백스텝

제어 이론에서 백스텝핑은 1990년 경 페타르 V. 코코토비치 등이^[1][2] 비선형 동적 시스템의 특별한 등급에 대한 제어 안정화를 설계하기 위해 개발한 기법이다.이러한 시스템은 다른 방법을 사용하여 안정화할 수 있는 불분명한 서브시스템에서 방사되는 서브시스템으로 구축된다.이러한 재귀적 구조 때문에 설계자는 알려진 안정화 시스템에서 설계 프로세스를 시작할 수 있으며, 각 외부 서브시스템을 점진적으로 안정화하는 새로운 컨트롤러를 "백아웃"할 수 있다.최종 외부 제어에 도달하면 프로세스가 종료된다.따라서, 이 과정은 백스텝이라고 알려져 있다.^[3]

백스텝 어프로치

백스텝 접근방식은 엄격한 피드백 형태로 시스템의 원점을 안정화하기 위한 재귀적 방법을 제공한다.즉, 형태의^[3] 시스템을 고려한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\begin{경우}{\dot{\mathbf{)}}}&=f_ᆱ(\mathbf{x})+g_ᆲ(\mathbf{x})z_{1}\\{\dot{z}}_{1}&, =f_ᆶ(\mathbf{x},z_{1})+g_ᆷ(\mathbf{x},z_{1})z_{2}\\{\dot{z}}_{2}&, =f_ᆻ(\mathbf{x},z_{1},z_{2})+g_ᆼ(\mathbf{x},z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots}_{나는}& \\{\dot{z}, =f_{나는}(\mathbf{)},z_{1},z_{2},\ldo.ts ,z_{i-1},z_{나는})+g_ᆬ(\mathbf{x},z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i-1},z_{나는})z_{i+1}\quad{\text{에}}1\leq i<, k-1\\\vdots}_{k-1}& \\{\dot{z}, =f_ᆱ(\mathbf{x},z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})+g_ᆲ(\mathbf{x},z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1})z_{k}\\{\dot{z}}_{k}&, =f_ᆶ(\mathbf{x},z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf{)},z_{1},z_{2},\dots ,z_.{k-1},z_{k})u\end{case}\end{aigned}}$

어디에,

• ${\displaystyle \mathbf{x}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$R} ^n},$ $n$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq$1$\},$
• ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle z_{}}$ i${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$ z_{k_},$z_{k}}}}}$은(는) 스칼라,
• u는 시스템에 스칼라 입력이다.
• ${\displaystyle f_{x},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}}$ vanish at the origin (i.e., ${\displaystyle f_{i}(0,0,\dots ,0)=0}$),
• ${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots ,g_{i},\ldots ,g_{k-1},g_{k}}$ are nonzero over the domain of interest (i.e., ${\displaystyle g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},\ldots ,z_{k})\neq 0}$ for ${\displaystyle 1\leq i\leq k}$).

또한 서브시스템이

${\dottyle {\mathbf {x} }}}}=f_{x}(\mathbf {x})+g_{x}(\mathbf {x}){x}(\mathbf {x} )}$

is stabilized to the origin (i.e., ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$) by some known control ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$ such that ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$. It is also assumed that a Lyapunov function ${\displaystyle V_{x}}$ for this s테이블 하위 시스템을 알 수 있다.즉, 이 x 서브시스템은 다른 방법에 의해 안정화되고 백스텝핑은 그 안정성을 주위의 $z{\displaystyle }$ ${\$ 쉘까지$$ 확장한다.

안정적인 x 서브시스템을 중심으로 한 이 엄격한 피드백 형태의 시스템에서는,

• 백스텝 설계 제어 입력 u는 상태 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 가장 즉각적인 안정화 영향을 미친다$.$
• 상태$$ $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 그 전에$$ $상태{\displaystyle {}_{}}$ z -${\displaystyle 1_{}}${\$displaystyle z_{n-1}$에 대한 안정화 제어와 같은 역할을 한다.
• 이 과정은 각 상태 ${\displaystyle z_{}}$ i ${\$가 가상의 "control" ${\displaystyle z_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$에 의해 안정화되도록$$ 계속된다$.$

백스텝핑 접근방식은$$$z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}를 사용하여 x 하위시스템의 안정화 방법을 결정한 후, 다음 상태 z ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 드라이브$$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1${\$}를 x 안정화에 필요한 제어장치로 만드는$$ 방법을 결정하는 작업을 진행한다.따라서 이 프로세스는 엄격한 피드백 폼 시스템에서 x로부터 최종 제어 u가 설계될 때까지 "뒤로" 이동한다.

반복 제어 설계 개요

1. 소형(즉, 저차) 서브시스템은 다음과 같이 주어진다.

   ${\dottyle {\mathbf {x} }}}}=f_{x}(\mathbf {x})+g_{x}(\mathbf {x}){x}(\mathbf {x} )}$

   일부 컨트롤${\displaystyle {}_{}u\mathbf{}}$ x ( x${\displaystyle }$)$${\$displaystyle u_{$x}(\$mathbf$ {x$})($여기서$$ ${\displaystyle u_{}x\mathbf{}}$(${\displaystyle 0}$ ) =$$0 {\$displaystyle u_{$x}(\$mathbf {0$}$)=0$ 즉, 이 시스템을 안정화하기$$ $위해{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$x {\$displaysty u_{x}$를 선택해야 한다.또한 이 안정적 서브시스템에 대한$$ 랴푸노프 함수 ${\displaystyle V_{}}$ x ${\$가 알려져 있다고 가정한다.백스텝은 이 서브시스템의 제어된 안정성을 더 큰 시스템으로 확장할 수 있는 방법을 제공한다.

