자기 상관

위: 사인 함수를 숨기는 일련의 100개 난수 그림입니다.아래: 자기 상관에 의해 생성된 상관도에서 나타나는 사인 함수입니다.

컨볼루션, 교차 상관 및 자기 상관을 시각적으로 비교합니다.

함수

f와 관련된 연산의 경우, f의

높이

가 1.0이라고 가정하면, 5개의 다른 지점에서 결과의 값은 각 점 아래의 음영 영역으로 표시됩니다.또, 이 예에서는,

f

의 대칭이 g

{\

g*f

{

displaystyle g*

f\star g

}와 f

f\star g

g {

displaystyle

f

\star

g}가

f\star g

같은

g*f

입니다.

자기상관은 이산 시간에서는 시리얼 상관관계라고도 불리며 지연의 함수로 지연된 자기복사를 갖는 신호의 상관관계입니다.비공식적으로는 관측치 간의 시차 함수로서의 관측치 간의 유사성입니다.자기상관 분석은 노이즈에 의해 가려지는 주기적 신호의 존재와 같은 반복 패턴을 찾거나 고조파 주파수에 의해 암시되는 신호에서 누락된 기본 주파수를 식별하기 위한 수학적 도구입니다.시간 영역 신호와 같은 함수 또는 일련의 값을 분석하기 위한 신호 처리에서 자주 사용됩니다.

연구 분야마다 자기 상관을 다르게 정의하며, 이러한 정의가 모두 동일한 것은 아닙니다.일부 필드에서는 이 용어가 자기변환과 상호 호환되게 사용됩니다.

단위 루트 프로세스, 추세 고정 프로세스, 자기 회귀 프로세스 및 이동 평균 프로세스는 자기 상관 관계가 있는 특정 형태의 프로세스입니다.

확률적 과정의 자동 상관

통계학에서, 실제 또는 복잡한 랜덤 공정의 자기 상관 관계는 두 번의 함수 또는 시간 시차의 함수로서 서로 다른 시간에 있는 공정 값 사이의 Pearson 상관 관계입니다. $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{X_{t}\right\}$ t $}$ { $displaystyle \$ left \ { $X$ _ { $t$ } \ $right \$ } $t$ t $、$ t { $displaystyle$ t $t$ $t$ } point 、 point in 、 point point in in in in in in in,,,,,,,,,,,,,,,, （ \ $displaystyle$ $t$ ） $let$ or or or or or or or or or or or or or or or or or or or프로세스의 정수 또는 연속시간 프로세스의 실수). $X_{t}$ 으로 X t $X_{t}$ {\ $displaystyle X_{t}$ 는 $X_{t}$ $시간$ $t$ {\ $displaystyle$ t $t$ 에서 $\sigma _{t}^{2}$ 프로세스의 실행으로 생성되는 값(또는 실현)입니다. $t$ 의 $t$ 은 $\mu _{t}$ t{ $displaystyle$ \ $mu$ $\mu _{t}$ _ ${t}$ 이고 $\mu _{t}$ $\sigma _{t}^{2}$ 은 $\sigma _{t}^{2}$ 2 $\sigma _{t}^{2}$ { $displaystyle$ $\sigma _{t}^{2}$ t $}$ 입니다 $t$ $laystyle$ t $t$ 입니다.다음으로 $({$ 과 $t_{1}$ $({$ 사이의 $t_{2}$ ^[1]^{: p.388}^[2]^{: p.165} 자동 상관 함수의 정의는 다음과 같습니다.

\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[X_{1}{\overline {X}_{2}} \right

(제1호)

$\operatorname {E}$ 서 E $(\displaystyle \operatorname {E})$ 는 $\operatorname {E}$ 기대치 연산자이고 바는 복잡한 활용을 나타냅니다.예상이 제대로 정의되지 않을 수 있습니다.

곱하기 전의 평균을 빼면 $({$ 과 $t_{1}$ $({$ ^[1]^{: p.392}^[2]^{: p.168} 사이의 자동 공분산 함수가 생성됩니다.

{\displaystyle \operatorname {K} _{XX} (t_{1}, t_{2})=\operatorname {E} \left[(X_{1}-\mu _{1}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu {}}\rightopername=

(제2호)

평균이 존재하지 않거나 분산이 0(항정 공정의 경우) 또는 무한(특정 유형의 멱함수 법칙과 같이 동작이 양호한 모멘트가 결여된 분포의 경우)일 수 있으므로 이 식은 모든 시계열 또는 프로세스에 대해 제대로 정의되지 않습니다.

와이드센스 고정 확률 프로세스의 정의

{ $\left\{X_{t}\right\}$ t $\left\{X_{t}\right\}$ { $displaystyle \ left$ \ { X $_$ $t_{1}$ { $t$ $\left\{X_{t}\right\}$ } \ $right \$ } 이 $\left\{X_{t}\right\}$ 와이드센스 정지 프로세스인 $\left\{X_{t}\right\}$ 경우 $\mu$ μ { \ $displaystyle$ \ mu $\mu$ $}$ 와 분산 $\sigma ^{2}$ { $displaystyle$ \ sigma ^ ${$ 2 $}}$ 은 $\sigma ^{2}$ 시간 독립적이며 자동변동함수는 t1과 $t_{1}$ $t_{1}$ 의 $t_{1}$ $t_{2}$ 에만 의존합니다. $t_{2}$ \ $displaystyle t_{2$ : 자동변동성은 값 쌍 사이의 시간 거리에 따라 달라지며 시간 내 위치에 따라 달라지지 않습니다 $.$ 이는 또한 자기변환과 자동변환이 시간 지연의 함수로 표현될 수 있으며, $이것$ 이 지연 $= t$ - $t 1$ 의 짝수 함수임을 의미한다 $\tau =t_{2}-t_{1}$ 이를 통해 자동 상관 기능에^[1]^{: p.395} 보다 친숙한 형태를 얻을 수 있습니다.

\operatorname {R} _ {XX}(\tau)=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau} {\overline {X}_{t}\right}

(제3호)

및 자동 컴플라이언스 기능:

\operatorname {K} _{XX}(\tau)=\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau}-\mu)}}\right]=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau}\mu} {overline

(제4호)

정규화

일부 분야(예: 통계 및 시계열 분석)에서는 시간 종속 Pearson 상관 계수를 얻기 위해 자기 분산 함수를 정규화하는 것이 일반적입니다.그러나 다른 분야(예: 엔지니어링)에서는 보통 정규화가 폐기되고 "자동 상관"과 "자동 변동"이라는 용어가 서로 호환되게 사용됩니다.

