피어슨의 카이-제곱 검정

j 행과 k 열을 갖는 Pearson 통계량의 null 분포는 (k - 1)(j - 1) 자유도를 갖는 카이-제곱 분포로 근사치를 구한다.^[9]

이 근사치는 다항 분포에 의해 기대값이 주어지는 경우 귀무 가설에서 참 분포로 발생한다.큰 표본 크기의 경우, 중심 한계 정리에서는 이 분포가 특정 다변량 정규 분포를 지향한다고 말한다.

두 개의 세포

표에 두 개의 셀만 있는 특별한 경우, 기대값은 이항 분포를 따른다.

${\displaystyle O\\\심 \\\\\mbox{Bin}}(n,p),\,}$

어디에

p = 확률, 귀무 가설에서

n = 표본의 관측치 수입니다.

위의 예에서 가정된 남성 관측치의 확률은 0.5이며 표본은 100이다.따라서 우리는 50명의 남성들을 관찰할 것으로 기대한다.

n이 충분히 큰 경우, 위의 이항 분포는 가우스 분포(정규 분포)로 근사할 수 있으며, 따라서 Pearson 검정 통계량은 카이 제곱 분포에 근사할 수 있다.

${\displaystyle {\text{Bin}(n,p)\약 {\text{N}(np,np(1-p)))\,}$

O를₁ 첫 번째 셀에 있는 표본의 관측치 수입니다.Pearson 검정 통계량은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {(O_{1}-np)^{2}}{np}+{\frac {(n-O_{1}-n(1-p))^{2}}{n(1-p)}},}$

다시 로 표현될 수 있는.

${\displaystyle \left({\frac {O_{1}-np}{\sqrt{np(1-p)}}}\오른쪽)^{2}}$

이항 분포에 대한 정규 근사치에 의해 이것은 하나의 표준 정규 변수의 제곱이며, 따라서 자유도가 1인 카이 제곱으로 분포한다.분모는 가우스 근사치의 표준 편차 중 하나이므로 기록할 수 있다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\frac {(O_{1}-\mu )^{2}}:{\sigma ^{2}}.}$

따라서 카이-제곱 분포의 의미와 일치하여 평균으로부터 떨어진 표준 편차의 관측 개수가 가우스 근사치(큰 n에 대해 좋은 근사치) 아래에 얼마나 가능성이 있는지 측정하고 있다.

그런 다음 카이-제곱 분포는 통계값 오른쪽에 통합되어 P-값을 얻는데, 이는 귀무 가설을 가정할 때 관측된 통계값과 같거나 더 큰 통계량을 얻을 확률과 같다.

2x2 분할표

두 행과 두 열을 포함하는 분할표에 시험을 적용하는 경우, 이 검정은 비율의 Z 검정에 해당한다.^{[citation needed]}

많은 세포

상기와 대체로 유사한 주장들은 비록 세부사항들이 더 많이 포함되기는 하지만, 원하는 결과를 초래된다.검정 통계량의 한계 총계를 표준 정규 랜덤 변수의 제곱을 하나 더 적게 만들기 위해 변수의 직교 변화를 적용할 수 있다.^[10]

$이제{\displaystyle {}^{}}$ 관측치의 수가 무한대에 근접함에 따라 ${\displaystyle {분포}^{}}$가 {$$2 {\$displaystyle \chi ^{2$} 분포에$$ 실제로 무증상적으로 접근한다는 것을 증명해 보자.

Let ${\displaystyle n}$ be the number of observations, ${\displaystyle m}$ the number of cells and ${\displaystyle p_{i}}$ the probability of an observation to fall in the i-th cell, for ${\displaystyle 1\leq i\leq m}$. We denote by ${\displaystyle \{k_{i}\}}$ the configuration where f또는 i마다 i번째 셀에 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 관측치가$$ 있다.참고:

${\displaystyle \sum \{i=1}^{m}k_{i}=n\qquad {\text{and}}\qquad \sum _{i=1}^{m}p_{i}=1=1.}$

Let ${\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})}$ be Pearson's cumulative test statistic for such a configuration, and let ${\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})}$ be the distribution of this statistic.${\displaystyle {후자}^{}}$의 확률은 $m{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$$\chi ^{2$}}분포를$$ 자유도로$$ 하여$$$n{\displaystyle }$→$\.$ {\$displaystyle n$\to $\inft.}$에 접근한다는 것을 보여줄 것이다.

임의 값 T:

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})]T)=\sum _{{k_{i}\}\chi _{P}^{2}(\{k_{i}\}}\{p_{i}\}})>>.T}{\frac {n!}}{k_{1}!\cdots k_{m}!}}}\prod _{i=1}^{m}{p_{i}^{k_{i}}}}$

우리는 de Moivre-Laplace 정리의 근사치와 유사한 절차를 사용할 것이다.$small{\displaystyle {}_{}}$ k ${\displaystyle i_{}}$ ${\$로부터의 기여는 n ${\displaystyle$ $n$$}$의 전대 순서가 있으므로$$$$, $large{\displaystyle }$n {\$displaystyn$${\displaystyle \}}$에 대해서는$$ $스털링$의 공식을 n! {\$displaysty n!}$과 k ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystystylek_{i}$ 둘 다 사용할 수 있다!다음을 얻으려면$$$$}:

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})]T)\sim \sum _{k_{i}\} \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\}}}\{p_{i}\}}).T}\prod _{i=1}^{m}\왼쪽({\frac {np_{i}}{k_{i}}}\오른쪽)^{k_{i}}{\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}}}}}$

