파라메트릭 방정식

수학에서, 파라메트릭 방정식은 수량의 그룹을 ^[1]파라메타라고 불리는 하나 이상의 독립 변수의 함수로 정의합니다.파라메트릭 방정식은 곡선이나 표면과 같은 기하학적 객체를 구성하는 점의 좌표를 표현하기 위해 일반적으로 사용되며, 이 경우 방정식은 ^[1][2][3]집합적으로 개체의 파라메트릭 표현 또는 파라메타화(또는 파라미터화)라고 불립니다.

예를 들어, 방정식은

$(\displaystyle\cos t\y&=\sin t\end {aligned})$

는 단위 원의 파라메트릭 표현을 형성합니다. 여기서 t는 파라미터입니다.점(x, y)은 이러한 두 방정식이 해당 점을 생성하도록 t 값이 존재하는 경우에만 단위 원에 있습니다.개별 스칼라 출력 변수에 대한 파라메트릭 방정식이 벡터의 단일 파라메트릭 방정식으로 결합되는 경우가 있습니다.

$(\displaystyle (x,y)=(\cos t,\sin t).}$

파라메트릭 표현은 일반적으로 고유하지 않기 때문에(아래의 "2차원의 예" 섹션 참조), 동일한 수량은 여러 가지 다른 파라메타화에 ^[1]의해 표현될 수 있습니다.

곡선과 표면 외에도 파라메트릭 방정식은 다지관 또는 다양성의 치수와 같으며 다지관 또는 다양성이 고려되는 공간의 치수와 같으며 다지관 또는 다양성의 다지관 및 더 높은 차원의 대수적 다양성을 기술할 수 있다(곡선의 경우, 다지관 또는 다양성이 고려되는 공간의 치수와 같다.sion은 1이고 표면 치수 2 및 2 파라미터 등에 대해 1개의 파라미터가 사용됩니다.

파라메트릭 방정식은 일반적으로 물체의 궤적이 파라메타로서 시간에 따라 방정식으로 표현되는 운동학에서 사용됩니다.이 응용 프로그램 때문에 단일 파라미터는 종종 t라는 라벨이 붙지만 파라미터는 다른 물리량(예를 들어 기하학적 변수)을 나타낼 수도 있고 편의상 임의로 선택할 수도 있습니다.매개 변수화는 고유하지 않습니다. 두 개 이상의 매개 변수 방정식 세트가 동일한 ^[4]곡선을 지정할 수 있습니다.

적용들

운동학

운동학에서 공간을 통과하는 물체의 경로는 일반적으로 파라메트릭 곡선으로 설명되며, 각 공간 좌표는 독립 매개변수(일반적으로 시간)에 따라 명시적으로 달라집니다.이러한 방식으로 사용되는 객체의 좌표에 대한 모수 방정식 집합은 집합적으로 위치에 대한 벡터 값 함수를 구성합니다.그런 다음 이러한 모수 곡선을 통합하고 기간별로 구분할 수 있습니다.따라서 입자의 위치가 파라메트릭으로 다음과 같이 설명될 경우

$\displaystyle \mathbf {r}(t)=(x(t),y(t),z(t))}}$

그러면 그것의 속도는 다음과 같이 찾을 수 있다.

$\displaystyle \mathbf {v}(t)=\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)}$

그리고 그 가속도는

${\displaystyle \mathbf{a}}$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle ″}$ ( (${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle {}^{}{(}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$, y$$ t (${\displaystyle t}$) , ${\displaystyle {}^{}{″}^{}}$ (${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ ) \ $displaystyle \mathbf {a}$ ( t )$=$ \$mathbf$ {r} '($t)'$= ($x '($t)' , y($t)'$ , $z'(t)'$。

컴퓨터 지원 설계

파라메트릭 방정식의 또 다른 중요한 용도는 CAD(^[5]컴퓨터 지원 설계) 분야입니다.예를 들어 평면 곡선을 기술하는 데 일반적으로 사용되는 다음 세 가지 표현을 고려합니다.