확률적 과정의^[2]^{: p.169} 자기 상관 계수의 정의는 다음과 같다.

\rho _{X}(t_{1}, t_{2})=flac {operatorname {K}_{X}(t_{1}, t_{2}}}{\sigma _{1}\filename _{2}}}=frac {{{X}-{T}}

$\rho _{XX}$ $({$ _ ${XX$ 함수가 잘 정의되어 있는 경우, 그 $[-1,1]$ 은 $[-1,1]$ [-1 $, 1](-1$ 은 완벽한 상관관계를 나타내고 -1은 완벽한 반상관관계를 나타냄 $[-1,1]$ 범위에 있어야 합니다.

Weak-Sense Stationity, Wide-Sense Stationity(WSS; 약감지 스테이션리티) 프로세스의 경우 정의는 다음과 같습니다.

\rho _{XX}(\tau)=param frac {K}_{X}(\tau)}{\param ^{2}=param frac {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu)}{\light}{\overline(X_tu}}}{\light

어디에

\operatorname {K} _{X}(0)=\sigma ^{2}.

상관관계로서의 자기상관 해석은 통계의존성 강도에 대한 척도 없는 척도를 제공하기 때문에 정규화는 추정된 자기상관의 통계 특성에 영향을 미치기 때문에 중요하다.

특성.

대칭성

$\operatorname {R} _{XX}$ $\operatorname {R} _{XX}$ $\operatorname {R} _{XX}$ X(\ $displaystyle \operatorname {R}_{XX})$ 가 $\operatorname {R} _{XX}$ 짝수함수라는 사실은 다음과^[2]^{: p.171} 같다.

\operatorname {R} _{X} (t_{1}, t_{2})= 오버라인 {{X} (t_{2}, t_{1})}

각 WSS ^[2]^{: p.173}프로세스의 경우:

\operatorname {R} _{XX} (\tau)=오버라인(\operatorname {R} _{XX} (-\tau)}}.

제로에서의 최대값

WSS 프로세스의 ^[2]^{: p.174}경우:

\displaystyle \left \operatorname {R} _{XX}(\tau)\right \leq \operatorname {R} _{X}(0)}

\operatorname {R} _{XX}(0)

\operatorname {R} _{XX}(0)

\operatorname {R} _{XX}(0)

(

\operatorname {R} _{XX}(0)

){

displaystyle \operatorname {R} _{XX}(0)}

는

\operatorname {R} _{XX}(0)

\operatorname {R} _{XX}(0)

실재합니다.

코시-슈바르츠 부등식

코시-슈바르츠 부등식, 확률적 ^[1]^{: p.392}과정의 부등식:

\displaystyle \left \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2}\right[X_{1}^{2}\left[X_{t_2}\operatorname {E}\left[X_{2}\left]

백색 소음의 자기 상관

연속 시간 백색 노이즈 신호의 자기 상관 관계는 $\tau =0$ $\tau =0$ 0 $(Dirac$ 델타 함수로 표시됨)에서 $\tau =0$ $강한$ 피크를 가지며(다른 모든 $\tau$ {\ \ $displaystyle$ $\$ $display$ $\tau =0$ 0 $)$ $정확히$ 0(\ $displaystyle$ 0)이 됩니다 $.$

빈-킨친 정리

Wiener-Kinchin 정리는 푸리에 변환을 통해 자기 상관 $\operatorname {R} _{XX}$ $\operatorname {R} _{XX}$ $({$ { $R}_{$ XX})를 $\operatorname {R} _{XX}$ 전력 스펙트럼 $S_{XX}$ $S_{XX}$ X $({$ })와 $S_{XX}$ 관련짓습니다.

\operatorname {R} _{\tau}=\int _{-\infty }{\infty }S_{X}(f)e^{i2\pi f\f},{\rm {d}f

S_{XX}(f)=\int _{-\infty}^{\infty}\operatorname {R}_{X}(\tau)e^{-i2\pi f\display},{\rm {d}\infty}

실값 함수의 경우 대칭 자기상관 함수는 실대칭 변환을 가지므로 위너-킨친 정리는 실코사인만 사용하여 재표현할 수 있다.

\displaystyle \operatorname {R}_{X}(\tau)=\int_{-\infty}{\infty}S_{X}(f)\cos(2\pi f\disples), {\rm {d}f}

{\displaystyle S_{XX}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}\operatorname {R}_{XX}(\tau)\cos(2\pi f\blash), {\rm{d}\blash}}.

랜덤 벡터의 자동 상관

(특히 시간에 의존하는) 랜덤 $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ X $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ ( $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ 1, $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ , $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ ) $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ {\ $displaystyle \mathbf {X}$ = ( $X_{1}, X_{n}^{T})$ 의 $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ (초 모멘트라고도 함) 자동변환 $n\times n$ 은 n $x\style$ 이다 $n\times n$ .자기상관행렬은 $다양$ 한 디지털 $\mathbf {X}$ 처리 알고리즘에서 $사용$ 됩니다 $\mathbf {X}$

기대값 및 분산이 존재하는 랜덤 요소를 포함하는 $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ 벡터 X $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ ( $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ 1, $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ , $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ n ) $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ { \ $displaystyle \mathbf {X}$ = ( $X_{1},\ldots,X_{n})^{\rm {T}}}}$ 의 $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}$ 경우, 자동 변환 행렬은 다음과 같이 정의된다^[3]^{: p.190}^[1]^{: p.334}.

\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} } \triangleq \\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\rm {T}} \right]

(제5호)

${}^{\rm {T}}$ 서 T ${}^{\rm {T}}$ {\ $displaystyle {}^{\rm {T}}$ 는 ${}^{\rm T}$ 전이를 나타내며 $n\times n$ 는 $n\times n$ n × $n\times n$ {\ $displaystyle$ n $\times$ n $n\times n$ 입니다.

