반지름 기준 함수

A radial basis function (RBF) is a real-valued function ${\textstyle \varphi }$ whose value depends only on the distance between the input and some fixed point, either the origin, so that ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\ \mathbf {x} \right\ )}$ , or some other fixed point ${\textstyle \mathbf {c} }$ , called a center, so that ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\ \mathbf {x} -\mathbf {c} \right\ )}$ . Any function ${\textstyle \varphi }$ that satisfies the property ${\textstyle \varphi (\$ $mathbf {x}={\hat {\barphi }}}(\왼쪽\\\mathbf {x}\오른쪽\ )$ 은 ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$ 방사형 함수다. 다른 측정 기준이 가끔 사용되기는 하지만 거리는 대개 유클리드 거리다. 그것들은 종종 모음 { $\{\varphi _{k}\}_{k}$ $\{\varphi _{k}\}_{k}$ k ${\$ 로 사용되는데, 이 $\{\varphi _{k}\}_{k}$ 컬렉션은 일부 관심 기능 공간의 기초를 형성하기 때문에 이름이 붙여졌다.

방사상 기준 함수의 합은 일반적으로 주어진 함수의 근사치에 사용된다. 이 근사 과정은 단순한 신경망으로도 해석될 수 있다; 이것은 그들이 본래 기계학습에 적용되었던 맥락으로, 1988년 David Browhead와 David Lowe에 의해,^[1]^[2] Michael J. D에서 비롯되었다. 1977년 파월의 정석 연구.^[3]^[4]^[5] RBF는 지원 벡터 분류에서도 커널로 사용된다.^[6] 이 기법은 방사상 기본 기능이 다양한 엔지니어링 애플리케이션에 적용될 정도로 효과적이고 유연성이 입증되었다.^[7]^[8]

정의

A radial function is a function ${\textstyle \varphi :[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ . When paired with a metric on a vector space ${\textstyle \ \cdot \ :V\to [0,\infty )}$ a function ${\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\ \mathbf {x} -\mathbf {c} \ )$ $}}$ 은(는) ${\textstyle \mathbf {c} }$ ${\$ 을(를) 중심으로 하는 방사형 커널이라고 하며 ${\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$ $\{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}$ { $\{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}$ $\{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}$ $\{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}$ ${\$ 에 대해 방사형 함수와 연관된 래디얼 함수가 함수라고 한다.

The kernels $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ are linearly independent (for example $\varphi (r)=r^{2}$ in $V=\mathbb {R}$ is not a radial bas함수)

커널 $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ x $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ , $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ x 2 $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ n {\ $displaystyle \varphi _$ {\ $mathbf {$ x $} _{$ 1},\ $varphi _{1},\dots,\varphi$ _{\ $mathbf{x} _{$ n}}}}는 보간행렬을 의미하는 하아공간의 기초를 형성한다 $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ .

{\displaystyle{\begin{bmatrix}\varphi()\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{1}))&, \varphi()\mathbf{x}_{2}-\mathbf{x}_{1}))&, \dots &, \varphi()\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x}_{1}))\\\varphi()\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{2}))&, \varphi()\mathbf{x}_{2}-\mathbf{x}_{2}))&, \dots &, \varphi()\mathbf{)}_{n}-\mathbf{)}. _{2}\)\\\vdots &, \vdots &\ddots &\vdots \\\varphi (\ \mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{n}\ )&\varphi (\ \mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{n}\ )&\dots &\varphi (\ \mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{n}\ )\\\end{bmatrix}},\qquad (1)}

비흡수적이다. ^[9]^[10]

예

일반적으로 사용되는 방사상 기반 함수의 유형에는 다음과 같은 것이 포함된다( ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$ ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$ x ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$ - x x ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$ {\ $textstyle$ r $=\left\x} -\mathbf {x} _{i}\$ $right$ $\}$ ${\textstyle \varepsilon }$ $}).$ 그리고 ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$ 방사상 커널의^[11] 입력을 스케일링하는 데 사용할 수 있는 형상 매개변수를 나타내기 위해 ${\textstyle \varepsilon }$ ${\textstyle \varepsilon }$ ${\textyled.$

