선형성

선형성은 직선으로서 그래픽으로 나타낼 수 있는 수학적 관계(함수)의 속성이다. 선형성은 비례성과 밀접한 관련이 있다. 물리학의 예로는 전기 전도체(옴의 법칙)에서의 전압과 전류의 선형 관계, 질량과 무게의 관계를 들 수 있다. 이와는 대조적으로, 더 복잡한 관계는 비선형적이다.

둘 이상의 차원의 기능에 대해 일반화된 선형성은 덧셈 및 스케일링과 호환되는 함수의 속성을 의미하며, 중첩 원리로도 알려져 있다.

선형이라는 단어는 라틴 리니어니스에서 유래되었는데, "행과 비슷하거나"이다.

수학에서는

수학에서 선형 지도 또는 선형 함수 f(x)는 다음 두 가지 특성을 만족시키는 함수다.^[1]

부가성: f(x + y) = f(x) + f(y).
도 1의 동질성: 모든 α에 대해 f(αx) = α f(x)이다.

이러한 성질은 중첩 원리로 알려져 있다. 이 정의에서 x는 반드시 실수는 아니지만, 일반적으로 어떤 벡터 공간의 요소가 될 수 있다. 선형 지도의 정의와 일치하지 않는 선형 함수의 보다 특별한 정의가 초등 수학에서 사용된다(아래 참조).

Additivity alone implies homogeneity for rational α, since $f(x+x)=f(x)+f(x)$ implies $f(nx)=nf(x)$ for any natural number n by mathematical induction, and then ${\displaystyle nf(x$ $)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}}=mff\tfrac {n}{n}}}$ 은(는 $)$ $f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)$ ( $f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)$ $f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)$ ) $f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)$ = n m $f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)$ ( $){\displaysty f({\tfrac{n}{m$ 실수의 합리적 숫자의 밀도는 모든 가법 연속함수가 실수 α에 대해 동질적이므로 선형임을 암시한다.

선형성의 개념은 선형 연산자로 확장될 수 있다. 선형 연산자의 중요한 예로는 차등 연산자로 간주되는 파생상품과 그로부터 건설된 다른 연산자(예: 델과 라플라크)가 있다. 미분방정식을 선형 형태로 표현할 수 있을 때는 일반적으로 방정식을 작은 조각으로 쪼개서 그 조각들을 하나하나 풀고, 그 해법들을 합하여 해결할 수 있다.

선형대수학은 벡터, 벡터 공간('선형 공간'이라고도 함), 선형 변환('선형 지도'라고도 함), 선형 방정식의 시스템과 관련된 수학의 분기다.

선형 및 비선형 방정식에 대한 설명은 선형 방정식을 참조하십시오.

선형 다항식

위의 정의와 다른 용도에서 도 1의 다항식은 선형이라고 하는데, 그 형태의 함수 그래프는 직선이기 때문이다.^[2]

실제에 걸쳐 선형 방정식은 다음과 같은 형태 중 하나이다.

f(x)=mx+b\

여기서 m은 종종 경사 또는 경사로라고 불린다. b는 함수의 그래프와 y축 사이의 교차점을 제공한다.

실제 숫자에 대한 선형 다항식은 일반적으로 부가성이나 동질성을 만족시키지 못하기 때문에 이러한 선형이라는 용어의 용어는 위의 절과 같지 않다는 점에 유의한다. 사실, 그들은 b = 0일 경우에만 그렇게 한다. 따라서 b 0 0이면 함수를 흔히 아핀 함수라고 부른다(더 큰 일반성 아핀 변환 참조).

부울 함수

선형 부울 함수의 Hasse 다이어그램

부울 대수에서 선형 함수는 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ f ${\displaystyle$ f $}$ 이며, 이 $f$ 함수에는 0, $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ , $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ { 0 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ $a_{0},a_{1}, ldots ,a_{n}\}\}, \{0,1}\$ 이 있다 $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ .

f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})

, where

{\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.

