삼각측량적 정체성의 증명

삼각함수 사이의 주 삼각형 정체성은 주로 직각 삼각형의 지오메트리를 사용하여 증명된다. 더 큰 각도 및 음의 각도는 삼각함수를 참조하십시오.

기본 삼각형 ID

정의들

6 삼각함수는 모든 실수에 대해 정의되며, 이들 중 일부를 제외하고, 직각(90°)의 배수로 0과 다른 각도에 대해 정의된다. 오른쪽의 다이어그램을 참조하여, right의 6 삼각함수는 직각보다 작은 각도에 대해 다음과 같다.

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm { {}{}{\mathrm {hypotenuse}}}{\frac {a}}}}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm { {}{{}}{\mathrm {enotenuse}}}}}}{\frac {b}}}}}}}$

${\displaystyle \tan \tan \tan ={\frac {mathrm { {}{\mathrm { {}}{\frac {a}{b}}}}}}$

${\displaystyle \theta ={\frac {\mathrm { {}{{\mathrm { {}}{\frac {b}{a}}}}}}$

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm { {otenuse}}{{\mathrm {}}}={\frac {h}{b}}}}}}}}}$

${\displaystyle \csc \csc \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse}}{\mathrm { {}}}{\frac {h}{a}}}}}}}$

비율 ID

직각보다 작은 각도의 경우, 다음과 같은 정체성은 분할 정체성을 통한 위 정의의 직접적인 결과물이다.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\frac\{a}{h}\오른쪽)}{\frac\frac\{b}}}}}}.}$

그것들은 90°보다 큰 각도와 음의 각도에 대해 유효하다.

${\displaystyle \tan \tan \tan ={\frac {\mathrm}{{}}}{\frac {\left\frac}{\mathrm { {otenuse}}}{\mathrm {mathrm}}{mathrmathrmethotenuse}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}$

${\displaystyle \theta ={\frac {\mathrm {mathrm}{{}}}{\frac{\frac}{\frac {}}{\mathrm {mathrm}}{\mathrmatrm {}}}{}}}}}{\mathrmathrmathrmathrmetrmathrmetrmatrm}}}}}}}}}}}}\rig}\rig}\rig}}}\rig}\rigine}}}={\frac{1}{\tan \tan \tan \theta }}={\fract {\coses \theta }{\sin \theta }}}}$

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta}}={\frac {\mathrm {mathotenuse}{\mathrm {math}}}}}$

${\displaystyle \csc \csc ={\frac {1}{\sin \thin }}={\frac {\mathrm {mathotenuse}{\mathrm {math}}}}}$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {opposite} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacent} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}}={\frac {\frac\frac {\mathrm { {}}{{\mathrm { {}}}{\mathrm {\}}{\mathrm {oppositeotenuse}}}}}{\mathrm {}}}}}}\mathrmathrm)}}}={\frac {\sec \theta }{\csc \theta }}}$

아니면

${\displaystyle \tan \tan \theta ={\frac \\sin \theta}{\frac }}{\frac }}{\frac \csc \}{\csec \theta }}}}}}{\refrac }}}}오른쪽)}}}={\frac {\frac\frac {\csc \sec \\csc \sec \}{\csc \csc \sec \}{\theta }}}{\sec \right)}{\csec \csec)}}}={\frac {\sec \theta }{\csc \theta }}}$

${\displaystyle \theta ={\frac {\csc \theta }{\sec \theta }}}$

상호 보완적인 각도

합계가 π/2 라디안인 두 각(90도)은 보완적이다. 도표에서 정점 A와 B의 각도는 상호보완적이므로 a와 b를 교환할 수 있으며, θ을 //2 - θ으로 변경하여 다음을 얻을 수 있다.

