Z-변환기

수학과 신호 처리에서 Z-변환기는 실수의 순서나 복잡한 숫자의 순서인 이산 시간 신호를 복잡한 주파수 영역 표현으로 변환한다.

그것은 라플라스 변환과 별개의 시간에 해당하는 것으로 간주될 수 있다. 이러한 유사성은 시간 척도 미적분학 이론에서 탐구된다.

역사

현재 Z-변환으로 알려진 기본적인 생각은 라플라스에게 알려졌고, 1947년 W에 의해 다시 소개되었다. 후레위츠^[1][2] 등은 레이더와 함께 사용되는 샘플링 데이터 제어 시스템을 취급하는 방법. 그것은 선형적이고 지속적인 공효율적인 차이 방정식을 해결할 수 있는 다루기 쉬운 방법을 제공한다. 이후 1952년 컬럼비아 대학교의 샘플링 데이터 제어 그룹에서 라가치니와 자데에 의해 "z-transform"로 불렸다.^[3][4]

수정되거나 진보된 Z 트랜스포메이션은 후에 E. I. 쥬리에 의해 개발되고 대중화되었다.^[5][6]

Z-변환기에 포함된 사상은 수학 문헌에도 확률 이론과 연계하여 데 모이브레가 도입했을 때 빠르면 1730년에 이를 추적할 수 있는 함수 발생 방법으로 알려져 있다.^[7] 수학적인 관점에서는 Z-변환기를 Laurent 시리즈로 볼 수도 있다. 여기서 고려 중인 숫자의 순서를 분석함수의 (Laurent) 확장으로 본다.

정의

Z 변환은 단면 변환 또는 양면 변환으로 정의할 수 있다.^[8]

쌍방향 Z-변환기

이산 시간 $신호{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x[n]}$의 양면 또는 양면 Z 변환은 다음과 같이 정의된$$ 공식 $파워{\displaystyle }$ 시리즈 X${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle$ X$(z)}$이다.

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) $정수$이고 z ${\displaystyle z}$은(는) 일반적으로 복잡한 숫자:

${\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A\cdot(\coses }\phi }+j\sin {\phi }})$

여기서 ${\displaystyle A$$}$은(는$)$ z {\$displaystyle$ z$\}$의 크기$,$ j {\$displaystyle$ j}은$$(는) 가상 단위,$display$ {\displaystyle $\phi }$은(는) 라디안어로 복잡한 인수(각 또는 위상이라고도 함)이다$$.

일방 Z-변환기

$또는{\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ [ n${\displaystyle ]}${\$displaystyle x[n]}$이(가) n${\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle n\geq 0}$에 대해서만 정의된 경우$,$ 단측 또는 일방적 Z 변환은 다음과 같이 정의된다.

신호 처리에서, 이 정의는 이산 시간 인과 시스템의 단위 임펄스 반응의 Z 변환을 평가하는 데 사용될 수 있다.

일방적 Z-변환성의 중요한 예는 확률생성함수인데, 여기서 구성 $요소{\displaystyle }$ x [${\displaystyle n]}$ ${\$$displaystyle$ x$[n$$]$는 이산 랜덤 변수가 n$$값을 $가질{\displaystyle }$ 확률이고$,$ 함수 $X{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle$ X$(z)$는 보통$$ $X{\displaystyle }$(${\displaystyle s}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystystyle X$)로 표기된다.$($$s)}$의 $관점$에서 s = ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ s=$z^{-1}.$ Z 변환의 속성(아래)은 확률 이론의 맥락에서 유용한 해석을 가지고 있다.

