모델 예측 관리

모델 예측 제어(MPC)는 일련의 제약 조건을 충족하면서 프로세스를 제어하는 데 사용되는 고급 프로세스 제어 방법입니다.1980년대부터 화학 공장이나 정유소의 공정 산업에 사용되고 있습니다.최근에는 전력 시스템 밸런싱^[1] 모델이나 전력 전자 ^[2]장치에도 사용되고 있습니다.모형 예측 제어기는 대부분의 경우 시스템 식별을 통해 얻은 선형 경험적 모형인 공정의 동적 모형에 의존합니다.MPC의 주요 장점은 현재의 타임슬롯을 최적화하는 동시에 미래의 타임슬롯을 고려할 수 있다는 것입니다.이는 유한한 시간 수평을 최적화하고 현재 시간 슬롯을 구현한 다음 반복하여 다시 최적화함으로써 달성되며, 따라서 선형 4차 조절기(LQR)와는 다릅니다.또한 MPC는 미래의 이벤트를 예상할 수 있으며 이에 따라 제어 조치를 취할 수 있습니다.PID 컨트롤러에는 이 예측 기능이 없습니다.MPC는 디지털 제어로 거의 보편적으로 구현되지만, 특별히 설계된 아날로그 회로를 ^[3]통해 응답 시간을 단축하는 연구가 있습니다.

Generalized Predictive Control(GPC; 일반화 예측 제어) 및 Dynamic Matrix Control(DMC; 동적 매트릭스 제어)은 MPC의 ^[4]전형적인 예입니다.

개요

MPC에서 사용되는 모델은 일반적으로 복잡하고 단순한 동적 시스템의 동작을 나타내기 위한 것입니다.MPC 제어 알고리즘의 추가 복잡성은 일반적으로 일반 PID 컨트롤러에 의해 잘 제어되는 단순한 시스템의 적절한 제어를 제공하기 위해 필요하지 않습니다.PID 컨트롤러에서 어려운 일반적인 동적 특성에는 큰 시간 지연 및 상위 동적 특성이 있습니다.

MPC 모형은 독립 변수의 변경으로 인해 발생할 모형화된 시스템의 종속 변수의 변화를 예측합니다.화학 공정에서 제어기에 의해 조정될 수 있는 독립 변수는 종종 규제 PID 제어기의 설정점(압력, 흐름, 온도 등) 또는 최종 제어 요소(밸브, 댐퍼 등)이다.컨트롤러가 조정할 수 없는 독립 변수는 장애로 사용됩니다.이러한 공정에서 종속 변수는 관리 목표 또는 공정 제약 조건을 나타내는 다른 측정값입니다.

MPC는 현재 플랜트 측정, 프로세스의 현재 동적 상태, MPC 모델 및 프로세스 변수 목표와 한계를 사용하여 종속 변수의 미래 변화를 계산합니다.이러한 변화는 종속 변수를 목표값에 가깝게 유지하면서 독립 변수와 종속 변수 모두에 대한 제약 조건을 충족하도록 계산됩니다.MPC는 일반적으로 구현되는 각 독립 변수의 첫 번째 변경만 전송하고 다음 변경이 필요할 때 계산을 반복합니다.

많은 실제 공정은 선형은 아니지만, 종종 작은 작동 범위에 걸쳐 거의 선형으로 간주될 수 있습니다.선형 MPC 접근법은 모델과 프로세스 간의 구조적 불일치로 인한 예측 오류를 보상하는 MPC 피드백 메커니즘과 함께 대부분의 애플리케이션에서 사용됩니다.선형 모형으로만 구성된 모형 예측 제어기에서, 선형 대수의 중첩 원리는 종속 변수의 반응을 예측하기 위해 여러 독립 변수의 변화 효과를 합산할 수 있게 한다.이는 제어 문제를 빠르고 견고한 일련의 직접 행렬 대수 계산으로 단순화합니다.

선형 모형이 실제 공정 비선형성을 나타낼 만큼 정확하지 않은 경우 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다.경우에 따라서는 선형 MPC 모형 전후에 공정 변수를 변환하여 비선형성을 줄일 수 있습니다.프로세스는 제어 애플리케이션에서 직접 비선형 모델을 사용하는 비선형 MPC로 제어할 수 있습니다.비선형 모델은 경험적 데이터 핏(예: 인공 신경망) 또는 기본 질량과 에너지 균형에 기초한 충실도 높은 동적 모델의 형태일 수 있다.비선형 모델을 선형화하여 Kalman 필터를 유도하거나 선형 MPC 모형을 지정할 수 있습니다.