컴포넌트별로 기술:

\operatorname{R}_{\mathbf{X}\mathbf{X}}={\begin{bmatrix}\operatorname{E}[X_{1}X_{1}]&,\operatorname{E}[X_{1}X_{2}]&, \cdots, \operatorname{E}[X_{1}X_{n}]\\\\\operatorname{E}[X_{2}X_{1}]&,\operatorname{E}[X_{2}X_{2}]&, \cdots &,\operatorname{E}[X_{2}X_{n}]\\\\\vdots &, \vdots &, \ddots & &, \vdot.s\\\\\operatorname{E}[X_{n}X_{1}]&\operatorname {E} [X_n}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_n}X_{n}\\\end{bmatrix}

Z $(\$ 가 $\mathbf {Z}$ 복소 랜덤 벡터일 $\mathbf {Z}$ 자기상관행렬은 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} \triangleq \\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{\rm {H}}}}]}

${}^{\rm {H}}$ 서 H $(\$ 는 ${}^{\rm {H}}$ 에르미트 전이를 나타냅니다.

$\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }$ 를 들어 X $=$ ( $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}$ 1, $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}$ , $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}$ 3) $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}$ {\ $displaystyle \mathbf {X}$ =\ $left(X_{1},X_{2},$ X_{3}\ $right)^{\$ rm $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}$ { $T$ $}}}$ 이(가) 랜덤 벡터라면 R X ${\$ displaystyle \ $opername}$ 은(R) _mathbf}입니다.-th 엔트리는 $\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]$ $\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]$ [ $\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]$ $\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]$ X $]{$ $displaystyle \operatorname$ { $E$ } [ $X$ _ { $i$ } $X$ _ { $j$ } $\operatorname {E} [X_{i}X_{j}]$ 。

자기 상관 행렬의 속성

자기상관행렬은 복소수 랜덤 벡터의 경우 에르미트 행렬이고 실제 랜덤 ^[3]^{: p.190}벡터의 경우 대칭 행렬입니다.
그 자기 상관 행렬은 긍정적인 semidefinite matrix,[3]:TRX즉 p.190 모두∈ Rn{\displaystyle \mathbf{}^{\mathrm{T}에}는 ≥ 0⁡\operatorname{R}_{\mathbf{X}\mathbf{X}}\mathbf{를}\geq 진정한 임의의 벡터에 대해 0\quad{모든 \text{에}}\mathbf{를}\in\mathbb{R}^{n}}, respecti.vely $\mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$ $\mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$ $\mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$ $\mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$ a $\mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$ 0 $0$ C $\mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}$ \ $displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {H}$ } \ $operatorname {R} _{\mathbf {Z}$ } \ $mathbf {a}$ \ $geq$ 0 $\ad {text}$ }
자기 상관 행렬의 모든 고유값은 실수이며 음수가 아닙니다.
자동 공분산 행렬은 다음과 같이 자기 상관 행렬과 관련이 있습니다. $\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} =\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E})(\mathbf {X} -\operatorname {E})$ 복잡한 랜덤 벡터의 경우: $\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E})(\mathbf {Z} -\operatorname {E})$

결정론적 신호의 자동 상관

신호 처리에서 위의 정의는 종종 정규화 없이 사용됩니다. 즉, 평균을 빼고 분산으로 나누지 않습니다.자기 상관 함수가 평균과 분산으로 정규화된 경우 자기 상관 계수^[4] 또는 자기 분산 함수라고 부르기도 합니다.

연속 시간 신호의 자동 상관

$f(t)$ f $f(t)$ $)$ { $displaystyle$ f $(t$ { $displaystyle$ f $(t)}$ 의 $R_{ff}(\tau )$ $f(t)$ , 연속 자기 $R_{ff}(\tau )$ $R_{ff}(\tau )$ f $R_{ff}(\tau )$ $R_{ff}(\tau )$ )는 대부분 $f(t)$ $t)$ { $displaystyle$ $f(t$ ^[1]^{: p.411}와의 $f(t)$ 연속 상호 상관 적분으로 $정의됩니다.$

{\displaystyle R_{ff}(\tau)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\infty)}}{\overline {f(t)}{\infty }f(t)}{\infty}}{\rm},{\infty}{d},

(제6호)

${\overline {f(t)}}$ 서 ${\overline {f(t)}}$ f ( ${\overline {f(t)}}$ ) ${\$ { { $displaystyle { f$ ( t ) ${\overline {f(t)}}$ } }는 f $f(t)$ ( $f(t)$ ) { $displaystyle$ f $(t$ 의 복소 활용을 나타냅니다 ${\overline {f(t)}}$ .적분 내의 $파라미터$ t {\ $displaystyle$ t $t$ }는 더미 변수이므로 적분 계산에만 필요합니다.특별한 의미는 없어요.

이산 시간 신호의 자동 상관

이산 시간 $y(n)$ y $(n)$ 에 $y(n)$ 대한 $\ell$ 에서의 이산 자기 $상관$ R(\ $displaystyle$ $R)$ 은 $\ell$ 다음과 $R$ 같습니다 $.$

R_{yy}(\ell)=\sum _{n\in Z}y(n),{\overline {y(n-\ell)}

(제7호)

위의 정의는 제곱 적분 가능 신호 또는 제곱 합산 가능 신호, 즉 유한 에너지에 대해 작동합니다.대신 "영원히 지속"되는 신호는 랜덤 프로세스로 처리되며, 이 경우 기대치에 따라 다른 정의가 필요합니다.광의정적 랜덤 프로세스의 경우 자기상관은 다음과 같이 정의됩니다.

{begin{aligned}R_{ff}\=\operatorname {E}\left[f(t){\overline {f(t-\line}}}\right}\\R_{y}(\ell)&=\operatorname {E} \left[y(n),\overline {y(n-\ell)}}\right]\end { aligned}

정지하지 않은 프로세스의 경우 t $\displaystyle$ t $t$ $또는$ n $\displaystyle$ n의 기능도 $합니다$ .

또한 에르고딕한 공정의 경우 예상은 시간 평균의 한계로 대체될 수 있습니다.에르고딕 프로세스의 자기상관은 때때로 다음과 같이 정의되거나 동일하다^[4].