유형	형태	예	묘사
1. 명시적	$\displaystyle y=f(x)\!}$	$(\displaystyle y=display+b,\!)}$	선
2. 암묵적	${\displaystyle f(x,y)=0,\!}$	${{displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}$	원형
3. 파라메트릭	${\displaystyle x=syslogfrac {g(t)}{w(t)}};,\!}$ ${\displaystyle y=syslogfrac {h(t)}{w(t)}$	${\displaystyle x=a_{0}+a_{1}t;,\!}$ ${\displaystyle y=b_{0}+b_{1}t,\!}$ $(\displaystyle x=a+r,\cos t;,\!)$ $(\displaystyle y=b+r,\sin t,\!)$	선 원형

각 표현에는 CAD 어플리케이션의 장점과 단점이 있습니다.

명시적 표현은 매우 복잡하거나 존재하지 않을 수 있습니다.게다가 기하학적 변환, 특히 회전하에서는 잘 동작하지 않습니다.한편, 파라메트릭 방정식과 암묵적 방정식은 명시적 표현으로부터 쉽게 추론할 수 있기 때문에, 단순한 명시적 표현이 존재할 때는, 다른 두 표현의 이점을 가진다.

암묵적인 표현으로 인해 곡선에 점을 생성하기 어려울 수 있으며 실제 점이 있는지 여부도 판단하기가 어려울 수 있습니다.한편, 이들은 주어진 점이 곡선상에 있는지 또는 닫힌 곡선 안쪽에 있는지 또는 바깥쪽에 있는지를 판단하는 데 매우 적합합니다.

모수 표현으로는 이러한 결정이 어려울 수 있지만 모수 표현은 곡선에 점을 생성하고 곡선을 ^[6]그리는 데 가장 적합합니다.

정수 지오메트리

정수 기하학의 수많은 문제는 파라메트릭 방정식을 사용하여 해결할 수 있습니다.그러한 고전적인 해는 직각삼각형의 유클리드의 파라메타라이제이션으로, 변의 a, b와 빗변 c의 길이가 공칭 정수이다.a와 b는 둘 다 짝수가 아니기 때문에(그렇지 않으면 a, b, c가 공수가 되지 않음), 짝수를 가지도록 교환할 수 있으며 파라미터화는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle a=200n,\\b=m^{2}-n^{2},\c=m^{2}+n^{2})$

여기서 매개 변수 m과 n은 둘 다 홀수가 아닌 양의 공유 정수입니다.

a, b, c에 임의의 양의 정수를 곱하면 세 변의 길이가 정수인 모든 직각삼각형의 파라메타화를 얻을 수 있다.

암묵화

일련의 파라메트릭 방정식을 단일 암묵적 방정식으로 변환하려면 변수$t$를 연립 $방정식{\displaystyle }$ x =$f$ (${\displaystyle t}$) , ${\displaystyle \text{y}}$ ${\displaystyle =g}$ (${\displaystyle t}$) .$$\ $displaystyle$ x $= f$($t$ ) , \ y$= g$ ($$$t$ )에서 제거합니다.} 이$$ 프로세스를 암묵화라고 합니다$.$이러한 방정식 중 하나를 t에 대해 풀 수 있다면 x와 y만을 포함하는 방정식으로 대체할 수 있다: $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle ={}^{}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ )$$\ $display style$ y $= g$ ( ${\displaystyle \mathrm{t<img\; alt="y=g(t)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d8bf432cea843238c7b86c954aa2028614cb31ec"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.019ex;\; height:2.843ex;">}}$$$) \ display $style$ $t{\displaystyle }$ =$g ^$ { - $1$($y$ )$$\ $display$ style t$=$g ^ { - ${\displaystyle 1^{}}$ ($$y ) \ display style x ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle =}$ t $sty$（ t$$） sty （ $t{\displaystyle }$ ） $style$ ） 。xplicit $방정식{\displaystyle }$ x ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$,$${ $displaystyle$ x $= f$ ( $g$^ { - $1 （$ y ） } , ${\displaystyle \mathrm{보다<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x=f(g^\{-1\}(y)),\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6231f4d8a0025fac881d64875c1717b06429793e"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:14.579ex;\; height:3.176ex;">}}$ 복잡한 경우 $h{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ ) $=$0 .$display h ( x$ , y )=$$$0$ .$}$

