원형 콘볼루션

순환성 콘볼루션(cyclic convolution)이라고도 하는 순환성 콘볼루션은 주기성 콘볼루션의 특수한 경우로, 같은 기간을 가지는 두 주기 기능의 콘볼루션이다.예를 들어, 주기적인 콘볼루션은 이산 시간 푸리에 변환(DTFT)의 맥락에서 발생한다.특히, 두 개의 이산 시퀀스 곱의 DTFT는 개별 시퀀스의 DTFT의 주기적인 콘볼루션이다.그리고 각 DTFT는 연속 푸리에 변환 함수의 주기적인 합계다(DTFT § Definition 참조).DTFT는 일반적으로 주파수의 연속적인 기능이지만, 주기적 및 순환적 콘볼루션의 개념은 이산형 데이터 시퀀스에도 직접 적용할 수 있다.그런 맥락에서 순환형 경련은 특정 종류의 공통 필터링 작업의 효율성을 극대화하는 데 중요한 역할을 한다.

정의들

${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ T ( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle h_{T}(t)}$과(${\displaystyle {{}_{}}_{})}$ ${\displaystyle x}$ T ($$t){\$displaystyle x_{{T}}}$의 두 T 주기적 콘볼루션은 다음과 같이 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle \int_{t_{o}^{t_{o}+T}h_{_{T}(\tau )\cdot x_{{T}(t-\tau )\,d\tau ,}$ ^[1][2]

여기서 t는_o 임의의 매개변수다.대체 정의는 정상 선형 또는 주기적 경련에 대한 표기법 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$에서, aperiodic $성분{\displaystyle }$ h${\$$displaystyle h_$${T}(t$$)$와 x $T{\displaystyle }$$(t$를 주기적인 합으로 h$$${\displaystyle {{}_{}}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle h}$ 및 x$$ ${\displaysty$ x$\},$ i:

${\displaystyle h_{_{T}(t)\ \triangleq \sum _{k=-\inflt }^{k=-\inflt }^{k=-\inflt }^{}h(t+kT)=\inft.}$

다음:

${\displaystyle \int_{t_{o}^{t_{o}+T}h_{_{T}}(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{_{T}}(t-\tau )\,d\tau \ \triangleq \ (h*x_{_{T}})(t)=(x*h_{_{T}})(t).}$

(Eq.1)

두 형태 모두 주기적인 콘볼루션이라고 할 수 있다.^[a]$원형{\displaystyle }$ 경련이라는^[2][3] 용어는 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ 및 x$$ ${\displaystyle x}$의 0이 아닌 부분을 [0$$$,{\displaystyle T}$ ${\displaystyle ].}$ ${\displaystyle [0,T]$ 간격으로 구속하는 중요한 특수 사례에서 비롯된다.$}}$ 그러면$$ 주기적인 합계가 주기적인 확장이^[b] 되고, 이는 순환함수로도 표현될 수 있다.

${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$( t ${\displaystyle {m\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ d ${\displaystyle T_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ $displaystyle x_{_{T}}(t)=x(t_{\mathrm {mod}\T}),\quad t\in \mathb {R}\,},($실수)^[c]

그리고 통합의 한계는 함수 $h$의 길이 ${\displaystyle h}$까지 감소한다$.$

${\displaystyle (h*x_{_{T})(t)=\int _{0}^{T}h(\tau )\cdot x((t-\tau )_{\mathrm {mod}\T}\d\tau .}$^[d][e]

이산 시퀀스

마찬가지로 이산형 시퀀스와 파라미터 N의 경우 다음과 같이$$ 주기함수 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ $및$ x$${\$displaystyle x}$의 원형 콘볼루션을 작성할 수 있다.

${\displaystyle (h*x_{_{N}})[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot \underbrace {x_{_{N}}[n-m]} _{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-m-kN]}}$

이 기능은 N주기적이다.최대 N개의 고유 값을 가진다.x와 h의 0이 아닌 범위가 모두 ≤ N인 특별한 경우, 적분 변환의 커널이 순환 행렬인 매트릭스 곱셈으로 환원할 수 있다.