\displaystyle \begin { aligned \rightarrow \infty } {\frac {1} {\displaystyle \begin {ff}\tau} &\lim _ { T \ rightarrow \infty }T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau){\overline {f(t)}}},{\rm {d}}t\\\R_{y}(\ell)&=\lim _{N\rightarrow \infty}{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}{N-1}y(n),{\overline {y(n-\ell)}}.\end { aligned}}

이러한 정의는 주기적 함수에 대한 합리적이고 명확한 단일 매개 변수 결과를 제공한다는 장점이 있다. 이러한 함수는 정지된 에르고드 프로세스의 출력이 아니더라도 말이다.

또는 영원히 지속되는 신호는 유한 시간 적분을 사용하여 단시간 자기 상관 함수 분석으로 처리할 수 있습니다(관련 프로세스는 단시간 푸리에 변환 참조).

주기적 신호의 정의

f{ $displaystyle$ f $T$ 가 $f$ $T$ 의 연속 주기 함수인 $경우$ , - ${\$ \ $displaystyle -$ \ $infty$ $}$ 에서 $-\infty$ $[t_{0},t_{0}+T]$ $-\infty$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $infty$ 으로의 $\infty$ 적분은T $style$ $[t_{0},t_{0}+T]$ [ t $_ 0$ , $[t_{0},t_{0}+T]$ $[t_{0},t_{0}+T]$ , $t$ _ { 0 $}$ $T$ $any$ any any any any [ [ [ [ [ t t $[t_{0},t_{0}+T]$ $t$ t t t t t t t t t t t t t t [ [ [ any any t t t t t t t t t t t t any any any any any any t t t [ any any any any t t t t t t t t t t

R_{ff}(\tau)\triangleq \int _{t_{0}+T}f(t+\tau){\overline {f(t)},dt

와 동등하다.

R_{ff}(\tau)\triangleq \int _{t_{0}+T}f(t){\overline {f(t-\tau)}},dt

특성.

여기서는 대부분의 성질이 1차원 케이스에서 다차원 케이스로 쉽게 전이되기 때문에 1차원 자기 상관의 특성만을 설명하겠습니다.이러한 속성은 와이드 센스 고정 ^[5]프로세스를 유지합니다.

자기 상관의 기본 특성은 $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ 인 $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ ( $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ ) $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ ( - $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ ) $=$ R $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ ( \ $displaystyle$ R _ { $ff$ } ( \ $tau$ )= R _ { $ff$ } ( - \ $tau$ ) $R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )$ 。이 정의는 증명하기 쉽습니다.연속적인 경우,
- f $\style$ f}가 $f$ 실함수일 $때$ 자기상관은 짝수 $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )$ $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )$ f $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )$ ( - $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )$ ) $=$ $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )$ ( $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )$ $){ff$ }(-\ $tau$ ) = $R_{ff}(\tau)$ 입니다 $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )$ .
- 자기상관은 에르미트 $함수$ R f ( - $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )$ ) $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )$ $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )$ $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )$ $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )$ （ $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )$ \ $displaystyle R_{ff}($ - \ $tau$ ) = $R_{ff}^*}(\tau)$ 이며 $R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )$ $,$ $f$ { $displaystyle$ f $}$ 는 $f$ 복소함수입니다.
연속 자기상관 함수는 발신기지에서 피크에 도달하여 실제 값 $,$ 즉 $지연$ 에 대한 $|R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)$ $|R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)$ $|R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)$ f ( $\tau$ $|R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)$ ) $|R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)$ $|R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)$ f ( $|R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)$ ) \ $displaystyle$ $\tau$ R _ { $ff$ （ \ $tau$ ） \ $leq$ R _ { $ff$ ^[1]^{: p.410} $}$ ( 0 )이것은 재배열 불평등의 결과이다.개별 케이스에서도 같은 결과가 유지됩니다.
주기함수의 자기상관은 그 자체로 같은 주기의 주기이다.
전혀 상관되지 않은 두 함수의 합(모든 $\tau$ 에서 상호 상관은 0)의 자기 상관은 각 함수의 자기 상관의 합입니다(\ $displaystyle$ \ $tau }$ 。
자기 상관은 교차 상관의 특정 유형이기 때문에 교차 상관의 모든 속성을 유지합니다.
$R_{ff}(\tau )$ ${\({displaystyle *}$ 을 $*$ (를) 사용하여 $g_{-1}$ 을 $나타내며$ g $g_{-1}(f)(t)=f(-t)$ - $g_{-1}$ $g_{-1}(f)(t)=f(-t)$ $displaystyle$ $g_{-1})$ 은 $f$ f $R_{ff}(\tau )$ $g_{-1}(f)(t)=f(-t)$ $=$ - $)$ { $displaystyle g_{-1$ $t$ $)$ 로 $R_{ff}(\tau )$ 되는 $R_{ff}(\tau )$ 입니다 $.$ \ $syslogs$ )는 $R_{ff}(\tau )$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다 $.$ ${\displaystyle R_{ff}(\tau)=(f*g_{-1}({\overline {f})(\displaystyle R_{ff})(\tau)})$

다차원 자기 상관

다차원 자기 상관도 마찬가지로 정의됩니다.예를 들어, 3차원에서는 제곱합 이산 신호의 자기상관은 다음과 같습니다.

R(j,k,\ell)=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r},{\overline {x}_{n-j,q-k,r-ell}}.

자기상관함수를 계산하기 전에 신호에서 평균값을 빼는 경우, 일반적으로 결과 함수를 자동공분산함수라고 합니다.

효율적인 계산

이산 시퀀스로 표현되는 데이터의 경우 높은 계산 효율로 자기 상관을 계산해야 하는 경우가 많습니다.신호 처리 $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ ( $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ ) $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ x $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ n - j - $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ _ { $n$ } x _ {xx} ( j ) = \ $sum$ _ { $n} x$ _ {n $}, {\overline {x}_$ {n-j $}$ 에 $R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}$ 기초한 브루트포스 방식을 신호 크기가 작을 때 사용할 수 있습니다.예를 들어, $x=(2,3,-1)$ 신호 $x=(2,3,-1)$ x $x=(2,3,-1)$ ( $x=(2,3,-1)$ , $x=(2,3,-1)$ 3 , $x=(2,3,-1)$ - $)({style$ x $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$ (2 $, 3,$ - $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$ ) $x=(2,3,-1)$ {display x = $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$ , $x=(2,3,-1)$ $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$ $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$ $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$ , $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$ $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$ - $x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1$ 1 { $display$ style $x_{0$ } $= 2$ , $x_{1$ } $= 3$ , $x_2$ } $x_{i}=0$ $0-1$ 및 $x_{i}=0$ $x_{i}=0$ $x_{i}=0$ )의 자기 상관 관계를 계산하려면 ,주어진 값은 "정확한" 곱셈과 동일하지만, 각 수직 덧셈이 특정 지연 값에 대한 자기 상관을 제공하는 오른쪽 시프트를 사용합니다.