만약 parametrization 합리적인 기능에 의해서 주어진다.

${\displaystyle x={\frac{p(t)}{r(t)}},\qquad y={\frac{q(t)}{r(t)}},}.$

어디 p, q, r 있set-wise coprime 다항식, 합성 계산 하나 implicitize 수 있습니다.xr(t)– p(t)과– q(t)yr(t) 아는 일에 관해서 좀 더 정밀하게, 내재된 방정식은 합력으로.

더 높은 차원에서 합리적인 매개 변수 방정식을 implicitization에 의해 Gröbner 기초 계산, 더 높은 차원에서 Gröbner 기준 제Implicitization을 본 것(또한 두개 이상의 좌표 또는 하나 이상의 매개 변수).

반경의 원을, 매개 변수 방정식을 예를 들며.

${\displaystyle{\begin{정렬}x&, =a\cos(t)\\y&, =a\sin(t)\end{정렬}}}$

x와 y의 측면에서, 피타 고라스 삼각 정체성의 형태로:implicitized할 수 있습니다.

~하듯이

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{)}{를}}&=\cos(t)\\{\frac{y}{를}}&=\sin(t)\\\end{정렬}}}$

그리고.

${\displaystyle \cos(t)^{2}(t)^{2}=1,}$

우리가 얻은

${\displaystyle \left({\frac{x}{}}\right)^{2}({\frac{y}{}}\right)^{2}=1,}$

며, 따라서

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}$

원은 발신지 중심의 표준 방정식.

2차원의 예

포물선

포물선의 가장 간단한 방정식은

${\displaystyle y=x^{2},}$

프리 파라미터 t를 사용하여 파라미터화할 수 있습니다.

${\displaystyle x=t,y=t^{2}\display \mathrm {for} -\infty <\infty .,}$

명시적 방정식

보다 일반적으로 명시적 방정식에 의해 주어진 곡선

${\displaystyle y=f(x)}$

프리 파라미터 t를 사용하여 파라미터화할 수 있습니다.

$\displaystyle x=t,y=f(t)\display \mathrm {for} -\infty <\infty .,$

원형

보다 복잡한 예는 다음과 같습니다.일반(카르트) 방정식으로 설명된 단위 원을 고려합니다.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.,}$

이 방정식은 다음과 같이 파라미터화할 수 있습니다.

$\displaystyle (x,y)=(\cos(t),\sin(t)\display \mathrm {for} \ 0 \leq t < 2 \ pi . , , , , )$

데카르트 방정식을 사용하면 점이 원에 있는지 여부를 더 쉽게 확인할 수 있습니다.모수 버전을 사용하면 그림에서 점을 더 쉽게 얻을 수 있습니다.

어떤 상황에서는 유리함수(즉, 두 다항식의 일부)만을 포함하는 파라메트릭 방정식이 존재하는 경우 선호된다.원의 경우, 이러한 합리적인 매개변수화는

$(\displaystyle {\displaystyle {aligned}x&=displayfrac {1-t^{2}}{1+t^{2})}}\\y&=paramfrac {2t}{1+t^{2}}}\end{aligned}}.}$

이 모수 방정식의 쌍에서는 점(-1, 0)이 t의 실제 값으로 표현되지 않고 t가 무한대로 나타나는 경향이 있을 때 x와 y의 한계로 표현됩니다.

