큐섬

누적합[CUSUM] 관리도
원래 제안자:	E. S. 페이지
관측치 처리
합리적인 부분군 크기	n=1
측정 유형	품질 특성의 누적 합계
품질특성유형	계량형 데이터
기초분포	정규 분포
퍼포먼스
감지할 시프트 크기	≤ 1.5σ
공정 변동 관리도
해당되지 않음
공정 평균 관리도
중심선	품질 특성의 목표값 T
관리 상한	${\displaystyle C_{i}^{+}=\max \lbrack 0,x_{i}-\left(T+K\오른쪽)+C_{i-1}^{+}\rbrack }$
관리 하한	${\displaystyle C_{i}^{-}=\max \lbrack 0,\좌측(T-K\우측)-x_{i-1}+C_{i-1}^{-}\rbrack }}}$
표시된 통계량	${\displaystyle C_{i}=\sum _{j=1}^{i}{\bar {x}_{j}-T}$

통계적 품질 관리에서 누적합계 관리도(CUSUM, 또는 누적합계 관리도)는 캠브리지 대학의 E. S. Page에서 개발한 순차 분석 기법이다.일반적으로 변경 탐지를 모니터링하는 데 사용된다.^[1]CUSUM은 월드의 SPRT 알고리즘이 발표된 지 몇 년 후인 1954년 바이오메트리카에서 발표되었다.^[2]

E. S. 페이지는 "품질 번호" $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$을(를) 언급했는데$,$ 여기서 그는 확률 분포의 매개변수(예: 평균)를 의미했다.그는 CUSUM의 변화를 판단하는 방법으로 CUSUM을 고안했고, 시정조치 시기를 결정하는 기준을 제시했다.평균 변경에 누적합[CUSUM] 방법을 적용하면 시계열의 스텝 검출에 사용할 수 있다.

몇 년 후, 조지 알프레드 바르나드는 시각화 방법인 V-마스크 차트를 개발하여 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \teta}$의 증감을 모두 감지했다$.$^[3]

방법

그 이름이 암시하듯이 누적합계(CUSUM)는 누적합계(이것이 누적합계를 "순차적"으로 만드는 것이다)의 계산을 포함한다.프로세스 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 샘플에는 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의$$중량이 할당되며$$, 다음과 같이 요약된다.

${\displaystyle S_{0}=0}$

${\displaystyle S_{n+1}=\max(0,S_{n}+x_{n}-\omega _{n})}$

S 값이 일정 임계값을 초과하면 값의 변화가 발견된 것이다.위의 공식은 양방향의 변화만 감지한다.음의 변화도 찾아내야 할 때는 최대 연산 대신 최소 연산을 사용해야 하며, 이번에는 S 값이 임계값의 (음) 값 이하일 때 변화가 발견되었다.

페이지는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이(가) 우도함수를 나타낸다고$$ 명시적으로 말하지 않았지만, 이는 일반적인 사용법이다.

이는 항상 제로 기능을 낮은 "유지 장벽"^[1]이 아니라 낮은 "유지 장벽"으로 사용함으로써 SPRT와 다르다는 점에 유의하십시오.또한 누적합[CUSUM]은 우도 함수를 사용할 필요가 없다.

누적합[CUSUM]의 성과를 평가하기 위한 수단으로서 페이지는 평균 실행 길이(A.R.L.) 측정기준을 정의했다; "조치를 취하기 전에 샘플링된 예상 기사 수".그는 더 나아가 다음과 같이 썼다.^[2]

출력 품질이 만족스러운 경우 A.R.L.은 잘못된 알람, 즉 Type I 오류(Neyman & Pearson, 1936^[4])를 발생시킬 때 계획에서 발생하는 비용을 측정한 것이다.한편, 지속적인 품질 저하의 경우, A.R.L은 지연을 측정하고 따라서 시정 조치를 취하기 전에 생산된 고철의 양(즉, 타입 II 오류)을 측정한다.

예

다음 예제에서는 평균이 0이고 표준 편차가 0.5인 공정의$$ 관측치 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 20개 보여 준다.

$Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$ 열에서는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 3 표준 편차(${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 3\sigma })$를 벗어나지$$ 않음을 알 수 있으므로, CUSUM은 17번째 관측치에서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$$}$ 값이 4를 초과함을 알 수 있다.

컬럼	설명
$(\displaystyle X}$	예상$$ 평균 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$mean"{\$displaystyle {\bar{x}}$과(와) 기대 표준 편차 ${\displaystyle x_{}}$ X$${\$displaystyle \sigma _{X}$ 0.5의$$ 공정 관측치
$(\displaystyle Z}$	정규화된 관측치, 즉 표준 편차 ${\displaystyle {Zn}_{}}$= ${\displaystyle X\frac{{}_{}}{}}$ n -${\displaystyle \frac{{}_{}x}{}}$의${\displaystyle \frac{\stackrel{}{}}{{\sigma }_{}}}$ X ${\$}-{x$}}}{\sigma _{X}}}}}}}}}.$
${\displaystyle S_{H}}$	높은 누적합[CUSUM 값${\displaystyle {,}_{}}$ 양의 이상 징후를 감지함], ${\displaystyle {{}_{}}_{}{}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ + 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 최대}$( ${\displaystyle {{}_{}}_{},}$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$ H n + ${\displaystyle Z_{}}$ n -${\displaystyle {}_{}\Omega }$)$${\$displaystyle {S_{H}_{n+1}=\max(0,{S_{N$}}}_${n}-\omega$)
${\displaystyle S_{L}}$	낮은 누적합[CUSUM 값, 음의 이상 징후를 ${\displaystyle {\mathrm{감지}}_{}}$함], S $L{\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$+ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 최대}$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {L_{}}_{}{{}_{}}_{}}$ - ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ - ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle {S_{L}_{n+1}=\max(0,{S_}}}-Z_{n}-\omega$)

변형

누적 관측치-최소값-예상 그림은^[1] 관련 방법이다.

참조

추가 읽기

• Michèle Basseville and Igor V. Nikiforov (April 1993). Detection of Abrupt Changes: Theory and Application. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0-13-126780-9.
• 미샤, S, 반리, O.A. & Park, C (2015)ISSN 2153-2648 국제조지 양파센서를 이용한 연속손상감시를 위한 다변량 누적합계법

외부 링크

• "엔지니어링 통계 핸드북 - 큐섬 관리도"