2. 컨트롤 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$, ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x},z_{1})$이 시스템에 적합하도록 설계됨

   ${\dot {\z}_{1}=f_{1}(\mathbf {x},z_{1})+g_{1}(\mathbf {x},z_{1}u_{1}(\mathbf {x},z_{1}){1}(\mathbf {x},z_{1})$

   $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}가 원하는 ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$ 컨트롤을$$ 따르도록$$ 안정화된다.제어 설계는 증강된 Lyapunov 함수 후보를 기반으로 한다.

   ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x},z_{1}=V_{x}(\mathbf {x} )+{{1}{1}{1}{1}{1}-u_{x}(\mathbf {x} )^{2}}:$

   컨트롤 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}를 선택하여 $V{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ ${\$}을 0에서 멀리$$ 바인딩할 수 있다$$.

3. 컨트롤 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}x\mathbf{},}$ z ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x},z_{1},z_{2})$는 시스템이 설계되도록 설계됨$$

   ${\dotyle {\z}_{2}=f_{2}(\mathbf {x},z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x},z_{1},z_{2})u_{2}(\mathbf {x},z_{1},z_{2})}$

   $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개가 원하는 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1${\$} 컨트롤을$$ 따르도록$$ 안정화된다.제어 설계는 증강된 Lyapunov 함수 후보를 기반으로 한다.

   ${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x},z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x},z_{1})+{{1}{1}{1}{1}:{1}{1}:{1}{1}}}}{1}:{1}{1}}}}}}(\mathb {x},z_{1})^2}}:$

   컨트롤 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}을 선택하여 $V{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\dot{}}}_{}}$ ${\displaystyle 2_{\mathrm{}}}$ ${\$ 0에서 떨어져$$ 바운드할 수 있다$$.

4. 이 과정은 실제 u가 알려질 때까지 계속되며,
   • 리얼컨트롤 ${\displaystyle u_{}}$는 z $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 가공컨트롤 ${\displaystyle u_{}}$ -${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ u_${k-1}$에 안정시킨다$.$
   • 가공 제어 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$은(는) z ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$- 1 ${\$을 가공 제어 ${\displaystyle u_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$로 안정화시킨다$.$
   • 가공 제어 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$ ${\$ z ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$- 2 ${\$을 가공 제어 ${\displaystyle u_{}}$- ${\displaystyle 3_{}}$ ${\$로 안정화한다$.$
   • ...
   • 가공 제어 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$${\$ $u_$${$$2$}}개를 가공 ${\displaystyle {제어\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1{\$displaystyle$$u_{1$}에$$ 안정시킨다$.$
   • 가공 제어 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\$${$$1$}는 z ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle$ z_${1}$를 가공 제어 ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$에 안정시킨다$.$
   • 가공 제어 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$는 x를 원점에 안정시킨다$$.

이 프로세스는 안정성을 위해 일부 내부 서브시스템에 대한 요건에서 시작하여 각 단계에서 안정성을 유지하면서 점진적으로 시스템 밖으로 물러나기 때문에 백스텝핑이라고 알려져 있다.왜냐하면

• ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 0 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\leq$ i$\leq$ k$\},$
• ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 1 are ${\displaystyle i\le }$ k {\$displaystyle 1\leq$ i$\leq$ k$\}$에 $대해$ 0이 아니다.
• 지정된$$ 컨트롤 ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$${$$x$${\displaystyle \}}$ =${\displaystyle 0}$ $displaystyle u_{x}(\mathbf$ {$0} )=0$

then the resulting system has an equilibrium at the origin (i.e., where ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$, ${\displaystyle z_{1}=0}$, ${\displaystyle z_{2}=0}$, ..., ${\displaystyle z_{k-1}=0}$, and ${\displaystyle z_{k}=0}$) that is globally asymptotically 안정적

통합자 백스텝

일반적인 엄격한 피드백 형식 동적 시스템에 대한 백스텝 절차를 설명하기 전에, 더 작은 등급의 엄격한 피드백 형식 시스템에 대한 접근법을 논의하는 것이 편리하다.이러한 시스템은 일련의 통합자를 피드백 안정화 제어법을 사용하는 시스템의 입력에 연결하므로, 안정화 접근법을 통합자 백스텝이라고 한다.작은 수정으로 통합자 백스테이핑 접근법을 확장하여 모든 엄격한 피드백 폼 시스템을 처리할 수 있다.

단일 적분자 평형

동적 시스템을 고려하십시오.

${\displaystyle {\mathbf {x}{}}{}}}}}=f_{x}(\mathbf {x})+g_{x}(\mathbf {x}){1}\\dot {z}{1}=u_{1}={case}}}}}}}}}}}}}}}}$

(1)

여기서 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ style $\mathbf {x} \in \mathb {R} ^{$${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$$}$ 및$$ $z{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$}는 스칼라이다$$.이 시스템은 x 하위 시스템과 통합자의 계단식 연결이다(즉, 입력 u가 통합자로 들어가고, $적분{\displaystyle {}_{}}$ z ${\$}가 x 하위 시스템으로 들어간다$$).

${\displaystyle 우리}$는 f${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ ( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ $f_{x}(\mathbf {0} )=0$이라고 가정하며, 따라서 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle u_{1}=0$ ${\displaystyle x\mathbf{}}$= 0 $displaysty \mathbf {0},$\mathbf {0}, ${\displaystyle {z\_}_{}}${1}=0}, 그리고 z = ${\displaystyle 0}\},$ 그 다음에 0$}$이 있다고 가정한다.

