극좌표계

수학에서 극좌표계(極 coord表界, )는 평면상의 각 점이 기준점과의 거리와 기준 방향으로부터의 각도에 의해 결정되는 2차원 좌표계입니다.기준점(데카르트 좌표계의 원점과 유사)을 극이라고 하고, 극에서 기준 방향으로 들어오는 광선을 극축이라고 합니다.극으로부터의 거리를 반경 좌표, 반경 거리 또는 단순히 반경이라고 하고, 각도를 각도 좌표, 극각 또는 ^[1]방위각이라고 합니다.극지 표기법의 각도는 일반적으로 도 또는 라디안(2π rad는 360°와 동일함)으로 표시됩니다.

그레고아르 드 생뱅당과 보나벤투라 카발리에리는 독립적으로 17세기 중반에 이 개념들을 도입했지만, 실제 "극좌표"라는 용어는 18세기에 그레고리오 폰타나에 기인합니다.극지계를 도입한 최초의 동기는 원운동과 궤도운동에 대한 연구였습니다.

극좌표는 고려되는 현상이 나선형과 같이 평면의 중심점에서 방향과 길이에 본질적으로 연결되어 있는 모든 맥락에서 가장 적합합니다.물체가 중심점 주위를 이동하는 평면 물리 시스템 또는 중심점에서 발생하는 현상은 종종 극좌표를 사용하여 모델링하기에 더 간단하고 직관적입니다.

극좌표계는 원통좌표계와 구형좌표계 두 가지 방식으로 3차원으로 확장됩니다.

역사

각도와 반지름의 개념은 이미 기원전 1천년기의 고대 사람들에 의해 사용되었습니다.그리스 천문학자이자 점성가인 히파르코스(기원전 190–120)는 각 각도에 대한 화음의 길이를 제공하는 화음 함수 표를 만들었고, 항성 위치를 ^[2]설정할 때 극좌표를 사용한 것에 대한 언급이 있습니다.나선형에서 아르키메데스는 각도에 따라 반지름이 달라지는 함수인 아르키메데스 나선형을 설명합니다.그러나 그리스의 작업은 완전한 좌표계로 확장되지는 않았습니다.

서기 8세기부터 천문학자들은 ^[3]지구상의 어떤 위치로부터 메카(키블라)까지의 방향과 그 거리를 대략적으로 계산하는 방법을 개발했습니다.9세기부터 그들은 구면 삼각법과 지도 투영법을 사용하여 이 양들을 정확하게 측정했습니다.계산은 기본적으로 메카의 적도 극좌표(경도 및 위도)를 극좌표(즉, 극좌표)로 변환하는 것입니다.기준 자오선이 주어진 위치와 지구의 극을 통과하는 대권이고 극축이 위치를 통과하는 선과 그 역모달 ^[4]지점인 계와 관련된 그것의 치블라 및 거리).

공식 좌표계의 일부로서 극좌표의 도입에 대해서는 다양한 설명이 있습니다.이 주제의 전체 역사는 하버드 대학의 줄리안 로웰 쿨리지 교수의 ^[5]극좌표 기원에 설명되어 있습니다.그레고아르 드 생뱅당과 보나벤투라 카발리에리는 17세기 중반에 독립적으로 그 개념들을 소개했습니다.생뱅센트는 1625년에 그것들에 대해 개인적으로 썼고 1647년에 그의 작품을 출판했고 카발리에리는 1635년에 그의 작품을 출판했고 1653년에 수정본이 등장했습니다.Cavalieri는 Archimede 나선형 안의 영역과 관련된 문제를 풀기 위해 처음으로 극좌표를 사용했습니다.블레즈 파스칼은 그 후 포물선 호의 길이를 계산하기 위해 극좌표를 사용했습니다.

아이작 뉴턴은 1671년 출판된 플럭션의 방법에서 극좌표 사이의 변환을 조사하였는데, 이를 "7가지 방식;^[6] 나선형에 대하여"라고 일컬었습니다.저널 악타 에루디토룸(Acta Eruditorum, 1691)에서, 제이콥 베르누이는 선 위에 한 점이 있는 시스템을 사용했는데, 이 시스템은 각각 극과 극축이라고 불립니다.좌표는 극점으로부터의 거리와 극축으로부터의 각도로 지정되었습니다.베르누이의 연구는 이 좌표들에 표현된 곡선들의 곡률 반경을 찾는 데까지 확장되었습니다.

실제 극좌표라는 용어는 그레고리오 폰타나(Gregorio Fontana)에 기인하며 18세기 이탈리아 작가들이 사용했습니다.이 용어는 1816년 조지 피콕이 라크루아의 미분적분학을 ^[7]^[8]번역한 것에서 영어로 나타났습니다.극좌표를 3차원으로 처음 생각한 사람은 알렉시스 클레로이고,^[5] 실제로 개발한 사람은 레온하르트 오일러였습니다.