(\displaystyle {rrr} {rrr} {\times & 2&1\hline &-2&3&3&1\hline &-2&9&4&2\hline &-2&3&143&2\end 어레이})

따라서 필요한 자기상관 $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ 는 $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ x $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ ( - $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ , $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ , $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ , - $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ 2 ) { $display style$ R_ ${x$ } = $r2, 3$ , $14$ $,$ 3 - 2) $R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)$ } 입니다 $R_{xx}(0)=14,$ . $R_{xx}(0)=14,$ 서 R $R_{xx}(0)=14,$ ( $R_{xx}(0)=14,$ ) $R_{xx}(0)=14,$ $R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$ $R_{xx}(0)=14,$ { $display style$ $R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$ ${x}$ ( $R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$ $0$ ) $R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$ $=$ $R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$ ( $R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$ ) $R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$ $R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,$ ( 1 ) 。 $aystyle$ R_ ${xx}(-2)=R_{x$ }(2)=- $2,}$ 다른 $R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,$ 지연 값에 대한 자기 상관은 0입니다.이 계산에서는 보통 곱셈에서처럼 덧셈 중에 이월 연산을 수행하지 않습니다.자기 상관의 고유한 대칭을 이용하여 필요한 작업 수를 절반으로 줄일 수 있습니다.신호가 주기적인 경우( $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ , x $=$ , $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ , $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ - $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ , $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ , $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ , $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ - $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ , $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ (\ $displaystyle$ x=(\ $dots, 2, 3$ , $1,\ldots$ )), ( $원형$ 자기상관) 이전 순서의 왼쪽 및 오른쪽 끝과 겹치는 자기상관(원형 회전과 유사)을 얻을 수 있습니다 $x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),$ . $4$ $R_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )$ , $R_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )$ , $...)$ (\ $displaystyle R_{xx}=(\ldots, 14, 1, 14, 1$ , 1, $\ldots$ ).(\ $displaystyle$ x $).$ (\displaystyle x $.)$ 이 절차는 이산 신호의 Z 변환의 컨볼루션 특성을 적용한 것으로 간주할 수 있습니다.

brute force 알고리즘이 순서 $n$ 인² 반면, 자기 상관을 $순서$ n log $(n)$ 로 계산할 수 있는 몇 가지 효율적인 알고리즘이 존재합니다.예를 들어, Wiener-Kinchin 정리는 두 개의 고속 푸리에 변환(FFT)^[6]^{[page needed]}을 사용하여 원시 $데이터$ X $(t)$ 로부터 자기 상관을 계산할 수 있습니다.

디스플레이 스타일F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\S(f)&=F_{R}(f)^{*}(f)\R(\tau)&=\operatorname {IFFT}[S(f)\end}} 정렬

여기서 IFFT는 역고속 푸리에 변환을 나타냅니다.아스타리스크는 복소공역사를 나타냅니다.

또는 낮은 $δ값$ 에 대해 brute force 계산을 사용한 후 X $(t)$ 데이터를 로그 밀도로 점진적으로 바이닝하여 높은 값을 계산함으로써 $동일$ 한 $n개$ 의 log $(n)$ 효율을 얻을 수 있지만 메모리 ^[7]^[8]요건은 낮다.

견적

n개의 관측치{ $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$ $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$ $}({Displaystyle \{X_{1$ }, $X_{$ 2},\ $ldots,X_{$ n $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$ 을 $n$ $n$ 한 $알려진$ 평균과 분산을 갖는 이산 프로세스의 경우, 자기 상관 계수의 추정치는 다음과 같이 얻을 수 있다.

{R}(k)=sum frac {1}{n-k}\sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-\mu)(X_{t+k}-\mu)

임의의 양의 $k<n$ k < $k<n$ { $displaystyle$ k < $n$ }. 참 $\mu$ μ { $displaystyle$ \ $mu$ } 및 $\mu$ 분산 $\sigma ^{2}$ 2 { $displaystyle$ \ $sigma$ ^ { $2}}$ 이 $\sigma ^{2}$ 알려진 경우 이 추정치는 치우치지 않습니다.공정의 실제 평균과 분산을 알 수 없는 경우 다음과 같은 여러 가지 가능성이 있습니다.

μ $\mu$ {\ $displaystyle$ $\sigma ^{2}$ \ $mu }$ $\sigma ^{2}$ ${\$ 2 {\ $displaystyle$ \ $sigma ^{$ 2}}를 $\mu$ $\sigma ^{2}$ 표본 평균 및 표본 분산에 대한 표준 공식으로 대체하면 $\mu$ 는 편향된 추정치이다.
periodogram 기반 추정치는 위의 공식에서 $n-k$ n - $n-k$ k(\ $displaystyle n-k)$ 를 $n-k$ n $(\displaystyle$ n $n$ 로 $n-k$ 합니다.이 추정치는 항상 치우쳐 있지만 일반적으로 평균 제곱 ^[9]^[10]오차가 더 작습니다.
데이터 $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}$ { $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}$ $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}$ $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}$ - $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}$ $}({displaystyle \{X_{1},X_{2},\ldots,,X_{n-k}\})$ 및 $\{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}$ $\{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$ { $\{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$ 1 $\{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}$ k $+$ 의 두 부분을 처리함으로써 다른 가능성이 있습니다.추정치를 ^{[citation needed]}정의하는 데 사용할 애리어스.

마지막 유형의 추정치의 장점은 추정된 자기 상관 집합이 k $\style$ k의 함수로서 정확히 그 자기 상관을 갖는 이론적 과정을 정의할 수 있다는 점에서 유효한 자기 상관 함수를 형성한다는 것이다.다른 추정치는 X $(\style$ X $X$ 의 선형 조합의 분산을 계산하는 데 사용될 경우 계산된 분산이 ^[11]음수라는 문제가 발생할 수 있습니다.