El-Gherwi, Budman 및 El Kamel의 알고리즘 연구에 따르면 듀얼 모드 접근방식을 사용하면 변경되지 않은 구현과의 비교 성능을 유지하면서 온라인 계산을 크게 줄일 수 있습니다.제안된 알고리즘은 컨트롤러 ^[5]간의 정보 교환을 기반으로 N개의 볼록 최적화 문제를 병렬로 해결한다.

MPC의 배후에 있는 이론

개별 MPC 스킴

MPC는 발전소 모델의 반복적인 유한 수평 최적화에 기초하고 있습니다. $시각$ t { $displaystyle$ t $}$ 에서 $t$ 현재 플랜트 상태를 샘플링하고 (수치 최소화 알고리즘을 통해) 미래의 비교적 짧은 시간 범위에 대한 비용 최소화 제어 전략을 계산한다 $[t,t+T]$ [ $[t,t+T]$ + $[t,t+T]$ ] $[t,t+T]$ { $displaystyle [t, t+T]$ $[t,t+T]$ 。구체적으로는 온라인 또는 온 더 플라이 계산을 사용하여 궤적을 조사한다. $t+T$ t $t+T$ + $t+T$ ({ $displaystyle$ t+ $T$ 까지 비용 최소화 제어 전략을 찾아내고(오일러-라그랑주 방정식의 해법을 통해) 현재 상태에서 나오는 s.제어 전략의 첫 번째 단계만 구현한 후 발전소 상태를 다시 샘플링하고 새로운 현재 상태부터 계산을 반복하여 새로운 제어와 새로운 예측 상태 경로를 생성한다.예측 지평선은 계속 앞으로 이동하며, 이러한 이유로 MPC는 후퇴하는 지평선 제어라고도 불립니다.이 접근방식은 최적이지는 않지만 실제로는 매우 좋은 결과를 얻었습니다.오일러-라그랑주 유형 방정식의 빠른 해결 방법을 찾고, MPC의 국소 최적화의 글로벌 안정성 특성을 이해하며, 일반적으로 MPC ^[6]방법을 개선하기 위해 많은 학술 연구가 수행되었다.

MPC의 원칙

모형 예측 제어는 다음을 사용하는 다변수 제어 알고리즘입니다.

프로세스의 내부 동적 모델
후퇴하는 지평선에서의 비용 함수 J
제어 입력 u를 사용하여 비용 함수 J를 최소화하는 최적화 알고리즘

최적화를 위한 2차 비용 함수의 예는 다음과 같습니다.

J=\sum _{i=1}^{N}w_{x_{i}(r_{i}-x_{i})^2}+\sum _{i=1}w_{u_{i}{\Delta u_{i}^{2}

제약(저한/고한도)을 위반하지 않고

x_{i}

x

x_{i}

i {

display

style x

_

{

i

} :

i {

display style

i

} 제어

i

^th 변수(예: 측정된 온도)

r_{i}

r

i

r_{i}

\

displaystyle

r

_

{

i

} :

i \

displaystyle

i

} 참조

i

^th 변수(예: 필요한 온도)

u_{i}

i

\

\displaystyle

i 조작

i

^th 변수(예: 제어 밸브)

w_{x_{i}}

w_{x_{i}}

i {

display style

w _ {

x

_ {

i

}

w_{x_{i}}

} :

x_{i}

i {

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style

x

_ {

i

}의

x_{i}

중요성을 나타내는 가중치 계수

w_{u_{i}}

i

w_{u_{i}}

{

display

style

w

_ {

u

w_{u_{i}}

_ {

i

}

w_{u_{i}}

} :

u_{i}

인 큰 변화에 대한 가중계수

기타.

비선형 MPC

비선형 모델 예측 제어(NMPC)는 예측에서 비선형 시스템 모델을 사용하는 것이 특징인 모델 예측 제어의 변형입니다.선형 MPC와 마찬가지로 NMPC는 유한한 예측 지평선에서 최적의 제어 문제에 대한 반복적인 해결책을 필요로 합니다.이러한 문제는 선형 MPC에서는 볼록하지만 비선형 MPC에서는 볼록할 필요가 없습니다.이는 NMPC 안정성 이론과 수치 ^[7]해법 모두에 난제를 제기한다.