관습

방사상 좌표는 흔히 r 또는 θ로 표시되며, 각도 좌표는 θ, θ 또는 t로 표시됩니다.각좌표는 ISO 표준 31-11에 의해 θ로 명시되어 있습니다.그러나 수학 문헌에서 각도는 θ로 표시되는 경우가 많습니다.

극지 표기법의 각도는 일반적으로 도 또는 라디안(2π rad는 360°와 동일함)으로 표시됩니다.학위는 전통적으로 항해, 조사, 그리고 많은 응용 분야에서 사용되는 반면, 라디안은 수학과 수학 ^[9]물리학에서 더 흔합니다.

각도 θ는 기준 방향에서 0°에서 시작하여 시계 방향(cw) 또는 반시계 방향(ccw)으로 회전할 때 증가하도록 정의됩니다.예를 들어, 수학에서 기준 방향은 보통 극에서 오른쪽으로 수평으로 광선으로 그려지고 극각은 ccw 회전을 위해 양각으로 증가하는 반면, 항법(베어링, 헤딩)에서는 0° 헤딩이 수직 위로 그려지고 cw 회전을 위해 각도가 증가합니다.극각은 각각 반대 방향의 회전에 대해 음의 값으로 갈수록 감소합니다.

극좌표의 고유성

각도 좌표에 풀턴 횟수(360°)를 추가해도 해당 방향은 변경되지 않습니다.마찬가지로, 임의의 극좌표는 음의 방사상 성분 및 반대 방향(극각에 180° 추가)을 갖는 좌표와 동일합니다.따라서, 동일한 점 (r, θ)은 무한대의 서로 다른 극좌표 (r, θ + n × 360°)로 표현할 수 있습니다.그리고 (-r, θ + 180° + n × 360°)= (-r, λ + (2n + 1) × 180°), 여기서 n은 임의의 ^[10]정수입니다.또한, 극 자체는 임의의 각도 ^[11]θ에 대하여 (0, θ)로 표현될 수 있습니다.

극 이외의 점에 대해 고유한 표현이 필요한 경우, r은 양수(r > 0)로, ε는간격 [ $0, 360°]$ 중 하나로 제한하는 것이 일반적입니다.또는 간격(- $180°, 180°)$ 을 라디안 단위로 $[0, 2°]$ 또는 (- $θ, [12]$ θ)로 표시합니다.아크탄 함수의 일반적인 코드 도메인과 관련된 또 다른 규칙은 방사형 성분의 임의의 0이 아닌 실수 값을 허용하고 극각을 (- $90°, 90°)$ 로 제한하는 것입니다.모든 경우에 극에 대한 고유 방위각(r = 0)을 선택해야 합니다(예: θ = 0).

극좌표와 직각좌표 간 변환

극좌표 r과 θ는 삼각함수 사인과 코사인을 사용하여 직교좌표 x와 y로 변환할 수 있습니다.

{\display{aligned}x&=r\cos \varphi ,\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}

직교좌표 x, y는 $구간$ (-^[13]θ, θ])에서 r θ 0, θ를 갖는 극좌표 r, θ로 변환할 수 있습니다.

{\display{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\operator name {attan}(x,y)\\varphi &=\operator name {atan2}(y,x),\end{aligned}

여기서 hyp는 피타고라스 합이고 atan2는 다음과 같이 정의된 아크탄젠트 함수의 일반적인 변형입니다.

\operator name {atan2} (y,x)={\mbox{case}\arctan \left({\frac{y}{x}}\right)&{\mbox{if}}x>0\\\arctan \left({\frac{y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if}}x<0{\mbox{ 및 }}y\geq 0\right)-\pi &{\mbox{if}}x<0{\mbox{ 및 }}y<0{\frac{\pi}}}&{\mbox{if}}x=0{\mbox{ 및 }}y>0\-{\frac{\pi}{2}}&0\-{\mbox{ 및 }}x=0{\mbox{및 }}y<0\{\text{undefined}}&{\{\mbox{if}}}x=0{\mbox{ 및 }y=0.\end{case}

만약 r이 위와 같이 먼저 계산된다면, ω에 대한 이 공식은 아크코신 함수를 사용하여 더 간단하게 나타낼 수 있습니다.

\varphi = {\text{case}\arccos \left({\frac{x}{r}}\r)&{\mbox{if}}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\-\arccos \left({\frac{x}{r}\right)&{\mbox{if}}&{y<0\{\text{undefined}}&{\mbox{if}}r=0.\end{case}

복소수

모든 복소수는 복소수 평면에서 점으로 표현될 수 있으며, 따라서 점의 직각좌표(직사각형 또는 직각좌표 형태) 또는 점의 극좌표(극형 형태)를 지정하여 표현할 수 있습니다.복소수 z는 다음과 같은 직사각형 형태로 나타낼 수 있습니다.

z=x+iy

여기서 i는 허수 단위이고, 또는 대안적으로 다음과 같은 극형으로 쓸 수 있습니다.

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )

그리고 거기서부터 오일러 ^[14]공식에 의해 다음과 같이

z=re^{i\varphi}=r\expi\varphi.

