}_{1}+s_{2}}{\dot{x}_{2}}+\cdots +s_{n-1}{\dot{x}}{n1}+s_{n}{\dot {x}_{n}=0}$

즉, 시스템이 이 시스템${\displaystyle (\mathrm{n}}$ -${\displaystyle }$1 )$${\$displaystyle(n-1)$-차원$$ 슬라이딩 모드 심플렉스(simplex)로 제약을 받기 때문에$$ 새 $시스템$은${\displaystyle }$n - ${\displaystyle 1}${\$displaystyle n-1}$의 순서가 바뀐다. 이 표면은 유리한 특성을 가질 수 있다(예: 발전소 역학이 이 표면을 따라 미끄러지도록 강요될 때 원점 $x{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ ${\$ 방정식(3)의 랴푸노프 함수의 파생형을 보면 다음과 같다.

${\dot스타일 {\v}(\sigma(\mathbf {x} )=\overbrace {\sigma(\mathbf {x})^{\text{T}}} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \mathbf {x}}}}}\overbrace {{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} ) ^{\tfrac {d}{\operatorname {d}}}}}}}}}}}}}}}}$

< ${\displaystyle {\dot {V}<0}$을를) 보장하려면 피드백 제어 법칙 $u{\displaystyle (x\mathbf{}}$ $){\displaystyle u(\mathbf {x})$를 선택해야 한다$$.

${\displaystyle {\dot{case}{\dot{\text{{}}}}}<0&{\dot{\dot{\dot{\certma}}}}}}}$

따라서 제품 < 0 ${\displaystyle \sigma{\dot{\sigma }}}$은 음수와 양의 숫자의 제품이기 때문이다. 참고:

${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\overbrace {{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}={\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {[s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}]} ^{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\underbrace {\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}} _{{\text{( i.e., an }}n\times 1{\text{ vector )}}}}$ (5)

제어법 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$을(를) 선택하여$$ 다음과 같이 하십시오.

${\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}u^{+}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )>0\\u^{-}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )<0\end{cases}}}$

, where

• ${\displaystyle u^{}}$+ (${\displaystyle {}^{}x\mathbf{}}$) ${\$$displaystyle$ $u^{+}(\mathbf {x} )}$은 방정식 (5)(예: "on" 또는 "forward"와 같이 극단적일 수 있음)을 보장한 일부 제어$($예: u $\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ˙ $˙$$$˙ {\$dot{\$$sigma}}}})$이다$.$
• ${\displaystyle u^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {}^{}x\mathbf{}}$) ${\$$displaystyle$ $u^{-}(\mathbf {x})}$은 방정식 (5)(예: "off" 또는 "reverse"와 같이 극단적일 수 있음)을 보증하는 일부 제어(예:$$u $\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$ ˙ $˙$ ˙ ${\dot{\$$sigma}}}})$이다$.$

결과궤적은 σ()))0{\displaystyle \sigma(\mathbf{x})=0}인슬라이딩 표면 쪽으로이동해야 한다. 실제 시스템이 지연되기 때문에 슬라이딩 모드 궤적은 종종 이 슬라이딩 표면을 따라 앞뒤로 재잘거린다(즉,실제 궤적은 σ()) 돌아선 0{\displaystyled\sigmaxylease \sigmainton\sigmaintegate\sigmark \sigmait \sigmainto.${x} )=0}$, 그러나 항상 탈퇴 후 슬라이딩 모드로 복귀한다.

• 다이내믹 시스템을 고려하십시오.

${\ddotyle {x}=a(t,x,{\dot{x}})+u}$

2차원 상태 공간(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{1}=x}$ 및$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$으로 표현할 수 있음

${\displaystyle {\dot{x}_{1}=x_{2}\\\\\dot{x}}}}a(t,x_{1},x_{2})+u\end{case}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{또한}}$ ${\displaystyle supp}${ ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle \cdot }$)${\displaystyle }$} ${\displaystyle \le }$ k ${\displaystyle \sup\{$ a$(\cdot$) $\}\leq$ k$}($${\displaystyle 즉}$, $displaystyle$ a$}$에 알려진 유한 상한 k가 있다고$$ 가정하십시오. 이 시스템의 경우 전환 기능을 선택하십시오.