역 Z-변환

역 Z 변환은

여기서 C는 원점을 둘러싸는 반시계방향 폐쇄 경로로, 완전히 수렴 영역(ROC)에 있다. ROC가 원인인 경우(예 2 참조) 이는 $경로{\displaystyle }$ C가 X${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle$ X$(z)}$의 모든 극을 둘러싸야 함을 의미한다$.$

이 등고선 적분의 특별한 경우는 C가 단위 원일 때 발생한다. 이 등고선은 ROC에 단위 원이 포함될 때 사용할 수 있으며, $X{\displaystyle }$ (${\displaystyle z}$) ${\displaystyle$X$(z)}$이(가) 안정적일$$ 때, 즉 모든 극이 단위 원 안에 있을 때 항상 보장된다. 이 등고선을 사용하여 역 Z 변환은 단위 원을 중심으로 Z 변환의 주기적 값의 역 이산 시간 푸리에 변환 또는 푸리에 시리즈로 단순화된다.

한정된 범위의 n과 한정된 수의 균일한 간격 z 값을 갖는 Z 변환은 블루스타인의 FFT 알고리즘을 통해 효율적으로 계산할 수 있다. 이산 시간 푸리에 변환(DTFT) - 이산 푸리에 변환(DFT)과 혼동하지 않기 위해 z를 단위 원 위에 눕히도록 제한함으로써 얻은 그러한 Z 변환의 특별한 경우다.

수렴영역

수렴 영역(ROC)은 Z-변환 합계가 수렴되는 복합 평면의 점 집합이다.

${\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left \sum _{n=-\infit }^{\x[n]z^{-n}\right <\infit \right\}}}}$

예제 1(ROC 없음)

x[n] = (0.5)로 한다.ⁿ x[n]의 간격(-,, ∞)을 확장하면

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}$

합계를 보면

${\displaystyle \sum _{n=-\nft }^{\nft }x[n]z^{-n}\to \ft.}$

따라서 이 조건을 만족시키는 z 값은 없다.

예 2 (주관 ROC)

$x{\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$= 0.${\displaystyle 5^{}}$ ${\displaystyle n^{}{}^{}}$ [${\displaystyle {\mathrm{}}^{}n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$을($$를) 두십시오(여기서 u는 Hubiside step 함수임). x[n]의 간격(-,, ∞)을 확장하면

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,0,0,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.}$

합계를 보면

${\displaystyle \sum \n=}^{n=}x[n]z^{n}=\sum _{n=0}^{n}^{n}^{n=0}=\sum _{n=0}^{n}}}}}}\frac {0.5}{z\오른쪽)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}.}$

마지막 평등은 무한 기하학 시리즈에서 발생하며 평등은 z > 0.5로 다시 쓸 수 있는 0.5z⁻¹ < 1일 경우에만 유지된다. 따라서 ROC는 z > 0.5이다. 이 경우 ROC는 원점에서 반경 0.5의 디스크가 "출발"된 복합 평면이다.

예제 3(반인과 ROC)

$x{\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$=${\displaystyle }$-${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$.5${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$[${\displaystyle }$- n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$여기서 u는 Hubiside step 함수)로 한다.$$ x[n]의 간격(-,, ∞)을 확장하면

${\displaystyle x[n]=\left\{\cdots,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2,-(0.5)^{-1,0,0,0,0,0,0,\cdots \right\}.}$

합계를 보면

${\displaystyle \sum \n=}^{n=-}x[n]z^{-n}=-\sum _{n1}0.5^{n}z^{-n}={m=1}^{n}={n}={m=1}^{n}\prefrac{0.5}}}}}}오른쪽).^{m}=-{\frac {0.5^{-1}z}{1-0.5^{-1}z}}=-{\frac {1}{0.5z^{1}-1}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.}$

무한 기하 급수적인 시리즈를 사용한다면, 다시, 평등은 z의 관점에서 다시 쓰여질 수 있는 0.5z⁻¹ < 1의 경우에만 유지된다. 따라서 ROC는 z < 0.5이다. 이 경우 ROC는 원점과 반지름 0.5의 중심에 있는 디스크다.

이 예와 이전 예시를 구별하는 것은 ROC뿐이다. 이는 변환 결과만으로는 불충분하다는 것을 입증하기 위한 의도적인 것이다.