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} })+(g_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} }))(\underbrace {0} _{z_{1}})=0+(g_{x}(\mathbf {0} ))(0)=\mathbf {0} &\quad {\text{ (i.e., }}\mathbf {x} =\mathbf {0} {\text{ is stationary)}}\{\\dot{z}_{1}=\overbrace {0} ^{u_{1}&\properties {\text{{}{{1}=0\text{{\text{은 고정되어 있음)}}}\end{case}}$

따라서 원점$({\displaystyle x\mathbf{},}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle(\mathbf {x},z_{1}=(\mathbf {0},0)}$은 시스템의 평형(즉, 정지점)이다$$.만약 그 시스템이 그 기원에 도달한다면, 그 후에도 영원히 그곳에 남아있을 것이다.

단일 통합자 백스텝

이 예에서 백스텝은 방정식 (1)의 단일 적분계통을 원점 평형 주위에 안정시키기 위해 사용된다.To be less precise, we wish to design a control law ${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$ that ensures that the states ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$ return to ${\displaystyle (\mathbf {0} ,0)}$ after the system is started from some arbitrary initial condition.

• 첫째, 가정으로 하위 시스템

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )\qquad {\text{where}}\qquad F(\mathbf {x} )\triangleq f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle u_{}}$x ( ${\displaystyle 0\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle u_{x}(\$${0} )=0}$에는 과 같은 Lyapunov V ( x)> 0 ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )$가 있다$$$.$

${\displaystyle {\dot {V}}_{x}={\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))\leq -W(\mathbf {x} )}$

여기서 $W{\displaystyle }$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$은(는) 양-확정 함수다.즉, 우리는 기존의 보다 단순한 x 서브시스템이 (Lyapunov의 의미에서는) 안정적이라는 것을 이미 보여줬다고 가정한다.대략적으로 말해서, 이러한 안정성의 개념은 다음을 의미한다.

• • $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 기능은 x 서브시스템의 "일반화된 에너지"와$$ 같다.시스템의 x 상태가 ${\displaystyle 원점}$에서 멀어질수록 에너지 V ${\displaystyle x_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x})$도 커진다.
  • By showing that over time, the energy ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} (t))}$ decays to zero, then the x states must decay toward ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$. That is, the origin ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$ will be a stable equilibrium of the system –x 상태는 시간이 증가함에 따라 지속적으로 원점에 접근할 것이다.
  • Saying that ${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$ is positive definite means that ${\displaystyle W(\mathbf {x} )>0}$ everywhere except for ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$, and ${\displaystyle W(\mathbf {0} )=0}$.
  • The statement that ${\displaystyle {\dot {V}}_{x}\leq -W(\mathbf {x} )}$ means that ${\displaystyle {\dot {V}}_{x}}$ is bounded away from zero for all points except where ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$. That is, so long as the system is not at its equilibrium원점에서, 그것의 "에너지"는 감소할 것이다.
  • 에너지는 항상 부패하기 때문에, 그 다음에는 시스템이 안정되어야 하고, 그 궤도는 기원에 접근해야 한다.

우리의 임무는 우리의 계단식${\displaystyle }$(${\displaystyle x\mathbf{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (\mathbf {x},z_{1$}) 시스템도$$ 안정되게 만드는 제어 u를 찾는 것이다.그래서 우리는 이 새로운 시스템의 새로운 랴푸노프 기능 후보를 찾아야 한다.그 후보는 컨트롤 u에 의존할 것이고, 컨트롤을 적절하게 선택함으로써 우리는 컨트롤이 모든 곳에서 부패하고 있다는 것을 확신할 수 있다.

• Next, by adding and subtracting ${\displaystyle g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$ (i.e., we don't change the system in any way because we make no net effect) to the ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$ part of the larger ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$시스템, 그것이 된다.

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}+{\mathord {\underbrace {\left(g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )-g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{0}}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

그룹을 다시 구성해서

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\mathord {\underbrace {\left(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{F(\mathbf {x} )}}}+g_{x}(\mathbf {x} )\underbrace {\left(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{z_{1}{\text{ error tracking }}u_{x}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

그래서 우리의 계단식 슈퍼시스템은 알려진 안정성의 $x{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle F\mathbf{}}$ (${\displaystyle x}$) ${\dot {\dot {\mathbf {x}}$ 서브시스템과$$ $통합자$에 의해 생성된 약간의 오류 동요를 캡슐화한다$.$

• We now can change variables from ${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$ to ${\displaystyle (\mathbf {x} ,e_{1})}$ by letting ${\displaystyle e_{1}\triangleq z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )}$. So

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=u_{1}-{\dot {u}}_{x}\end{cases}}}$

또한$$ v ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ -$u$u ${\displaystyle u_{}}$u u u u u u u u u $_{1}-{$1}-{\$dot{u}_{x}},$${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{\stackrel{}{}u}_{}}$ u $u_{1$}=$v_{$1}+{\$dot{u}}_$${x}}}}}.$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=v_{1}\end{cases}}}$

우리는 새로운 ${\displaystyle {제어\mathrm{}}_{}}$ v ${\$}를 통해 피드백을 통해 이 오류 시스템을 안정화하고자 한다$.$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}1}$ = 0$${\$displaystyle e_{1}=0}$에서 시스템을 안정화함으로써 $상태{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$은(는) $원하는{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {제어}_{}}$u x {\$displaystytype u_{x}$을 추적하여$$$$ 내부 x를 안정화한다.하위 시스템