무한 평활 RBF

이러한 방사상 기반 함수는 $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ ( $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ ) ${\displaystyle$ C $^{\inflt }(\mathb {R}$ )에서 왔으며 $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ , 형상 매개변수 $\varepsilon$ $\varepsilon }$ 을(를) 조정해야 하는 엄격히 확실한 한정된^[12] 함수다.

가우스: $\varphi (r)=e^{-(\varepsilon r)^{2}},\qquad (2)$

\varepsilon

\varepsilon

의 여러 선택 항목에 대한 가우스 함수

\varepsilon

\varepsilon

을(를) 선택할 수 있는 축척 범프 함수의 그림

다중 수량: $\varphi(r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}},\qquad (3)$

역 이차: $\varphi (r)={\dfrac {1}{1+(\varepsilon r)^{2}}},\qquad (4)$

역 다중 제곱: $\varphi (r)={\dfrac {1}{\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}},\qquad (5)$

다항성 스플라인: ${\regated}\varphi(r)&=r^{k},&k&=1,3,5,\dotsc \\\varphi(r)\\\\\varphi(r)\\\\\\barphi(r)\\\\\\\barphi1},4,6$ *이른도 다화성 스플라인용 ${\displaystyle(k=2,4,6,\dotsc )}$ , to avoid numerical problems at $r=0$ where $\ln(0)=-\infty$ , the computational implementation is often written as $\varphi (r)=r^{k-1}\ln(r^{r})$ ^{[citation needed]}.

얇은 판 스플라인(특수 다조화 스플라인): $\varphi(r)=r^{2}\ln(r),\qquad(7)$

소형으로 지원되는 RBF

이러한 RBF는 콤팩트하게 지원되므로 $1/\varepsilon$ 1 / $1/\varepsilon$ ${\displaystyle$ 1 $/\varepsilon }$ 내에서만 0이 아니므로 분화 매트릭스가 희박하다 $1/\varepsilon$

범프 함수:

{\displaystyle \varphi(r)={\precipal{pase}\exp \frac{1}{1-(\varepsilon r)^{2}}:}\light)&{\mbox{}}}}}}}}}}}{\prec.case{0&{},\mbox}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"

근사치

방사상 기본 함수는 일반적으로 폼의 함수 근사치를 쌓는 데 사용된다.

{\displaystyle y(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{Nw_{i}\,\varphi(\왼쪽\\\\\mathbf {x} -\mathbf {x}_{i}\오른쪽\ )\qquad(9)

여기서 ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ 함수 ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ ( x ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ ) ${\textstyle$ y $(\mathbf {x} )$ 는 각각 $다른$ 중심 ${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\$ 과(와) 연관되고 적절한 계수 $.$ {\ $textstyle w_{i}$ 에 의해 가중되는 N ${\displaystystyle N}$ 방사형 $N$ 함수의 합으로 표현된다 ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ . $}$ {\ $textstyle w_{i}}$ 근사 함수는 ${\textstyle w_{i}}$ ${\textstyle w_{i}}$ ${\$ 가중치에서 선형이기 때문에 선형 최소 제곱의 행렬 방법을 사용하여 ${\textstyle w_{i}}$ 를 ${\textstyle w_{i}.}$ ${\textstyle w_{i}}$ 추정할 수 있다 ${\textstyle w_{i}}$ ${\textstyle w_{i}}$

이러한 종류의 근사 체계는 컴퓨터 그래픽의 3D 재구성(예: 계층적 RBF 및 포즈 공간 변형)과 충분히 단순한 무질서한 행동을 보이는 비선형 시스템의 시계열 예측 및 제어에 특히 사용되어^{[citation needed]} 왔다.