여기서 e는 오일러 수이고, 라디안으로 표현된 ρ는 x + iy에 적용되는 복소수 함수 arg의 주 값입니다.복소수의 직사각형 형태와 극성 형태 사이를 변환하기 위해 위에 제시된 변환 공식을 사용할 수 있습니다.이와 동등한 것은

cis

및 angle 표기법입니다.

z=r\operator name {\mathrm {tangle}} \varphi = r\angle \varphi .

복소수의 곱셈, 나눗셈, 지수화 및 근 추출 연산의 경우, 일반적으로 직사각형 형태가 아닌 극형으로 표현된 복소수로 작업하는 것이 훨씬 간단합니다.지수화의 법칙으로부터:

곱셈: $r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}$
나누기: ${\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}{r_{1}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1}}}}{\frac {r_{0}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1}}$
지수화 (De Moivre의 공식): $\left(re^{i\varphi}\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi}$
루트 추출(주 루트): ${\sqrt[{n}]{re^{i\varphi}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}$

곡선의 극방정식

극좌표로 표현된 대수 곡선을 정의하는 방정식은 극좌표 방정식으로 알려져 있습니다.많은 경우 이러한 방정식은 단순히 r을 π의 함수로 정의함으로써 지정할 수 있습니다.그러면 결과 곡선은 (r(θ), θ) 형태의 점으로 구성되며 극함수 r의 그래프로 간주될 수 있습니다.데카르트 좌표와 대조적으로 독립 변수 ρ는 순서 쌍의 두 번째 항목입니다.

다른 형태의 대칭은 극함수 r의 방정식에서 추론할 수 있습니다.

$rθ)$ = $r (θ)$ 이면 곡선은 수평(0°/180°)을 기준으로 대칭이 됩니다.광선;
r $(θ - θ$ ) = $r (θ)$ 이면 수직(90°/270°)에 대해 대칭이 됩니다.광선:
r $(θ - α$ ) = $r (θ)$ 이면 극을 중심으로 시계방향 및 반시계방향으로 α만큼 회전 대칭이 됩니다.

극좌표계의 원형 특성 때문에, 많은 곡선들은 다소 간단한 극방정식으로 설명될 수 있지만, 그들의 데카르트 형태는 훨씬 더 복잡합니다.이 곡선들 중에서 가장 잘 알려진 것은 극장미, 아르키메데스 나선형, 렘니스케이트, 리마송, 그리고 심혈관입니다.

아래의 원, 선, 극 장미의 경우 곡선의 정의역과 범위에 제한이 없음을 알 수 있습니다.

원형

중심이 $(r_{0},\gamma )$ ( $(r_{0},\gamma )$ ) $(r_{0},\gamma )$ 이고 $(r_{0},\gamma )$ 반지름이 a인 원의 일반 방정식은

r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\cos)+r_{0}^{2}=a^{2}}

이는 방정식과 같은 보다 구체적인 경우에 적합하도록 다양한 방식으로 단순화될 수 있습니다.

r(\varphi)=a

중심이 극에 있고 반지름이 ^[15]a인 원의 경우.

r = $a$ 또는 원점이 원 위에 있을 $때$ , 방정식은

r=2a\cos(\varphi -\cos)

일반적인 경우에 방정식은 r 에 대해 $풀$ 수 있으며, 다음을 줍니다.

r=r_{0}\cos(\varphi -\display )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\displaystyle )}

제곱근 앞에 마이너스 부호가 있는 해도 같은 곡선을 보여줍니다.

선

반지름 선(극점을 통과하는 선)은 다음 식으로 표시됩니다.

\varphi =\display,

여기서

\gamma

{\displaystyle \

θ

}

는 선의 표고 각도입니다. 즉,

\varphi =\arctan m

=

\varphi =\arctan m

m

\varphi =\arctan m

{\

displaystyle \varphi

=\

arctan

m

\varphi =\arctan m

이고,

m

서 m

{\

displaystyle

m

}

은 직교 좌표계에서 선의 기울기입니다.

\varphi =\gamma

(r_{0},\gamma )

(

r 0,

)

(r_{0},\gamma )

{\

displaystyle

\varphi

=\θ }에서 방사선 θ θ θ {\displaystyle \varphi =\

θ

}

와 수직으로 교차하는 비선은 다음과 같은 식을 갖습니다.

r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\signal)

그렇지 않으면 $(r_{0},\gamma )$ 0 $(r_{0},\gamma )$ γ ) $(r_{0},\gamma )$ {\ $displaystyle(r_{0},\gamma$ )}은 접선이 $r_{0}$ $r_{0}$ 0의 가상 원과 교차하는 점입니다 $.$ {\ $displaystyle r_{0}}$

극장미

극장미는 꽃잎이 달린 꽃처럼 생긴 수학적 곡선으로, 단순한 극지 방정식으로 표현될 수 있고,

r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\cos _{0}\right)

임의의 상수 λ₀(0 포함)에 대해k가 정수이면 k가 홀수이면 k개의 꽃잎을 가진 장미를, k가 짝수이면 2k개의 꽃잎을 가진 장미를 만듭니다.만약 k가 유리하지만 정수가 아니라면 장미와 같은 모양이 형성될 수 있지만 꽃잎이 겹쳐질 수 있습니다.이 식은 꽃잎이 2, 6, 10, 14 등인 장미를 정의하지 않습니다.변수 a는 장미 꽃잎의 길이나 진폭을 직접적으로 나타내는 반면 k는 공간 주파수와 관련이 있습니다.상수 θ는₀ 위상각으로 간주될 수 있습니다.

