순서쌍

수학에서 순서쌍(a, b)은 사물쌍이다. 쌍에 개체가 나타나는 순서는 유의하다. 순서 쌍(a, b)은 a = b가 아닌 한 순서 쌍(b, a)과 다르다. (반대로 순서 없는 쌍 {a, b}은 순서 없는 쌍 {b, a}과 동일하다.)

순서 쌍은 길이 2의 2-tuple 또는 시퀀스(때로는 컴퓨터 과학 컨텍스트의 목록)라고도 한다. 순서쌍의 스칼라를 2차원 벡터라고 부르기도 한다.(기술적으로 순서쌍은 벡터공간의 요소가 될 필요가 없기 때문에 이것은 용어를 남용한 것이다.) 순서가 지정된 쌍의 항목은 순서가 지정된 다른 쌍이 될 수 있으므로 순서가 지정된 n-tuple(순서가 지정된 n개의 개체 목록)의 재귀적 정의를 실행할 수 있다. 예를 들어, 순서 3중(a,b,c)은 (a, (b,c)), 즉 한 쌍이 다른 쌍에 내포된 것으로 정의할 수 있다.

순서가 지정된 쌍(a, b)에서는 물체 a를 첫 번째 항목이라고 하고, 물체 b를 쌍의 두 번째 항목이라고 한다. 또는 객체를 첫 번째 및 두 번째 구성요소, 첫 번째 및 두 번째 좌표 또는 순서 쌍의 왼쪽 및 오른쪽 투영이라고 한다.

데카르트 제품과 이항 관계(따라서 함수)는 순서 쌍의 관점에서 정의된다.

제너럴리티스

$({\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$b ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (a_{1},b_{1}}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, b${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (a_{2},b_{2$})$$쌍을$$ 주문하십시오. 그러면 순서 쌍의 특성(또는 정의) 속성은 다음과 같다.

${\displaystyle(a_{1},b_{1}=(a_{2},b_{2}){\text{{}}{{1}a_{1}={2}, }b_{1}=b_{2}.}$

첫 번째 항목이 일부 세트 A에 있고 두 번째 항목이 일부 세트 B에 있는 모든 주문 쌍의 집합을 A와 B의 데카르트 제품이라고 하며, A × B라고 쓴다. 세트 A와 B 사이의 이진 관계는 A × B의 서브셋이다.

(a, b) 표기법은 다른 목적으로 사용할 수 있으며, 가장 두드러지게 실제 숫자 라인의 개방 간격을 나타낸다. 그러한 상황에서 문맥은 대개 어떤 의미를 의도하는지를 분명히 할 것이다.^[1][2] 추가 설명을 위해, 순서 쌍은 변형 표기법 $a,$ $b⟩,$ b ⟩, b$\$langle \$langle$ a,$b\angle }$으로 나타낼 수 있지만$,$ 이 표기법에는 다른 용도가 있다.

쌍 p의 왼쪽과 오른쪽 투영은 보통 π₁(p)와 π₂(p)로 표시하거나, π_ℓ(p)와 π_r(p)로 표시한다. 임의의ⁿ
_i n-tuple을 고려하는 맥락에서, ((t)는 n-tuple t의 i번째 성분에 대한 일반적인 표기법이다.

비공식적, 형식적 정의

일부 입문 수학 교과서에는 다음과 같이 순서 쌍의 비공식적(또는 직관적) 정의가 제시되어 있다.

임의의 두 물체 a와 b에 대해 순서 쌍(a, b)은 두 물체 a와 b를 그 순서로 지정하는 표기법이다.^[3]

이것은 보통 두 요소의 집합에 대한 비교가 뒤따른다; 집합의 a와 b는 서로 달라야 하지만 순서의 쌍에서는 같을 수 있고 집합의 요소를 나열하는 순서는 중요하지 않지만, 순서의 쌍에서 구별되는 항목의 순서를 변경하면 순서의 쌍이 바뀐다는 것을 지적한다.