NMPC 최적 제어 문제의 수치적 해결은 일반적으로 직접 단일 사격, 직접 다중 사격 방법 또는 직접 코로케이션 ^[8]중 하나의 변형에서 뉴턴형 최적화 방식을 사용한 직접 최적 제어 방법에 기초한다.NMPC 알고리즘은 일반적으로 연속적인 최적 제어 문제가 서로 유사하다는 사실을 이용합니다.이를 통해 이전에 계산한 최적 솔루션에서 적절히 이동된 추측을 통해 뉴턴 유형의 솔루션 절차를 효율적으로 초기화할 수 있어 상당한 계산 시간을 절약할 수 있습니다.후속 문제의 유사성은 컨버전스에 대한 최적화 문제를 반복하지 않고 최신 NMPC 문제의 해결을 위해 몇 번만 반복한 후 다음 NMPC 문제(적합하게 초기화)로 넘어가는 경로 추종 알고리즘(또는 "실시간 반복")에 의해 더욱 이용됩니다.d; 예를 들어..^[9]비선형 최적화 문제에 대한 또 다른 유망한 후보는 무작위 최적화 방법을 사용하는 것입니다.최적의 솔루션은 솔루션 공간의 제약조건을 충족하는 랜덤 샘플을 생성하고 비용함수에 따라 최적의 샘플을 구함으로써 찾을 수 있습니다.^[10]

반면 국가 정비 간행물 센터 애플리케이션은 대부분 과정 및 화학 산업에 비교적 느린 샘플링 속도로 사용된 과거에 국가 정비 간행물 센터 점점 더, 제어기 하드웨어와 계산 알고리즘, 내에 발전으로., preconditioning,[11] 높은 샘플링 속도와 애플리케이션에 사용되는데, 예컨대, 자동차 산업의, 또는 적용되고 있다. 심지어.상태가 공간 내에 분산된 경우(분산 파라미터 시스템).^[12]항공우주 분야에서는 최근 NMPC를 이용하여 최적의 지형 추종/^[13]회피 궤적을 실시간으로 추적하고 있습니다.

명시적 MPC

Explicit MPC(eMPC)를 사용하면 온라인 MPC와는 대조적으로 일부 시스템의 제어 법칙을 신속하게 평가할 수 있습니다.명시적 MPC는 최적화 문제로 공식화된 MPC 제어 문제에 대한 솔루션이 오프라인에서 ^[14]사전 계산되는 파라미터 프로그래밍 기술에 기초합니다.이 오프라인 솔루션, 즉 제어 법칙은 종종 PWA(partwise affine function)의 형태를 취하기 때문에 eMPC 컨트롤러는 PWA가 일정한 상태 공간의 각 부분 집합(제어 영역)에 대한 PWA 계수와 모든 영역의 일부 매개변수 표현 계수를 저장합니다.모든 영역은 기하학적으로 선형 MPC의 볼록 폴리토프이며, 일반적으로 면의 계수에 의해 파라미터화되므로 양자화 정밀도 ^[15]분석이 필요하다.다음으로 최적의 제어작용을 얻는 것은 우선 현재 상태를 포함한 영역을 결정하고 다음으로 모든 영역에 대해 기억된 PWA 계수를 사용하여 PWA를 단순 평가하는 것으로 감소한다.지역 총수가 작을 경우 eMPC 구현에는 상당한 계산 리소스가 필요하지 않으며(온라인 MPC에 비해) 고속 ^[16]다이내믹스를 갖춘 제어 시스템에 고유하게 적합합니다.eMPC의 심각한 단점은 제어 시스템의 일부 주요 파라미터(예: 상태 수)에 대한 제어 영역의 총 수가 기하급수적으로 증가하여 제어기 메모리 요건을 극적으로 증가시키고 PWA 평가의 첫 단계, 즉 현재의 제어 영역을 계산적으로 탐색하는 것이다.비싼.

견고한 MPC

모델 예측 제어의 강력한 변형은 상태 제약 조건을 충족하는 동시에 설정된 경계 교란을 설명할 수 있다.견고한 MPC에 대한 주요 접근법 중 일부를 아래에 제시합니다.