결론 결론

사례 2와 3은 ROC를 지정할 때에만 x[n]의 Z 변환 X(z)가 고유하다는 것을 명확히 보여준다. 인과 및 폐경 방지 사례에 대한 극-제로 플롯을 생성하면 어느 경우든 ROC가 0.5에 있는 극을 포함하지 않는다는 것을 알 수 있다. 이것은 다수의 극이 있는 경우로 확장된다: ROC는 극을 절대 포함하지 않는다.

사례 2의 경우 원인 체계는 z = ∞을 포함하는 ROC를 산출하는 반면 사례 3의 폐경 체계는 z = 0을 포함하는 ROC를 산출한다.

다중 극이 있는 시스템에서는 z = ∞ 또는 z = 0을 모두 포함하는 ROC를 가질 수 있다. ROC는 원형 밴드를 만든다. 예를 들어,

$displaystyle x]=0.5^{n]u[n]-0.75^{n-1}}u[-n-1]}}}}$

0.5와 0.75의 극을 가진다. ROC는 0.5 < z < 0.75가 될 것이며, 이는 원점도 무한도 포함하지 않는다. 이러한 시스템은 인과어(0.5)ⁿu[n]와 항경어 -(0.75)ⁿu[-n-1)를 포함하고 있어 혼성요인계라고 불린다.

시스템의 안정성은 ROC만 알면 알 수 있다. ROC에 단위 원(즉, z = 1)이 포함되어 있으면 시스템은 안정적이다. 위의 시스템에서는 z > 0.5가 단위 원을 포함하고 있기 때문에 인과계(예 2)가 안정적이다.

ROC(즉, 모호한 x[n])가 없는 시스템의 Z 변환을 제공받았다고 가정해 봅시다. 다음을 원하는 경우 고유한 x[n]를 결정할 수 있다.

• 안정성
• 인과성

안정성을 위해 ROC는 장치 원을 포함해야 한다. 만약 우리가 원인 시스템을 필요로 한다면, ROC는 무한대를 포함해야 하며 시스템 기능은 우측 시퀀스가 될 것이다. 만약 우리가 폐경 방지 시스템이 필요하다면, ROC는 원점을 포함해야 하며, 시스템 기능은 좌측 시퀀스가 될 것이다. 안정성과 인과성을 모두 필요로 한다면 시스템 기능의 모든 극은 반드시 단위 원 안에 있어야 한다.

그러면 독특한 x[n]를 찾을 수 있다.

특성.