$\displaystyle \sin \left(\pi /2-\theta \right)=\cos \theta }$

$\displaystyle \cos \left(\pi /2-\theta \right)=\sin \theta }$

$\displaystyle \tan \left(\pi /2-\theta \right)=\display \theta }$

$\displaystyle \reft(\pi /2-\theta \right)=\tan \theta }$

${\displaystyle \sec \좌(\pi /2-\theta \우)=\csc \theta }$

${\displaystyle \csc \left(\pi /2-\theta \right)=\sec \theta }$

피타고라스의 정체성

ID 1:

${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$

이것과 비율 정체성에서 다음 두 결과가 나타난다. To obtain the first, divide both sides of ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$ by ${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$; for the second, divide by ${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$.

${\displaystyle \tan ^{2}(x)+1\ =\sec ^{2}(x)}$

${\displaystyle \sec ^{2}(x)-\tan ^{2}(x)=1}$

유사하게

${\displaystyle 1\ +\properties ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)}$

${\displaystyle \csc ^{2}(x)-\reason ^{2}(x)=1}$

ID 2:

다음은 세 가지 상호기능을 모두 설명한다.

${\displaystyle \csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cHB ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)}$

증명 2:

위의 삼각형 다이어그램을 참조하십시오. ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ a$^{2}+b^{2$}$}}=h^{2}}:$ 피타고라스의 정리.

${\displaystyle \csc^{2}(x)+\sec ^{2}={\frac {h^{2}}:}+{h^{2}}+{b^{2}}:}}={\frac {a^{2}+b^{2}={\frac {a^}+b^{2}{2}}}{a^{2}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}}{b^{2}}:}=2\ +{\frac{b^{2}}:{a^{2}}+{\frac{a^{2}}:{b^{2}}:}}}$

적절한 기능으로 대체 -

${\displaystyle 2\ +{\frac{b^{2}}+{\frac{a^{2}}:{b^{2}}:}=2\ +\tan^{2}(x)+\{2}(x)}$

재배열로 얻을 수 있는 이점:

${\displaystyle \csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cHB ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)}$

각도 합계 ID

사인

수평선(x축)을 긋고 원점 O를 표시한다. 수평선 위로$$ O각($)$ {\$displaystyle$ \alpha $},$ 그$$ $위$로$β$ {\$displaystyle$ \beta $},$ 두 번째 선과 x축 사이의 $각도$는 α${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$이다$.$

$P$를 원점에서 단위$$${\displaystyle }$거리 ${\displaystyle \alpha }$+ β {\$displaystyle \alpha$ +\beta $}$로 정의된 선에 놓는다.

PQ는 각도 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}에 의해 정의된 선 OQ에 수직이 되게 하라$.$ 이 선의 지점 Q에서 P.${\displaystyle }$∴ ${\displaystyle \therefore}$OQP는$$ 직각이다.

QA는 X 축의 A 지점에서 Q 및 PB 지점까지 수직이 되게 한다. X 축의 B 지점에서 P. $\therefore {\displaystyle }$ ${\displaystyle \therefore$}OAQ와$$ OBP는 직각이다.

QR이 x축과 평행하도록 PB에 R을 그린다.

Now angle ${\displaystyle RPQ=\alpha }$ (because ${\displaystyle OQA={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$, making ${\displaystyle RQO=\alpha ,RQP={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$, and finally ${\displaystyle RPQ=\alpha }$)

${\displaystyle RPQ={\tfrac {\pi }{2}}-RQP={\tfrac {\pi }{2}}-({\tfrac {}}{2}}-RQO)=RQO=\alpha }}}$

${\displaystyle OP=1}$

$\displaystyle PQ=\sin \beta \}$

$\displaystyle OQ=\cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {AQ}{$$OQ}}=\sin \alpha }$그래서 ${\displaystyle A}$ Q${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sin \alpha }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \beta }$β ${\displaystyle AQ=\sin \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {PR}{$$PQ}}=\cos \alpha }$그래서 ${\displaystyle P}$ R${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos \alpha }$ ${\displaystyle \sin \beta }$ ${\displaystyle PR=\cos \alpha \sin \beta }$

$\sin(\displaystyle \sin(\displaystyle +PB=RB+PR=AQ+PR=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle$ -$\beta }$을(를) $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$에 대체하고$$ Symmetry를 사용하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \sin(\displaystyle \sin(\csin(\csin(\csin(\csin(\csin(\csin)(\csin)=\sin$

$\displaystyle \sin(\cHB -\cHB )=\sin \cos \cos \cos \sin \sin \cHB}$

또 다른 엄격한 증거, 그리고 훨씬 더 쉬운 것은 복잡한 분석으로부터 알려진 오일러의 공식을 사용함으로써 얻을 수 있다. 오일러의 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ 각도에 대해 다음$$ 사항을 준수한다.