• 기존 Lyapunov 함수 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$에서$$증강 Lyapunov 함수 후보를 정의함

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x}, e_{1})\트리앵글q V_{x}(\mathbf {x})+{\frac {1}{1}{1}^{2}}$

그렇게

${\daptystyle {\begin{igned}{\dot {V}_{1}&={\dot{V}_{x}(\mathbf {x})+{\prac{1}{1}{1}{\e}{e}}{1}\dot {e}\1}\right)\\\\\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}{\dot {e}}_{1}\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}\overbrace {v_{1}} ^{{\dot {e}}_{1}}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\dot {\mathbf {x} }} _{{\text{(i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}} ^{{\dot{V}_{x}{\text{{}}{{}{\frac {\operatorname {d}{{x}}{\operatorname {d} t}{d}{\text{}}}}}}}}{\text{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}+e_{1}v_{1}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\left((f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\right)} _{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {V}}_{x}}+e_{1}v_{1}\end{aligned}}}$

$\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x\mathbf{}}$ /${\displaystyle {}_{}\partial \mathrm{}}$ x ${\$을(를) 배포하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle {\dot {V}}_{1}=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))} ^{{}\leq -W(\mathbf {x} )}+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}\leq -W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}:{1}$

- (x)< 0 ${\displaystyle {\v}_{1}\leq -W(\mathbf {x})<0}($즉, 슈퍼시스템의 안정성을 보장하기 위해) 제어법을 선택한다.

${\displaystyle v_{1}=-{\frac {\partial V_{x}{\partial \mathbf{x}}}}}}}{}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}:{1}:{1}}}}$

> ${\displaystyle k_{1}>0}$등

${\dot {\v}_{1}=-W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}{\partial \mathbf {x}{}}{}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}{1}}\overbrace {\좌(-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf{x}}}}}}{}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}\오른쪽) ^{v_{1}}}}}}$

$e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 를 통해$$ 배포한 후

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&=-W(\mathbf {x} )+{\mathord {\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}-e_{1}{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )} ^{0}}}-k_{1}e_{1}^{2}\\&=-W(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}^{2}\leq -W(\mathbf {x} )\\&<0\end{aligned}}}$

So our candidate Lyapunov function ${\displaystyle V_{1}}$ is a true Lyapunov function, and our system is stable under this control law ${\displaystyle v_{1}}$ (which corresponds the control law ${\displaystyle u_{1}}$ because ${\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\$$도트{u}_{x}}$ .원래 좌표계의 변수를 사용하여 등가 Lyapunov 함수 사용

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x},z_{1})\트리앵글q V_{x}(\mathbf {x} )+{\mathbf {1}{1}{1}{1}:{1}{x}(\mathbf {x} )^{2}}:$

(2)

아래에서 논의한 바와 같이, 이 절차가 복수 통합자 문제에 반복적으로 적용될 때 이 랴푸노프 기능이 다시 사용될 것이다.

• 제어 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}의 선택은 궁극적으로$$ 모든 원래 상태 변수에 달려 있다.특히, 실제 피드백 안정화 관리법

${\displaystyle \underbrace {u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=v_{1}+{\dot {u}}_{x}} _{{\text{By definition of }}v_{1}}=\overbrace {-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(\underbrace {z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )} _{e_{1}})} ^{v_{1}}\,+\,\overbrace {{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(\underbrace {f_{x}(\mathbf {x}}}+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1} _{{\dot {\mathbf {x}{}}{{\mathbf {x}{d} \mathbf {x}{d}{\text{}}}}}}{\text{\text{})}}}} ^{{\dot{u}_{x}{\text{{{}}{{\frac {\d} u_{d}}{\d} t}{\text{}}}}}}}}$

(3)

x 및 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}의 상태와$$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 및$$ $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$의 기능은 시스템에서 유래한다$$.${\displaystyle u_{}}$ x ${\$ 함수 $u{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ x${\displaystyle \stackrel{}{}}$=${\displaystyle F}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$ $dot {\dot$ {\$mathbf$ {$x}}}}}=F$(\mathbf {$x} )}$ 하위 시스템에서$$ 왔다$$.게인 파라미터 1> ${\displaystyle k_{1$}>$0}$은(는) 수렴율이나 우리 시스템에 영향을 미친다.이 제어법에 따르면 우리의 시스템은 원점${\displaystyle }$(${\displaystyle x\mathbf{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle (\mathbf {x},z_{1}}=(\mathbf {0},0)}$에서 안정적이다$.$

등식 (3)의$$ $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$x$}}{1$}$이 $제어법{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ x$${\$displaystyle u_{x}}$에 의해 피드백 안정화된 하위 시스템에 연결된 통합자의 입력을 구동한다는 사실을 상기하십시오.$$$u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $u_$${}}}{xte$$}}}$은 당연히$}$가 있다$$.안정화 제어법 $u{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\dot{u}_{x}}$에 따라 통합되는 rm과 약간의 오프셋이 추가된다.다른 용어는 그러한 오프셋 및 통합자에 의해 확대되는 다른 섭동 효과를 제거하기 위해 댐핑을 제공한다.