z 변환의 속성

	시간 영역	Z 도메인	증명	ROC
표기법	${\displaystyle x[n]={\mathcal{Z}^{-1}\{X(z)\}}$	${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}\{x[n]\}}$		${\displaystyle r_{2}< z <r_{1}}$
선형성	${\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}$	${\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}}$	ROC1 ∩ ROC2 포함
시간확장	${\displaystyle x_{K}[n]={\begin}x[r],&n=Kr\\0,&n\n\n\n\n\notin K\mathb {Z} \case}}}}$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r}$: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$K\$mathb {Z} :=\{Kr:r\in \mathb$ {Z} \in \mathb ${Z}$\}}}}	${\displaystyle X(z^{K}})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}}$	${\displaystyle R^{\frac {1}{K}}$
소멸	${\displaystyle x[Kn]}$	${\displaystyle {\frac {1}{K}\sum _{p=0}^{K-1}X\왼쪽(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{2\pi}}{K}p}\오른쪽)}$	ohio-state.edu 또는 ee.ic.ac.uk
시간 지연	$[\displaystyle x[n-k]}$ > ${\displaystyle k>0}$ 및 : [ = 0 < $displaystyle x:x[n]=0\ forall n<0}$	${\displaystyle z^{-k}X(z)}$	${\displaystyle {\begin}Z\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}$	ROC(k > 0일 경우 z = 0, k < 0일 경우 z = ∞)를 제외한다.
타임 어드	$[\displaystyle x[n+k]}$ > ${\displaystyle k>0}$과(와) 함께	쌍방향 Z 변환: $${\displaystyle z^{k}X(z)}$$ 일방적 Z 변환:[9] $${\displaystyle z^{k}X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1x[n]z^{-n}}}$$
첫 번째 차이 후진	${\displaystyle x[n]-x[n-1]}$ x[n]=0으로	${\displaystyle(1-z^{-1}X(z)}$		X1(z)와 z ≠ 0의 ROC 교차점 포함
첫 번째 차이 전진	${\displaystyle x[n+1]-x[n]}$	${\displaystyle (z-1)X(z)-zx[0]}$
시간역전	$[\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X(z^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}< z <{\tfrac {1}{r_{2}}:}$
z 도메인에서 확장	${\displaystyle a^{n}x[n]}$	${\displaystyle X(a^{-1}z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}$	${\displaystyle a_{2}< z < r_{1}.$
콤플렉스 결합	${\displaystyle x^{*}[n]}$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\왼쪽[\sum _{n=-\infit }^{}^{\n(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{arged}}}$
리얼 파트	${\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{1}:{2}}\왼쪽[X(z)+X^{*}}(z^{*}}\오른쪽]}}$
상상의 부분	${\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2j}\왼쪽[X(z)-X^{*}(z^{*}}\오른쪽]}$
차별화	$[\displaystyle nx[n]}$	${\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{nx(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }nx(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-nz^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}}$	ROC($X{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle X(z)}$이(가) 합리적인$$ 경우, $X{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle X(z)}$이(가) 비합리적인[10] 경우 ROC는 경계를 제외할 수 있음
콘볼루션	${\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle X_{1}(z)X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infit }^{}x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\nft }^{\nft }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aigned}}}$	ROC1 ∩ ROC2 포함
교차상관	${\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}}X_{2}(z)}$		$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\frac{{}^{}}{}}$ z ${\displaystyle \frac{{\ast }^{}}{}}$ )${\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})$과 X ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}z}$)$${\$displaystyle X_{2}(z)$의 ROC 교차점 포함
축적	${\displaystyle \sum _{k=-\infit }^{n}x[k]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\nflt }z^{-j}\&=X(z){1}{1-z^{-1}}\end}}}}}}$
곱하기	${\displaystyle x_{1}[n]x_{2}[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }\point _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v})v^{-1}\mathrm {d}v}v}$		-

파르세발 정리

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

초기값 정리: x[n]이 인과라면

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infit }X(z).}$

최종 값 정리: (z-1)X(z)의 극이 단위 원 안에 있을 경우

${\displaystyle x[\infit ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

공통 Z 변환 쌍 표

여기:

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\case}1,&n\geq 0\0,&n<0\end{case}}}}}$

단위(또는 Hubiside) 스텝 함수 및

${\displaystyle \n\mapsto \n]={\case}1,&n=0\0,&n\neq 0\end{case}}}$

이산 시간 단위 임펄스 함수(cf Dirac 델타 함수, 연속 시간 버전). 두 기능이 함께 선택되어 단위 스텝 기능이 단위 임펄스 기능의 누적(총 가동)이 된다.