이 "정의"는 서술적인 것에 불과하고, 질서에 대한 직관적인 이해를 바탕으로 하기 때문에 불만족스럽다. 그러나, 때때로 지적되듯이, 이 설명에 의존하는 것으로부터 아무런 해가 없을 것이며, 거의 모든 사람들이 이런 식으로 순서쌍을 생각한다.^[4]

보다 만족스러운 접근방식은 위에 주어진 순서쌍의 특성만이 수학에서 순서쌍의 역할을 이해하는 데 필요한 것임을 관찰하는 것이다. 따라서 순서가 지정된 쌍은 원시 개념으로 간주될 수 있으며, 관련 공리는 특성 속성이다. 이것은 1954년에 발행된 N. 부르바키 그룹이 <세트 이론>에서 취한 접근법이었다. 그러나 이러한 접근법은 순서 쌍의 존재와 특성 특성을 모두 자명하게 가정해야 하기 때문에 단점도 있다.^[3]

순서쌍을 엄격하게 다루는 또 다른 방법은 집합 이론의 맥락에서 그것들을 공식적으로 정의하는 것이다. 이것은 여러 가지 방법으로 할 수 있으며, 정해진 이론을 정의하는 공리로부터 존재와 특성 속성을 증명할 수 있다는 장점을 가지고 있다. 이 정의의 가장 많이 인용된 버전 중 하나는 쿠라토프스키(아래 참조) 때문이며, 그의 정의는 1970년에 출판된 부르바키 세트 이론 제2판에 사용되었다. 순서쌍을 비공식적으로 정의한 수학 교과서라도 연습에서 쿠라토프스키의 공식적 정의를 언급하는 경우가 많다.

집합 이론을 사용하여 순서 쌍 정의

만약 누군가가 세트 이론이 수학의 매력적인 기초라는 것에 동의한다면, 모든 수학적인 물체는 어떤 종류의 집합으로 정의되어야 한다. 따라서 순서가 지정된 쌍을 원시 쌍으로 취하지 않을 경우 집합으로 정의해야 한다.^[5] 순서가 지정된 쌍의 몇 가지 이론적 정의가 아래에 제시되어 있다( 참조).

비너 정의

노르베르트 비너(Nobert Wiener)는 1914년에 주문된 쌍에 대한 최초의 이론적 정의를 제안했다.^[7]

$왼쪽(a,b\오른쪽):=\왼쪽\{\왼쪽\{a\오른쪽\}\\\\\\,\empteset \오른쪽\}\\\왼쪽\{b\오른쪽\}\오른쪽\}}$

그는 이 정의가 프린세스 매카티아의 종류를 집합으로 정의하는 것을 가능하게 한다고 보았다. 프린세스 매티매티카는 원시적인 것으로서 유형과 모든 예술과의 관계를 취했었다.

비너(Wiener)는 {b} 대신 {{b}}을 사용하여 한 클래스의 모든 원소가 동일한 "유형"이어야 하는 유형 이론과 호환되는 정의를 만들었다. b가 추가 집합 내에 중첩된 경우, 그 유형은$$${\displaystyle \{\{a\}}$ , ${\displaystyle ,\mathrm{}\}}$ ${\displaystyle \{a\},\empt \}$s와 같다.

하우스도르프의 정의

비에너(1914년)와 거의 같은 시기에 펠릭스 하우스도르프는 자신의 정의를 다음과 같이 제안했다.

$(a,b):=\왼쪽\{a,1\}\{b,2\}\오른쪽\}}}$

"여기서 1과 2는 a와 b와 다른 두 개의 뚜렷한 물체다."^[8]

쿠라토프스키의 정의

1921년 Kazimierz Kuratowski는 주문된^[9][10] 쌍(a, b):

${\displaystyle (a,\b)_{K}\;:=\\{a\}\{a\}\{a\}\{a,\b\}\}.}$

이 정의는 첫 번째 좌표와 두 번째 좌표가 동일한 경우에도 사용된다.

${\displaystyle (x,\x)_{K}=\\{x\}}\\{x\}}\\{x\}}}\{x\}}}\{x\}}}}\\{x\}}}}}}}}}}}}$

일부 순서 쌍 p에 따라 속성 "x는 p의 첫 번째 좌표"를 다음과 같이 공식화할 수 있다.

$전체 Y\in p:x\in Y.에 대해 \displaystyle \forall Y\in Y.}$

속성 "x는 p의 두 번째 좌표"는 다음과 같이 공식화할 수 있다.

${\displaystyle(\exists Y\in p:x\in Y)\land(\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\오른쪽 화살표(x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2})}$

좌우 좌표가 동일한 경우, 오른쪽 결막${\displaystyle \mathrm{(\forall }}$ Y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p}$: Y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \notin }$ Y ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:$Y_₁${1}\neq Y_{2}\오른쪽$ 화살표$(x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2})}$는 Y ≠ Y가₂ 결코 해당되지 않기 때문에 사소한 것이 사실이다$$.

