프레이스-윈스텐 추정

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계량학에서 Prais-Winsten 추정은 선형 모델에서 타입 AR(1)의 직렬 상관관계를 관리하기 위한 절차다.1954년 시그버트 프레이스와 크리스토퍼 윈스텐이 착안한 ^[1]코크란-오컷 추정을 1차 관측치를 잃지 않는다는 의미에서 수정한 것으로, 결과적으로 효율성이 높아져 실현 가능한 최소 제곱의 특수한 경우다.^[2]

이론

모델 고려

${\displaystyle y_{t}=\알파 +X_{t}\베타 +\varepsilon _{t}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 t 시간의 관심 시계열이고, $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta}$은 계수의 벡터, $X{\displaystyle {}_{}}$ t ${\$는 설명 변수의 행렬이며, ${\displaystyle {\epsilon }_{}}$ t ${\$은 오차항이다.오류$$ 용어는 시간에 따라 연속적으로 상관될 수 있다: : = t- 1+ e , < ${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}}, \rho <1$}, ${\displaystyle e_{}}$ $t{\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle e_{t}.$코크란-오르컷 변환 외에, 다음과 같은 것이 있다.

${\displaystyle y_{t}-\rho y_{t-1}=\alpha(1-\rho )+(X_{t}-\rho X_{t-1}\beta +e_{t}}\,}$

t = 2,3,...,T의 경우, Prais-Winsten 절차는 t = 1을 다음과 같은 형태로 합리적으로 변환한다.

${\displaystyle {\sqrt {1-\rho ^{2}}}y_{1}=\alpha {\sqrt {1-\rho ^{2}}}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}X_{1}\right)\beta +{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\varepsilon _{1}.\,}$

그런 다음 일반적인 최소 제곱 추정치가 수행된다.

추정절차

에 대한 첫 번째 통지

${\displaystyle \mathrm {var}(\varepsilon _{t}=\rho \varpsilon _{t:1}}+e_{it}=\rho ^{2}\mathrm {var})(\varpsilon _{t-1}+\mathrmatrm {var}(e_{var})$

정지 공정의 경우 분산이 시간이 지남에 따라 일정하다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle (1-\rho ^{2})\mathrm {var}(\varepsilon _{t}=\mathrm {var}(e_{it})})$

그래서,

${\displaystyle \mathrm {var}(\varpsilon _{t})={\frac {\mathrm {var}(e_{it})}{(1-\rho ^{2}}}}}}}}$

일반성을 상실하지 않고 백색 소음의 분산이 1이라고 가정하십시오.콤팩트하게 추정을 하려면 모형 블로우에서 고려된 오차항의 자기공명함수를 살펴봐야 한다.

${\displaystyle \mathrm {cov} (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t+h})=\rho ^{h}\mathrm {var} (\varepsilon _{t})={\frac {\rho ^{h}}{1-\rho ^{2}}},{\text{ for }}h=0,\pm 1,\pm 2,\dots \,.}$

모델의 분산-공분산 행렬($\Omega {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle \mathbf{\Omega}={\begin{bmatrix}{\frac{1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac{\rho}{1-\rho ^{2}}}&{\frac{\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &,{\frac{\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac{\rho}{1-\rho ^{2}}}&{\frac{1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac{\rho}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &,{\frac{\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt].{\frac{\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[8pt]{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }($또는 추정치)를 가지고 있으면, 우리는 그것을 알 수 있다.

$디스플레이 스타일(Displaystyle) ♪ 모자(Hat)*Theta }}=(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Z} )^{-1}(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Y} ),\,}$

where ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ is a matrix of observations on the independent variable (X_t, t = 1, 2, ..., T) including a vector of ones, ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ is a vector stacking the observations on the dependent variable (y_t, t = 1, 2, ..., T) and ${\displaystyle {\hat {\$$Theta }}$에는 모델 매개 변수가 포함되어$$ 있다.

참고

위에서 스케치한 일반화 최소 제곱 추정 절차의 역학을 고려할 때 Prais-Winsten(1954)이 명시한 초기 관측 가정이 합리적인 이유를 알아보는 것이 도움이 된다.$\Omega {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 역은 $\Omega {\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{G}}^{}}$ ${\displaystyle T^{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle {\mathsf{}}^{}}$ ${\$로^[3] 분해할 수 있다$$.

${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}&0&0&\cdots &0\\-\rho &1&0&\cdots &0\\0&-\rho &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

이 행렬과 함께 행렬 표기법으로 모형을 미리 곱하면 Prais-Winsten의 변환된 모형을 얻을 수 있다.

제한사항

오차항은 여전히 AR(1) 타입으로 제한된다.$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$을(를) 알 수 없는 경우 재귀 절차(Cochrane-Orcutt 추정) 또는 그리드 검색(Hildreth-Lu 추정)을 사용하여 추정을 실행할 수 있다.또는 모든 매개변수를 동시에 추정하는 전체 정보 최대우도 절차가 비치 및 맥키넌에 의해 제안되었다.^[4][5]

참조

추가 읽기

• Judge, George G.; Griffiths, William E.; Hill, R. Carter; Lee, Tsoung-Chao (1980). The Theory and Practice of Econometrics. New York: Wiley. pp. 180–183. ISBN 0-471-05938-2.
• Kmenta, Jan (1986). Elements of Econometrics (Second ed.). New York: Macmillan. pp. 302–320. ISBN 0-02-365070-2.