콘게이트 전치

수학에서 복잡한 항목이 있는$$ m-by-n 행렬 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$${A$$}}$의 결합 전치(또는 은둔 전치)는 전치(transpose)를 취한 다음 각 입력의 복잡한 결합$(+$${\displaystyle b}$의 복합 결합)을 취함으로써$$ $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$bol {$A}$에서 얻은 n-m 행렬이다.$\displaystyle a+ib}$은(는) $a{\displaystyle }$ -${\displaystyle i}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a-ib}$이며$,$ 실제 $숫자$는 ${\displaystyle a}$ $및$ b ${\displaystyle b}$이다.$$ 흔히 A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 또는$$ $A{\displaystyle {\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$로 표기된다$.$^[1][2]

실제 행렬의 경우, 결합 전이는 단지 전치, ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ H${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {\mathsf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathit{}}^{}}$ ${\$에 불과하다$.$

정의

$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\times n}$ 행렬$$ $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 결합 전치(transposition)는 다음과 같이 공식적으로 정의된다$$.

여기서 첨자 ${\displaystyle i}$ j ${\displaystyle ij}$은(는${\displaystyle )}{\displaystyle }$1 ≤ i ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq$ i$\leq n}$ 및$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ j ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \le }$ m ${\displaystyle 1\leq jleq m}$의$$(${\displaystyle i}$ , ${\displaystyle j}$) ${\displaystystyth 항목$을 나타내고$,$ overbar complex congate는 스칼라.

이 정의는 또한 다음과^[2] 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\boldsymbol{A}^{\mathrm {H}}=\왼쪽({\overline {\boldsymbol {A}}\오른쪽)^{\mathsf{T}={\overline {{\boldsymbol{A}^{\mathsf}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ${\$는 전치(transpose)를$$ 나타내고, $A$의 ${\displaystyle${\$overline{\boldsymbol{A}}}}$은 복잡한 결합 항목이 있는 행렬을$$ 나타낸다.

행렬의 결합 전이의 다른 명칭은 에르미트 공극, 베다게이터 공극, 부선 행렬 또는 트랜스주게이트가 있다. 행렬 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 결합 전치 부위는 다음 기호 중 하나로 나타낼 수 있다$$.

• ${\displaystyle {}^{}}$A$∗{\$ 선형대수학에서^[2] 일반적으로 사용되는$$것
• ${\displaystyle {\mathit{A}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 선형대수학에서 일반적으로 사용된다.
• $†{\$때로는 단도로 발음됨) }} {\displaysymbol}}}}}}}(A 단도로 발음되기도 함).
• ${\displaystyle {\mathit{A}}^{}}$+ ${\$ 이 기호는 무어-펜로즈 사이비인버스(Moore-Penrose pseudeinvers)에 더 흔히 사용된다$.$

어떤 맥락에서 $∗{\$는 복잡한 결합 항목만 있고 전이되지 않은 매트릭스를 나타낸다$$.

예

다음 행렬 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 결합 전치 값을 계산한다고 가정합시다$.$

${\displaystyle {\boldsymbol{A}={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\\1+i&i-4-2i\end{bmatrix}}}}$

우리는 먼저 행렬을 바꾸어야 한다.

${\displaystyle {\boldsymbol{A}^{\mathsf{T}={\begin{bmatrix}1&1+i\-2-i\\\5&i\4-2i\end{bmatrix}}}}}}$

그리고 매트릭스의 모든 항목을 조합한다.

${\displaystyle {\boldsymbol{A}^{\mathrm {H}}={\begin{bmatrix}1-i\-2+i\\\5&4+2i\end{bmatrix}}}}}$

기본 발언

${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$displaystyle {\boldsymbol {A}$을(를) 입력하는$$ 정사각형 $매트릭스{\displaystyle \mathit{}}$ A를 {\$displaystyle a_{ij}$라고 한다$$.

• $A{\displaystyle \mathit{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ H ${\$A}}^{\$mathrm{H$ 즉, i ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{j_{}}}$ i'$s'{$
• $A{\displaystyle \mathit{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ H ${\$ 즉, ${\displaystyle i_{}{j}_{}}$ = -${\displaystyle \stackrel{}{j_{}}}$ $ii_{ij}=-{\overline{a_{ji$
• $보통{\displaystyle {\mathit{}}^{}}$ A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle A^{}\mathit{}}$= ${\displaystyle A\mathit{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$A$
• Unitary if ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{-1}}$, equivalently ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$, equivalently ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}$$}}={\boldsymbol{I}}$.

Even if ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ is not square, the two matrices ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ are both Hermitian and in fact positive semi-definite matrices.

결합 전치 "adjoint" 행렬 A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$은$($는) 애드주게이트, ${\displaystyle \mathrm{조정자}(A\mathit{}}$) ${\displaysty \operatorname {adj}({\$boldsymbol {$A})$와 혼동하면 안 된다$$.