회귀 분석

시계열 데이터를 사용한 회귀 분석에서 관심 변수의 자기 상관 관계는 일반적으로 자기 회귀 모델(AR), 이동 평균 모델(MA), 자기 회귀 이동 평균 모델(ARMA)의 조합 또는 자기 회귀 통합 이동 평균 모델(ARIMA)이라고 하는 후자의 확장을 사용하여 모형화됩니다.상호 연관된 여러 데이터 시리즈에서는 벡터 자동 복귀(VAR) 또는 그 확장이 사용됩니다.

정규 최소 제곱법(OLS)에서는 회귀 잔차의 자기 상관 관계가 있는지 여부를 설정하여 모형 규격의 적합성을 부분적으로 확인할 수 있습니다.관측할 수 없는 오차의 자기 상관은 일반적으로 관측 가능한 잔차에서 자기 상관을 생성하기 때문에 검출할 수 있습니다(오차는 계량경제학에서 "오차항"이라고도 합니다).오차의 자기상관은 오차항이 상관관계가 없다는 일반 최소 제곱 가정에 위배된다. 즉, 가우스 마르코프 정리가 적용되지 않으며 OLS 추정기가 더 이상 Best Linear Unbiased Estimators(BLUE)가 아니라는 것을 의미한다.OLS 계수 추정치에 치우치지는 않지만, 낮은 시차에서 오차의 자기 상관 관계가 양수인 경우 표준 오차는 과소평가(및 t-점수 과대평가)되는 경향이 있습니다.

1차 자기 상관의 존재에 대한 전통적인 테스트는 Durbin-이다.왓슨 통계량 또는 설명 변수에 지연 종속 변수가 포함된 경우 더빈의 h 통계량.Durbin-Watson은 값과 지연 사이의 ^[12]Pearson 상관 관계에 선형으로 매핑할 수 있습니다.보다 유연한 테스트는 고차 자기 상관을 다루며 회귀기에 종속 변수의 지연이 포함되는지 여부에 관계없이 적용할 수 있다.여기에는 (a) 원래 회귀 분석기 및 (b) 잔차의 k 지연에 대해 관심 있는 모형을 추정하여 얻은 잔차가 회귀되는 보조 회귀 분석이 수반된다. 여기서 'k'는 검정의 순서이다.이 보조 회귀 분석에서 얻은 검정 통계량의 가장 간단한 버전은 TR이며², 여기서 T는 표본 크기이고² R은 결정 계수입니다.자기 상관 관계가 없다는 귀무 가설에서 이 통계량은 k자유도를 갖는 $\chi ^{2}$ 2 $(\$ ^{ $2})$ 로 $\chi ^{2}$ 점근적으로 분포된다.

0이 아닌 자기 상관에 대한 반응에는 일반화 최소 제곱과 뉴이가 포함됩니다.West HAC 추정기(Heteroskedasticity and Autocrelation Consistent).^[13]

이동평균모델(MA)의 추정에서 자기상관함수는 포함되는 적절한 지연오차항 수를 결정하기 위해 사용된다.이는 순서 q의 MA 프로세스에서는 $\tau =0,1,\ldots ,q$ $R(\tau )\neq 0$ ( $R(\tau )\neq 0$ ) $R(\tau )\neq 0$ 0 $R(\tau )\neq 0$ \ $display style$ R ( \ $tau$ ) \ $neq$ 0 $R(\tau )\neq 0$ 、 $、$ 0 $\tau =0,1,\ldots ,q$ , $\tau =0,1,\ldots ,q$ $\tau =0,1,\ldots ,q$ , $\tau =0,1,\ldots ,q$ $R(\tau )=0$ \ $display$ style \ $display = 0$ , 1 $,$ $\ldots ,$ $q$ } $R(\tau )=0$ 및 R ( $R(\tau )=0$ ) $=$ $R(\tau )=0$ , t ) $R(\tau )\neq 0$ {\ 0 （ \ $display$ style R ( \ display $style$ R ( \ $tau$ ) ）） $。$