${\displaystyle \sigma(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}}=x+{\dot{x}}}$

앞의 예에 따라 피드백 제어법 $u{\displaystyle (x\stackrel{}{},}$ x $){\dot{x}}$를 선택하여 σ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ $\sigma {\dot {\sigma$ 을(를$)$ 표시해야 한다. 여기,

${\dot스타일 {\dot {\dot{x}}}{\dot{x}}+{\dot{x}}+{\dot{x}}+{\dot{x}}}={\dot{x}}\overbrace {a(t,x,{x)+} ^{\ddot{x}}}}}$

• 언제 x+)˙<0{\displaystyle x+{\dot{)}}<0}(즉, 때 σ<0{\displaystyle \sigma<0}),σ ˙ 을을 할 0{\displaystyle{\dot{\sigma}}>0}일 경우도록 너>)˙+는(t, x, x ˙){\displaystyle u>,{\dot{)}}+a(t,x,{\dot{x}}), 제어 법}선택해야 한다.
• 그래서 너<>−)˙+는(t, x, x ˙){\displaystyle u<-{\dot{)}}+a(t,x,{\dot{x}}) 때 x+)˙>0{\displaystyle x+{\dot{)}}>0}일 경우(즉, 때 σ>0{\displaystyle \sigma>0}),σ ˙<>를 만들기 위해;0{\displaystyle{\dot{\sigma}}<0}, 제어 법 선택해야 한다.}

하지만 삼각형 불평등에 의해

${\dot스타일 {\x} + a(t,x,{\dot{x}}) \geq {\dot}+a(t,x,{\dot{x}) }$

$그리고$ $displaystyle$ a $}$에 대한 가정으로$,$

${\dottyle {\x} +k+1} {\dot {x} + a(t,x,{\dot {x}) }$

따라서 제어법을 통해 시스템이 피드백 안정화(슬라이딩 모드로 돌아가기 위해)될 수 있다.

${\displaystyle u(x,{\dot {x}})={\begin{cases} {\dot {x}} +k+1&{\text{if }}\underbrace {x+{\dot {x}}} <0,\\-\left( {\dot {x}} +k+1\right)&{\text{if }}\overbrace {x+{\dot {x}}} ^{\sigma }>0\end{cases}}}$

다음과 같이 폐쇄적인 형태로 표현할 수 있다.

${\displaystyle u(x,{\dot{x}})=-({\dot{x} +k+1)\underbrace {sgn}(\overbrace {{\dot{x}+x}^{\ma }}}}} _{{\textma(예: 테스트 }){}}}}}$

${\displaystyle traject\mathbf{}}$ ( $x{\displaystyle }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$이(가$)$ 되도록 시스템 궤적이 강제로 이동된다고 가정하면,

${\dot스타일 {\x}=-x\qquad{\text{}}.}}: }\chma(x,{\dot{x})=x+{x}=0\text{}}}}$

그래서 일단 시스템이 슬라이딩 모드에 도달하면, 시스템의 2차원 역학은 (${\displaystyle x}$, x behave${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 0${\displaystyle ,}$ $){\디스플레이$ 스타일 $($x,{\$dot${x$}}=$ (0$,0)}}}$에서 세계적으로 기하급수적으로 안정된 평형을 갖는 이 1차원 시스템과 $같이$ 동작한다$.$

자동화된 설계 솔루션

슬라이딩 모드 제어 시스템 설계에는 다양한 이론이 존재하지만, 분석적, 수치적 방법에서 부딪히는 현실적 어려움으로 인해 효율성이 높은 설계 방법론이 부족하다. 그러나 유전자 알고리즘과 같은 재사용 가능한 컴퓨팅 패러다임은 최적 설계의 '해결할 수 없는 문제'를 실질적으로 해결할 수 있는 '비결정론적 다항식 문제'로 변환하는 데 활용될 수 있다. 이로 인해 슬라이딩 모델 제어를 위한 컴퓨터 자동 설계가 수행된다.^[8]