${\displaystyle e^{i(\displaystyle +\property )}=\cos(\cos)(\cos(\cos)(\put +\property )}$

지수 함수의 다음 속성도 사용:

${\displaystyle e^{i(\cHB +\cHB )}=e^{i\be^{i\bea }=(\cos \cos \i\sin \bea)(\cos \cos \i\sin \sin \cHB)}$

제품 평가:

${\displaystyle e^{i(\cHB +\cHB )}=(\cos \cos \cos \cos \cos \cos \\cos \sin \cos \cos \cos \cosen )+i(\sin \cos \cos \cos \cos \cosin \$

실제 부품과 가상 부품 동일화:

$\displaystyle \cos(\displaystyle \cos)(\coses \coses \coses \coses \coses \coses \coses$

$\displaystyle \sin(\cHB +\cHB )=\sin \cos \coses \cos \cos \cos \cos \cos \cos$

그러나 오일러의 공식에 대한 증명은 사인(sine)의 파생이 코사인(cosine)이라는 것을 알아야 하기 때문에 이는 두 각도의 사인(sine)에 대한 아이덴티티를 사용해야 증명할 수 있기 때문에 이것은 일종의 순환논쟁이다.

코사인

위의 그림을 사용하여,

${\displaystyle OP=1}$

$\displaystyle PQ=\sin \beta \}$

$\displaystyle OQ=\cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {OA}{$$OQ}}=\cos \alpha }$그래서 ${\displaystyle O}$= ${\displaystyle \cos \alpha }$ ${\displaystyle \cos }$ β${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle OA=\cos \alpha \cos$ \cos $\beta }}$

${\displaystyle \frac{R}{}}$ ${\displaystyle \frac{Q}{}}$ P ${\displaystyle \frac{Q}{}}$= ${\displaystyle \sin \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {RQ}{PQ}}=\sin \alpha$ $\},$ 따라서 ${\displaystyle \mathrm{RQ}}$= ${\displaystyle \sin \alpha }$ ${\displaystyle \sin \beta }$ β ${\displaystyle RQ=\sin \alpha \beta }$

$\cos(\displaystyle \cos)(\displaystyle +OB=OA-BA=OA-RQ=\cos \알파 \cos \alpha \cos \beta \beta \cos \beta \beta }$

${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle$ -$\beta }$을(를) $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$에 대체하고$$ Symmetry를 사용하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \cos(\displaystyle \cos(\coses -\position )=\coses \coses\position )-\sin \sinness\position )}$

$\displaystyle \cos(\displaystyle -\cos )=\cos \cos \cos \coses \coses \coses \coses \$

또한, 보완각 공식을 이용하여

${\displaystyle {\justice}\cos(\cos)(\pi +\pin )&=\sin(\pi /2-(\pi +\pi )\오른쪽)\\&=\sin \left(\pi /2-\filename )-\reft \right)\\&=\sin \left(\pi /2-\filency \right)\cos \cos \reft(\pi /2-\pi \refiled \right)\sin \cos \cosen \csin \\\clineed}}}}$

탄젠트 및 코탄젠트

사인 공식과 코사인 공식에서, 우리는

${\displaystyle \tan(\cHB +\cHB )={\frac {\sin(\sin(\cHB +\cHB )}}}{\frac {\sin \cos \cos \cos \cosin \cos \cosen \cos \sin \}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

분자와 분모를 모두 ${\displaystyle \cos \alpha }$ ${\displaystyle \cos }$ β${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$으로 나누면, 우리는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \tan(\cHB +\cHB )={\frac {\tan \tan \cHB +\tan \tan \cHB}{1-\tan \tan \cHB}}}}$