최소 최대 MPC이 공식에서 최적화는 ^[17]장애의 가능한 모든 진화에 관해 실행된다.이것은 선형적인 강력한 제어 문제에 대한 최적의 해결책이지만 높은 계산 비용을 수반합니다.최소/최대 MPC 접근방식 뒤에 있는 기본 아이디어는 온라인 "최소" 최적화를 "최소" 문제로 수정하여 불확실성 ^[18]집합에서 가능한 모든 발전소에 대해 최대화된 목표 함수의 최악의 경우를 최소화하는 것이다.
구속 조임 MPC.여기에서 상태 구속조건은 특정 범위만큼 확대되어 궤적이 장애의 ^[19]진화 하에서 발견되는 것을 보증할 수 있다.
튜브 MPC이는 시스템의 독립적인 공칭 모델을 사용하며 피드백 컨트롤러를 사용하여 실제 상태가 공칭 ^[20]상태로 수렴되도록 합니다.상태 제약으로부터 요구되는 분리의 양은 피드백 컨트롤러와의 교란으로 인해 발생할 수 있는 모든 가능한 상태 편차의 집합인 Robust Positially Universent(RPI) 세트에 의해 결정된다.
다단계 MPC이것은 일련의 표본으로 불확실성 공간을 근사하여 시나리오 트리 공식을 사용하며, 이 접근법은 예측의 모든 시간 단계에서 측정 정보를 사용할 수 있고 모든 단계에서 결정이 다를 수 있고 영향을 상쇄하기 위한 의지 역할을 할 수 있다는 점을 고려하기 때문에 비보수적이다.불확실성을 가지고 있습니다.그러나 접근법의 단점은 불확실성의 수와 예측 ^[21]^[22]지평선에 따라 문제의 크기가 기하급수적으로 증가한다는 것이다.
튜브 확장 멀티 스테이지 MPC.이 접근방식은 다단계 MPC와 튜브 기반 MPC를 상승시킵니다.예측에서 불확실성의 ^[23]^[24]분류와 제어 법칙의 선택을 통해 최적성과 단순성 사이에서 원하는 트레이드오프를 선택할 수 있는 높은 자유도를 제공한다.

시판 MPC 소프트웨어

시판 MPC 패키지는 일반적으로 모델 식별 및 분석, 컨트롤러 설계 및 튜닝, 컨트롤러 성능 평가를 위한 도구가 포함되어 있습니다.

상업적으로 이용 가능한 패키지에 대한 조사는 Control Engineering Practice 11(2003) 733-764의 S.J. Qin과 T.A. Badgwell에 의해 제공되었습니다.

오픈 소스 코드 예시

다양한 구현이 가능한 Python 라이브러리는 다음과 같습니다.

https://github.com/AtsushiSakai/PyAdvancedControl

방어하다 주된():     # x0 - a [ 1x4 ]어레이를 정의한 후 [4x1]로 바꿉니다.     x0 = np.배열([[0.0, 0.0, 0.0, 0.0]]).T  # [x, y, v theta]     # x0 을 인쇄합니다.이것이 우리의 초기 상태입니다. [xPos, yPos, Velocity 및 각도(라디안 단위: +yPos)]     # 입력으로 커스터마이즈하여 다양한 초기 궤적이 최적화된 경로로 어떻게 수렴되는지 확인     #     인쇄물(x0)     x = x0      # 입력 정의 - [2x1] 어레이     # u - [프로세서, 스티어링_휠_레이트]     u = np.배열([[0.0, 0.0]]).T  # [a,control]     plt.수치(숫자=없음., 그림 크기=(12, 12))      최소 비용 = 100000      위해서 i 에 범위(1000):         A, B, C = 라인라이즈 카 모델(x, u, dt, lr)         스타, xstar, 비용. = 계산 입력(A, B, C, x, u)          u[0, 0] = Get List From Matrix(매트릭스)(스타.가치[0, :])[0]         u[1, 0] = 흘러가다(스타[1, 0].가치)          x = A @ x + B @ u          plt.서브플롯(3, 1, 1)         plt.줄거리.(타깃[0], 타깃[1], "xb")         plt.줄거리.(x[0], x[1], ".r")         plt.줄거리.(Get List From Matrix(매트릭스)(xstar.가치[0, :]), Get List From Matrix(매트릭스)(             xstar.가치[1, :]), -b)         plt.축.("실패")         plt.xlabel("x[m]")         plt.라벨("y[m]")         plt.격자무늬(진실의)          plt.서브플롯(3, 1, 2)         plt.클라라()         plt.줄거리.(Get List From Matrix(매트릭스)(xstar.가치[2, :]), -b)         plt.줄거리.(Get List From Matrix(매트릭스)(xstar.가치[3, :]), -r)         plt.림([-1.0, 1.0])         plt.라벨("m/s")         plt.xlabel("실패")         plt.격자무늬(진실의)          plt.서브플롯(3, 1, 3)         plt.클라라()         plt.줄거리.(Get List From Matrix(매트릭스)(스타.가치[0, :]), -r, 라벨.="a")         plt.줄거리.(Get List From Matrix(매트릭스)(스타.가치[1, :]), -b, 라벨.="b")         plt.림([-0.5, 0.5])         plt.범례()         plt.격자무늬(진실의)          # plt.dev (0.0001)          raw_input() 수          #목표확인         분리하다 = np.라이날.규범([x[0] - 타깃[0], x[1] - 타깃[1]])         한다면 분리하다 <> 0.1:             인쇄물("골')             브레이크.