아르키메데스 나선형

아르키메데스 나선형은 아르키메데스가 발견한 나선형으로, 단순한 극방정식으로도 표현할 수 있습니다.다음과 같은 식으로 표시됩니다.

r(\varphi )=a+b\varphi .

매개 변수 a를 변경하면 나선형이 회전하고 b는 암 사이의 거리를 제어하며, 이 거리는 지정된 나선형에 대해 항상 일정합니다.아르키메데스 나선형에는 두 개의 팔이 있는데, 하나는

π

>

0

이고 하나는

π

<

0

입니다.두 팔은 기둥에서 매끄럽게 연결되어 있습니다.=

0

인 경우,

90

°/270° 라인을 가로질러 한 암의 미러 이미지를 촬영하면 다른 암이 생성됩니다.이 곡선은 원추형 단면 다음으로 수학 논문에서 설명되는 첫 번째 곡선 중 하나이며, 극 방정식으로 가장 잘 정의되는 곡선의 대표적인 예로 주목할 수 있습니다.

원추형 단면

원뿔의 장축이 극축을 따라 놓이도록 극점에 초점을 맞추고 다른 원뿔형 단면은 0° 광선에 초점을 맞춥니다.

r={\ell \over {1-e\cos \varphi}}

여기서 e는 이심률이고 ℓ

\ell

은 반위석 직장(장축에서 곡선까지의 초점에서 수직 거리)입니다.e > 1이면 이 방정식은 쌍곡선을 정의하고, e =

1

이면 포물선을 정의하고, e <

1

이면 타원을 정의합니다.후자의 특수한

경우

e =

0

은 반지름

\ell

{\displaystyle \ell

의 원이 됩니다.

두 극곡선의 교차점

두 $r=f(\theta )$ r = $r=f(\theta )$ ( $r=f(\theta )$ θ ) $r=f(\theta )$ {\ $displaystyle$ r = f $(\theta$ )} 및 $r=g(\theta )$ = $r=g(\theta )$ ( $r=g(\theta )$ θ ) $r=g(\theta )$ {\ $displaystyle$ r = $g$ (\ $theta$ )}의 그래프에는 세 가지 유형의 교차점이 있을 수 있습니다.

원점에서 $f(\theta )=0$ f ( $f(\theta )=0$ θ ) = $g(\theta )=0$ $f(\theta )=0$ {\ $displaystyle$ f $(\theta$ )= $0$ $g(\theta )=0$ $g(\theta )=0$ g ( $g(\theta )=0$ θ ) = 0 {\displaystyle g $(\theta$ )= $0}$ 인 경우 각각 하나 이상의 해를 갖습니다.
모든 $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ 점 [ $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ ( $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ θ i $),$ $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ θ i ] $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ displaystyle [ $g$ _{ $i}),\$ $theta$ _{ $i}}(여기$ 서 θ i $\theta _{i}$ {\displaystyle\ $theta$ _{ $i}}$ 는 $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ f (π $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ + $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ θ ) $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ = $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ (θ ) ${\$ $displaystyle$ f $(\theta$ + $2k\pi$ ) = $g(\theta )}($ 여기서 $k$ 는 정수입니다.
θ $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ {\ $displaystyle$ $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ \ $theta _{i}}$ 인 모든 $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ 점 $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ [ $g$ ( $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ θ $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ $),$ θ i ${\displaystyle$ \theta _ ${i}},$ θ $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ ${\$ displaystyle \theta _ $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ $i$ }}는 식 $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ f ( $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ θ $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ + $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ ( $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ 2k + 1 ) = $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ - g ( π ) ${\$ f (\theta + ( $2k$ + $1)\pi$ ) = - g $(\theta )}($ $k$ ${\displaystyle$ k $}$ 는 정수입니다.

미적분학.

미적분학은 ^[16]^[17]극좌표로 표현된 방정식에 적용될 수 있습니다.

각좌표 θ는 이 절 전체에서 라디안으로 표현되며, 이는 미적분을 할 때 일반적으로 선택하는 것입니다.