${\displaystyle \mathrm{황갈색}(}$ -${\displaystyle \beta }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{황갈색}}$(-\beta )을 사용하여$$$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에서 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tan(-\beta )=-\tan \beta$ $\},$

${\displaystyle \tan(\cHB -\tanness \tanness \tanness \cHB )={1-\tan \tan \tan \tan \cHB )}}{1+\tan \tan \cHB}}}}}$

유사하게, 사인 공식과 코사인 공식에서, 우리는

${\displaystyle \cos(\frac(\cos)(\cos(\cos)(\cos)(\cos(\cos)(\cos) \cos \\cos \\cos \\cos \\cos \cosin \cos \cosin \cos \cosin \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 분자와 분모를 ${\displaystyle \mathrm{죄악}\mathrm{\alpha 신}}$ ${\displaystyle \beta }$β$${\$displaystyle \sin \alpha \sin \beta }$로 나누면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \cHB +\frac \\frac \\cHB \cHB \cHB \cHB \1}{\cHB +\cHB \cHB }}}$

또는 ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\tan }{}}$ tan ${\displaystyle \frac{\theta }{}}${ { ${\$ \cot $\theta ={\frac {1}{\tan$\tan \$theta$

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {1-\tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}={\frac {{\frac {1}{\tan \alpha \tan \beta }}-1}{{\frac {1}{\tan \alpha }}+{\frac {1}{\tan \beta }}}}={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}$

${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle }$( -${\displaystyle }$β${\displaystyle )}$ = - ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \cot(-\beta )=-\cot \beta$ $\},$

${\displaystyle \property -\frac(\flash -\flash )={\frace \flac \flash\pair\1}-1}{\fract \flair \pair \pair \pair \}}}}}$

이중각 ID

각도 합을 통해 우리는

$\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$

그리고

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }$

피타고라스의 정체성은 이들 후자에 대해 두 가지 대안적 형태를 제공한다.

${\displaystyle \cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1}$

$\displaystyle \cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}\theta }$

또한 앵글섬 아이덴티티가 제공하는

${\displaystyle \tan (2\theta )={\frac {2\tan \tan }{1-\tan ^{2}={\fract {2}{\theta -\tan }}}}}}$

${\displaystyle \theta )={\frac {\fract ^{2}\theta -1}{2\property }}}={\fract }}{\fracta -\tan }{2}}:}$

오일러의 공식을 이용해 증명할 수도 있다.

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$

양쪽을 제곱하면 수확량이 증가한다.

${\displaystyle e^{i2\varphi }=(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}}$

그러나 각도를 방정식의 왼쪽에서 동일한 결과를 얻는 이중 버전으로 대체하면 산출량이 증가한다.

${\displaystyle e^{i2\varphi }=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$

그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle (\cos }$ ${\displaystyle \phi }$ + ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \backslash {}^{}\phi }$ ) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \phi }$+ i ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ 2$$ {\$displaystyle (\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi$ $\}.$

제곱을 넓히고 방정식의 왼쪽을 단순화하면

${\displaystyle i(2\sin \varphi \cos \varphi )+\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \ =\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$.

상상적인 부분과 실제적인 부분은 같아야 하기 때문에 우리는 원래의 정체성을 갖게 된다.

${\displaystyle {\cos }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\phi }$ - ${\displaystyle {\sin }^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\phi }$ = ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle 2\phi }$ ${\displaystyle \coses ^{2}\varphi$ -$\sin ^{2}\varphi$\$=\cos 2\varphi$ $\},$

그리고 또한

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \cos }$ cos${\displaystyle \phi }$ =${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle 2}$ 2$$ {\$displaystyle 2\sin \varphi \cos \varphi =\sin 2\barphi$ $\}.$

반각 정체성

cos 2θ에 대한 대체 형식을 제공하는 두 개의 정체성은 다음과 같은 방정식으로 이어진다.