적용들

자기상관분석은 분자수준 확산과 ^[15]화학반응에 대한 정량적 통찰력을 제공하기 위해^[14] 형광상관분광학에서 많이 사용된다.
자기 상관의 또 다른 적용은 광학 스펙트럼의 측정과 레이저에 의해 생성된 초단시간 광 펄스의 측정이다. 둘 다 광학 자기 상관기를 사용한다.
자기상관은 동적 광산란 데이터를 분석하기 위해 사용되며, 특히 유체 중에 부유하는 나노미터 크기의 입자 또는 미셀의 입자 크기 분포를 결정할 수 있다.혼합물을 비추는 레이저에 의해 입자의 움직임에서 생기는 반점 패턴이 생성됩니다.신호의 자기상관은 입자의 확산으로 해석할 수 있다.이로부터 유체의 점도를 알면 입자의 크기를 산출할 수 있다.
GPS 시스템에서 위성 반송파 신호의 전송 시점과 지상 수신기의 시점 사이의 전파 지연 또는 시간 이동을 보정하기 위해 사용됩니다.이는 수신기가 1,023비트 C/A(Coarse/Aquisition) 코드의 복제 신호를 생성하고, 한 번에 10개의 패킷으로 코드 칩 [-1,1] 또는 10,230개의 칩(1,023 × 10) 라인을 생성하여 수신 위성 복제 신호의 도플러 시프트를 수용할 때까지 약간 이동함으로써 이루어집니다.신호와 위성 신호 코드가 ^[16]일치합니다.
나노 구조 시스템의 작은 각도의 X선 산란 강도는 전자 밀도의 공간 자기 상관 함수의 푸리에 변환입니다.
표면과학 및 주사프로브 현미경법에서 자기상관은 표면형태학과 기능특성 사이의 ^[17]연결을 확립하기 위해 사용된다.
광학에서, 정규화된 자기 상관과 교차 상관은 전자장의 일관성을 제공합니다.
신호 처리에서 자기 상관성은 음악 비트(예를 들어 템포를 결정하기 위해)나 펄서 주파수와 같은 반복 이벤트에 대한 정보를 제공할 수 있지만 비트 시간에서의 위치를 알 수는 없습니다.그것은 또한 음악 톤의 음높이를 추정하는데도 사용될 수 있다.
음악 레코딩에서 자기상관은 음성 처리 전 피치 검출 알고리즘으로서, 왜곡 효과로서 또는 바람직하지 않은 실수나 ^[18]오류를 제거하기 위해서 사용된다.
시간이 아닌 공간에서의 자기상관은 패터슨 함수를 통해 X선 회절론자에 의해 회절만으로 얻을 수 없는 원자 위치에 대한 "Fourier 위상 정보"를 복구하는 데 사용됩니다.
통계학에서 표본 위치 간의 공간 자기 상관은 이질 모집단을 표본 추출할 때 평균 값의 불확실성을 추정하는 데에도 도움이 됩니다.
질량 스펙트럼 분석을 위한 SEQUEST 알고리즘은 교차 상관과 함께 자기 상관을 사용하여 펩타이드를 나타내는 이상적인 스펙트럼에 대한 관측 스펙트럼의 유사성을 채점한다.
천체물리학에서 자기상관은 우주의 은하의 공간적 분포와 저질량 X선 쌍성의 다파장 관측을 연구하고 특징짓는 데 사용됩니다.
패널 데이터에서 공간 자기 상관은 공간을 통해 변수와 변수의 상관 관계를 나타냅니다.
마르코프 연쇄 몬테카를로 데이터 분석에서 정확한 오류 결정을 위해 자기 상관을 고려해야 한다.
지구과학(특히 지구물리학)에서는 지하의 3D 지진 조사를 통해 자기 상관 지진 속성을 계산하는 데 사용할 수 있다.
의료용 초음파 촬영에서는 혈류를 시각화하기 위해 자기 상관을 사용합니다.
일시적 포트폴리오 선택에서 자산의 수익률에 자기상관관계가 있는지 여부는 해당 자산에 보유하는 포트폴리오의 최적 부분에 영향을 미칠 수 있다.
숫자 릴레이의 ^[19]전원 시스템 주파수를 정확하게 측정하기 위해 자기 상관 관계가 사용되었습니다.

시리얼 의존성

직렬 종속성은 자기 상관의 개념과 밀접하게 관련되어 있지만 고유한 개념을 나타냅니다(상관 및 종속성 참조).특히 시리얼 의존성을 가질 수 있지만 (선형) 상관관계를 가질 수 없습니다.그러나 일부 필드에서는 두 개의 용어가 동의어로 사용됩니다.

랜덤 변수의 시계열은 시계열 내의 어떤 $시간$ t\ $displaystyle$ t 값이 $t$ 다른 $시간$ t $\displaystyle$ s $s$ 의 값에 통계적으로 종속되어 있는 경우 직렬 종속성이 있습니다. 어떤 쌍 간에 종속성이 없는 경우 직렬 독립적입니다.

시계열 $\left\{X_{t}\right\}$ { $\left\{X_{t}\right\}$ t $\left\{X_{t}\right\}$ \left $\{X_$ ${t$ $}\$ $right$ $\})$ 이 $\left\{X_{t}\right\}$ $(X_{t},X_{s})$ 정지 상태이면 쌍 $(X_{t},X_{s})$ $t$ $,$ $s$ ) $간$ 의 통계적 의존성은 동일한 시차에 있는 모든 값 쌍 간에 통계적 의존성이 있음을 의미합니다 $\tau =s-t$ $\tau =s-t$ - $style = style$

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Gubner, John A. (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 박건일, Springer, 2018, ISBN 978-3-319-68074-3
^ ^a ^b ^c Papoulis, Atanasius, 확률, 랜덤 변수 및 확률 과정, McGraw-Hill, 1991년
^ ^a ^b Dunn, Patrick F. (2005). Measurement and Data Analysis for Engineering and Science. New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-282538-1.
^ Proakis, John (August 31, 2001). Communication Systems Engineering (2nd Edition) (2 ed.). Pearson. p. 168. ISBN 978-0130617934.
^ Box, G. E. P.; Jenkins, G. M.; Reinsel, G. C. (1994). Time Series Analysis: Forecasting and Control (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. ISBN 978-0130607744.
^ Frenkel, D.; Smit, B. (2002). "chap. 4.4.2". Understanding Molecular Simulation (2nd ed.). London: Academic Press. ISBN 978-0122673511.
^ Colberg, P.; Höfling, F. (2011). "Highly accelerated simulations of glassy dynamics using GPUs: caveats on limited floating-point precision". Comput. Phys. Commun. 182 (5): 1120–1129. arXiv:0912.3824. Bibcode:2011CoPhC.182.1120C. doi:10.1016/j.cpc.2011.01.009. S2CID 7173093.
^ Priestley, M. B. (1982). Spectral Analysis and Time Series. London, New York: Academic Press. ISBN 978-0125649018.
^ Percival, Donald B.; Andrew T. Walden (1993). Spectral Analysis for Physical Applications: Multitaper and Conventional Univariate Techniques. Cambridge University Press. pp. 190–195. ISBN 978-0-521-43541-3.
^ Percival, Donald B. (1993). "Three Curious Properties of the Sample Variance and Autocovariance for Stationary Processes with Unknown Mean". The American Statistician. 47 (4): 274–276. doi:10.1080/00031305.1993.10475997.
^ "Serial correlation techniques". Statistical Ideas. 26 May 2014.
^ Baum, Christopher F. (2006). An Introduction to Modern Econometrics Using Stata. Stata Press. ISBN 978-1-59718-013-9.
^ Elson, Elliot L. (December 2011). "Fluorescence Correlation Spectroscopy: Past, Present, Future". Biophysical Journal. 101 (12): 2855–2870. Bibcode:2011BpJ...101.2855E. doi:10.1016/j.bpj.2011.11.012. PMC 3244056. PMID 22208184.
^ Hołyst, Robert; Poniewierski, Andrzej; Zhang, Xuzhu (2017). "Analytical form of the autocorrelation function for the fluorescence correlation spectroscopy". Soft Matter. 13 (6): 1267–1275. Bibcode:2017SMat...13.1267H. doi:10.1039/C6SM02643E. ISSN 1744-683X. PMID 28106203.
^ Van Sickle, Jan (2008). GPS for Land Surveyors (Third ed.). CRC Press. pp. 18–19. ISBN 978-0-8493-9195-8.
^ Kalvani, Payam Rajabi; Jahangiri, Ali Reza; Shapouri, Samaneh; Sari, Amirhossein; Jalili, Yousef Seyed (August 2019). "Multimode AFM analysis of aluminum-doped zinc oxide thin films sputtered under various substrate temperatures for optoelectronic applications". Superlattices and Microstructures. 132: 106173. doi:10.1016/j.spmi.2019.106173.
^ Tyrangiel, Josh (2009-02-05). "Auto-Tune: Why Pop Music Sounds Perfect". Time. Archived from the original on February 10, 2009.
^ Kasztenny, Bogdan (March 2016). "A New Method for Fast Frequency Measurement for Protection Applications" (PDF). Schweitzer Engineering Laboratories. Retrieved 28 May 2022.