타원

반축 a 및 b가 있는 표준 위치(원점 중심, X축을 따라 장축)의 타원은 다음과 같이 파라미터로 나타낼 수 있습니다.

$displaystyle x&=a, cos t, y&=b, sin t.\end { aligned}}$

일반적인 위치의 타원은 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}x&=X_{c}+a,\cos t,\cos \varphi -b,\sin t,\sin \varphi \y&=Y_{c}+a,\cos t,\sin \varphi +b,\sin t,\cos \varphi \end {aligned}}$

파라미터 t는 0 ~2.05로 변화하고 있습니다.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}{c}_{}}$ , ${\displaystyle Y_{}}$c )$${ $displaystyle$( X$_$ {$$$c$ ) 。$Y_{c}$는 타원의 중심이며,$\theta {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ \$varphi$$}$는$X축$과 타원의 장축 사이의 각도이다.

탄젠트 반각 공식을 사용하고 tan${\displaystyle \frac{2}{}}$ t ${\displaystyle 2}$ $=$u $.\display$ \tan $\frac${t$}{2$}=$u$를 ${\displaystyle \mathrm{설정}}$하면 두 파라미터 모두 합리화할 수 있습니다.$}$

리사주 곡선

Lissajous 곡선은 타원과 비슷하지만 x와 y의 정현파가 위상이 아닙니다.표준 위치에서 리사주 곡선은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle {aligned}x&=a,\cos(k_{x}t)\y&=b,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 k x$(\$ $및$ ${\displaystyle k_{}}$ y$(\$는 그림의 엽수를 나타내는 상수입니다.

쌍곡선

동서 개구부의 쌍곡선은 파라메트릭으로 표현될 수 있다.

X,=b\tan t+k\end{정렬}}\quad}또는, 합리적으로 x = 1+t2대 1− t2+h는 y)b2t1− t2+k{\displaystyle \quad{\begin{정렬}x&, =a{\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&, =b t 1초 ⁡+h는 y)bbien⁡ t+k{\displaystyle{\begin{정렬}x&,=a\sec t+h\\y&amp게 국가 주의적 관점에서 서술.{\frac{2t}{1-t^${2}}}+k\end{aligned}}$

남북 개구부의 쌍곡선은 파라메트릭으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle \begin{array}{c}\end{array}}$${\displaystyle x\begin{array}{c}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}=\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}b\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}\tan \end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}t\\ \end{array}}$ + h ${\displaystyle \begin{array}{c}y\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}=\end{array}}$ $a sec$ t +${\displaystyle \begin{array}{}\end{array}}$k \ $display$ $style$$$${\displaystyle \begin{array}{c}=\end{array}}$ $b \ tan t + h$= ${\displaystyle \begin{array}{c}h\frac{\mathrm{}}{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{}y\\ \end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}=\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}a\frac{{}^{}}{}\end{array}}$ + ${\displaystyle \begin{array}{c}\frac{{t\mathrm{}}^{}}{}\\ \frac{{}^{}}{}\end{array}}$- ${\displaystyle \begin{array}{c}\frac{{t\mathrm{}}^{}}{}\end{array}}$ -${\displaystyle \begin{array}{c}\frac{{}^{}}{}\end{array}}$t + ${\displaystyle \begin{array}{c}k\end{array}}$ $display style$ $=$ a 1${\displaystyle \begin{array}{c}\frac{}{}\end{array}}$+ t 2 - ${\displaystyle \begin{array}{c}\frac{{}^{}}{}\end{array}}$ - t + ${\displaystyle \begin{array}{c}\frac{{}^{}}{}\end{array}}$display $style$= { b\ displaystyle }$trix}}$

이 모든 공식에서 (h, k)는 쌍곡선의 중심 좌표이고, a는 반장축의 길이, b는 반장축의 길이입니다.