${\displaystyle \cos{\frac {\theta}{2}}=\pm \,{\sqrt {\1+\cos \theta }{2}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {\theta}{2}}=\pm \,{\sqrt{1-\cos \theta}{2}}.}$

제곱근의 부호는 적절히 선택할 필요가 있다. θ에 2π을 더하면 제곱근 내부의 수량은 변하지 않지만 방정식의 왼쪽 면은 부호를 바꾼다는 점에 유의한다. 따라서 정확한 부호는 on의 값에 따라 달라진다.

황갈색 함수의 경우 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \tan {\frac {\theta}{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\coses }{1+\coses }}}.}$

그런 다음 제곱근 안에 있는 분자와 분모를 (1 + cos ))로 곱하고 피타고라스의 정체성을 사용하여 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \tan {\frac {\theta}{2}}={\frac {\sin \sin }{1+\coses \theta }}}.}$

또한 분자와 분모를 모두 (1 - cos θ)로 곱하면 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle \tan {\frac {\theta}{2}}={\frac {1-\coses \theta}{\sin \theta }}}.}$

이것은 또한 다음을 제공한다.

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta -\csc \theta.}$

요람 기능에 대한 유사한 조작은 다음을 제공한다.

${\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta .}$

기타 – 3중 접선 아이덴티티

$\psi {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \theta }$ +${\displaystyle \varphi }$= {${\displaystyle }$= ${\displaystyle \psi +\theta +\pi =}$ 반원$$(예: $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi$ {$${\$displaysty \theta},$ {$${\$displaystysty \pi})$이 삼각형의 각도인$$ 경우)

$\displaystyle \tan(\tan)(\tan)(\tan(\theta )+\tan(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\tan)(\phi).}$

증명:^[1]

${\displaystyle{\begin{정렬}\psi&=\pi-\theta -\phi \\\tan(\psi)&, =\tan(\pi-\theta -\phi)\\&, =-\tan(\theta +\phi)\\&, ={\frac{-\tan\theta-\tan \phi}{1-\tan \theta \tan \phi}}\\&, ={\frac{\tan\theta+\tan \phi}{\tan\theta \tan \phi)}}\\(\tan\theta \tan \phi))\tan\psi&=\tan\theta+\tan \phi\\\tan \psi \tan. \theta\tan \phi-\tan)psi &=\tan \tan \tan \phi \\tan \tan \tan \tan \tan \tan \phi \\ended}}}}$

기타 – 3중 접점 ID

$\psi {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \theta }$ +${\displaystyle \varphi }$ =${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{}}$ 2${\displaystyle }$= ${\displaystyle \psi +\theta +\pi ={\tfrac {}{2}}=}$ 쿼터$$ 원,

${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \psi }$ )${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle }$( )${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \cot }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \psi }$ ) = ${\displaystyle \cot )}$ ( ${\displaystyle \psi }$ ) ${\displaystyle \cot }$( ( ( ) cot$($ (\ )${\displaystyle }${ (\) ${$ (\$displaysty \cot)(\theta )=\cot (\psi)\cot(\ta$ $)\}.$

증명:

각 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi$ $\},$ $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$및 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$을(를) 보완 각도로$$ 교체하여 동탄자가 접선으로 변하거나 그 반대로 변하도록 하십시오.

주어진

${\displaystyle \cHB +\theta +\pi ={\tfrac {\pi}{2}}:}$

${\displaystyle \therefore ({\tfrac {\pi }{2}}-\psi )+({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )+({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-(\psi +\theta +\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {\pi }{2}}=\pi }$

그래서 결과는 3중 접선 정체성에서 나타난다.

제품 ID의 합계

• ${\displaystyle \sin \pm \pin \pin \pin =2\pin \frac {\pm \pmp \{2}}\오른쪽)\cos \pm \pm \pm \pmpin }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =2\cos \lefts\fract\\cos \reftdata\fract\\\\theta -}{2}}\오른쪽)}$
• $\displaystyle \cos \theta -\cos \phi =-2\sin \lefts\frac {\theta +\phi }{2}}\오른쪽)\sin \lefteprock\\theta -}$

사인 ID 증명

먼저, 총각 ID부터 시작하십시오.

