이산 시간과 연속 시간

수학 역학에서 이산 시간과 연속 시간은 시간에 따라 발전하는 변수를 모델링하는 두 가지 대안 프레임워크이다.

이산 시간

이산 시간은 변수의 값을 구별되거나 분리된 "포인트 인 타임"에서 발생하거나 각 0이 아닌 시간 영역("시간 기간")에서 변하지 않는 것으로 간주합니다. 즉, 시간은 이산 변수로 간주됩니다.따라서 비시간 변수는 시간이 한 기간에서 다음 기간으로 이동함에 따라 하나의 값에서 다른 값으로 점프합니다.이 시간 표시는 잠시 동안 고정 판독치 10:37을 제공하다가 새로운 고정 판독치 10:38 등으로 점프하는 디지털 클럭에 해당합니다.이 체계에서는 각 관심 변수가 각 기간에 한 번씩 측정된다.두 기간 사이의 측정 횟수는 유한합니다.측정은 일반적으로 변수 "시간"의 순차적 정수 값으로 이루어집니다.

이산 신호 또는 이산 시간 신호는 양의 시퀀스로 구성된 시계열입니다.

연속 시간 신호와 달리 이산 시간 신호는 연속 인수의 함수는 아니지만 연속 시간 신호에서 샘플링하여 얻을 수 있습니다.일정한 간격으로 시퀀스를 샘플링하여 이산 시간 신호를 얻으면 관련 샘플링 속도가 있습니다.

이산 시간 신호는 여러 개의 기원을 가질 수 있지만, 일반적으로 다음 두 ^[1]개의 그룹 중 하나로 분류할 수 있습니다.

• 일정 또는 가변 속도로 아날로그 신호 값을 획득합니다.이 과정을 ^[2]샘플링이라고 합니다.
• 특정 경제지표의 주간 피크값과 같은 본질적으로 이산적인 시간 과정을 관찰한다.

연속 시간

반면 연속 시간은 변수를 극히 짧은 시간 동안 특정 값을 갖는 것으로 간주합니다.임의의 두 시점 사이에 무한히 많은 다른 시점이 있습니다.변수 "시간"은 전체 실수 행에 걸쳐 있거나 컨텍스트에 따라 음이 아닌 실수와 같은 일부 하위 집합에 걸쳐 있습니다.따라서 시간은 연속 변수로 간주됩니다.

연속 신호 또는 연속 시간 신호는 도메인이 종종 시간인 연속체(예를 들어 실수의 접속 간격)인 가변량(신호)이다.즉, 함수의 도메인이 셀 수 없는 집합입니다.함수 자체가 연속적일 필요는 없습니다.반대로 이산 시간 신호에는 자연수와 같이 카운트 가능한 도메인이 있습니다.

연속 진폭 및 시간의 신호는 연속 시간 신호 또는 아날로그 신호로 알려져 있습니다.이(신호)는 매 순간 어느 정도의 값을 가집니다.온도, 압력, 소리 등과 같은 물리적 양에 비례하여 도출되는 전기 신호는 일반적으로 연속 신호입니다.연속 신호의 다른 예로는 사인파, 코사인파, 삼각파 등이 있습니다.

신호는 도메인에 걸쳐 정의되며, 도메인은 유한하거나 유한하지 않을 수 있으며, 도메인에서 신호의 값에 대한 기능적 매핑이 있습니다.시간 변수의 연속성은 실수의 밀도 법칙과 관련하여 임의의 시점에서 신호 값을 찾을 수 있음을 의미합니다.

무한 지속 시간 신호의 일반적인 예는 다음과 같습니다.

$\displaystyle f(t)=\sin(t),\display t\in \mathbb {R}$

상기 신호의 한정된 지속시간은 다음과 같습니다.

$f$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle （}$ t${\displaystyle }$） 、 ${\displaystyle t}$[${\displaystyle }$[ - $-$ - $、$,${\displaystyle }$]$$]{ $displaystyle f$ ( $t$ ) = \ $sin$ ( t ) 、 \ sin ( t$$$$ ) 、$$$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) $0$\ $displaystyle$f ( t ) 。

유한(또는 무한) 지속시간 신호의 값은 유한할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다.예를들면,

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (t}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ t${\displaystyle }$、 ${\displaystyle \mathrm{t}\in }$[ 0 ,${\displaystyle }$1$$]{ $displaystyle$f ( t ) =$specfrac${1} {$t}$ , \ $spec$t \$in$ [$0$ , $1$] 、 $f$ (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$f ( t ) =$0$$$},

는 유한한 지속시간 신호이지만 t ${\displaystyle =}$ $(\$ t$=0$에 대해 무한값을 사용합니다.

많은 분야에서 연속신호는 항상 유한값을 가져야 한다는 것이 관례입니다.이것이 물리신호의 경우 더욱 의미가 있습니다.

어떤 목적에서는 신호가 임의의 유한 간격에 걸쳐 통합 가능한 한 무한 특이점은 허용됩니다($예$를 ${\displaystyle {\mathrm{들어}}^{}}$t ${\displaystyle {-}^{}}$ 1({$displaystyle t^{-$1$$$$}) 신호는 무한대에서 통합 가능하지 $않지만{\displaystyle {}^{}}$ t${\displaystyle {}^{}}$- $({$ t$^{-2$})).