때문에 이 시스템 피드백 1(x, z1){\displaystyle u_{1}(\mathbf{x},z_{1})}u에 의해 V랴푸 노프 기능 V1(x, z1){\displaystyle V_{1}(\mathbf{x},z_{1})}다 ˙ 1(x, z1)≤ − W())<0{\displaystyle{\dot{V}}_ᆲ(\mathbf{x},z_{1})\leq -W(안정된다.\ma$thbf {x}<0$ 다른 단일 통합자 계단식 시스템에서 상위 하위 시스템으로 사용할 수 있다.

동기 부여 예제:2-적분자 백스텝

일반 다중 통합자 사례에 대한 재귀 절차를 논의하기 전에, 2-통합자 사례에 존재하는 재귀에 대해 연구하는 것이 유익하다.즉, 동적 시스템을 고려한다.

${\displaystyle {\mathbf {x}{}}{}}}}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x})\{z}=z_{1}}\\\\dot {1}{z}=u_{2}}}}}}}}{{{ndat}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(4)

여기서 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 및$$ $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}는$$$$ 스칼라이다.이 시스템은 등식 (1)의 단일 통합자 시스템을 다른 통합자와 계단식으로 연결하는 것이다(즉, 입력 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle u_{2$}}개가 통합자를 통해 들어가고$$, 해당 통합자의 출력은 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$1{\$displaystyle u_{$1} 입력에$$ 의해 등식 (1)의 시스템에 입력한다.

let 둠으로써

• ${\displaystyle \mathbf{y}}$ ${\displaystyle \triangleq }$[ ${\displaystyle \begin{array}{c}x\mathbf{}\end{array}}$ z ${\displaystyle \begin{array}{c}{1\mathrm{}}_{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\end{array}}$ $displaystyle \mathbf {y} \triangleq {\bmatrix}\mathbf {x} \\z_{1}\end{bmatrix$
• ${\displaystyle f_{}}$( ${\displaystyle y\mathbf{}}$)${\displaystyle \triangleq [}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}f\mathbf{}{}_{}\end{array}}$x${\displaystyle \begin{array}{c}\end{array}}$)${\displaystyle \begin{array}{c}\end{array}}$+ g (${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\end{array}}$) ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\end{array}}$ 1 ${\displaystyle \begin{array}{c}{}_{}\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}]\end{array}}$ $displaystyle f_{{y}(\mathbf {y})\\q {\\\bmatrix}f$ {$x}{x}(\mathbf${x$})+g_{x}(\mathbf {x})\z\0\end{bmatrix$
• ${\displaystyle g_{y}(\mathbf {y} )\mathbq {\bmatrix}\mathbf {0}\\1\end{bmatrix}},\,}$

그런 다음 방정식 (4)의 2 통합자 시스템이 단일 통합자 시스템이 된다.

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {y} }}=f_{y}(\mathbf {y} )+g_{y}(\mathbf {y} )z_{2}&\quad {\text{( where this }}\mathbf {y} {\text{ subsystem is stabilized by }}z_{2}=u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}.\end{case}}}$

(5)

By the single-integrator procedure, the control law ${\displaystyle u_{y}(\mathbf {y} )\triangleq u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$ stabilizes the upper ${\displaystyle z_{2}}$-to-y subsystem using the Lyapunov function ${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})$$}$, 그래서 방정식 (5)은 구조적으로 방정식 (1)의 단일 통합 시스템과 동등한 새로운 단일 통합 시스템이다.${\displaystyle {따라서\mathrm{}}_{}}$ 안정화 제어 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$${\$$2$}}$개$를 찾는 데 사용된 것과 동일한 단일 통합자 절차를 사용하여 안정화 제어 u{1}를 찾을$$ 수 있다$.$

다인분자 백스텝

2 통합자의 경우, 상부 단일 통합자 하위 시스템이 안정화되어 유사하게 안정화될 수 있는 새로운 단일 통합자 시스템이 나왔다.이 재귀적 절차는 한정된 수의 통합업체를 다루도록 확장할 수 있다.이 주장은 수학적 유도를 통해 공식적으로 증명할 수 있다.여기서 안정화된 다중 통합자 시스템은 이미 안정화된 다중 통합자 서브시스템의 서브시스템으로부터 구축된다.

• 첫째, 동력학적 시스템을 고려한다.

${\dottyle {\mathbf {x}}}}}}}=f_{x}(\mathbf {x})+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}}}}}}$

스칼라 입력 ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$와 출력 $상태{\displaystyle \mathbf{}}$ x${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\\$ = $[x_{1},\ldots ,x_{n}}}}}^{\text${\text${}$$T}}\in \mathb{R} ^{n$ 그렇다고 가정한다.

• • ${\displaystyle f_{x}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ so that the zero-input (i.e., ${\displaystyle u_{x}=0}$) system is stationary at the origin ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$. In this case, the origin is called an equilibrium of the system.
  • 피드백 제어법 ${\displaystyle u_{}}$ x (${\displaystyle {}_{}x\mathbf{}}$) ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$은(는) 원점 평형상태에서 시스템을 안정시킨다$$.
  • 이 시스템에 해당하는 Lyapunov 함수는 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$에 의해 설명된다$.$

즉, 출력 상태 x가 제어법 $u{\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x\mathbf{}}$)$${x}(\$displaystyle u_{x})(\mathbf {x})$에 의해$$ 입력 ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$및 랴푸노프 함수)로 다시 공급되는 경우$,$ 단일 동요(예: 0이 아닌 초기 조건이나 급격한 교란 후) 후에)가 원점으로 돌아온다.이 서브시스템은 피드백 제어법 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$에 의해 안정화된다$.$