슬라이딩 모드 관찰자

슬라이딩 모드 제어는 상태 관찰자의 설계에 사용할 수 있다. 이러한 비선형 고게인 관측자들은 유한한 시간 내에 추정기 오류 역학의 좌표를 0으로 가져올 수 있는 능력을 가지고 있다. 또한 스위치 모드 관찰자는 Kalman 필터와 유사한 매력적인 측정 노이즈 복원력을 가지고 있다.^[9][10] 단순성을 위해, 여기서는 LTI 시스템을 위해 루엔버거 관찰자의 전통적인 슬라이딩 모드 수정을 사용한다. 이러한 슬라이딩 모드 관찰자에서는 시스템이 슬라이딩 모드로 들어갈 때 관찰자 역학 순서가 하나씩 감소한다. 이 특별한 예에서, 단일 추정 상태에 대한 추정기 오차는 유한한 시간에 0으로, 그 후 다른 추정기 오차는 기하급수적으로 0으로 붕괴된다. 그러나 드라쿠노프가 처음 설명한 것처럼, 모든 추정 상태에 대한 추정 오차를 유한(임의적으로 작은) 시간에 0으로 가져오는 비선형 시스템에 대한 슬라이딩 모드 관찰자를 구축할 수 있다.^[11]

여기서 LTI 시스템을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{case}{\dot {\mathbf {x}} +B\mathbf {u} \\y={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &\nd{bmatrix}\x_{1}case}}}}}}}}$

where state vector ${\displaystyle \mathbf {x} \triangleq (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbf {u} \triangleq (u_{1},u_{2},\dots ,u_{r})\in \mathbb {R} ^{r}}$ is a vector of inputs, and output y는 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 상태$$ 벡터의 첫 번째 상태와 동일한 스칼라입니다. 내버려두다

$displaystyle A\triangleq {\begin{bmatrix}a_{11}&A_{12}\\\\\\displaystyledata.A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$

에, 어디에

• ${\$는 첫 번째 상태 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 영향을$$ 나타내는 스칼라이다$$.
• ${\displaystyle {}_{}}$mathb {R} ^{{($n-1$) 21 ∈${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1$){\$ {R} $^{($n-1$)}$는 다른 상태에$$ 대한 첫 번째 상태의 영향에 해당하는 행 벡터다.
• ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$math R ( ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$ - 1 )$×$ ( n - ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle A_{22}\in \mathb {R}$ ^{{($n-1)\time (n-1$)은 다른 상태가$$ 자신에게 미치는 영향을 나타내는 행렬이다.
• $\mathb {R} ^{1\$time $(n-1$) ${\displaystyle {12}_{}}$ ${\displaystyle {\times }^{}}$ ${\displaystyle {(n}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$) ${\$ \mathb {R} ^{1\$time$ (n-1$)$은 첫 번째 상태에 대한 다른 상태의 영향을 나타내는 열 벡터다$$.

목표는 측정 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 정보만 사용하여$$ 상태 벡터 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를) 추정하는 고게인 상태 관찰자를 설계하는 것이다$.$ 따라서 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ x ${\displaystyle \stackrel{}{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{\mathrm{}}{}_{}}$, ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ 2${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^}$ ${\displaystyle n_{}}$ )${\displaystyle {}_{}\in }$ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\hat$ {\$maat$ ${\$ma}$thbf {x} }=({\hat$ {$x}_{1},{\hat {x}_{2},\dots,{\hat {x}_{n}}\in \mathb {R} ^n}}}}$은(는) n 상태의 추정치임$$. 관찰자는 형식을 취한다.

${\displaystyle {\dot {\hat {\\mathbf {x}}}}=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}_{1}-x_{1}}}}$

where ${\displaystyle v:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ is a nonlinear function of the error between estimated state ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$ and the output ${\displaystyle y=x_{1}}$, and ${\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{n}}$ is an observer gain vector that ser전형적인 선형 루엔버거 관찰자와 유사한 목적을 가진다. 마찬가지로, 그렇게 하자.