아날로그 신호는 본질적으로 연속적입니다.디지털 신호 처리에 사용되는 이산 시간 신호는 연속 신호의 샘플링 및 양자화를 통해 얻을 수 있다.

연속 신호는 시간 이외의 독립 변수에 걸쳐 정의할 수도 있습니다.또 하나의 매우 일반적인 독립 변수는 공간이며 2개의 공간 차원이 사용되는 이미지 처리에 특히 유용합니다.

관련 컨텍스트

이산 시간은 일반적으로 변수를 순차적으로 측정할 수만 있기 때문에 경험적 측정이 수반될 때 종종 사용됩니다.예를 들어, 경제 활동은 실제로 지속적으로 이루어지지만, 경제가 완전히 정지하는 순간은 없으며, 경제 활동을 개별적으로 측정할 수 있을 뿐이다.이러한 이유로, 예를 들어, 국내총생산에 관한 공표된 데이터는 일련의 분기별 가치를 보여줄 것이다.

이러한 변수를 다른 변수 및/또는 이전 값으로 경험적으로 설명하려고 할 때, 변수가 관측치가 발생한 기간을 나타내는 첨자로 색인되는 시계열 또는 회귀 방법을 사용합니다.예를 들어, y는_t 불특정 기간 t에서₃ 관측된 소득의 값, y는 세 번째 기간에 관측된 소득의 값 등을 나타낼 수 있다.

게다가, 연구자가 이산 시간에 관찰된 것을 설명하기 위해 이론을 개발하려고 할 때, 종종 그 이론 자체가 시계열이나 회귀 모델의 개발을 용이하게 하기 위해 이산 시간으로 표현된다.

반면에, 이론 모델을 연속 시간에 구성하는 것이 수학적으로 더 다루기 쉽고, 종종 물리학과 같은 영역에서 정확한 설명은 연속 시간을 사용해야 합니다.연속적인 시간 컨텍스트에서 미지정 시점에서의 변수 y의 값은 y(t) 또는 의미가 명확할 경우에는 y로 표시된다.

방정식의 종류

이산 시간

이산 시간은 반복 관계라고도 하는 차분 방정식을 사용합니다.로지스틱 맵 또는 로지스틱 방정식으로 알려진 예는 다음과 같습니다.

$({displaystyle x_{t+1}=display_{t}(1-x_{t}),}$

여기서 r은 2 ~4 범위의 파라미터이고, x는 0 ~1 범위의 변수이며, t 기간의 값이 다음 기간의 값에 비선형적으로 영향을 미칩니다(t+1).예를 들어 r ${\displaystyle =}$ $({displaystyle$ r$=$$4$$})$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x1\mathrm{}}$ $=$ 1/3({$displaystyle$$x_$${\displaystyle \{}$$1}=1/$3$)$인 $경우{\displaystyle }$ t=1의 $경우{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x2\mathrm{}}_{}}$ $=$ (${\displaystyle 1\mathrm{}/}$3) (${\displaystyle 2/3\mathrm{}}$)$$ 8 / 9$({2} = 4$ ($1/$3)$$= 8/$9$) 및 t${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$$$= $2{\displaystyle {}_{}}$ = 2 = 2 = 3 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 3 = 2 = 3 = 2 = 2 = 2 = 2${\displaystyle }$

또 다른 예는 제품에 대한 0이 아닌 초과 수요에 대응한 가격 P의 조정을 다음과 같이 모델링한다.

$\displaystyle P_{t+1}=P_{t}+\delta \cdot f(P_{t})...)}$

여기서$\delta {\displaystyle }$ {$displaystyle \display}$는 1 이하의 양의 조정 속도 파라미터이며 $f{\displaystyle }${\$displaystyle$ f$}$는 초과 수요 함수입니다.

연속 시간

연속 시간은 미분 방정식을 이용한다.예를 들어, 제품에 대한 0이 아닌 초과 수요에 대응하는 가격 P의 조정은 다음과 같이 연속적으로 모델링할 수 있다.

$(\displaystyle {frac {dP}{dt}}=\lambda \cdot f(P,...))$

여기서 왼쪽은 시간에 대한 가격의 첫 번째 도함수(즉, 가격의 변동률)이고,$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle\langda)$는 임의의 양의 유한수가 될 수 $있는{\displaystyle }$ 조정 속도 $파라미터$이며, f(\$displaystyle$ f$)$는 다시 초과 수요 함수이다.

그래픽스 묘사

이산시간으로 계측된 변수를 스텝함수로 플롯할 수 있으며, 스텝함수에서는 각 시간주기에 대해 다른 시간주기와 같은 길이의 수평축 상에 영역이 주어지고, 측정되는 변수는 해당 시간주기의 영역 전체에 걸쳐 일정하게 유지되는 높이로 플롯된다.이 그래픽 기술에서는 그래프가 일련의 수평 단계로 나타납니다.또는 각 기간은 분리된 시점으로 볼 수 있으며, 보통 수평축 상의 정수값으로 측정 변수를 해당 시축점 위의 높이로 플롯한다.이 기술에서는 그래프가 점 세트로 나타납니다.

연속 시간에서 측정된 변수의 값은 연속 함수로 표시되는데, 시간의 영역은 실제 축 전체 또는 적어도 연결된 부분으로 간주되기 때문입니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

• Gershenfeld, Neil A. (1999). The Nature of mathematical Modeling. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57095-6.

• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959). Analytical transients. Wiley.