MPC와 LQR 비교

모델 예측 제어와 선형 4차 규제자는 모두 최적화 비용 설정 체계가 서로 다른 최적 제어의 표현이다.

모델 예측 컨트롤러는 고정된 길이, 종종 단계적으로 가중치가 부여되는 오류 함수 세트를 검토하는 반면 선형 4차 조절기는 모든 선형 시스템 입력을 검토하여 주파수 스펙트럼 전체에 걸쳐 총 오류를 줄여 입력 주파수와 상태 오류를 교환하는 전송 함수를 제공합니다.

이러한 근본적인 차이로 인해 LQR은 글로벌 안정성 특성이 더 우수하지만 MPC는 종종 더 국소적으로 최적화되고 복잡한 성능을 갖습니다.

MPC와 LQR의 주요 차이점은 LQR이 전체 시간 창(수평)에 걸쳐 최적화되는 반면 MPC는 전체 시간 창(^[4]수평)에 걸쳐 최적화되며, MPC를 통해 새로운 솔루션이 자주 계산되는 반면 LQR은 동일한 단일(최적) 솔루션을 전체 시간 범위에 걸쳐 사용한다는 것입니다.따라서 MPC는 일반적으로 전체 수평선보다 짧은 시간 내에 최적화 문제를 해결하므로 차선의 솔루션을 얻을 수 있습니다.그러나 MPC는 선형성에 대한 가정을 하지 않기 때문에 LQR의 주요 단점인 선형 작동 지점에서 벗어나 비선형 시스템의 마이그레이션뿐만 아니라 하드 제약 조건을 처리할 수 있습니다.

즉, 안정적인 고정 지점에서 벗어나 작동하면 LQR이 약해질 수 있습니다.MPC는 이러한 고정점 사이의 경로를 표시할 수 있지만, 특히 문제 공간의 볼록성과 복잡성에 대한 생각이 무시된 경우에는 솔루션의 수렴이 보장되지 않습니다.

「」를 참조해 주세요.

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추가 정보

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Allgöwer; Zheng (2000). Nonlinear model predictive control. Progress in Systems Theory. Vol. 26. Birkhauser.
Camacho; Bordons (2004). Model predictive control. Springer Verlag.
Findeisen; Allgöwer, Biegler (2006). Assessment and Future Directions of Nonlinear Model Predictive Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Vol. 26. Springer.
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제임스 B.롤링스, 데이비드 큐메인과 모리츠 M.Diehl: "모델 예측 제어:이론, 계산, 설계' 제2판, 노브힐 출판사, LLC, ISBN 978-0975937730(2017년 10월).
Tobias Geyer: Wiley, 런던, ISBN 978-1-119-01090-6, 2016년 11월, 고출력 컨버터 및 산업용 드라이브의 모델 예측 제어