미분적분학

x = $r$ cos φ $와$ y = $r$ sin φ 를 $사용$ 하면 데카르트 좌표와 극좌표의 도함수 사이의 관계를 유도할 수 있습니다.주어진 함수 u(x,y)에 대하여, 다음과 같이 (총 도함수를 계산함으로써) 또는

{\display{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\discu}{\discu x}}\cos \varphi +r{\frac {\discu}{\discu y}}\sin \varphi =x{\frac {\discu}{\discu x}}+y{\frac {\discu y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi}}}&=-{\frac {\farc u}{\farc x}}r\sin \varphi +{\frac {\farc u}{\farc y}r\cos \varphi =-y{\farc {\farc u}{\farc x}}+x{\frac {\farc u}{\farc y}}.\end{aligned}

따라서 다음과 같은 공식이 있습니다.

{\display{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\display x}}+y{\frac {\display y}}\[2pt]{\frac {d}{d\varphi}}&=-y{\frac {\display x}}+x{\frac {\display y}.\end{aligned}

역좌표 변환을 사용하면 도함수들 사이에서 유사한 역수 관계를 도출할 수 있습니다.함수 u(r,ω)가 주어졌을 때, 다음과 같습니다.

{\display{aligned}{\frac {du}{disc}}&={\frac {\discent u}{\discent r}}{\discent x}}{\frac {\discent u}{\discent x}}{\frac {\discent \varphi}}{\discent x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\frac {\fractu}{\fractu}{\fractu}{\fractu}}{\fractu}{\fractu\fractu}{\fractu\fractu}{{vrphi}{\fractu}{\fractu}{\fractu}{\fractu}{fractu}{fractu}}{\fractu}부분 y}},\end{aligned}

아니면

{\display{aligned}{\frac {du}{disc}}&={\frac {\discrt {\discrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\discrt {x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}}}}\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\fac u}{\fac {\fac {1}{r}},\[2pt]{\fac {du}{dy}}&={\frac {\fac {du}{dy}},{\fac {\fac {\fac u}{\fac r}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}+{\frac {\fac {\fac {x}{2}+y^{2}}}{{\fac {x}}{x^{2}}+y^{2}}}}{\frac {x}}}}\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\fac {\fac {\fac {1}{r}}\cos \varphi {\fac {\fac u}{\fac \varphi}}.\end{aligned}

따라서 다음과 같은 공식이 있습니다.

{\display{aligned}{\frac {d}{{r}}&=\cos \varphi {\frac {\display}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\displaystyle}{\frac {dy}}\sin \varphi {\displaystyle}}{\frac {display}}&=\cos \varphi {\frac {\display}{r}\cos \varphi {\frac {\display}{r}\cos \varphi {\display}}{\frac {\display}{r}}\sin \varphi {\frac {\display}{r}}\sin \varphi {\frac {\display}}{\frac {d}{dy}&\\cos \varphi {\display}}+{\frac {1}}\end{aligned}

주어진 점에서 극곡선 r(θ)에 대한 접선의 직교 기울기를 찾기 위해 먼저 곡선을 모수 방정식 체계로 표현합니다.

{\display{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}

δ에 대한 두 방정식의 미분

{\display{aligned}{\frac {align}{d\varphi}}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }&=r'(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}

두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누면 점(r(θ), θ)의 곡선에 대한 접선의 직교 기울기가 산출됩니다.

{\frac {dy}{dy}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\sin \varphi }

극좌표에서 발산, 구배 및 라플라시안을 포함한 기타 유용한 공식은 곡선 좌표를 참조하십시오.

적분학(호 길이)

극함수에 의해 정의되는 호 길이(선분의 길이)는 곡선 r(θ) 위의 적분에 의해 결정됩니다.L을 점 A에서 점 B까지 곡선을 따라 이 길이를 표시한다고 하자. 여기서 이 점들은 0 $< b$ - $a$ < 2π가 $되도록$ φ = a 및 φ = b에 해당합니다.L의 길이는 다음과 같은 적분으로 주어집니다.

L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}d\varphi

적분학(면적)

R을 곡선 r(λ)과 광선 λ = a 및 λ = b로 둘러싸인 영역이라 하고, 여기서 0 < b - a ≤ 2 λ입니다.그러면 R의 면적은

{\frac {1}{2}}\int_{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi.

이 결과는 다음과 같습니다.먼저 구간 [a, b]를 n개의 부분 구간으로 나눕니다. 여기서 n은 일부 양의 정수입니다.따라서 각 부분 구간의 각도 측정값인 Δ는 b - a(구간의 총 각도 측정값)와 $같고$ , 부분 구간의 개수인 n으로 나눕니다.각 부분 구간 i = 1, 2, ..., n에 대해 θ를 부분 구간의 중간점이라 하고, 중심이 극, 반지름 r(θ), 중심각 θ 및 호 길이 r(θ)θ에 있는 섹터를 구성합니다.따라서 각 구성된 섹터의 면적은 다음과 같습니다.

\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {\delta \varphi}{2}}}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\delta \varphi .

따라서 모든 부문의 총 면적은

\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi.

부분 구간 n의 수가 증가할수록 영역의 근사치가 향상됩니다.n → ∞를 취하면, 합은 위의 적분에 대한 리만 합이 됩니다.