• 그런 다음 통합자를 연결하여 ${\displaystyle u_{}}$ x$${\$displaystyle u_{x}}$을 입력하여$$ 증강 시스템이 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystyle u_{$1}}($통합자$에 입력)$$하고 출력 상태가 x가 되도록 하십시오.그 결과 증강된 동력학적 시스템은

${\displaystyle {\mathbf {x}{}}{}}}}}=f_{x}(\mathbf {x})+g_{x}(\mathbf {x}){1}\\dot {z}{1}=u_{1}={case}}}}}}}}}}}}}}}}$

이 "캐스케이드" 시스템은 방정식 (1)의 형식과 일치하므로, 단일 통합자 백스테이핑 절차는 방정식 (3)의 안정화 제어 법칙으로 이어진다.즉, 제어법에 ${\displaystyle {따라\mathrm{}}_{}}$상태 $z{\displaystyle {}_{}}$ 1 {\$displaystyle z_{1}$및$$ x를 $입력$하면 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$1 {\$displaystyle u_{$1}

${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})}$

gain > ${\displaystyle k_{1}>0}$을를) 가진 다음, 상태$$ z ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle z_{1}=0}$ 및 $x$ =${\displaystyle }{\displaystyle 0\mathbf{}}$ {\$displaystyle \mathbf {0},$단일 동요 후$$ z $1{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$으로$$돌아간다.이 서브시스템은 피드백 제어법 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}$$에 의해 안정화되며, 등식 (2)의 해당 랴푸노프 함수는

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x},z_{1}=V_{x}(\mathbf {x} )+{{1}{1}{1}{1}{1}-u_{x}(\mathbf {x} )^{2}}:$

즉, 피드백 제어법 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}에 따라$$랴푸노프 함수 ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 1${\$}는 상태가 원점으로 돌아가면서 0으로 소멸된다$$.

• 새 통합자를 연결하여 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}을 입력하여 증강 시스템이 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: 출력$$ 상태 x를 입력하도록 하십시오$$.그 결과 증강된 동력학적 시스템은

${\displaystyle {\mathbf {x}{}}{}}}}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x})\{z}=z_{1}}\\\\dot {1}{z}=u_{2}}}}}}}}{{{ndat}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

단일 통합자 시스템과 동일함

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{1}(\mathbf {x} _{1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{1}(\mathbf {x} _{1})}z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

$x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}$$및 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 이러한 정의를 사용하여 이 시스템도 다음과 같이 표현할 수 있다$.$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

이 시스템은 방정식 (1)의 단일 적분자 구조와 일치하므로, 단일 적분자 백스텝 절차를 다시 적용할 수 있다.즉, 상태 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 그리고 x를 제어법에$$ 따라 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle u_{2$}} 입력하면 된다.

${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=-{\frac {\partial V_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}g_{1}(\mathbf {x} _{1})-k_{2}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))+{\frac {\partial u_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}(f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2})}$

으로 이득 k2>0{\displaystyle k_{2}>. 0}일 경우, 다음 주 z 1{\displaystyle z_{1}}, z2{\displaystyle z_{2}}, xz 1=0{\displaystyle z_{1}=0로 돌아갈 것이다.}, z2=0{\displaystyle z_{2}=0},)=0{\displaystyle \mathbf{)}=\mathbf{0}\,}한 페 후.rturbation. 이 서브시스템은 피드백 제어법 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$2$}}에 의해 안정화되며, 해당 랴푸노프 함수는

${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x},z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} _{1}+{1}{1}:{1}:{2}}(z_{2}-u_{1})(\mathbf {x} _{1})^{2}}:$

즉, 피드백 제어법 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$랴푸노프 함수 ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}: 상태가 원점으로 돌아가면서 0으로 소멸된다$$.

• 통합자를 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 입력에 연결하여 증강 시스템이 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 입력하고 출력 상태가 x가 되도록 하십시오$$.그 결과 증강된 동력학적 시스템은

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

단일 통합자 시스템으로 다시 통합될 수 있음

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{2}\\z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\0\\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

이전 단계에서 x$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 정의에 따르면 이 시스템도 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad{\text{\case}(Lyapunov 함수 }}{}V_{2},{\text{subsystem }}{{\textbf{x}_{2})}}\\\\dot{z}}}=u_{3}}\case}}}}}}}}}}}}}}}$

또한 $x{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 정의를 사용하여 이 시스템을 다음과 같이 표현할 수도 있다$.$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

그래서 재그룹 시스템은 방정식 (1)의 단일 적분자 구조를 가지므로, 단일 적분자 백스텝 절차를 다시 적용할 수 있다.즉, 상태 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $z_{1$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ z ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $z_{3},$$$x를 제어법에 따라$$ 입력하는 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}_{}}$

${\displaystyle u_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=-{\frac {\partial V_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}g_{2}(\mathbf {x} _{2})-k_{3}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))+{\frac {\partial u_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}(f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3})}$

으로 이득 k3>0{\displaystyle k_{3}>. 0}일 경우, 다음 주 z 1{\displaystyle z_{1}}, z2{\displaystyle z_{2}}, z3{\displaystyle z_{3}}, xz 1=0{\displaystyle z_{1}=0에} 돌아올 것이다, z2=0{\displaystyle z_{2}=0}, z3=0{\displaystyle z_{3}=0},. 그리고${\displaystyle \mathbf{x}}$= ${\displaystyle 0\mathbf{}}$ $displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$ 단일 섭동 후$$.이 서브시스템은 피드백 제어법 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 의해 안정화되며, 해당 Lyapunov 기능은 다음과 같다.