외부 링크

도입 사례Lancaster 폐수 처리장, 지각 엔지니어링의 모델 예측 제어를 통한 최적화
ACADO Toolkit - 자동 제어 및 동적 최적화를 위한 오픈 소스 Toolkit으로 선형 및 비선형 MPC 도구를 제공합니다. (C++, MATLAB 인터페이스 사용 가능)
μAO-MPC - 휴대성이 뛰어난 C코드의 임베디드 시스템상의 모델 예측 컨트롤러용으로 커스터마이즈된 코드를 생성하는 오픈 소스 소프트웨어 패키지.
GRAMPC - 그라데이션 기반의 증강 라그랑지안 방법을 이용한 임베디드 비선형 모델 예측 제어를 위한 오픈 소스 소프트웨어 프레임워크. (플레인 C 코드, 코드 생성 없음, MATLAB 인터페이스)
jMPC 도구 상자 - 선형 MPC용 오픈 소스 MATLAB 도구 상자.
초유동 극저온학(PhD Project)에 대한 NMPC 적용에 관한 연구
MATLAB 및 Python용 비선형 모델 예측 제어 도구 상자
MATLAB 및 Simulink의 모델 예측 컨트롤러 설계 및 시뮬레이션을 위한 MathWorks의 모델 예측 제어 도구 상자
펄스 스텝 모델 예측 컨트롤러 - 가상 시뮬레이터
Excel 및 MATLAB 탑재 MPC 튜토리얼 예시
GEKKO: Python 모델 예측 제어

[1] 미셸 아놀드, 괴란 안데르손입니다"불확실한 예측을 포함한 에너지 스토리지의 예측 제어 모델" https://www.pscc-central.org/uploads/tx_ethpublications/fp292.pdf

[2] Tobias Geyer: 런던, Wiley, 고출력 컨버터 및 산업용 드라이브의 예측 제어 모델 ISBN978-119-01090-6, 2016년 11월

[3] Vichik, Sergey; Borrelli, Francesco (2014). "Solving linear and quadratic programs with an analog circuit". Computers & Chemical Engineering. 70: 160–171. doi:10.1016/j.compchemeng.2014.01.011.

[wang-4] Wang, Liuping (2009). Model Predictive Control System Design and Implementation Using MATLAB®. Springer Science & Business Media. pp. xii.

[5] Al-Gherwi, Walid; Budman, Hector; Elkamel, Ali (3 July 2012). "A robust distributed model predictive control based on a dual-mode approach". Computers and Chemical Engineering. 50 (2013): 130–138. doi:10.1016/j.compchemeng.2012.11.002.

[6] Michael Nikolaou, 모델 예측 컨트롤러: 이론과 산업적 요구의 중요한 통합, 화학공학의 발전, 학술 출판, 2001, 제26권, 131-204페이지

[7] NMPC에 관한 2개의 대규모 국제 워크숍의 진행에 있어서, Jheng and Allgower(2000년)와 Findeisen, Allgöwer, Biegler(2006년)에 의해서, 최신 기술의 개요가 설명되고 있다.

[8] J.D. Hedengren; R. Asgharzadeh Shishavan; K.M. Powell; T.F. Edgar (2014). "Nonlinear modeling, estimation and predictive control in APMonitor". Computers & Chemical Engineering. 70 (5): 133–148. doi:10.1016/j.compchemeng.2014.04.013.

[9] Ohtsuka, Toshiyuki (2004). "A continuation/GMRES method for fast computation of nonlinear receding horizon control". Automatica. 40 (4): 563–574. doi:10.1016/j.automatica.2003.11.005.

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[19] Richards, A.; How, J. (2006). "Robust stable model predictive control with constraint tightening". Proceedings of the American Control Conference.

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[22] Lucia, S; Subramanian, S; Limon, D; Engell, S (2020). "Stability properties of multi-stage nonlinear model predictive control". Systems & Control Letters. 143 (9): 104743. doi:10.1016/j.sysconle.2020.104743.

[23] Subramanian, S; Lucia, S; Paulen, R; Engell, S (2021). "Tube-enhanced multi-stage model predictive control for flexible robust control of constrained linear systems". International Journal of Robust and Nonlinear Control. 31 (9): 4458–4487. arXiv:2012.14848. doi:10.1002/rnc.5486.

[24] Subramanian, S; Abdelsalam, Y; Lucia, S; Engell, S (2022). "Robust Tube-Enhanced Multi-Stage NMPC With Stability Guarantees". IEEE Control Systems Letters. 6: 1112–1117. doi:10.1109/LCSYS.2021.3089502.

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