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}$

${\displaystyle {}^{}}$서 L ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ R${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$) ${\$은 열 벡터다$$. 또한 $e{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ )${\displaystyle {}_{}\in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ {$e} =(e_{1$},$e_{2},\dots, e_{n}\in \mathb {$R$} ^{n}}}}}$을(를) 상태 추정기 오류가 되도록$$ 한다. 즉,${\displaystyle }e{\displaystyle \mathbf{}}$ = ${\displaystyle x\stackrel{}{\mathbf{}}^}$ - ${\displaystyle x\mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {e} ={\hattbf {x}}}}}{\mathbf {x$ 오류 역학은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {e} }}&={\dot {\hat {\mathbf {x} }}}-{\dot {\mathbf {x} }}\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})-A\mathbf {x} -B\mathbf {u} \\&=A({\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} )+Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A\mathbf {e} +Lv(e_{1})\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$ is the estimator error for the first state estimate. The nonlinear control law v can be designed to enforce the sliding manifold

${\displaystyle 0={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$

so that estimate ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$ tracks the real state ${\displaystyle x_{1}}$ after some finite time (i.e., ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$). Hence, the sliding mode control switching function

${\displaystyle \sigma ({\hat {x}}_{1},{\hat {x}})\triangleq e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}.}$

To attain the sliding manifold, ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$ and ${\displaystyle \sigma }$ must always have opposite signs (i.e., ${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$ for essentially all ${\displaystyle \mathbf {x} }$). However,

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {e}}_{1}=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(e_{1})=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(\sigma )}$

where ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\triangleq (e_{2},e_{3},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$ is the collection of the estimator errors for all of the unmeasured states. To ensure that ${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$, let

${\displaystyle v(\sigma )=M\operatorname {sgn} (\sigma )}$

where

${\displaystyle M>\max\{ a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2} \}.}$

That is, positive constant M must be greater than a scaled version of the maximum possible estimator errors for the system (i.e., the initial errors, which are assumed to be bounded so that M can be picked large enough; al). If M is sufficiently large, it can be assumed that the system achieves ${\displaystyle e_{1}=0}$ (i.e., ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$). Because ${\displaystyle e_{1}}$ is constant (i.e., 0) along this manifold, ${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=0}$ as well. Hence, the discontinuous control ${\displaystyle v(\sigma )}$ may be replaced with the equivalent continuous control ${\displaystyle v_{\text{eq}}}$ where

${\displaystyle 0={\dot {\sigma }}=a_{11}{\mathord {\overbrace {e_{1}} ^{{}=0}}}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-{\mathord {\overbrace {v_{\text{eq}}} ^{v(\sigma )}}}=A_{12}\mathbf {e} _{2}-v_{\text{eq}}.}$

So

${\displaystyle {\mathord {\underbrace {v_{\text{eq}}} _{\text{scalar}}}}={\mathord {\underbrace {A_{12}} _{1\times (n-1) \atop {\text{ vector}}}}}{\mathord {\underbrace {\mathbf {e} _{2}} _{(n-1)\times 1 \atop {\text{ vector}}}}}.}$

This equivalent control ${\displaystyle v_{\text{eq}}}$ represents the contribution from the other ${\displaystyle (n-1)}$ states to the trajectory of the output state ${\displaystyle x_{1}}$. In particular, the row ${\displaystyle A_{12}}$ acts like an output vector for the error subsystem

${\displaystyle {\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{2}\\{\dot {e}}_{3}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {e} }}_{2}}}}=A_{2}{\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}e_{2}\\e_{3}\\\vdots \\e_{n}\end{bmatrix}} ^{\mathbf {e} _{2}}}}+L_{2}v(e_{1})=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}v_{\text{eq}}=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}A_{12}\mathbf {e} _{2}=(A_{2}+L_{2}A_{12})\mathbf {e} _{2}.}$

So, to ensure the estimator error ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ for the unmeasured states converges to zero, the ${\displaystyle (n-1)\times 1}$ vector ${\displaystyle L_{2}}$ must be chosen so that the ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$ matrix ${\displaystyle (A_{2}+L_{2}A_{12})}$ is Hurwitz (i.e., the real part of each of its eigenvalues must be negative). Hence, provided that it is observable, this ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ system can be stabilized in exactly the same way as a typical linear state observer when ${\displaystyle A_{12}}$ is viewed as the output matrix (i.e., "C"). That is, the ${\displaystyle v_{\text{eq}}}$ equivalent control provides measurement information about the unmeasured states that can continually move their estimates asymptotically closer to them. Meanwhile, the discontinuous control ${\displaystyle v=M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x)}$ forces the estimate of the measured state to have zero error in finite time. Additionally, white zero-mean symmetric measurement noise (e.g., Gaussian noise) only affects the switching frequency of the control v, and hence the noise will have little effect on the equivalent sliding mode control ${\displaystyle v_{\text{eq}}}$. Hence, the sliding mode observer has Kalman filter–like features.^[10]