${\displaystyle V_{3}(\mathbf {x},z_{1},z_{2})=V_{2}(\mathbf {x} _{2})+{1}{1}{1}{1}{1}{1}:{2}(z_{3}-u_{2})(\mathbf {x} _{2})^{2}}$

즉, 피드백 제어법 ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 3${\$에 따라$$랴푸노프 함수 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 상태가 원점으로 돌아가면서 0으로 소멸된다$$.

• 이 프로세스는 시스템에 추가된 각 통합자에 대해 계속 진행할 수 있으며, 따라서 양식의 모든 시스템에 대해 계속 진행 가능

${\displaystyle{\begin{경우}{\dot{\mathbf{)}}}=f_ᆭ(\mathbf{x})+g_ᆮ(\mathbf{x})z_{1}&, \qquad{\text{(랴푸 노프 기능으로}}V_{x},{\text{서브 시스템}에 의해 안정되}u_{x}({\textbf{x}}){\text{)}}\\{\dot{z}}_{1}=z_{2}\\{\dot{z}}\\{\dot{z}}{\\{\dot{z}}_{k-2}=z_{k-1}\\{\dot{z}}_{k-1}=z_{k}\\ _{나는}=z_{i+1}\\\vdots _{2}=z_{3}\\\vdots.\dot{z}_{k}=u\end{case}}}$

재귀적 구조를 가지고 있다.

${\displaystyle{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\dot{\mathbf{)}}}=f_ᆴ(\mathbf{x})+g_ᆵ(\mathbf{x})z_{1}&, \qquad{\text{(랴푸 노프 기능으로}}V_{x},{\text{서브 시스템}에 의해 안정되}u_{x}({\textbf{x}}){\text{)}}\\{\dot{z}}_{1}=z_{2}\end{경우}}\\{\dot.{z}}_{2}=z_{3}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}}$

그리고 단일 통합자$({\displaystyle x\mathbf{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(\mathbf {x},z_{1})$ 서브시스템$$(즉, 입력 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}} 및$$ 출력 x)에 대한 피드백 안정화 제어 및 Lyapunov 기능을 찾아 피드백 안정화가 될 때까지 내부 서브시스템에서 반복될 수 있다.control u가 알려져 있다.반복 i에서 등가 시스템은

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i-2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf{x} _{i-1}+\overbrace {\bgin{bmatrix}\mathbf {0}\\1\end{bmatrix}^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i}&\quad{\text{\\text(Lyap).func. }{{V_{i-1},{\text{system}{}}{}u_{i-1}({\textbf{x}_{i-1}){\text{{z}}={i}={i}\case}}}}}}}에 의해 안정화된 하위 시스템$

해당 피드백 안정화 관리법은

${\displaystyle u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})=-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x}_{i-1}z_{i}}}$

gain > ${\displaystyle k_{i}>0}$과(와) 함께해당 랴푸노프 함수는

${\displaystyle V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}+{\frac {1}{1}:{2}}(z_{i}-u_{i-1})(\mathbf {x} _{i-1})^{2}}$

By this construction, the ultimate control ${\displaystyle u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})}$ (i.e., ultimate control is found at final iteration ${\displaystyle i=k}$).

따라서 이 특수 다 통합자 엄격한 피드백 형식의 시스템은 자동화될 수 있는 간단한 절차(예: 적응 제어 알고리즘의 일부로)를 사용하여 피드백이 안정화될 수 있다.

일반 백스텝

특수 엄격한 피드백 형태의 시스템은 다분히 통합된 시스템 구조와 유사한 재귀적 구조를 갖는다.마찬가지로 가장 작은 계단식 시스템을 안정시킨 다음 다음 다음 계단식 시스템으로 역스텝하여 절차를 반복함으로써 안정화된다.그러므로 단단계 절차를 개발하는 것이 중요하다; 그 절차는 다단계 사례를 다루기 위해 반복적으로 적용될 수 있다.다행히도 엄격한 피드백 형태의 기능 요건으로 인해 각 단일 단계 시스템은 단일 통합자 시스템에 피드백하여 렌더링할 수 있으며, 위에서 논의한 방법을 사용하여 단일 통합자 시스템을 안정화할 수 있다.

단단계 절차

간단한 엄격한 피드백을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})u_{1}\end{cases}}}$

(6)

어디에,

• ${\$$$$T}}\in \mathb{R} ^{n$
• ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}은$($는) 스칼라,
• 모든 x 및 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$에 대해 ${\$1$\},$ ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle g_{1}(\mathbf {x},z_{1}}\neq$ 0$\}).$

피드백 안정화 제어 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}를$$ 직접 설계하는 대신 새로운 제어 ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$나중에 설계할 예정)을 도입하고 제어법을 사용하십시오.

${\displaybf u_{1}(\mathbf {x},z_{1}={\frac {1}{1}{1}(\mathbf {x},z_{1}})\좌측(u_{a1}-f_{1}-{1}(\mathbf {x},z_{1})}$

g 1${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle g_{1}\neq$ 0$}$ 때문에 가능하다$.$ 그래서 방정식 (6)의 시스템은

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\overbrace {{\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(u_{a1}-f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\right)} ^{u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}\end{cases}}}$

로 단순화하는.

${\displaystyle {\mathbf {x}{}}{}}}}}}}}}}}+g_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x}){1}\\dot {z}{1}=u_{a1}\case}\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

이 새로운 $u{\displaystyle {}_{}}$ a ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$-to-x$$ 시스템은 방정식 (1)의 단일 통합자 계단식 시스템과 일치한다.상부 서브시스템에 대한$$ 피드백 안정화 제어법 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x\mathbf{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x})$와 랴푸노프 함수 ${\displaystyle V_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x\mathbf{}}$) ${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x}$)가 알려져 있다고 가정하면, 방정식 (3)의 피드백 안정화 제어법은 다음과 같다.

