관찰 가능성

관측가능성은 시스템의 내부 상태를 외부 출력에 대한 지식으로부터 얼마나 잘 추론할 수 있는지를 나타내는 척도입니다.제어 이론에서, 선형 시스템의 관측 가능성과 제어 가능성은 수학적 이중성이다.관측가능성의 개념은 선형 동적 시스템을 위해 헝가리계 미국인 엔지니어 루돌프 E.^[1][2] 칼만에 의해 도입되었다.출력 측정에서 시스템 상태를 추정하도록 설계된 동적 시스템을 상태 옵서버 또는 단순히 해당 시스템의 옵서버라고 합니다.

정의.

상태 공간 표현으로 모델링된 물리적 시스템을 고려합니다.시스템은 상태 및 제어 벡터의 가능한 모든 진화에 대해 출력으로부터의 정보만을 사용하여 현재 상태를 추정할 수 있다면 관찰할 수 있다고 한다(이것은 일반적으로 센서에 의해 취득된 정보에 대응한다).즉, 시스템의 출력으로부터 시스템 전체의 동작을 판단할 수 있습니다.한편, 시스템을 관측할 수 없는 경우에는 출력만 측정해도 구별할 수 없는 상태 궤적이 있습니다.

선형 시간 불변 시스템

상태 공간 표현에서 시간 불변 선형 시스템의 경우 시스템이 관찰 가능한지 여부를 확인하는 편리한 테스트가 있습니다.$n개의$$$상태 변수$($MIMO $시스템$에 대한 자세한 내용은 상태 공간 참조)를 $가진{\displaystyle }$ SISO 시스템을 검토합니다.

${\displaystyle {\mathbf {x}}(t)=\mathbf {A}\mathbf {x}(t)+\mathbf {B}\mathbf {u}(t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)}$

관측가능성 행렬

관측가능성 행렬의 행 순위가 다음과 같이 정의된 경우

${\displaystyle {O}}=(begin {bmatrix}C\\)CA\\CA^{2}\\vdots\CA^{n-1}\end{bmatrix}}$

n$(\displaystyle$ n$)$과 같으면 시스템이 관찰됩니다.이 테스트의 근거는 n개의 $\displaystyle$n개의$$ 행이 선형에 의존하지 않는 $경우{\displaystyle }$ $n개$의$$\$displaystyle$n개의$$ 상태 변수는 출력 $변수{\displaystyle }$y의 선형 조합을 통해 볼 수 있다는 $것$입니다$.$

관련 개념

관측가능성 지수

선형 시간 등가 이산 시스템의 관측 $가능성{\displaystyle }$ 지수$$v {\$displaystyle$ v$}$는 ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}(O_{}}$v) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$(${\displaystyle O_{\mathrm{v}}}$+ 1$)${style ${text {rank}{{\mathcal {O}}_{v$}}} $=text{rank}}{{\mathcal {O}}}_{{+$1}}} {{{{{{\mathc$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\},$ 여기서 다음과 같이 ${\displaystyle \text{만족}}$하는 최소 자연수,

${\displaystyle {O}}_{v}={begin{bmatrix}C\\CA\\CA^{2}\\vdots\\CA^{v-1}\end{bmatrix}}.}$

관측할 수 없는 부분 공간

선형 시스템의 관측 불가능한 부분 $공간{\displaystyle }$N(\$displaystyle$ N$)$은 다음과 같은 선형^[3] 맵 $(\displaystyle$ G$)$의 커널입니다.

$디스플레이 스타일G\colon \mathbb {R} ^{n}&\rightarrow {C}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} ^{n})\x(0)&\map to Ce^{At}x(0)\end{aligned}}}}}}$

$여기$서 C${\displaystyle (R\mathbb{}}$ ; ${\displaystyle {}^{}}$ $)({displaystyle {C}(\mathbb {R}$ ;\$mathbb {R}$^{$n}))$는 R$(\$$displaystyle$ \$mathbb${R}$$})에서 $(\${R}$^{$n$$$\})$까지의 연속 $함수$ 집합입니다$.$

${\displaystyle N=\bigcap _{k=0}^{n-1}\ker(CA^{k})=\ker {mathcal {O}}$

시스템은 랭크${\displaystyle }$( (${\displaystyle O\mathcal{}}$ ) $=$ ${\displaystyle \operatorname${rank$}(\mathcal$ {O})=$n$인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$에만 관찰할 수 있으므로$$N {\$displaystyle$N$$}이 0 $서브스페이스$인 경우에만 관찰할 수 있습니다.

관측할 수 없는 하위 공간에 대한 다음 속성이 ^[3]유효합니다.

• ${\displaystyle N\subset Ke(C)}$
• ${\displaystyle A(N)\subset N}$
• $\displaystyle N=\bigcup\{S\subset R^{n}\mid S\subset Ke(C), A(S)\subset N\}$

검출 가능성

관측 가능성보다 약간 약한 개념은 탐지 가능성입니다.시스템은 관찰할 수 없는 상태가 모두 ^[4]안정되어 있으면 검출할 수 있습니다.

