리미트 사이클

수학에서, 2차원 위상 공간을 가진 동적 시스템의 연구에서, 한계주기는 시간이 무한에 가까워질 때 또는 시간이 음의 무한에 가까워질 때 적어도 하나의 다른 궤적이 그 안으로 소용돌이치는 특성을 갖는 위상 공간의 폐쇄된 궤적이다. 그러한 행동은 일부 비선형 시스템에서 나타난다. 제한 주기는 많은 실제 진동 시스템의 동작을 모형화하는 데 사용되어 왔다. 한계 주기 연구는 앙리 푸앵카레(1854–1912)에 의해 시작되었다.

정의

우리는 이 형태의 2차원 동력학적 시스템을 고려한다.

어디에 매끄러운 기능이다. 이 시스템의 궤적은 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}의 값을 갖는$$ 부드러운 함수 $x{\displaystyle }$(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle x(t)}$이며, 이$$ 미분 방정식을 만족한다. 만약 그것이 일정하지 않기 때문입니다 그러한 궤도 폐쇄(이나 정기적인)그런데 몇몇 t 0을 존재하는 기점, 때를 반환하며, 0{\displaystyle t_{0}>traj의 0}일 경우 그러한 모든 카메라에 x(t+t0)))(t){\displaystyle x(t+t_{0})=x(t)}∈ R{\displaystylet\in \mathbb{R}}. 한 궤도는 이미지라고 불린다.ectory, R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 닫힌 궤도, 즉 사이클은 닫힌 궤적의 이미지다. 리미트 사이클은 다른 궤적의 리미트 세트인 사이클이다.

특성.

요르단 곡선 정리에 의해 모든 폐쇄 궤도는 비행기를 곡선 내부와 외부의 두 영역으로 나눈다.

제한 주기와 제한 주기에 근접하는 내부 궤적을 고려할 때${\displaystyle \mathrm{,}}$ 제한 주기에 가까운 주변이 있으며$,$ 이는 근방에서 시작하는 내부의 모든 궤적이 제한 주기에 근접하는 시간 +${\displaystyle \mathrm{}}+{\displaystyle }$ ${\displaystyle +\inful$ }에$$근접하는 것이다$.$$$해당 문구는 접근하는 시간의${\displaystyle \mathrm{}}$제한 주기에 접근하는 내부 궤적과 $접근$하는 외부 궤적에 대한 궤적도 $또한$ 제한 주기에 접근하는 외부 궤적에 대한 것이다$.$

안정적이고 불안정하며 반안정적인 한계 주기

시간이 무한대에 가까워짐에 따라 주변의 모든 궤적이 한계 사이클에 접근하는 경우, 안정적이거나 매력적인 한계 사이클(Ω-limit cycle)이라고 한다. 대신, 시간이 음의 무한대에 가까워질 때 주변의 모든 궤적이 그것에 접근한다면, 그것은 불안정한 한계 사이클(α-limit 사이클)이다. 시간이 무한에 가까워질수록 한계 사이클로 소용돌이치는 이웃한 궤적이 있고, 시간이 음의 무한에 가까워질수록 그 속으로 소용돌이치는 궤적이 있다면 그것은 반안정적 한계 사이클이다. 또한 안정적이지 않거나 불안정하거나 반안정적이지 않은 한계 사이클도 있다. 예를 들어, 이웃한 궤적이 외부에서 한계 사이클에 접근할 수 있지만 한계 사이클의 내부는 다른 사이클의 가족이 접근한다(제한 사이클이 아닐 것이다).

안정적 한계 주기는 유인기의 예다. 그것들은 자생적인 진동을 암시한다: 닫힌 궤적은 시스템의 완벽한 주기적 동작을 묘사하고 있으며, 이 닫힌 궤도에서 나오는 작은 동요는 시스템이 한계주기에 고착되게 만들면서 시스템을 되돌리게 한다.

한계 주기 찾기

모든 폐쇄 궤적은 시스템 내부에 정지점, ${\displaystyle \mathrm{즉}}$ $V{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ V$'(p)=0}$을(를) 포함하는 지점 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}.$ Bendaré–Bendixson 정리는 각각 2차원 비선형 동적 s의 한계 주기의 부재나 존재를 예측한다.이스트림

문제 열기

일반적으로 한계 주기를 찾는 것은 매우 어려운 문제다. 평면에 있는 다항식 미분방정식의 한계주기 횟수는 힐베르트의 16번째 문제 제2부의 주요 대상이다. 예를 들어, $V{\displaystyle }${\$displaystyle$V}의 두 구성 요소가 두 변수의 2차 다항식인$$ 평면에$$ $시스템{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}=}$ =${\displaystyle V}$ (${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle$ x$'=V(x)}$이(가) 있는지 여부는 알 수 없으며, 예를 들어 시스템이 4회 이상 제한 주기를 가진다.

적용들

제한 주기는 자생적인 진동을 가진 시스템을 모델링하는 많은 과학적 응용에서 중요하다. 일부 예는 다음과 같다.

• 공기역학적 한계주기 진동^[1]
• 호지킨-헉슬리 모델은 뉴런의 작용 전위를 위한 모델이다.
• 셀코프 글리콜리시스 ^[2]모델이야
• 동물들의 유전자 발현, 호르몬 수치, 체온의 매일의 진동으로, 이는 순환 리듬의 일부분이다.^[3][4]
• 주변 미세환경에서 암세포의 이동은 한계주기 진동을 따른다.^[5]
• 일부 비선형 전기 회로는 원래의 Van der Pol 모델에 영감을 준 한계 사이클 진동을 나타낸다.^[6]
• 맥키-글라스 방정식에 나타나는 호흡과 조혈증의 제어.^[7]

참고 항목

• 유인기
• 쌍곡선 집합
• 주기점
• 자기역학
• 안정 다지관

참조

추가 읽기

• Steven H. Strogatz (2014). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Avalon. ISBN 9780813349114.
• M. Vidyasagar (2002). Nonlinear Systems Analysis (Second ed.). SIAM. ISBN 9780898715262.
• Philip Hartman, "일반 미분 방정식", 산업 및 응용 수학 협회, 2002.
• Witold Hurewicz, 2002년 도버의 "일반 미분방정식에 관한 연구"
• 솔로몬 렙체츠 "차등 방정식: 도버, 2005년 기하학 이론"
• Lawrence Perko, "차동방정식과 동력학적 시스템", Springer-Verlag, 2006.
• 아서 매턱, 리미트 사이클: 존재 및 비존재 기준, MIT 오픈 코스웨어 http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

외부 링크

• "limit cycle". planetmath.org. Retrieved 2019-07-06.