쌍의 첫 번째 좌표(임의 교차점 및 임의 결합에 대한 표기법 사용)를 추출하는 방법은 다음과 같다.

$\displaystyle \pi _{1}(p)=\bigcup \bigcap p.}$

두 번째 좌표를 추출할 수 있는 방법은 다음과 같다.

$\displaystyle \pi _{2}(p)=\빅컵 \왼쪽\{\왼쪽.x\in \bigcup p\, \bigcup p\, \bigcup p\neq \bigcap p\bigcap x\notin \bigcap p\right\}}$

변형

주문 쌍에 대한 위의 쿠라토스키 정의는 주문 쌍이 충족해야 하는 특성 속성, 즉 $(,{\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle (,}$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \pounds }$ ${\displaystyle (,}$ ${\displaystyle x}$=${\displaystyle }$) ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle (,}$ b${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (a,b)=(x,y)\leftrightarrow (a=x)\land (b=y$를 만족한다는 점에서 "적합하다. $특히{\displaystyle }$ b${\displaystyle }$=${\displaystyle b=a}$이$가)$아닌 한$$이라는 점에서 '순서'를 적절히 표현한다$.$ 유사하거나 덜 복잡한 다른 정의들이 동등하게 적절한 것이다.

• ${\displaystyle (a,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{short}}:=\{a,\{a,b\}\};}$
• ${\displaystyle (a,b)_{\text{01}:=\\{0,a\}\{1,b\}\}.}$^[11]

역정의 정의는 쿠라토프스키 정의의 사소한 변종에 불과하며, 이와 같이 독자적인 이해관계가 없다. 세 쌍의 교정기가 아니라 두 쌍의 교정기가 필요하기 때문에 그 정의는 소위 말하는 것이다. 짧음이 특성 특성을 만족한다는 것을 증명하려면 제르멜로-프렌켈 집합 이론의 규칙성이 필요하다.^[12] 더욱이 폰 노이만의 자연수 설정기법을 사용한다면, 2는 쌍(0, 0)과 구별할 수 없는 {0, 1 = {0, {0} 집합으로 정의된다._short 그러나 짧은 쌍의 또 다른 단점은 a와 b가 같은 유형일지라도 짧은 쌍의 요소는 그렇지 않다는 사실이다. (그러나, a = b가 되면 짧은 버전은 카디널리티 2를 계속 갖게 되는데, 이는 어떤 "순서된 쌍"을 포함하여 어떤 "페어"에도 기대할 수 있는 것이다. 또한 짧은 버전은 Tarski-Grotendieck set 이론에서 사용되며, Mizar 시스템이 구축된다.)

정의가 특성 특성을 충족한다는 것을 증명

증명: (a, b) = (c, d) a = c, b = d인 경우에만.

쿠라토프스키:
if. a = c와 b = d이면 {{a}, {a, b} = {{c}, {c, d}}. 따라서 (a, b)_K = (c, d)_K

만약이래야. 두 가지 경우: a = b와 ≠ b.

a = b인 경우:

(a, b)_K = {{a}, {a, b}} = {{a}, {a, a} = {{a}}.

(c, d)_K = {{c}, {c, d}} = {{a}}.

따라서 {c} = {c, d} = {a}, 즉 a = c 및 a = d를 의미한다. 가설로, a = b. 따라서 b = d.

≠ b가 (a, b)_K = (c, d)_K가 {{a}, {a, b} = {{c, {c, d}}을(를) 내포하는 경우.

{c, d} = {a}을(를) 가정하십시오. 그러면 c = d = a, so {{c, {c, d} = {{a}, {a}, a} = {{a}. 그러나 그 다음에는 {{a}, {a, b}도 {{a}}과 같으므로 b = a는 contradicts b와 모순된다.

{c} = {a, b}이라고 가정하십시오. 그러면 a = b = c, 이것도 ≠ b와 모순된다.

따라서 {c} = {a}, 즉 c = a 및 {c, d} = {a, b}.

d = a가 참이면 {c, d} = {a, a} = {a} ≠ {a, b}, 모순이다. 따라서 d = b가 해당되므로 a = c, b = d.

반전:
(a, b)_reverse = {{b}, {a, b} = {{b}, {b, a} = (b, a)_K

if. (a, b)_reverse = (c, d),_reverse (b, a)_K = (d, c)일 경우._K 따라서 b = d 및 a = c.