면적 적분을 계산하는 기계적 장치는 평면 도형을 추적하여 평면 도형의 면적을 측정하는 평면계입니다. 이는 2-원소 연결이 그린의 정리에 영향을 미치도록 결합을 추가하여 2차 극적분을 선형 적분으로 변환함으로써 극좌표의 적분을 복제합니다.

일반화

직교 좌표를 사용하면 무한소 면적 요소를 dA = dxdy로 계산할 수 있습니다.다중 적분에 대한 치환 규칙은 다른 좌표를 사용할 때 좌표 변환 공식의 야코비안 행렬식을 고려해야 한다고 말합니다.

J=\det {\frac {\display(x,y)}{\displaystyle(r,\varphi )}}={\cos {\cos {vmatrix}{\cos {\cos {vmatrix}{\cos {\cos {\cos {\cos {\cross x}{\cos \varphi }}\[2pt]{\cos {\cos {\cos \cos \vmatrix}{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos ^{vmatrix}}\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r

따라서 극좌표의 면적 요소는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi.

극좌표로 주어진 함수는 다음과 같이 적분할 수 있습니다.

\iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\varphi )}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .

여기서, R은 위와 같은 영역, 즉 곡선 r(θ)과 광선 θ = a 및 θ = b로 둘러싸인 영역입니다.R의 면적에 대한 공식은 1과 동일하게 취함으로써 검색됩니다.

f $f(x)=e^{-x^{2}}$ = $f(x)=e^{-x^{2}}$ - $f(x)=e^{-x^{2}}$ 2 $f(x)=e^{-x^{2}}$ {\ $displaystyle$ f $(x$ ) = $e^{-x^{2}}$ 의 그래프와 $x$ 와 x ${\displaystyle$ x $}$ 축 사이의 면적, 즉 π ${\sqrt {\pi }}$ {\ $sqrt$ {\ $pi$ 와 같습니다.

이 결과를 더 놀라운 방법으로 적용하면 가우스 적분이 산출됩니다.

\int _{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}\,θ={\sqrt {\pi}}

벡터 미적분학

벡터 미적분학은 극좌표에도 적용될 수 있습니다.평면 운동의 경우 r ${\$ 을 $\mathbf {r}$ (를) 위치 벡터 $(rcos(θ), rsin(θ))$ 로 $\mathbf {r}$ 시간 t에 따라 r과 $θ$ 를 갖도록 합니다.

우리는 세 개의 단위 벡터, 즉 방사형, 횡방향, 그리고 정규 방향으로 정규 표준 기저를 정의합니다.반경 방향은 $\mathbf {r}$ r ${\displaystyle \mathbf$ { $r$ 을(를) $\mathbf {r}$ 하여 정의됩니다.

{\hat {\mathbf {r}}}=(\cos(\varphi)),\sin(\varphi )

방사 방향과 속도 방향은 운동의 평면에 걸쳐 있으며, 이 평면의 법선

{\hat {\mathbf {k} }}

은 k

^

{\

displaystyle

{\

hat

{\

mathbf {k

{\hat {\mathbf {k}}}}={\hat {\mathbf {v}}}}\times {\hat {\mathbf {r}}

가로 방향은 반경 방향과 법선 방향 모두에 수직입니다.

{\hat {\bold symbol {\varphi}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi )={\hat {\mathbf {k}}}\times {\hat {\mathbf {r}}\,

그리고나서

{\display{aligned}\mathbf {r} &=(x,\y)=r(\cos \varphi,\\sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r}}\,\{\dot {\mathbf {r}}},\{\dot {y}\right)={\dot {r}(\cos \varphi,\sin \varphi )+r{\dot {\varphi }(-\sin \varphi ,),\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r}}}+r{\dot {\varphi}}{\hat {\bold 기호 {\varphi}}\,\\{\ddot {\mathbf {r}}}&=\left({\ddot {x}},\{\ddot {y}}\right)\\&={\ddot {r}}(\cos \varphi,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi,\cos \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi,\sin \varphi )\&=\left\dot {r}-r{\dot {\varphi }^{2}\rrrr}(\sin \varphi )\r{r}){\hat {\mathbf {r}}}+\left(r{\ddot {\varphi}}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi}}\right){\hat {\bold 기호 {\varphi}}\&=\left({\dot {r}-r{\dot {\varphi}}^{2}\right){\hat {\mathbf {r}}}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi}}\right){\hat {\bold 기호 {\varphi}}}.\end{aligned}

이 방정식은 단위 기저 벡터의 함수와 도함수를 취함으로써 얻을 수 있습니다.

$\theta$ 가 ≥ $\theta$ 인 $\theta$ 2D 곡선의 경우 이전 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다.