}

$a_{0}=1$ = $a_{0}=1$ $a_{0}=1$ 인 $a_{0}=1$ 경우 위의 함수는 선형 대수(즉, 선형이 아님)에서 아핀으로 간주된다는 점에 유의하십시오.

부울 함수는 함수의 진리 표에 대해 다음 중 하나가 고정된 경우 선형이다.

함수의 진리 값이 T인 모든 행에는 변수에 할당된 홀수 Ts가 있고, 함수가 F인 행에는 변수에 할당된 짝수 Ts가 있다. 구체적으로는 f(F, F, ..., F) = F이며, 이러한 함수는 부울 벡터 공간 위의 선형 지도에 해당한다.
함수의 값이 T인 모든 행에는 함수의 인수에 할당된 Ts의 짝수가 있고, 함수의 진실 값이 F인 행에는 변수에 할당된 Ts의 홀수가 있다. 이 경우 f(F, F, ..., F) = T.

이를 표현하는 또 다른 방법은 각 변수가 항상 운영의 진실 가치에 차이를 두거나 결코 차이를 만들지 않는다는 것이다.

부정, 논리 쌍변형, 배타적 또는 tautology, 모순은 선형 함수다.

물리학

물리학에서 선형성은 예를 들어 맥스웰 방정식이나 확산 방정식과 같은 많은 시스템을 지배하는 미분 방정식의 속성이다.^[3]

균질 미분 방정식의 선형성은 두 함수의 f와 g가 방정식의 해법이라면, 어떤 선형 조합 af + bg도 마찬가지라는 것을 의미한다.

계측에서 선형성은 입력 변수의 특정 변화가 측정 장치의 출력에서 동일한 변화를 준다는 것을 의미한다. 이는 과학적인 연구에서 매우 바람직하다. 일반적으로 계측기는 특정 범위에 걸쳐 선형에 가깝고, 그 범위 내에서 가장 유용하다. 이와는 대조적으로 인간의 감각은 매우 비선형적이다. 예를 들어, 뇌는 특정 절대 임계 광자 수를 초과하지 않는 한 들어오는 빛을 완전히 무시한다.

전자제품

전자공학에서 트랜지스터와 같은 소자의 선형 작동 영역은 출력 종속 변수(트랜지스터 수집기 전류 등)가 입력 종속 변수(예: 기본 전류)에 정비례하는 곳이다. 이것은 아날로그 출력이 일반적으로 더 높은 진폭(증폭)으로 입력의 정확한 표현임을 보장한다. 선형 장비의 대표적인 예로 고밀도 오디오 앰프가 있는데, 이는 파형을 변경하지 않고 신호를 증폭해야 한다. 다른 것들은 일반적으로 선형 필터와 선형 증폭기들이다.

대부분의 과학 기술에서, 수학적 응용과는 구별되는 것처럼, 특성이 거의 직선이 아닌 경우 어떤 것은 선형이라고 설명할 수 있다; 그리고 선형성은 특정한 작동 영역 내에서만 유효할 수 있다. 예를 들어, 고신뢰 증폭기는 작은 신호를 왜곡할 수 있지만, 충분히 적은 t.o 허용 가능(허용되지만 불완전한 선형성); 입력 값이 특정 값을 초과하면 매우 심하게 왜곡될 수 있다.^[4]

적분 선형성

수량을 다른 수량으로 변환하는 전자 장치(또는 기타 물리적 장치)의 경우,^[5]^[6] Bertram S. Kolts는 다음과 같이 쓴다.

공통 사용에서 적분 선형성에 대한 세 가지 기본 정의가 있다: 독립 선형성, 영 기반 선형성 및 단자 또는 종점 선형성. 각각의 경우에, 선형성은 지정된 작동 범위에 걸친 기기의 실제 성능이 직선에 얼마나 근접한지를 정의한다. 선형성은 이상적인 직선에서 편차, 즉 비선형성의 관점에서 측정되며 일반적으로 완전 척도의 백분율 또는 완전 척도의 ppm(백만 개당 부분) 단위로 표현된다. 일반적으로 직선은 데이터의 최소 제곱 적합을 수행하여 얻는다. 세 가지 정의는 실제 기기의 성능에 비례하여 직선이 위치하는 방식에 따라 다르다. 또한 이 세 가지 정의는 모두 실제 기기의 성능 특성에 존재할 수 있는 이득을 무시하거나 오류를 상쇄한다.