실제 항목이 있는$$ $매트릭스{\displaystyle \mathit{}}$A {\$displaystyle${\$boldsymbol{A}}$의 결합 전치는 실제 숫자의 결합 전이가 숫자 자체이기 때문에$$$A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 전이로 감소한다.

동기

복합적인 숫자는 2×2 실제 행렬, 매트릭스 덧셈 및 곱셈에 의해 유용하게 표현될 수 있다는 점에 주목함으로써 공극 트랜스포즈를 동기화할 수 있다.

${\displaystyle a+ib\equiv {\bmatrix}a&-b\b&a\end{bmatrix}.}$

즉, 각 복잡한 숫자 z를 Argand 다이어그램(실제 벡터 공간 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$}}$$}로 표시)의 선형 변환의 실제 2×2 행렬로 나타내며,$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 복합 z 곱의 영향을 받는다$.$

따라서 복잡한 숫자의 m-by-n 행렬은 실제 숫자의 2m-by-2n 행렬로 잘 나타낼 수 있다. 따라서 결합 전이는 복잡한 숫자로 구성된 n-by-m 행렬로 다시 볼 때 그러한 행렬을 단순히 전치한 결과로 매우 자연스럽게 발생한다.

공극 전치특성

• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$ for any two matrices ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ of the same dimensions.
• ${\displaystyle (z{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {H} }={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ for any complex number ${\displaystyle z}$ and any m-by-n matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.
• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ for any m-by-n matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ and any n-by-p matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$. Note that the order of the 요인이 ^[1]뒤바뀌다
• ${\displaystyle {({\mathit{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{}}^{}}^{}}$) $H{\displaystyle \mathit{}}$${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle A\mathit{}}$ ${\$$)^{\mathrm {H$$}}={\$ 은둔자의 전위는 비자발적인 것이다.
• ${\$이(가) 정사각형 행렬이면$$ ${\displaystyle det}$(A${\displaystyle {}^{\mathrm{}}\stackrel{}{}}$) = $){\$$={\overline {\det \left({\boldsymbol {A}\오른쪽)$$}}}$ ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle (A}$) ${\displaystyle \operatorname {det}(A)}$은(는) $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 결정요인을 나타낸다.$$
• ${\$이(가) 정사각형 행렬이면$$ ${\displaystyle \mathrm{tr}(\stackrel{}{A\mathit{}}{)}^{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{tr}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{(}}$A)$}{\$boldsymbol{$A}^{\mathrmatrm{H}}}}}}}}}\rig)$$={\overline {\$$opermbol$ ${tr}({\boldsymbol {A}})}}}}$ ${\displaystyle \mathrm{tr<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash operatorname\; \{tr\}\; \backslash left(\{\backslash boldsymbol\; \{A\}\}^\{\backslash mathrm\; \{H\}\; \}\backslash right)=\{\backslash overline\; \{\backslash operatorname\; \{tr\}\; (\{\backslash boldsymbol\; \{A\}\})\}\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/1f43011646aeb177a84da0c9655b63b4294bb7b9"\; style="vertical-align:\; -1.838ex;\; width:16.935ex;\; height:4.843ex;"\; papago-attr-id="179">}}$ $⁡($ ${\displaystyle A)}$는 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$$\operatorname${$tr}(A)$의 추적을 나타낸다$$$.$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ is invertible if and only if ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ is invertible, and in that case ${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)^{-1}=\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right)^{\mathrm {H}$$}}$.
• $A{\displaystyle {\mathit{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 고유값은 $A{\displaystyle \mathit{}}$ ${\$의 고유값의 복합 결합물이다$.$
• ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {A}}x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$ for any m-by-n matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, any vector in ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ and any vector ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$. Here, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ denotes the standard complex inner product on ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$, and similarly for ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$.

일반화

The last property given above shows that if one views ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ as a linear transformation from Hilbert space ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ to ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$ then the matrix ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ corresponds $따라서$ 힐베르트 $공간$ 사이의 조정 연산자 개념은 정형화된 기초에 관한 행렬의 결합 전이의 일반화라고 볼 수 있다$.$

다른 일반화가 가능하다: A ${\displaystyle A}$이(가) 복잡한 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 다른 벡터 공간 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ W$}$까지 선형 지도라고 가정하면$,$ 변환된 선형 지도뿐만 아니라 복합 결합 선형 지도가 정의되며, $따라서{\displaystyle }$ A ${\displaystyty A}$의 결합 전치(transpose)를 취할 수 있다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 전이중 복합 결합이 된다. W$$${\displaystyle W}$의 결합 이중과 $V$ ${\displaystyle V}$의 결합 이중을 연결한다$.$

참고 항목

• 콤플렉스 도트 제품
• 에르미트어 부선
• 애드주게이트 행렬

참조

외부 링크

• "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]