	신호, ${\displaystyle x}$[ n ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x[n]}$	Z 변환, ${\displaystyle X}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ X$(z)}$	ROC
1	$[n]}$	1	all z
2	${\displaystyle \property [n-n_{0}]}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}$	$(\displaystyle z\neq 0}$
3	$u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}$	${\디스플레이 스타일 z >1}$
4	$[\displaystyle -u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}$	${\displaystyle z <1}$
5	$(\displaystyle nu[n]})$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}{{-z^{-1}^{2}}:$	${\디스플레이 스타일 z >1}$
6	${\displaystyle -nu[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}{{-z^{-1}^{2}}:$	${\displaystyle z <1}$
7	${\displaystyle n^{2}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{{3}}}}{{3}}}}}}$	$(\displaystyle z >1\,}$
8	${\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{{3}}}}{{3}}}}}}$	$(\displaystyle z <1\,})$
9	${\displaystyle n^{3}u[n]}$	${\displaystyle {\frac{z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2}}}{{4}}{{4}}}}{{1-z^{-1}}}}}}}}}:{4}}}}}}}}$	$(\displaystyle z >1\,}$
10	${\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac{z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2}}}{{4}}{{4}}}}{{1-z^{-1}}}}}}}}}:{4}}}}}}}}$	$(\displaystyle z <1\,})$
11	${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$(\displaystyle z > a }$
12	${\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$(\displaystyle z < a })$
13	${\displaystyle na^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}{{{-az^{-1}}^{2}}$	$(\displaystyle z > a }$
14	${\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}{{{-az^{-1}}^{2}}$	$(\displaystyle z < a })$
15	${\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{{3}}}{{3}}}}}}$	$(\displaystyle z > a }$
16	${\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{{3}}}{{3}}}}}}$	$(\displaystyle z < a })$
17	${\displaystyle \lefts\n]{c}n+m-1\m-1\end{array}\오른쪽)a^{n}u[n]}$	${\displaystyle \frac{1}{}}$( ${\displaystyle \frac{1}{}}$- a ${\displaystyle \frac{{\mathrm{z}}^{}}{}}$- 1${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{m^{}}{}}$ ${\$ 양의 $정수{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$의 경우	$(\displaystyle z > a }$
18	${\displaystyle(-1)^{m}\left \ft}{c-n-1\\m-1\end{array}\오른쪽)a^{nu[-n-m]}$	${\displaystyle \frac{1}{}}$( ${\displaystyle \frac{1}{}}$- a ${\displaystyle \frac{{\mathrm{z}}^{}}{}}$- 1${\displaystyle \frac{{}^{}{}^{}}{}}$) ${\displaystyle \frac{m^{}}{}}$ ${\$ 양의 $정수{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$의 경우	$(\displaystyle z < a })$
19	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac{1-z^{-1}\cos(\omega _{0}){1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-22}}$	${\디스플레이 스타일 z >1}$
20	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}$	${\디스플레이 스타일 z >1}$
21	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac{1-az^{-1}\cos(\omega_{0}){1-2az^{1}{1-2az^{1}\cos(\omega_{0})+a^{2}z^{-2}}$	$(\displaystyle z > a }$
22	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle{\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}$	$(\displaystyle z > a }$

푸리에 시리즈 및 푸리에 변환과의 관계

단위 원으로${\displaystyle }$알려진 ${\displaystyle \mathrm{영역}}$z$$= 1 {\$displaystyle z$$$=$1}$에서 z ${\$displaystyle z =1}의 값에 $대해{\displaystyle }$z = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}${\$displaystyle z=e^{j\omega }}$를 정의하여 단일 리얼 변수 Ω의 함수로 변환을 표현할 수 있으며$,$ 양측 변환은 Fourier 시리즈로 감소한다.

${\displaystyle \sum \{n=-\noten}^{n=\n=\sum _{n=-\nothy }^{n=-\nothy }^{noth[n]\ e^{-j\omegan}}}}}$

(Eq.4)

${\displaystyle x}$[ n ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x[n]}$ 시퀀스의$$ 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)이라고도 한다. 이 2π 주기 함수는 푸리에 변환의 주기적인 합산으로, 널리 사용되는 분석 도구가 된다. 이를 이해하려면 $X{\displaystyle (f}$) ${\displaystyle X(f)}$을(를) 모든 함수의 푸리에 변환($x{\displaystyle )(t}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ x$(t)}$이(가) 되도록$$ 하십시오$.$ 이 변환의 샘플은 T는 x[n] 시퀀스와 동일합니다. 그런 다음 x[n] 시퀀스의 DTFT를 다음과 같이 작성할 수 있다.