$\displaystyle \sin(\cHB +\cHB )=\sin \coses \coses \sin \sin \cHB}$

$\displaystyle \sin(\cHB -\cHB )=\sin \cos \cos \cos \sin \sin \cHB}$

이것들을 함께 더하면

$\displaystyle \sin(\cHB +\cHB )+\sin(\cHB -\cHB )=\sin \coses \coses \coses \coses \sin \coses \cosin \cos}$

마찬가지로, 두 개의 총각 정체성을 빼면

$\displaystyle \sin(\cHB +\cHB )-\sin(\cHB -\cHB )=\sin \cos \cos \cos \cos \sin \cos \sin \cosin \cosin \cos}$

$\alpha {\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$= ${\displaystyle \theta }$ {\$displaystyle \alpha +\beta =\theta$ $},$ $\alpha {\displaystyle }$- ${\displaystyle \beta }$= ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \alpha$ -$\beta =\phi$

${\displaystyle \therefore }$ ${\displaystyle \alpha }$= ${\displaystyle \theta \frac{}{}}$ +${\displaystyle \frac{\varphi }{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ ={\frac = {\fracta ${\theta +\$$phi$$$}{$2$$}}:$ $\beta$ =${\displaystyle \frac{-}{}}$ - ${\displaystyle \frac{\varphi }{}}$ - ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2$${\$displaystystyle$\ = ={\$frac${\$ta -}}}}}}}}}$

$substitute{\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$ 및$$ $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$을(를) 대체하십시오.

${\displaystyle \sin \theta +\sin \phi =2\sin \lefts\frac {\theta +\phi }{2}}\오른쪽)\cos \reftepa\fract\\\ta -}$

${\displaystyle \sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)}$

그러므로

${\displaystyle \sin \pm \pin \pin \pin =2\pin \frac {\pm \pmp \{2}}\오른쪽)\cos \pm \pm \pm \pmpin }{2}}\right)}$

코사인 신원 증명

코사인(cosine)의 경우, 다음과 같이 합계 각도 ID로 시작하십시오.

$\displaystyle \cos(\displaystyle \cos(\cos+\coses )=\cos \cos \coses \cos \cos \cos \$

$\displaystyle \cos(\displaystyle -\cos )=\cos \cos \cos \coses \coses \coses \coses \$

다시, 더하기 및 빼기

$\displaystyle \cos(\cos)(\cos(\cos)(\cos)(\cos)(\cos) \cos \cos \\cos \\cos \ \cos \\\cos \\cos \cos \cos \cos \cos \cos \cos}$

$\displaystyle \cos(\cos)(\cos)(\cos)(\cos)(\cos) \cos \cos \cos \\cos \\cos \cos \cos \cos \cos \cosen \cosen \cosen \cosin \cos}}$

이전과 같이$$ $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$ 및 $and$ ${\displaystyle \phi }$을(를) 대체하십시오.

${\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =2\cos \lefts\fract\\cos \reftdata\fract\\\\theta -}{2}}\오른쪽)}$

$\displaystyle \cos \theta -\cos \phi =-2\sin \lefts\frac {\theta +\phi }{2}}\오른쪽)\sin \lefteprock\\theta -}$

불평등

오른쪽 그림은 반지름 1의 원 부분을 보여준다. 부문은 전체 원의 θ/(2π)이므로 면적은 θ/2이다. 여기서 우리는 θ < π/2>라고 가정한다.

$OA=OD=1}$

$AB=\sin \theta }$

$\displaystyle CD=\tan \theta }$

삼각형 OAD의 면적은 AB/2 또는 sin(sin)/2이다. 삼각형 OCD의 면적은 CD/2 또는 황갈색(θθ)/2이다.