검출 가능성 조건은 센서 ^[5][6]네트워크의 맥락에서 중요합니다.

선형 시변 시스템

연속 선형 시변 시스템을 고려합니다.

${\displaystyle {\mathbf {x}(t)=A(t)\mathbf {x}(t)+B(t)\mathbf {u}(t)},$

$\displaystyle \mathbf {y}(t)=C(t)\mathbf {x}(t)\,}$

$행렬{\displaystyle }$ $A{\displaystyle }$$(\displaystyle$ A$),$ $B{\displaystyle }$$(\displaystyle$ B$$$)$ 및 $C(\$$displaystyle$ C$)$와 $모든{\displaystyle }$ t ${\displaystyle [}$ [ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}]}$ ;$${ $displaystyle$ t$\in$[ t$_$0 , t _ { $1$} )의$$ 입력 및 $출력{\displaystyle }$u(\$displaystyle$$$y$)$가 주어졌다고 가정합니다.그러면${\displaystyle {}_{}}${ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}\}$를 $판별$할 수 있습니다.\$displaystyle$ x$(t_{0})$에서 M${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$)의 늘공간에 있는 가산 상수 벡터(\$displaystyle M(t_{0$},$t_{$1$$})로 이동합니다$.$

${\displaystyle M(t_{0},t_{1}=\int _{t_{0}^{t_{1}}\varphi (t,t_{0})^{T}C(t)\varphi (t,t_{0},dt}$

$여기$서 $"\displaystyle$ \$varphi"$는 상태 전이 매트릭스입니다.

M${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$) { $displaystyle$ M$(t_{0$} , t_{$1}$ }이$$(가) 음이 아닌 $경우{\displaystyle }$ $고유{\displaystyle }$ x${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$) { $displaystyle$ x$(t_{0})$를 결정할 수 있습니다.${\displaystyle {실제로\mathrm{}}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ - ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2({$displaystyle x_{1$}-$x_{$2$})$가 M${\displaystyle (}$ $t$ ,$t )$의 늘스페이스에 있는 $경우{\displaystyle {}_{}}$ x $({$$displaystyle$ $x_$${$1})의$$ $초기{\displaystyle {}_{}}$ 상태를 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2({$displaystyle x_$${1$와 구별할 수 없습니다.

위와 같이 정의된 $매트릭스{\displaystyle }$M {\$displaystyle$ M$}$에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

• ${\displaystyle {}_{}}$( t${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$1$$) { $display$ M ( $t$_ {$0$ , t$_$ {1$}$} 은$$ 대칭입니다.
• ${\displaystyle M}$( ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$) { $displaystyle M$ ( t _ {$0$ , $t$_ {1} } 은$$ t ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$0 { \ $displaystyle$ t $_${ 1 } \ $geq$t _$${ 0 } 에 대해 양의 반정의 값입니다.
• ${\displaystyle M}$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$0 , ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$1)$${$style$ M$(t_{0},t_{1})}$이(가) 선형 행렬 미분 방정식을 만족합니다.

${{displaystyle {d}{dt}M(t,t_{1})=-A(t)^{T}M(t,t_{1})-M(t,t_{1}-M(t)^{T}C(t),\M(t_{1})$

• ${\displaystyle M}$( ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$0 , ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$1)$${$display$ M$(t_{0}, t_{1}}$ 은 다음$$ 방정식을 충족합니다.

${\displaystyle M(t_{0},t_{1})=M(t_{0})+\varphi(t,t_{0})^{T}M(t,t_{1})\varphi(t,t_{0})$^[7]

관측가능성 행렬의 일반화

R ${\$ \$mathbb {R}}$에 $($0${\displaystyle {}_{}}$ $)$과 같은 간격$[{\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $1]({$displaystyle [$t_{$$0,$ $t_{1})$이 존재하는 경우에만 [$t$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$](\displaystyle$$)$로 시스템을 관찰할 수 있습니다.

A${\displaystyle (t}$ ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle C(}$ $)$ {$displaystyle$ A$(t), C(t)}$가 분석 대상인 $경우{\displaystyle \stackrel{}{}}$ t${\displaystyle \stackrel{}{}[}$ [ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{t\mathrm{}}_{}}$ 1$$]{ t } { $displaystyle$$t_$$\{$${\displaystyle {}_{}}$$\},$$$ 1 } { $displaystyle$$t_$${1$} }의 간격으로 시스템을 관찰할 수 있습니다.

$\displaystyle \operatorname {rank} {bmatrix} &N_{0}({\bar {t}})&\&N_{1}({\bar {t})&\\vdots&\N_{k}({\bar {t})&\end{bmatrix}=n,})$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 N 0${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t}$) : ${\displaystyle =C}$ (${\displaystyle }$t$$) { $displaystyle$ N _ { $0$} ( t ) : $= C$ ($t$ ) $n$ ${\displaystyle n_{}N}$ i${\displaystyle }$( t )$$display 、 \ $displaystyle N$_ { $i$} ($t$ )는$$ 다음과 같이 재귀적으로 정의됩니다.