대신하여

${\displaystyle x_{i}={\frac {k_{i}-np_{i}}{\sqrt{n}},\qquad i=1,\cdots,m-1,}$

${\displaystyle {큰}_{}}$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 $대해$ x i {\$displaystyle k_{i}$에 대한 적분으로$$ 대략 계산할 수 있다$.$ 참고:

${\displaystyle k_{m}=np_{m}-{\sqrt{n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}}}$

도착하다

${\displaystyle {\begin{aigned}P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\}).T)&\\sim {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}{i=1}^{m}2\pi k_{i}}}\int _{\\cHI_{P}^{{{\sqrt {{n}x_{i}}}}}}}}}}}\{p_{p_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}{{\sqrt {n}}dx_{i}}\right\}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}\left(1+{\frac {x_{i}}{{\sqrt {n}}p_{i}}}\right)^{-(np_{i}+{\sqrt {n}}x_{i})}\left(1-{\frac {\sum _{i=1}^{m-1}{x_{i}}}{{\sqrt {n}}p_{m}}}\right)^{-\left(np_{m}-{\sqrt {n}}\sum _{i=1}^{m-1}x_{i}\right)}\right\}\\&={\sqrt {\frac {2\pi n}{\prod _{i=1}^{m}\left(2\pi np_{i}+2\pi {\sqrt {n}}x_{i}\right)}}}}\int _{\chi _{P}^{2}(\{{\\sqrt{n}x_{n}+np_{i}\}}\{p_{i}\}).T}\left\{\prod_{i=1}^{m-1}{{\sqrt{n}}dx_{나는}}\right\};\qquad\qquad \times \left[-\left(np_{나는}와{\sqrt{n}}x_{나는}\right)\ln \left(1+{\frac{x_{나는}}{{\sqrt{n}}p_{나는}}}\right)\right]\exp \left는 경우에는 -\left(np_{m}-{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{m-1}x_{나는}\right)\ln \left(1-{\frac{\sum_{i=1}^{m-1}{x_{나는}}}{{\sqrt{n}}p_{m}}}\left\{\prod_{i=1}^{m-1}\exp \\& \times.\right)\right]\right\}\end{aigned}}}$

로그 범위를 확장하고 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$의 주요 용어를 사용함으로써

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})]T)\\sim {1}{\frac {1}{\sqrt {(pi)}^{m-1}\prod _{i=1}{m-p_{i}}}}\{\cHI_{P}^{2}(\\\\\\\\\\\{\sqrt{n}x_{np_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}T}\left\{\prod _{i=1}^{m-1}dx_{i}\right\}\prod _{i=1}^{m-1}\exp \left[-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m-1}{\frac {x_{i}^{2}}{p_{i}}}-{\frac {1}{2p_{m}}}\left(\sum _{i=1}^{m-1}{x_{i}}\right)^{2}\right]}$

Pearson's chi, ${\displaystyle \chi _{P}^{2}(\{k_{i}\},\{p_{i}\})=\chi _{P}^{2}(\{{\sqrt {n}}x_{i}+np_{i}\},\{p_{i}\})}$, is precisely the argument of the exponent (except for the -1/2; note that the final term in the exponent's argument is$({\displaystyle k_{}}$ m${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m\mathrm{}}^{}{}_{}{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle }$( n ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (k_{m}-np_{m}}^{2}/(np_{m}}})$과 같다.$$

이 주장은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle -{\frac {1}{1}:{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j},\qquad i,j=1,\cdots,m-1,\quad A_{ij}={\tfrac {\\delta _{p_{i}}}}+{\tfrac {1}{p_{m}}}}.}$

${\displaystyle A}$은(는) 정규 대칭$({\displaystyle \mathrm{m}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle m}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle(m-1)\times(m-1)$행렬이므로$$ 대각선이 가능하다.따라서${\displaystyle }$다음과 $같이{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ - 1 {\$displaystyle \{$$x_{$i$}\}}$의 변수를 선형적으로 변경하여${\displaystyle }$m - 1 ${\$$displaystyle$ $m-1$$}$ 새로운$$ ${\displaystyle {변수}_{}}$를 얻을 수 있다$$$$$.$

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{m-1}x_{i}A_{ij}x_{j}=\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}.}$

이러한 변수의 선형적 변화는 단지 정수 Jacobian에 의해 적분을 곱할 뿐이므로, 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle P(\chi _{P}^{2}(\{p_{i}\})]T)\sim C\int _{\sum _{i=1}^{m-1}y_{i}^{2}>T}\왼쪽\{\prod _{i=1}^{m-1}dy_{i}\right\}\prod _{i=1}{m-1}\exp \left[-}-{1}{1}:{i=1}{i-1}y_{i}^{2}\오른쪽]}}}}$

여기서 C는 상수다.

이것은 평균과 ${\displaystyle \mathrm{단위}}$ 분산이 0인 $m{\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle$ $m-1$$}$ 독립$$ 정규 분포 변수의 제곱합이 T보다 클 확률로, 즉 $m{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ $\chi ^{$2$}}$도 자유도가$$$$ T보다 클 확률이다.

따라서 $우리$는 pearson의${\displaystyle }$기 분포가$$$m{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m-1}$ 자유도로$$ 기 분포에 접근하는 한계를 보여주었다${\displaystyle \mathrm{.}}$