RBF 네트워크

두 개의 비정규화된 가우스 반지름 기준 기능은 하나의 입력 차원에 있다. 기본 함수 센터는

{\textstyle x_{1}=0.75}

{\textstyle x_{1}=0.75}

=

{\textstyle x_{1}=0.75}

{\textstyle x_{1}=0.75},

{\textstyle x_{2}=3.25}

{\textstyle x_{2}=3.25}

=

{\textstyle x_{2}=3.25}

{\textstyle x_{2}=3.25}

에 위치한다

{\textstyle x_{2}=3.25}

합계

{\displaystyle y(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{Nw_{i}\,\varphi(\왼쪽\\\\\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\오른쪽\ )\qquad(10)

또한 방사상 기반 기능 네트워크라 불리는 인공신경망의 단순한 단층형식으로 해석될 수 있으며, 방사상 기반 기능은 네트워크의 활성화 기능의 역할을 담당한다. 방사상 기본 함수의 ${\textstyle N}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle N}$ 이(가) 충분히 큰 숫자의 Radial basis 함수를 사용할 경우, 콤팩트한 간격의 모든 연속 함수는 원칙적으로 이 형식의 합으로 임의의 정확도로 보간할 수 있다.

근사 ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ ( ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ ) ${\textstyle$ y $(\mathbf {x} )}$ 은(는) ${\textstyle w_{i}}$ ${\textstyle w_{i}}$ ${\$ 의 가중치에 대해 서로 다를 수 있다 ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$ ${\textstyle w_{i}}$ 따라서 무게는 신경 네트워크를 위한 표준 반복 방법을 사용하여 학습될 수 있다.

이러한 방식으로 방사상 기준 함수를 사용하면 전체 범위를 체계적으로 커버할 수 있도록 피팅 세트를 선택한 경우 합리적인 보간 접근법을 얻을 수 있다(동등 데이터 지점이 이상적이다). 그러나 방사상 기준 함수와 직교하는 다항식 항이 없으면 피팅 집합 외부의 추정치는 저조한 성능을 발휘하는 경향이 있다.^{[citation needed]}

PDE용 RBF

방사상 기본 함수는 대략적인 함수에 사용되므로 부분 미분 방정식(PDE)을 식별하고 수치적으로 해결하는 데 사용할 수 있다. 이것은 최초의 RBF 기반 수치법을 개발한 E. J. 칸사가 1990년에 처음 시행했다. 간사법이라고 하며 타원형 포아송 방정식과 선형 부속-분해 방정식을 푸는 데 사용되었다. 도메인의 $\mathbf {x}$ $\mathbf {x}$ ${\$ 지점의 함수 값은 RBF의 선형 조합에 의해 근사치된다.

u(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,\varphi (\left\ \mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\ ),\quad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}\qquad (11)

파생상품의 추정치는 다음과 같다.

{\frac {\partial ^{n}u({\textbf {x}})}{\partial x^{n}}}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,{\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}\varphi (\left\ \mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\ ),\quad \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}\qquad (12)

여기서 $N$ $N$ 은 $N$ (는) 소멸된 도메인의 $포인트$ 수, d $d$ 도메인 $d$ 치수 및 $\lambda$ $\lambda$ 차등 연산자에 $\lambda$ 의해 변경되지 않은 스칼라 계수다.^[13]

이후 방사상 기반 함수에 기초한 다른 수치 방법이 개발되었다. 일부 방법으로는 RBF-FD 방법, RBF-QR 방법^[16] 및 RBF-PUM 방법이 있다.^[14]^[15]^[17]

참고 항목

참조

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추가 읽기

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Hardy, R.L. (1990). "Theory and applications of the multiquadric-biharmonic method, 20 years of Discovery, 1968 1988". Comp. Math Applic. 19 (8/9): 163–208. doi:10.1016/0898-1221(90)90272-l.
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 3.7.1. Radial Basis Function Interpolation", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
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