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infit }^{\nbrace {x(nT)}^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT} _{\text{D}TFT}={\frac{1}{T}}\sum _{k=-\ft }^{\ft }X(f-k/T)}$

(Eq.5)

T가 초 단위인 경우, $f{\displaystyle }$ ${\$은(는) 헤르츠 단위를 갖는다. 두 시리즈를 비교한 결과 Ω${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$㎛ ${\displaystyle f}$ ${\$은 샘플당 라디안 단위로 정규화된 주파수임을 알 수 있다. Ω=2π 값은 $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{T}{}}$ ${\$ f$={\frac {1}{$$T}}}$ Hz$$. 그리고 이제 대체 f${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega \frac{}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{\Omega }{}}$ ${\displaystyle \frac{T}{}}$, ${\$ Eq$$.4는 푸리에 변환 X(•)의 관점에서 표현할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=-\nflt }^{\nflt }x[n]\ e^{-j\omegan}={\frac {1}{\fl}{T}}\sum _{k=-\flitty }^{\inflat }\underbrace {X\frac({\tfrac {\tfrac}{2\pi T}-{\tfrac {k}}{\tfrac {k}}{}}}}{\tfrac {k}}}}}}}}{T}}\오른쪽) _{X\왼쪽({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}\오른쪽)}.}$

(Eq.6)

매개변수 T가 변경됨에 따라 Eq.5의 개별 항은 f축을 따라 더 멀리 떨어지거나 더 가깝게 이동한다. 그러나 Eq.6에서는 센터가 2인치 간격으로 유지되는 반면, 그 너비는 확장되거나 축소된다. 시퀀스 x(nT)가 LTI 시스템의 충동 응답을 나타내는 경우, 이러한 기능은 주파수 응답이라고도 한다. $x{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle x(nT)}$ 시퀀스가$$ 주기적인 경우, DTFT는 하나 이상의 고조파 주파수에서 다이버전트하며, 다른 모든 주파수에서 0이 된다. 이는 종종 고조파 주파수에서 진폭-변수 디락 델타 함수의 사용으로 나타난다. 주기성 때문에, 훨씬 단순한 이산 푸리에 변환(DFT)에 의해 쉽게 계산되는 고유 진폭의 수가 한정되어 있을 뿐이다(DTFT § 주기적 데이터 참조).

라플라스 변환과의 관계

이린형 변환

이린형 변환은 연속 시간 필터(라플라스 도메인에 표시됨)를 이산 시간 필터(Z-도메인에 표시됨)로 변환하는 데 사용할 수 있으며, 그 반대의 경우도 가능하다. 다음과 같은 치환법을 사용한다.

${\displaystyle s={\frac {2}{T}{\frac {(z-1)}{{(z+1)}}}$

Laplace 도메인의$$ 일부 함수 $H{\displaystyle (}$ ${\displaystyle s}$) ${\$$displaystyle H(s$$)}$을(를) Z 도메인(Tustin 변환)의$$ $함수{\displaystyle }$ H$($ z${\displaystyle )}$로 변환하거나,

${\displaystyle z=e^{s}T}\약 {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}:}$

Z 도메인에서 라플라스 도메인까지. 이린형 변환을 통해 복잡한 s-면(라플라스 변환의)을 복합 z-면(z-transform의)에 매핑한다. 이 매핑은 (필요하게) 비선형이지만, s-평면의 $전체{\displaystyle }$ j ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle$ j$\omega }$축을$$ z-평면의 단위 원에 매핑한다는 점에서 유용하다. 이와 같이 푸리에 변환(${\displaystyle \mathrm{j\Omega }}$ ${\displaystyle j\omega }$축에서$$ 평가된 라플라스 변환)은 이산 시간 푸리에 변환이 된다. 이는 푸리에 변환이 존재한다고 가정한다. 즉, $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle j\omega }$축이$$ 라플라스 변환의 수렴 영역에 있다고 가정한다.

별자형 변환

시간 샘플링 함수의 단측 Z-변환인 X(z)가 주어진 경우, 해당 별표 변환은 라플라스 변환을 생성하며 샘플링 파라미터 T:

$디스플레이 스타일}X^{*}=X(z){\bigg }_{\displaystyle z=e^{s.T}}$

역 래플라스 변환은 임펄스 샘플링 함수로 알려진 수학 추상화다.