Triangle OAD는 완전히 그 분야 안에 있고, 그것은 완전히 Triangle OCD 안에 있기 때문에, 우리는

$\displaystyle \sin \theta <\tan \tan \theta .}$

이 기하학적 주장은 가정으로 작용하는 호 길이와 면적의 정의에 의존하기 때문에 증명 가능한 속성이라기보다는 삼각함수의 구성에서 부과되는 조건이다.^[2] 사인 함수의 경우 다른 값을 처리할 수 있다. 만약 θ > π/2, 그러면 θ > 1. 그러나 죄악 θ 1 (피타고라스적 정체성 때문에) 그래서 죄악 < < have. 그래서 우리는 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\1\\\\\mathrm {if} \ \ \theta .}$

θ의 음수 값에 대해 사인 함수의 대칭에 의해 우리가 가지고 있다.

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }={\frac {\sin\\theta )}{-\theta }1.}$

그러므로

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\text{}}}<1\data {\text{}}\theta \neq 0,}$

그리고

${\displaystyle {\frac {\tan \tan \tan }{\theta }}1\pa {\text{if{}\text{}}}\py 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}}.}$

미적분학 관련 신원

예선

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\sin \theta }=0}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\cos \theta }=1}$

사인 및 각도 비율 ID

${\displaystyle \lim_{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }=1}$

즉, 함수 사인(function sine)은 0에서 구별이 가능하며, 파생상품은 1이다.

증거: 이전의 불평등으로부터, 우리는 작은 각도에서,

< < {\$displaystyle \sin \theta$ <\$tan$\tan $etta$

그러므로

tan { { { ${$ \$displaystyle${\$frac$}{\$sin \theta$}}}<$1<{\frac }\tan$\tan \$theta$

우측 불평등을 고려하십시오. 이후

${\displaystyle \tan \tan \theta ={\frac {\sin \theta}{\cos \theta}}}$

${\displaystyle \cHB 1<{\frac {\sin \theta }{\theta \cos \theta }}}$

${\displaystyle \cos }$ $⁡{\displaystyle \cos$\theta$}$를 곱하십시오.

${\displaystyle \cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}}$

좌측 불평등과 결합:

${\displaystyle \cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta 1}$

${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \cos \to$ 0}을(를) $한계$로 가져오는 중${\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \to 0}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\cos \theta }=1}$

그러므로

${\displaystyle \lim_{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }=1}$

코사인 및 각도비 아이덴티티

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\coses \theta }{\theta }}=0}$

증명:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}&={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\\&={\frac {\sin ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\\&=\left({\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\times \sin \theta \times \left({\frac {1}{1+\cos \theta }}\right)\\\end{aligned}}}$

이 세 가지 수량의 한계는 1, 0, 1/2이므로 결과적인 한계는 0이다.

각도 비율 ID의 코사인 및 제곱

${\displaystyle \lim _{\to 0}{\frac {1-\cos \cos \theta }{\theta ^{2}}={\frac {1}{1}2}}:}$

증명:

앞의 증거와 같이

${\displaystyle {\frac{1-\cos \theta ^{2}}={\frac }{\theta }}}{\frac }}{\theta }}}{\fracta }{\fracta}{1+\cos }}}}.}$

이 세 가지 수량의 한계는 1, 1, 1/2이므로 결과적인 한계는 1/2이다.

트리거 및 역트리그 함수의 구성 증명

이 모든 기능은 피타고라스 삼각측량 정체성에서 따온 것이다. 예를 들어, 우리는 그 기능을 증명할 수 있다.

${\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

증명:

우리는 부터 시작한다.

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

그런 다음 이 방정식을 ${\displaystyle {\mathrm{Cos}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$로 나누자.

${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1}{\tan ^{2}\theta +1}}$

그런 다음 대체 $substitution{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{아크탄}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \theta =\arctan(x$)}을$($를) 사용하십시오. 또한 피타고라스 삼각계 ID:

${\displaystyle 1-\sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {1}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}}}$

그런 다음, identity ${\displaystyle \mathrm{tann}}$[${\displaystyle \mathrm{Arctan}}$ ${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle x}$ $\\displaystyle \tan[\arctan(x)]\equiv$ x$}$을 사용한다.

${\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt{x^{2}+1}}}}}}}}}}}}$

참고 항목

메모들

참조