만약이래야. a = c와 b = d이면 {{b}, {a, b}} = {{d}, {c, d}}}. 따라서 (a, b)_reverse = (c, d)_reverse

짧음:^[13]

if: a = c 및 b = d이면 {a, {a, b} = {c, {c, d}. 따라서 (a, b)_short = (c, d)_short

다음과 같은 경우에만: {a, {a, b} = {c, {c, d}}을(를) 가정하십시오. 그러면 a는 왼손에 있고, 따라서 오른손에 있다. 동일한 집합의 원소가 같기 때문에 a = c 또는 a = {c, d} 중 하나가 해당되어야 한다.

a = {c, d}이면 위와 유사한 추론에 의해 {a, b}이(가) 오른쪽에 있으므로 {a, b} = c 또는 {a, b} = {c, d}.

{a, b} = c인 경우 c는 {c, d} = a, a는 c에 있고, 이 조합은 규칙성의 공리와 모순되는데, {a, c}에는 "element of"라는 관계 하에 최소 요소가 없다.

{a, b} = {c, d}인 경우 a는 a = {c, d} = {a, b}에서 a의 요소가 되어 다시 정규성과 모순된다.

따라서 a = c는 버텨야 한다.

다시 {a, b} = c 또는 {a, b} = {c, d}을(를) 볼 수 있다.

옵션 {a, b} = c, a = c는 c의 요소로서 규칙성과 모순된다는 것을 의미한다.

따라서 a = c 및 {a, b} = {c, d}, so: {b} = {a, b} \ {a} = {c, d} \ {d}, so b = d.

Quine-Roser 정의

로서(1953)는 자연수에 대한 사전 정의를 필요로 하는 Quine 때문에 순서 쌍의 정의를 채택했다.^[14] $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 자연수 집합으로 하고$$ 먼저 정의하십시오.

$[\displaystyle \chostma(x):={\begin{case}x,&#{\text{}x\not \in \mathb {N},\x+1,&#text{{}in }x\in \mathb {N} .\case}}}}}}$

함수 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma}$은(는) 자연수인 경우 인수를 증가시키고$$ 그대로 두며, 숫자 0은 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$의 함수 값으로 나타나지 $않는다{\displaystyle }$$.$ x${\displaystyle }$n ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$은 $n$에 없는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystysty x$의 요소 집합이다$.$$\displaystyle \mathb {N}$ 계속$$ 진행

${\displaystyle \varphi(x):=\sigma [x]=\{\sigma (\alpha )\mid \alpha \in x\}=(x\smallsetminus \mathb {N})\cup \n+1:n\in(x\cap \mathb {N} )\}.}$

이것은 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$에 있는 세트 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \sigma$'$$x}$의 이미지로$,$ 때로는$$ $\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \sigma$'x$}$로 표시되기도 한다. 함수 $function{\displaystyle }${\$displaystyle \varphi$}을(를) 세트 x에 적용하면 그 안에 있는 모든 자연수가 증가하게 된다. 특히 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \varphi (x)}$은(는) 숫자 0을 포함하지 않으므로$$ 모든 집합의 경우 x와 y가

$\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\컵 \varphi (y).}$

추가, 정의

$[\displaystyle \cHB(x):=\cH00[x]\cup \{0\}=\varphi (x)\cup \{0\}}}$

이에 의해 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$은(는) 항상 숫자 0을 포함하게$$ 된다.

마지막으로, 순서 쌍(A, B)을 분리 결합으로 정의한다.

$[\displayplaystyle)(A,B):=\varphi [A]\cup \psi [B]=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.}$

(이것은 대체 표기법으로$$ $\phi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\cup }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi$ "A$\cup \psi"B}$이다.