{\display{aligned}{\vec {r}}&=r(\theta){\hat {e}}_{r}\{\frac {d{\vec {r}}{d\theta}}&={\frac {dr}{d\theta}}{\hat {e}}_{\frac {d^2}{\vec {r}}{{{r}}\{d\theta ^{2}}&=\left\frac {d^{2}{d\theta ^{2}}-r\r\r){\hat {e}}_{r}+{\frac {dr}{d\theta}}}{\hat {e}}_{\theta}}\end{aligned}

원심 및 코리올리 용어

위치 벡터 r은 항상 원점에서 방사상으로 점을 가리킵니다.

속도 벡터 v, 항상 운동 경로에 접합니다.

가속도 벡터 a, 방사상 운동에 평행하지 않고 각도 및 코리올리 가속도에 의해 상쇄되며 경로에 접하지 않고 구심 및 방사상 가속도에 의해 상쇄됩니다.

평면 극좌표의 운동학적 벡터.설정이 2d 공간으로 제한되지 않고 더 높은 차원의 평면으로 제한됩니다.

$r{\dot {\varphi }}^{2}$ φ $2$ ˙ 2 ${\dot$ {\varphi $}}^{2}}$ 는 구심가속도, 2 $2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}$ ˙ ${\dot {r}}{\dot$ {\ $varphi}}}$ 는 코리올리스 가속으로 부르기도 합니다.예를 들어, 샹카르(^[18]Shankar.

참고: 가속도를 극좌표로 표현할 때 나타나는 이 용어들은 미분의 수학적 결과이며 극좌표를 사용할 때마다 나타납니다.평면 입자 역학에서 이러한 가속도는 회전하는 기준 틀에서 뉴턴의 제2 운동 법칙을 설정할 때 나타납니다.여기서 이러한 추가 항들은 종종 가공의 힘이라고 불리는데, 그것들은 단지 좌표계의 변화의 결과이기 때문입니다.그것은 그들이 존재하지 않는다는 것을 의미하는 것이 아니라 회전하는 프레임에만 존재합니다.

공회전 프레임

평면 운동에서 입자의 경우,^[19] 이러한 용어에 물리적 의미를 부여하는 한 가지 접근법은 순간적인 공동 회전 기준 프레임의 개념에 기초합니다.공회전 프레임을 정의하려면 먼저 입자까지의 거리 r(t)가 정의된 원점을 선택합니다.회전축은 입자의 운동면과 수직을 이루며 이 원점을 통과합니다.그 다음, 선택된 순간 t에서, 공회전 프레임 Δ의 회전 속도는 이 축을 중심으로 한 입자의 회전 속도, dθ/dt와 일치하도록 만들어집니다.다음으로 관성 프레임에서 가속도의 항은 공회전 프레임의 항과 관련이 있습니다.관성 프레임에서 입자의 위치를 (r(t), θ(t))로 하고, 공회전 프레임에서 (r'(t), θ'(t))로 합니다. 공회전 프레임은 입자와 동일한 속도로 회전하기 때문에 dθ'/dt = 0. 공회전 프레임의 가상 원심력은 MRΩ이며,² 반경 방향 바깥쪽입니다. 공회전 프레임에서 입자의 속도는 또한 dφ'/dt = 0이기 때문에 방사상 바깥쪽입니다. 따라서 가상의 코리올리스 힘은 -2m(dr/dt)Ω의 값을 가지며, λ만이 증가하는 방향을 가리킵니다. 따라서 뉴턴의 제2법칙에서 이러한 힘을 사용하여 다음을 발견할 수 있습니다.

{\bold 기호 {F}+{\text{cf}}+{\text{Cor}}=m{\ddot {\bold 기호 {r}}\,

여기서 점 위는 시간차를 나타내고, F는 (가짜 힘과 반대로) 순 실제 힘입니다.성분의 관점에서 이 벡터 방정식은 다음과 같습니다.

{\displaystyle{aligned}F_{r}+mr\Omega^{2}&=m{\ddot {r}}\\\F_{\varphi}-2m{\dot{r}}\Omega &=mr{\ddot{\varphi}},\end{aligned}}

이는 관성 프레임에 대한 방정식과 비교될 수 있습니다.

{\displaystyle{aligned}F_{r}&=m{\dot {r}}-mr{\dot {\varphi}}^{2}\\F_{\varphi}&=mr{\dot{\varphi}}+2m{\dot{r}}{\dot{\varphi}}{\.\end{aligned}}}

이 비교와 더불어 시간에 공회전 프레임의 정의에 의해 그것이 회전 속도 Δ = dπ/dt를 갖는다는 인식은 관성 프레임에서 볼 수 있는 가속도의 용어(입자의 질량에 비례함)를 인스턴스에서 볼 수 있는 원심력과 코리올리스 힘의 음으로 해석할 수 있음을 보여줍니다.순간적이고, 비실체적인 공회전 프레임입니다.

입자의 일반적인 운동(단순 원운동과 반대로)의 경우, 입자의 기준 틀에 있는 원심력과 코리올리스력은 일반적으로 극좌표의 고정 중심이 아니라 입자의 운동의 순간적인 진동원으로 불립니다.자세한 내용은 구심력을 참조하십시오.