예

실제적인 관심이 큰 사례가 도표에 나타나 있다.x 시퀀스의 지속시간은 N(또는 그 이하)이며, h 시퀀스의 지속시간은 현저히 적다.그러면 원형 경련 값 중 많은 수가 xhh 값과 동일하며, 이는 h 시퀀스가 유한 임펄스 반응(FIR) 필터일 때 실제로 원하는 결과물이다.더욱이, 원형 콘볼루션은 빠른 FFT(Fast Fourier Transform) 알고리즘과 원형 콘볼루션 정리를 사용하여 계산하기에 매우 효율적이다.

또한 N에 대한 실제 값보다 긴 x 시퀀스를 처리하는 방법도 있다.시퀀스는 세그먼트(블록)로 구분되며 조각별로 처리된다.그런 다음 필터링된 세그먼트를 다시 조심스럽게 압착한다.에지 효과는 입력 블록이나 출력 블록 중 하나를 겹쳐서 제거된다.방법을 설명하고 비교하기 위해 길이 201의 h 시퀀스와 N = 1024의 FFT 크기의 맥락에서 두 방법을 모두 논의한다.

겹치는 입력 블록

이 방법은 FFT 크기(1024)와 같은 블록 크기를 사용한다.우리는 그것을 정상 또는 선형적 경련이라는 관점에서 먼저 설명한다.각 블록에 정상적인 콘볼루션이 수행되면 필터 지연(200-샘플)으로 인해 블록 에지에는 시동 및 붕괴 과도현상이 발생한다.콘볼루션 출력 중 824개만이 에지 효과에 영향을 받지 않는다.다른 것들은 버려지거나 단순히 계산되지 않는다.그렇게 되면 입력 블록이 연속적일 경우 출력에 공백이 발생할 수 있다.입력 블록을 200개의 표본으로 겹쳐서 간격을 피한다.어떤 의미에서 각 입력 블록에서 200개의 요소가 "저장"되어 다음 블록으로 넘어간다.다음에 설명하는 방법에는 출력 샘플과 유사한 "저장"이 필요하지만,^[4] 이 방법을 중복 저장이라고 한다.

FFT를 사용하여 영향을 받지 않는 824개의 DFT 샘플을 계산하면 해당 샘플을 계산하지 않을 수 있지만, 원형 콘볼루션으로 인해 선행 및 후행 에지 효과가 중복 및 추가된다.따라서 1024 포인트 역 FFT(IFFT) 출력은 에지 효과 샘플 200개(폐기)와 영향을 받지 않는 샘플 824개(보관)만 포함한다.이를 설명하기 위해 오른쪽 그림의 네 번째 프레임은 주기적으로(또는 "원형으로") 확장된 블록을 그리고 다섯 번째 프레임은 전체 시퀀스에 대해 수행된 선형 콘볼루션의 개별 구성요소를 묘사한다.가장자리 효과는 확장된 블록의 기여도가 원래 블록의 기여도와 겹치는 부분이다.마지막 프레임은 복합 출력물이며, 녹색 단면은 영향을 받지 않는 부분을 나타낸다.

겹치는 출력 블록

이 방법은 겹치는 덧셈이라고 알려져 있다.^[4]이 예에서는 크기가 824인 연속 입력 블록을 사용하고 각각 200개의 제로 값 샘플을 패딩한다.그런 다음 겹쳐서 1024-element 출력 블록을 추가한다.폐기되는 것은 없지만, 다음 블록과 함께 추가하기 위해 각 출력 블록의 200개 값을 "저장"해야 한다.두 방법 모두 1024 포인트 IFFT당 샘플 824개만 전진하지만 오버랩-세이브는 초기 제로 패딩과 최종 추가를 방지한다.

참고 항목

• 콘볼루션 정리
• 순환 행렬
• 이산 힐버트 변환

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참조