0이 포함되지 않은 쌍의 모든 요소를 추출하고 $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$을(를) 실행 취소하면 A가 발생한다$$. 마찬가지로, B는 0을 포함하는 쌍의 요소로부터 복구할 수 있다.^[15]

For example, the pair ${\displaystyle (\{\{a,0\},\{b,c,1\}\},\{\{d,2\},\{e,f,3\}\})}$ is encoded as ${\displaystyle \{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}}$ provided ${$$\displaystyle a,b,c,d,e$,f$\notin$\mathb {$N}$

형식 이론과 그 이상에서 자명 집합 이론 NF와 같이 Quine-Roser 쌍은 그것의 투영과 같은 유형을 가지고 있으므로 "형식 수준" 순서 쌍이라고 불린다. 따라서 이 정의는 순서 쌍의 집합으로 정의되는 함수가 인수 유형보다 1보다 높은 형식만 가질 수 있는 이점이 있다. 이 정의는 자연수의 집합이 무한해야 효과가 있다. NF에서도 그러하지만 형식 이론이나 NFU에서는 그렇지 않다.J. 바클리 로서는 그러한 형식 수준의 순서 쌍(또는 심지어 "1" 순서 쌍)의 존재는 무한대의 공리를 내포하고 있음을 보여주었다. 퀴니안 설정 이론의 맥락에서 순서 쌍에 대한 광범위한 논의는 홈즈(1998년)를 참조한다.^[16]

캔터-프레지 정의

세트 이론의 개발 초기에, 역설들이 발견되기 전에 칸토르는 관계 개념이 원시적이라고 가정하고, 이 두 세트들의 순서 쌍을 이들 세트들 사이에 유지되는 모든 관계의 등급으로 정의함으로써 프레지를 따랐다.^[17]

${\displaystyle (x,y)=\{R:xRy\}.}$

이 정의는 대부분의 현대 공식화된 집합 이론에서 허용되지 않으며, 세트의 추기경을 주어진 집합과 함께 비능률적인 모든 집합의 등급으로 정의하는 방법과 유사하다.^[18]

모르스 정의

Morse-Kelley set 이론은 적절한 계층을 자유롭게 사용한다.^[19] 모스는 순서가 정해진 쌍을 정의하여, 그 투영이 세트뿐만 아니라 적절한 등급이 될 수 있도록 했다. (쿠라토프스키 정의는 이것을 허용하지 않는다.) 그는 먼저 쿠라토프스키의 방식으로 투영된 쌍들을 정의했다. 그리고 나서 그는 그 한 쌍을 다시 정의했다.

${\displaystyle (x,y)=(\{0\}\properties s(x)\컵(\{1\}\properties s(y))}$

구성품인 카테시아 제품은 쿠라토프스키 세트와

${\displaystyle s(x)=\{\\emptyet \}\cup \{t\}\mid t\in x\}}$

이것은 적절한 등급의 투영 가능한 쌍을 렌더링한다. 위의 Quine-Rosser 정의는 또한 적절한 계급을 투영으로 인정한다. 마찬가지로 삼중수소는 다음과 같이 3-투플로 정의된다.

${\displaystyle (x,y,z)=(\{0\}\cHB s(x)\cup (\{1\}\cHB s(x)\cup (\{2\}\cHB s(z))}$

삽입된 빈 세트가 있는$$ 싱글톤 세트 $s{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle s(x)}$를 사용하면 tuplle이 n-tuple이고 b가 m-tuple이고 a = b가 n = m인 경우 tupl이 고유성을 가질 수 있다. 순서 쌍으로 정의되는 순서 세 쌍은 순서 쌍과 관련하여 이 속성을 가지고 있지 않다.

자명적 정의

순서 쌍들은 또한 ZF에 단순히 아리티 2의 새로운$$ 함수 $기호{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$와 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에 대한 정의 공리를 추가하기만 하면 자명하게 ZF에 도입될 수 있다$.$

${\displaystyle f(a_{1},b_{1}}=f(a_{2},b_{2}){\text{{}}{}}}}}{{1}a_{1}={2}, }b_=b_{1}={2}.}$

이 ZF의 연장은 보수적인 연장이기 때문에 이 정의는 받아들일 수 있다.^{[citation needed]}

이 정의는 쿠라토프스키의 정의(a,b) = {{a}, {a} {{(a,b) = {{a}, {a,b}과 같은 소위 우발적 정리를 피하는 데 도움이 된다.

범주론

세트의 범주에서 범주-이론적 제품 A × B는 순서 쌍의 집합을 나타내며, 첫 번째 원소는 A에서, 두 번째 원소는 B에서 나온다. 이러한 맥락에서 위의 특성 속성은 제품의 보편적 특성과 세트 X의 요소가 1(하나의 요소 집합)에서 X까지의 형태론으로 식별될 수 있다는 사실의 결과물이다. 서로 다른 물체들이 보편적인 속성을 가질 수도 있지만, 그것들은 모두 자연적으로 이형질이다.

참조