The final version of the observer is thus

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +LM\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+{\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}\\&=A_{\text{obs}}{\hat {\mathbf {x} }}+B_{\text{obs}}\mathbf {u} _{\text{obs}}\end{aligned}}}$

where

• ${\displaystyle A_{\text{obs}}\triangleq A,}$
• ${\displaystyle B_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}},}$ and
• ${\displaystyle u_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}.}$

That is, by augmenting the control vector ${\displaystyle \mathbf {u} }$ with the switching function ${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$, the sliding mode observer can be implemented as an LTI system. That is, the discontinuous signal ${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$ is viewed as a control input to the 2-input LTI system.

For simplicity, this example assumes that the sliding mode observer has access to a measurement of a single state (i.e., output ${\displaystyle y=x_{1}}$). However, a similar procedure can be used to design a sliding mode observer for a vector of weighted combinations of states (i.e., when output ${\displaystyle \mathbf {y} =C\mathbf {x} }$ uses a generic matrix C). In each case, the sliding mode will be the manifold where the estimated output ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ follows the measured output ${\displaystyle \mathbf {y} }$ with zero error (i.e., the manifold where ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq {\hat {\mathbf {y} }}-\mathbf {y} =\mathbf {0} }$).

See also

• Variable structure control
• Variable structure system
• Hybrid system
• Nonlinear control
• Robust control
• Optimal control
• Bang–bang control – Sliding mode control is often implemented as a bang–bang control. In some cases, such control is necessary for optimality.
• H-bridge – A topology that combines four switches forming the four legs of an "H". Can be used to drive a motor (or other electrical device) forward or backward when only a single supply is available. Often used in actuator in sliding-mode controlled systems.
• Switching amplifier – Uses switching-mode control to drive continuous outputs
• Delta-sigma modulation – Another (feedback) method of encoding a continuous range of values in a signal that rapidly switches between two states (i.e., a kind of specialized sliding-mode control)
• Pulse-density modulation – A generalized form of delta-sigma modulation.
• Pulse-width modulation – Another modulation scheme that produces continuous motion through discontinuous switching.

Notes

References

• Utkin, V.I. (1992). Sliding Modes in Control and Optimization. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-53516-6. {{cite book}}: External link in author= (help)
• Edwards, C.; Spurgeon, S. (1998). Sliding Mode Control: Theory and Applications. London: Taylor and Francis. ISBN 978-0-7484-0601-2.

• Shtessel, Y.; Edwards, C.; Fridman, L.; Levant, A. (2014). Sliding Mode Control and Observation. Basel: Birkhauser. ISBN 978-0-81764-8923.

• Fridman, L.; Moreno, J.; Bandyopadhyay, B.; Kamal Asif Chalanga, S.; Chalanga, S. (2020). Continuous Nested Algorithms: The Fifth Generation of Sliding Mode Controllers. In: Recent Advances in Sliding Modes: From Control to Intelligent Mechatronics, X. Yu, O. Efe (Eds.), pp. 5–35,. Studies in Systems, Decision and Control. Vol. 24. London: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-319-18290-2_2. ISBN 978-3-319-18289-6.

• Ferrara, A.; Incremona, G.P.; Cucuzzella, M. (2019). Advanced and Optimization Based Sliding Mode Control. SIAM. doi:10.1137/1.9781611975840. ISBN 978-1611975833.

Further reading

• Drakunov S.V., Utkin V.I.. (1992). "Sliding mode control in dynamic systems". International Journal of Control. 55 (4): 1029–1037. doi:10.1080/00207179208934270. hdl:10338.dmlcz/135339.
• Zinober, Alan S.I., ed. (1994). Variable Structure and Lyapunov Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Vol. 193. London: Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0033675. ISBN 978-3-540-19869-7.

• Steinberger, M.; Horn, M.; Fridman, L., eds. (2020). Variable-Structure Systems and Sliding-Mode Control. Studies in Systems, Decision and Control. Vol. 271. London: Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0033675. ISBN 978-3-030-36620-9.