빗변협착체

인베트로코이드는 반지름 R의 고정원 내부를 중심으로 회전하는 반지름 r의 원에 부착된 점에 의해 추적되는 곡선이며, 이 점은 내부원 중심에서 거리 d에 있다.

• 

  r = d인 강하돌기
• 

  R = 5, r = 3, d = 5인 강하돌기

빗변수의 파라메트릭 방정식은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle {theta}x(\theta)&=(R-r)\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\y(\theta)&(R-r)\sin \left({R-r \over r}\ta\right)\align {R-r\left}\ta}\ta}\alignedefteft(\ta}\ta\ta\aligned)\left)$

고도의 기능

그 외의 예를 다음에 나타냅니다.

$(\displaystyle {displaystyle}x&=[a-b]\cos(t)\left[t\left\frac {a}{b}-1\right]\y&=[a-b]\sin(t)\left[t\displaystyle\frac {b}{b}-1\fright}\fright)\cos(오른쪽, 오른쪽)\fr)$

${\displaystyle}x&=cos(at)-\cos(bt)^{j}\y&=\sin(ct)-\sin(dt)^{k}\end{aligned}}$

• 

  j = 3, k = 3
• 

  j = 3, k = 3
• 

  j = 3, k = 4
• 

  j = 3, k = 4
• 

  j = 3, k = 4

$(\displaystyle {displaystyle}x&=i\cos(at)-\cos(bt)\sin(ct)\y&=j\sin(dt)-\sin(et)\end{aligned}})$

• 

  i = 1, j = 2

3차원의 예

나선형

파라메트릭 방정식은 고차원 공간에서의 곡선을 기술하는 데 편리하다.예를 들어 다음과 같습니다.

$(\displaystyle\displaystyle{aligned}x&=cos(t)\y&=a\sin(t)\z&=bt,\end{aligned})$

는 반지름이 a이고 회전당 2µb 단위 상승하는 3차원 곡선인 나선형을 나타냅니다.그 방정식은 평면에서 원의 방정식과 동일하다.위와 같은 표현은 일반적으로 다음과 같이 쓰여진다.

$\displaystyle \mathbf {r}(t)=(x(t),y(t),z(t)=(a\cos(t),a\sin(t),bt),}$

여기서 r은 3차원 벡터입니다.

파라메트릭 서페이스

장반경 R 및 단반경 r을 갖는 토러스는 다음과 같이 파라미터로 정의할 수 있다.

$\displaystyle \begin { aligned }x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right(right),\z&=r\sin(u)\end { aligned}}$

여기서 2개의 파라미터 t와 u는 모두0 ~ 2µ 사이에서 변화합니다.

• 

  R = 2, r = 1/2

u가 0 ~ 2 †로 변화함에 따라 표면의 점은 토러스 구멍을 통과하는 짧은 원을 중심으로 이동합니다.t가 0에서 2µ까지 변화하기 때문에 표면의 점은 토러스 구멍의 주위로 긴 원을 그리며 이동합니다.

벡터를 사용한 예

점$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$ 0$)$을 통과하는 직선의 파라메트릭 방정식({${\displaystyle displaystyle\stackrel{}{\mathbf{}}}$ $\left(x_{0},y_{0$},$z_{0}\$right})과 ${\displaystyle 벡터\stackrel{}{\mathbf{}}a}$^ +$$b j$$^\$displaystyle$a {\$hat\mathbf {i}}}$ {\hat} {\$c}${\$c$$})$

${\displaystyle {argined}x&=x_{0}+at\y&=y_{0}+bt\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$

「 」를 참조해 주세요.

• 곡선
• 모수 추정
• 위치 벡터
• 벡터값함수
• 호 길이에 따른 매개 변수화
• 파라메트릭 도함수

메모들

외부 링크

• Curlie에서의 소프트웨어 그래프 작성
• 평면에 파라메트릭 곡선을 그리는 웹 응용 프로그램