${\displaystyle u_{a1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})}$

gain > ${\displaystyle k_{1}>0}$과(와) 함께 따라서 최종 피드백 안정화 제어법은 다음과 같다.

${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})={\frac {1}{g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}}\left(\overbrace {-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})} ^{u_{a1}(\mathbf {x} ,z_{1})}\,-\,f_{1}(\mathbf {x} ,z_{1}}\오른쪽)}$

(7)

gain > ${\displaystyle k_{1}>0}$과(와) 함께등식 (2)의 해당 랴푸노프 함수는

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x},z_{1}=V_{x}(\mathbf {x} )+{{1}{1}{1}{1}{1}-u_{x}(\mathbf {x} )^{2}}:$

(8)

이 엄격한 피드백 시스템은 피드백 안정화 제어와 그에 상응하는 랴푸노프 기능을 가지고 있기 때문에, 더 큰 엄격한 피드백 시스템의 일부로서 계단식으로 처리될 수 있으며, 이 절차를 반복하여 주변의 피드백 안정화 제어장치를 찾을 수 있다.

다단계 절차

다수의 통합자 백스텝에서와 같이, 엄격한 피드백 시스템 전체를 안정화하기 위해 1단계 절차를 반복적으로 완료할 수 있다.각 단계마다

1. 가장 작은 "안정되지 않은" 단단계 엄격한 피드백 시스템은 격리된다.
2. 피드백은 시스템을 단일 통합 시스템으로 변환하는 데 사용된다.
3. 결과적인 단일 통합체계가 안정화된다.
4. 안정화된 시스템은 다음 단계에서 상부 시스템으로 사용된다.

즉, 어떤 엄격한 피드백 시스템도

${\displaystyle{\begin{경우}{\dot{\mathbf{)}}}=f_ᆰ(\mathbf{x})+g_ᆱ(\mathbf{x})z_{1}&, \qquad{\text{(랴푸 노프 기능으로}}V_{x},{\text{서브 시스템}에 의해 안정되}u_{x}({\textbf{x}}){\text{)}}\\{\dot{z}}_ᆵ=f_ᆶ(\mathbf{x},z_{1})+g_ᆷ(\mathbf{x},z_{1})z_{2}\\{\dot{z}}_ᆺ=f_ᆻ(\mathbf{x},z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf{)}.,z_{1},z_{2})z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=f_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2})+g_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2})z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2},z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2},z_{k-1})z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k})u\end{cases}}}$

재귀적 구조를 가지고 있다.

${\displaystyle{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\begin{경우}{\dot{\mathbf{)}}}=f_ᆴ(\mathbf{x})+g_ᆵ(\mathbf{x})z_{1}&, \qquad{\text{(랴푸 노프 기능으로}}V_{x},{\text{서브 시스템}에 의해 안정되}u_{x}({\textbf{x}}){\text{)}}\\{\dot{z}}_{1}=f_{1}(\mathbf{)},z_{1}.)+g_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})+g_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})z_{3}\end{cases}}\\\vdots \\\end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})+g_{i}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i})z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=f_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2})+g_{k-2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2})z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=f_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-2},z_{k-1})+g_{k-1}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-2},z_{k-1})z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=f_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots z_{k-1},z_{k})+g_{k}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k-1},z_{k}u\end{case}}}$

그리고 단일 통합자$({\displaystyle x\mathbf{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle(\mathbf {x},z_{1})$ 서브시스템$$(즉, 입력 ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}} 및$$ 출력 x)에 대한 피드백 안정화 제어 및 Lyapunov 기능을 찾아 피드백 안정화가 될 때까지 내부 서브시스템에서 반복될 수 있다.control u가 알려져 있다.반복 i에서 등가 시스템은

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})z_{i-2}\\f_{i-1}(\mathbf {x} _{i})\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\g_{i-1}(\mathbf {x} _{i})\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap.func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=f_{i}(\mathbf {x} _{i})+g_{i}(\mathbf {x} _{i})u_{i}\end{cases}}}$

방정식 (7)에 의해 해당 피드백 안정화 제어법은 다음과 같다.

${\displaystyle u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})={\frac {1}{g_{i}(\mathbf {x} _{i})}}\left(\overbrace {-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}\left(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\right)\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf{x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})} ^{{\text{Single-integrator stabilizing control }}u_{a\;\!i}(\mathbf {x} _{i})}\,-\,f_{i}(\mathbf {x} _{i-1})\right)}$

gain > ${\displaystyle k_{i}>0$을(를) 사용하여. 방정식(8)에 의해 해당 Lyapunov 함수는

${\displaystyle V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}+{\frac {1}{1}:{2}}(z_{i}-u_{i-1})(\mathbf {x} _{i-1})^{2}}$

By this construction, the ultimate control ${\displaystyle u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})}$ (i.e., ultimate control is found at final iteration ${\displaystyle i=k}$).따라서 모든 엄격한 피드백 시스템은 자동화될 수 있는 간단한 절차(예: 적응 제어 알고리즘의 일부로)를 사용하여 피드백이 안정화될 수 있다.

참고 항목

• 비선형 제어
• 엄격한 피드백 형식
• 강력한 제어
• 적응 제어

참조