코탄젠트의 법칙

삼각법
개요 역사 사용법 함수(역) 일반 삼각법
참조
정체성 정확한 상수 테이블 단위원
법과 정리
신스 코사인 접선 코탄젠트 피타고라스 정리
미적분학.
삼각 치환법 통합(역 함수) 파생상품
v t

삼각법에서, 코탄젠트의^[1] 법칙은 삼각형의 옆면과 세 각의 절반의 옆면 사이의 관계다. 이것은 Cot Organy라고도 알려져 있다.

씨인의 법칙에 의해 균등하게 표현되는 세 가지 양이 삼각형의 원(또는 그 역수)의 지름과 같듯이(또는 그 법칙이 어떻게 표현되느냐에 따라 그 역수) 또한 삼각형의 새겨진 원(inradius)의 반지름을 옆면과 각도로 연관시킨다.

성명서

는 3면의 a, b삼각형(상단 오른쪽 그림 참조), c을 위해 일반적인 표기를 사용하고 활동력은, A, B, C는 vertices의 반대 위치에 그 세개 각각의 면, 그것은 α, 그 vertices에 β, γ 이에 상응하는 각도, s는 semi-perimeter,, s).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .s.Frac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}는+b+c/2고 새겨져 원의 r은 반경, la.w cantangents는 다음과 같이 말한다.

${\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}\,}$

그리고 더 나아가 인라디우스는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}$

증명

위쪽 그림에서 삼각형의 옆면이 있는 근골의 접선점은 둘레를 3쌍으로 나누어 6개의 세그먼트로 나눈다. 각 쌍에서 세그먼트는 길이가 같다. 예를 들어, 꼭지점 A에 인접한 두 세그먼트가 동일하다. 각 쌍에서 한 구간을 선택하면, 그 합은 반퍼미터 s가 될 것이다. 그 예로는 그림에서 색상으로 표시된 세그먼트가 있다. 빨간색 선을 구성하는 두 세그먼트는 a에 추가되므로 파란색 세그먼트는 길이가 s - a여야 한다. 분명히 다른 다섯 세그먼트는 아래 그림에 표시된 것처럼 길이 s - s - b 또는 s - c를 가져야 한다.

그림의 검사로, 코탄젠트 함수의 정의를 이용하여, 우리는

${\displaystyle \refac \left\frac {}{2}\오른쪽)={\frac {s-a}{r},}$

그리고 다른 두 각도에서 마찬가지로 첫 번째 주장을 증명한다.

두 번째 방법인 inradius 공식은 다음과 같은 일반적인 추가 공식에서 시작한다.

${\displaystyle \property(u+v+w)={\frac {\frac u+\reason v+\reason w-\reason w-\reason v\reason w}{1-\reason v-\reason v-\reason w-\reason w-\reason w-\reason w-\reasna}.}$

요람(α/2 + β/2 + +/2) = 요람 π/2 = 0에 적용하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}$

(이것은 또한 트리플 코탄젠트 아이덴티티)

첫 번째 부분에서 얻은 값을 대체하여 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}$

r³/s로 곱하면 r의² 값이 주어지며, 두 번째 주장을 증명한다.

코탄젠트 법칙을 이용한 일부 증거

다른 많은 결과들은 코탄젠트의 법칙에서 도출될 수 있다.

• 헤론의 공식. 삼각형 ABC의 영역도 6개의 작은 삼각형으로 나뉘며, 또한 3쌍으로 나누어져 있으며, 각 쌍의 삼각형은 동일한 영역을 가지고 있다는 점에 유의한다. 예를 들어, 꼭지점 A 근처에 있는 두 삼각형은 너비 s - a 및 높이 r의 직삼각형이며 각각 1/2r(s - a)의 면적을 가진다. 따라서 이 두 삼각형은 r(s - a)의 면적을 가지며, 따라서 전체 삼각형의 면적 S는

${\displaystyle {\begin}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r{\bigl(}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs\[8pt]\end{arged}}}$

이것이 결과를 낳는다.

S = √s - a(s - b)(s - c)

필요에 따라

• 몰웨이드의 첫 공식. 첨가 공식과 우리가 가지고 있는 코탕트의 법칙으로부터

${\displaystyle {\frac {\sin \left\tfrac {}{2}-{\tfrac {\frac }{2}}\오른쪽)}}{{\sin \left\tfrac {\reft }{2}}+{\tfrac {}{{}}}\오른쪽)}}}={\frac {\reft\tfrac {}{1}:{2}}\\오른쪽)-\reft \reft\refac {}{{2}}\\right)}}{{\message \left\tfrac }{{2}}\오른쪽)+++++\reft \left\tfrac {\reft }{}}\right)}}}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}$

이것이 결과를 낳는다.

${\dfrac {a-b}{c}={\dfrac {\sin \leftfrac\tfrac {\prettation }{2}}-{\tfrac {\}{2}}\오른쪽)}}{{\cos \left\tfrac {\reft }{2}}\오른쪽)}}}$

필요에 따라

• 몰웨이드의 두 번째 공식. 첨가 공식과 우리가 가지고 있는 코탕트의 법칙으로부터

${\displaystyle {\pregated}&#{\frac {\cos \left\\tfrac {}{2}}-{\tfrac {}{2}}\오른쪽)}}{{\cos \left\tfrac {\reft }{2}}+{\tfrac {}{{}}}\오른쪽)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}{{\message \left\tfrac }{{2}}\오른쪽)+++++\reft \left\tfrac {\reft }{}}\right)}}}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{정렬}}}$

여기서, 총액/제품 공식에 따라 제품을 합으로 변환하기 위한 추가 단계가 필요하다.

이것이 결과를 낳는다.

${\dfrac {b+a}{c}={\dfrac {\c}={\dfrac {\cos \reft\tfrac {\refrac {}}}{\tfrac {\}}{2}}-{\i1}오른쪽)}}{\sin \왼쪽 \tfrac {\refrac }{2}}\오른쪽)}}}$

필요에 따라

• 접선의 법칙은 이것에서도 도출될 수 있다(Silvester 2001, 페이지 99).

참고 항목

• 시인의 법칙
• 코사인 법칙
• 접선의 법칙
• 몰웨이드의 공식

참조