선형 상수 효율 차이 방정식

선형 지속 효율 차이(LCCD) 방정식은 자기 회귀 이동 평균 방정식에 기초한 선형 시스템의 표현이다.

${\displaystyle \sum \{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}}}}}}}}$

위 방정식의 양쪽을 α로₀ 나눌 수 있으며, 0이 아닐 경우 α₀ = 1 정상화하고 LCCD 방정식을 작성할 수 있다.

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{n-y[n-p]\alpha _{p}.}$

이 LCCD 방정식의 형태는 "전류" 출력 y[n]가 과거 출력 y[n-p], 전류 입력 x[n], 이전 입력 x[n-q]의 함수라는 것을 더욱 분명히 하는 데 유리하다.

전달함수

위 방정식의 Z 변환(선형성 및 시간 변화 법칙 사용)을 취한다.

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{{n}z^{-p}\알파 _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}}}}}$

그리고 결과를 재정렬하여

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

0과 극

대수학의 기본 정리로부터 분자는 M근(H의 0에 대응)을 가지며 분모는 N근(극에 대응)을 가진다. 0 및 폴 단위로 전송 기능 다시 쓰기

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}}$

여기서 q는_k k번째 0이고 p는_k k번째 극이다. 0과 극은 일반적으로 복잡하며, 복잡한 평면(z-plane)에 표시할 때 극-제로 플롯이라고 한다.

또한 z = 0과 z = ∞에도 0과 극이 존재할 수 있다. 이러한 극과 0은 물론 다순 0과 극을 고려한다면 0과 극의 수는 항상 같다.

분모를 인수하여 부분분수분해효소를 사용할 수 있으며, 이는 다시 시간영역으로 변환될 수 있다. 그렇게 하면 시스템의 임펄스 반응과 선형 상수 계수 차이 방정식이 발생한다.

출력 응답

그러한 시스템 H(z)가 신호 X(z)에 의해 구동되는 경우 출력은 Y(z) = H(z)X(z)이다. Y(z)에 부분분수 분해를 수행한 다음 역 Z 변환을 취하면 출력 y[n]를 찾을 수 있다. 실제로 쉽게 계산할 수 있는 역 Z-변환형 항을 갖는 Y(z)의 형태를 생성하기 위해 해당 양을 z에 곱하기 전에$$ $Y{\displaystyle \frac{(z}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$를 부분 분해하는 것이 유용한 경우가 많다.

참고 항목

• 고급 Z 변환기
• 이린형 변환
• 차이 방정식(반복 관계)
• 이산 콘볼루션
• 이산 시간 푸리에 변환
• 유한충동반응
• 포멀 파워 시리즈
• 생성함수
• 함수 변환 생성 중
• 라플라스 변환
• 로랑 시리즈
• 확률생성함수
• 항성변형
• 잭 변환
• 제타 함수 정규화

참조

추가 읽기

• Refat El Attar, 2005년 Z-Transform, Lulu Press, Morrisville NC. ISBN 1-4116-1979-X.
• 오가타, 카츠히코, 이산 시간 제어 시스템 2차 에드, 프렌티스 홀 주식회사, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5.
• 앨런 V. 오펜하임과 로널드 W. 셰퍼(1999년). 이산 시간 신호 처리, 제2판, 프렌티스 홀 신호 처리 시리즈. ISBN 0-13-754920-2.

외부 링크

• "Z-transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Z-변환기의 수치역전
• 몇 가지 일반적인 라플라스 변환의 Z-변환 표
• Z-변환기에 대한 매스월드 항목
• Comp의 Z-변환 스레드.DSP
• Laplace 변환 s-평면과 Z-평면의 관계 그래픽
• 엔지니어를 위한 Z-Transform에 대한 비디오 기반 설명
• z-트랜스포메이션은 무엇인가?