군사 전술 형성

군사 전술적 형태에서, "선형 형태"는 총잡이가 보호하는 파이크의 팔란x 형태에서 시작하여 점차적으로 적은 수의 피크로 보호되는 총잡이의 얕은 형태에 맞게 조정되었다. 이러한 종류의 형성은 웰링턴의 '씬 레드 라인'의 시대에 극에 달할 때까지 점진적으로 얇아졌다. 그것은 결국 교전 질서에 의해 대체되었는데, 그 발명은 군인들이 어떤 형태의 대형의 형태로도 지원되지 않는 작고 기동적인 부대에서 이동 및 발포할 수 있게 되었다.

예술

리니어라인(Linear)은 스위스 미술사학자 하인리히 뵐플린이 '클래식(Classic)' 즉 르네상스 예술을 바로크와 구별하기 위해 제안한 5가지 범주 중 하나이다. 뵐플린에 따르면 15~16세기 초의 화가(레오나르도 다빈치, 라파엘 또는 알브레히트 뒤레르)는 주로 윤곽을 사용하여 형태를 만들기 때문에 17세기의 '고풍스러운' 바로크 화가(피터 폴 루벤스, 렘브란트, 벨라스케스)보다 더 선형적이다.^[7] 예술의 선형성은 디지털 예술에서도 언급될 수 있다. 예를 들어, 하이퍼텍스트 소설은 비선형 서사의 한 예가 될 수 있지만, 선형 경로를 따라 지정되고 조직화된 방식으로 진행되도록 설계된 웹사이트도 있다.

음악

음악에서 선형적인 측면은 동시성이나 수직적인 측면과는 반대로 간격이나 멜로디 중 어느 한 쪽이든 계승이다.

통계에서

참고 항목

참조

^ Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. p. 78. ISBN 9780817637316.
^ 스튜어트, 제임스(2008). 미적분학: 초기 초월론, 6차 개정판, 브룩스 콜 첸가지 학습. ISBN 978-0-495-01166-8, 섹션 1.2
^ Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations (PDF), Graduate Studies in Mathematics, 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943
^ Whitaker, Jerry C. (2002). The RF transmission systems handbook. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.
^ Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity" (PDF). analogZONE. Archived from the original (PDF) on February 4, 2012. Retrieved September 24, 2014.
^ Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity". Foreign Electronic Measurement Technology. 24 (5): 30–31. Retrieved September 25, 2014.
^ Wölfflin, Heinrich (1950). Hottinger, M.D. (ed.). Principles of Art History: The Problem of the Development of Style in Later Art. New York: Dover. pp. 18–72.

외부 링크

Wiktionary에서 선형성에 대한 사전 정의

[1] Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. p. 78. ISBN 9780817637316.

[2] 스튜어트, 제임스(2008). 미적분학: 초기 초월론, 6차 개정판, 브룩스 콜 첸가지 학습. ISBN 978-0-495-01166-8, 섹션 1.2

[3] Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Partial differential equations (PDF), Graduate Studies in Mathematics, 19 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943

[Whitaker-4] Whitaker, Jerry C. (2002). The RF transmission systems handbook. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0973-1.

[5] Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity" (PDF). analogZONE. Archived from the original (PDF) on February 4, 2012. Retrieved September 24, 2014.

[6] Kolts, Bertram S. (2005). "Understanding Linearity and Monotonicity". Foreign Electronic Measurement Technology. 24 (5): 30–31. Retrieved September 25, 2014.

[7] Wölfflin, Heinrich (1950). Hottinger, M.D. (ed.). Principles of Art History: The Problem of the Development of Style in Later Art. New York: Dover. pp. 18–72.

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