추가 정보

Kmenta, Jan (1986). Elements of Econometrics (Second ed.). New York: Macmillan. pp. 298–334. ISBN 978-0-02-365070-3.
Marno Verbeek (10 August 2017). A Guide to Modern Econometrics. Wiley. ISBN 978-1-119-40110-0.
모이타바 솔타날리안과 페트르 스토이카."상관성이 양호한 시퀀스의 컴퓨터 설계." IEEE Transactions on Signal Processing, 60.5 (2012) : 2180–2193.
솔로몬 W. 골롬, 광공.무선 통신, 암호학 및 레이더에 적합한 신호 설계.케임브리지 대학 출판부, 2005.
Klapetek, Petr(2018).주사 프로브 현미경에서의 정량 데이터 처리: 나노메트릭을 위한 SPM 응용 (제2판)Elsevier. 페이지 108–112 ISBN 9780128133477.
Weisstein, Eric W. "Autocorrelation". MathWorld.

[Gubner-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Gubner, John A. (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.

[KunIlPark-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 박건일, Springer, 2018, ISBN 978-3-319-68074-3

[Papoulis-3] Papoulis, Atanasius, 확률, 랜덤 변수 및 확률 과정, McGraw-Hill, 1991년

[dunn-4] Dunn, Patrick F. (2005). Measurement and Data Analysis for Engineering and Science. New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-282538-1.

[5] Proakis, John (August 31, 2001). Communication Systems Engineering (2nd Edition) (2 ed.). Pearson. p. 168. ISBN 978-0130617934.

[6] Box, G. E. P.; Jenkins, G. M.; Reinsel, G. C. (1994). Time Series Analysis: Forecasting and Control (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. ISBN 978-0130607744.

[7] Frenkel, D.; Smit, B. (2002). "chap. 4.4.2". Understanding Molecular Simulation (2nd ed.). London: Academic Press. ISBN 978-0122673511.

[8] Colberg, P.; Höfling, F. (2011). "Highly accelerated simulations of glassy dynamics using GPUs: caveats on limited floating-point precision". Comput. Phys. Commun. 182 (5): 1120–1129. arXiv:0912.3824. Bibcode:2011CoPhC.182.1120C. doi:10.1016/j.cpc.2011.01.009. S2CID 7173093.

[9] Priestley, M. B. (1982). Spectral Analysis and Time Series. London, New York: Academic Press. ISBN 978-0125649018.

[10] Percival, Donald B.; Andrew T. Walden (1993). Spectral Analysis for Physical Applications: Multitaper and Conventional Univariate Techniques. Cambridge University Press. pp. 190–195. ISBN 978-0-521-43541-3.

[11] Percival, Donald B. (1993). "Three Curious Properties of the Sample Variance and Autocovariance for Stationary Processes with Unknown Mean". The American Statistician. 47 (4): 274–276. doi:10.1080/00031305.1993.10475997.

[12] "Serial correlation techniques". Statistical Ideas. 26 May 2014.

[13] Baum, Christopher F. (2006). An Introduction to Modern Econometrics Using Stata. Stata Press. ISBN 978-1-59718-013-9.

[14] Elson, Elliot L. (December 2011). "Fluorescence Correlation Spectroscopy: Past, Present, Future". Biophysical Journal. 101 (12): 2855–2870. Bibcode:2011BpJ...101.2855E. doi:10.1016/j.bpj.2011.11.012. PMC 3244056. PMID 22208184.

[15] Hołyst, Robert; Poniewierski, Andrzej; Zhang, Xuzhu (2017). "Analytical form of the autocorrelation function for the fluorescence correlation spectroscopy". Soft Matter. 13 (6): 1267–1275. Bibcode:2017SMat...13.1267H. doi:10.1039/C6SM02643E. ISSN 1744-683X. PMID 28106203.

[16] Van Sickle, Jan (2008). GPS for Land Surveyors (Third ed.). CRC Press. pp. 18–19. ISBN 978-0-8493-9195-8.

[17] Kalvani, Payam Rajabi; Jahangiri, Ali Reza; Shapouri, Samaneh; Sari, Amirhossein; Jalili, Yousef Seyed (August 2019). "Multimode AFM analysis of aluminum-doped zinc oxide thin films sputtered under various substrate temperatures for optoelectronic applications". Superlattices and Microstructures. 132: 106173. doi:10.1016/j.spmi.2019.106173.

[18] Tyrangiel, Josh (2009-02-05). "Auto-Tune: Why Pop Music Sounds Perfect". Time. Archived from the original on February 10, 2009.

[19] Kasztenny, Bogdan (March 2016). "A New Method for Fast Frequency Measurement for Protection Applications" (PDF). Schweitzer Engineering Laboratories. Retrieved 28 May 2022.

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목차

확률적 과정의 자동 상관

와이드센스 고정 확률 프로세스의 정의

정규화

특성.

대칭성

제로에서의 최대값

코시-슈바르츠 부등식

백색 소음의 자기 상관

빈-킨친 정리

랜덤 벡터의 자동 상관

자기 상관 행렬의 속성

결정론적 신호의 자동 상관

연속 시간 신호의 자동 상관

이산 시간 신호의 자동 상관

주기적 신호의 정의

특성.

다차원 자기 상관

효율적인 계산

견적

회귀 분석

적용들

시리얼 의존성

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