미분기하학

미분 기하학의 현대 용어에서 극좌표는 미분 $다양체 2$ R \ ${(0,0)}$ 에 대한 좌표 차트를 제공합니다.이러한 좌표에서 유클리드 미터법 텐서는 다음과 같이 주어집니다.

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}

이것은 메트릭 텐서에 대한 변수 공식의 변경 또는 0

형태

x =

r cos

(

θ),

y

=

r

sin(

θ)

의 외부 도함수를 통해 미분 형식 dx, dy를 계산하여 유클리드 메트릭

텐서

ds =

dx

+

dy

에 대입함으로써 알 수 있습니다.이 메트릭에 대한 정규 프레임은 다음과 같이 제공됩니다.

e_{r}={\frac {\display}{\displayr}},\displaystyle e_{\theta}={\frac {1}{r}}{\displaystyle \theta}}{\displaystyle \theta}},

듀얼 코프레임으로

e^{r}=dr,\displaystyle e^{\theta}=rd\theta.

이 프레임과 Levi-Civita 연결에 대한 연결 형태는 1-형태의 스큐-대칭 행렬에 의해 주어집니다.

{\omega ^{i}}_{j}={\domega{pmatrix}0&-d\theta \\d\theta &0\end{pmatrix}

따라서 곡률 Form ω

= dω

+

ω∧ω가 사라집니다.따라서 예상대로 천공된 평면은 평평한 다양체입니다.

3D 확장

극좌표계는 두 개의 서로 다른 좌표계인 원통형과 구형 좌표계로 3차원으로 확장됩니다.

적용들

극좌표는 2차원이므로 점 위치가 단일 2차원 평면에 있는 경우에만 사용할 수 있습니다.이들은 고려되는 현상이 중심점에서 방향 및 길이와 본질적으로 관련되어 있는 모든 맥락에서 가장 적합합니다.예를 들어, 위의 예는 데카르트 좌표계에서 방정식이 훨씬 더 복잡해지는 아르키메데스 나선형과 같은 기본 극방정식이 곡선을 정의하는 데 어떻게 충분한지 보여줍니다.또한, 물체가 중심점 주위를 이동하거나 중심점에서 발생하는 현상과 관련된 많은 물리적 시스템은 극좌표를 사용하여 모델링하기에 더 간단하고 직관적입니다.극지계를 도입한 최초의 동기는 원운동과 궤도운동에 대한 연구였습니다.

위치 및 네비게이션

목적지나 이동 방향을 고려 중인 물체와의 각도와 거리로 지정할 수 있기 때문에 탐색 시에는 극좌표가 자주 사용됩니다.예를 들어 항공기는 항법을 위해 극좌표를 약간 변형한 버전을 사용합니다.일반적으로 모든 종류의 항해에 사용되는 것인 이 체계에서, 0°의 광선은 일반적으로 헤딩 360이라고 불리며, 각도는 수학 체계에서처럼 반시계 방향이 아닌 시계 방향으로 계속됩니다.360번 표제는 자기 북위에 해당하고, 90번 표제와 180번 표제와 270번 ^[20]표제는 각각 자기 동, 남, 서에 해당합니다.따라서 동쪽으로 5해리를 이동하는 항공기는 90으로 5대를 이동하게 됩니다(항공 교통 관제에서 ^[21]0-9로 읽음).

모델링.

방사상 대칭을 나타내는 시스템은 중심점이 극 역할을 하는 극좌표 시스템에 자연스러운 설정을 제공합니다.이러한 사용의 대표적인 예는 방사상 대칭 우물에 적용할 때 지하수 흐름 방정식입니다.반경 방향 힘이 있는 시스템도 극좌표 시스템을 사용하기에 적합합니다.이러한 시스템에는 역제곱 법칙을 따르는 중력장뿐만 아니라 무선 안테나와 같은 포인트 소스가 있는 시스템이 포함됩니다.

방사상 비대칭 시스템은 또한 극좌표로 모델링될 수 있습니다.예를 들어, 마이크로폰의 픽업 패턴은 주어진 방향에서 들어오는 소리에 대한 비례적인 반응을 나타내며, 이러한 패턴은 극곡선으로 표현될 수 있습니다.가장 일반적인 단방향성 마이크로폰인 표준 심장박동 마이크의 곡선은 목표 설계 주파수에서 r = 0.5 + 0.5 sin(시그마)로 나타낼 수 있습니다.패턴은 더 낮은 주파수에서 전방향성으로 이동합니다.

참고 항목

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일반참고문헌

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외부 링크

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컬리의 그래핑 소프트웨어
좌표 변환기 — 극좌표, 직교좌표 및 구면좌표 간 변환
극좌표 시스템 동적 데모

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v t 직교 좌표계
2차원	데카르트 극(로그-극) 포물선 양극성 타원형
입체	데카르트 원통형 구면 포물선 포물선 구불구불한 구불구불한 구불구불한 모양 원형 회전 타원체 타원체 타원형 원통형 토로이달 비구면 바이폴라 실린더 원뿔형 6구의

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