${\displaystyle N_{i+1}(t):=N_{i}(t)A(t)+{\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d} t}N_{i}(t),\i=0,\ldots,k-1}$

예

${\displaystyle (}$ - ${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle )}$) { $displaystyle$ ( - \$infty$, \$infty$)} 및$$ 매트릭스에서 분석적으로 변화하는 시스템을 고려합니다.

${\displaystyle A(t)=bgin{bmatrix}t&0\0&t^{3}&0\0&t^{2}\end{bmatrix},,C(t)=bgin{bmatrix}1&0&1\end{bmatrix}}.}$

$다음$으로[ 0( ) ( ) 2(0 ) [ 1 0 0$]{$ $displaystyle$}{$bmatrix$}$N_{0}(0)\N_{1}(0)\N_{2}(0)\end{bmatrix}}=begin{bmatrix}1&1&1&0&1&0\1&0\0$\end${$bmatrix}}}}이며, 이 행렬의 등급은 nrontrival =3이다.

비선형 시스템

$시스템$ x ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) +${\displaystyle \underset{j}{\overset{}{}}}$ j ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}{j}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ) ${\displaystyle u_{}}$ j ${$ $display$ { dot { $x$$$} $=$$f$ ( x ) + \ $sum$_ { $j$}^{ $m$} $g$_ { $j u$_ { $j$} , ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $h$($x$) , $i$ ${\displaystyle 、}$i ∈ ${\displaystyle p}$ { $display$ y _ { $display$y _ $i$}\$mathbb {R}$^{$m$$}$ 입력 $벡터$와 y${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$p {\$displaystyle y\in \mathbb$ {R}$^{p}$ 출력$$ 벡터 f${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f,g,h}$는 매끄러운 벡터 필드입니다$.$

관측 $공간{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ O $({$${s})$를 모든 반복된 Lie 도함수를 $포함$하는 공간으로 정의합니다. 그러면 ${\displaystyle {시스템}_{}}$은 ${\displaystyle {dim}_{}(}$displaystyle$x_{$0$$${\displaystyle {}_{}}$인 경우에만 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$$($ ${\displaystyle {}_{}}$0})으로 관측할 수 있습니다(displaystyle $\dim(dmathcal {O$

메모: $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle O_{}}$s ( ${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ ) ${\displaystyle =}$ span${\displaystyle \delta }$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ h${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0${\displaystyle }$) , ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle d}$ h${\displaystyle {}_{}{p}_{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$0${\displaystyle }$) ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {l{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{v\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {1_{}}_{}{{}_{}}_{}{{}_{}}_{}{}_{}{j}_{}}$ ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0${\displaystyle }$) , ${\displaystyle \text{j}\in }$ ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle =}$1, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle ...}$($$\ $display style dmathcal { O$}$_ =$ { 0 } \$oper$ （ x 0 ） ） 。$L_{v_{i-1},\ldots,L_{v_{1}}h_{j}(x_{0}),\j\in p,k=1,2,\ldots.}$

비선형 동적 시스템에서 관측 가능성의 초기 기준은 그리피스와 쿠마르,^[10] 쿠, 엘리엇과 타른,^{[11] [12]}싱에 의해 발견되었다.

정적 시스템 및 일반 토폴로지 공간

지속적으로 국가적 시스템, 또는 더 일반적으로(시스템은 일반적으로 대수 방정식과 불평등을 정의한 것)것처럼observability 기준 칼만 필터 또는 다른 관찰자의 동적의 행동을 예측하기 위해 사용된다 Observability 또한, Rn(^{n}}에 세트를 위해 .[13][14]이 보인다. 시스템 c${\displaystyle {}^{}}$ $n$\displaystyle $\mathbb {R}$^{$n}$의 세트에 대한 관측 가능성 기준은 데이터 조정 및 기타 정적 추정기의 동작을 예측하는 데 사용된다.비선형인 경우 관측 가능성은 개별 변수 및 전역 동작뿐만 아니라 로컬 추정기 동작에 대해서도 특성화할 수 있습니다.

소프트웨어 시스템의 관찰 가능성

소프트웨어 시스템에서 관찰성은 프로그램 실행, 모듈의 내부 상태 및 구성 ^[15]요소 간의 통신에 대한 데이터를 수집하는 능력입니다.관찰 가능성을 개선하기 위해 소프트웨어 엔지니어는 광범위한 로깅 및 추적 기술과 도구를 사용합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 제어성
• 식별 가능성
• 상태 옵서버
• 상태 공간(컨트롤)

레퍼런스

외부 링크

• "Observability". PlanetMath.
• 시스템의 관측 가능성을 확인하는 MATLAB 함수
• 시스템의 관찰 가능성을 확인하기 위한 매스매티카 함수