q-포하머 기호

수학에서 콤비네이터학 영역에서 q-포하머 기호는 q-시프트 요인이라고도 하며 포하머 기호의 q-아날로그다^{[further explanation needed]}.로 정의된다.

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq^{2})\cdots(1-aq^{n-1}$

와 함께

${\displaystyle (a;q)_{0}=1}$

정의상q-Pochhammer 기호는 q-Analogue의 구성에서 주요 구성 요소로서, 예를 들어, 기초 초기하 시리즈 이론에서 일반 포하머 기호가 하는 역할을 한다.

일반적인 포하머 기호와 달리 q-포하머 기호는 무한 제품으로 확장할 수 있다.

${\displaystyle (a;q)_{\infit }=\prod _{k=0}^{\infit }(1-aq^{k}).}$

이것은 유닛 디스크의 내부에 있는 q의 분석 기능이며, q의 공식 파워 시리즈로도 간주할 수 있다.특별한 경우

${\displaystyle \phi(q)=(q;q)_{\infit }=\prod _{k=1}^{\infit }(1-q^{k})}$

오일러의 함수로 알려져 있으며 조합론, 수 이론, 모듈형식의 이론에서 중요하다.

정체성

유한 생산물은 무한 생산물의 관점에서 표현될 수 있다.

${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\inflt{{\inflt}}{(aq^{n};q)_{\inflt}}}},$

음의 정수 n까지 정의를 확장한다.따라서, 비부정 n의 경우, 사람은

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{{1}{n}}}}=\prod _{k=1}{n}{\frac {1}{1(a/q^{k}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{{(q/a;q)_{n}}}}}.}$

또는,

${\displaystyle \prod _{k=n}^{\inflt }}}(1-aq^{n};q)_{\inflt }={\frac {(a;q)_{\inflt }}}{(a;q)_{n}}}}}},},},}$

파티션 함수의 생성 함수에 유용하다.

q-Pochhammer 기호는 많은 q 시리즈 ID, 특히 무한 시리즈 확장의 대상이다.

${\displaystyle (x;q)_{\inflt }=\sum _{n=0}^{\frac {(-1)^{n-1}q^{n-1)/2}}{(q;q)_{n}x^{n}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \frac{1}{(x}}$; ${\displaystyle \frac{q{}_{}}{}}$)${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}_{}}{}}$=${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\frac{{}_{}}{}\underset{}{\overset{}{\mathrm{n}}}}$ =${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$0${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$n x n ${\displaystyle \frac{(}{q^{}}}$;${\displaystyle \frac{{}_{}q}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{n_{}}{}}${\$displaystyle {1}{{(x;q)_{\inflt }}}}=\sum _{n=0}^{n^}{\frac$ }{x$^{n}}}}}{(q;q)_{n$

q-이항 정리의 특별한 경우:

${\displaystyle {\frac{(ax;q)_{\inflt{}}{{n;q)_{n}}}}{{n=0}^{n=0}}}}}{\frac {(a;q)_{n}}}x^{n}.}$

프리드리히 카르펠레비치는 다음과 같은 정체를 발견했다(1995년 올사네츠키와 로고프 참조).

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ z <1.}$

조합해석

q-Pochhammer 기호는 파티션의 열거 조합과 밀접하게 관련되어 있다.$q{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$의 계수

${\displaystyle (a;q)_{\nflt }^{-1}=\prod _{k=0}^{nflt }(1-aq^{k})^{-1}$

최대 n개의 파트에 대한 m의 파티션 수입니다.

파티션의 결합에 의해, 이것은 m의 크기 부분에서의 파티션의 수와 같기 때문에, 우리가 파악한 시리즈 생성의 식별에 의해 우리는 다음과 같은 정체성을 얻는다.

${\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}$

위 절과 같이

또한 ${\displaystyle q^{}}$ m a ${\displaystyle n^{}}$ ${\$의 계수가

${\displaystyle(-a;q)_{\infit }=\prod _{k=0}^{\infit }(1+aq^{k})}}$

m을 n 또는 n-1 구별 부품으로 분할하는 수입니다.

그러한 파티션에서 n - 1 파트가 있는 삼각형 파티션을 제거함으로써 우리는 최대 n 파트가 있는 임의 파티션을 갖게 된다.이것은 n 또는 n - 1 구별되는 부분으로 된 파티션 집합과 n - 1 부분을 가진 삼각형 파티션과 최대 n 부분을 가진 파티션으로 구성된 쌍들 사이의 가중치를 보존하는 편차를 제공한다.생성 영상 시리즈를 식별하여 다음과 같은 ID를 얻는다.

${\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}}$

위 절에도 설명되어 있다.함수$({\displaystyle q{}_{}}$) ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ :${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$ ;${\displaystyle {}_{}q}$ ) ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}${\$displaystyle (q)_{\inflt }=(q;q)_{\nflt }}}$의 역수는 비슷하게 파티션 함수의$$ 생성 함수인 p $){\displaystyty$p($n)$로 발생하며$,$ 아래 주어진 두 번째 Q 시리즈 확장도 확장된다.^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}$

q-이항 정리 그 자체는 유사한 맛의 약간 더 포함된 결합론적 논거에 의해서도 처리될 수 있다(다음 항에서 주어진 확대도 참조).

다중 인수 규칙

q-Pochhammer 기호를 포함하는 ID는 매우 빈번하게 많은 기호의 제품을 포함하기 때문에 표준 규약은 다음과 같은 복수의 주장의 단일 기호로 제품을 작성하는 것이다.

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\dots(a_{m};q)_{n}}}}}$

q 시리즈

q-시리즈는 계수가 q의 함수인 시리즈로, ${\displaystyle \mathrm{일반적}}$으로${\displaystyle }$( ;${\displaystyle {}_{}q}$ )${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 식이다$.$^[2] 초기 결과는 오일러, 가우스, 코우치 때문이다.체계적 연구는 에두아르 하이네(1843년)로 시작한다.^[3]

다른 Q-기능과의 관계

n의 q-bracket 또는 q-number라고도 하는 n의 q-analog는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}$

여기서 요인 q-아날로그를 정의할 수 있으며, q-요소는 다음과 같다.

$[\displaystyle {\big [}n]!_{q}}}$	${\displaystyle =\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}}}$
	${\displaystyle =[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n-1]_{q}[n]_{q}}}}}$
	${\displaystyle ={\frac{1-q}{1-q}{1-q^{2}}:{1-q}\cdots{\frac{1-q^{n-1}{1-q}{1-q}{1-q}{1-q}}}{1-q}}}}}}}}}$
	${\displaystyle =1(1+q)\cdots(1+q+\cdots +q^{n-2}(1+q+\cdots +q^{n-1})}$
	${\displaystyle ={\frac {(q;q)_{n}{{n}{(1-q)^{n}}}.}$

이 숫자들은 다음과 같은 점에서 유사하다.

${\displaystyle \lim_{q\오른쪽 화살표 1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}=n,}$

기타 등등

${\displaystyle \lim_{q\오른쪽 화살표 1}[n]!_{q}=n!}$

The limit value n! counts permutations of an n-element set S. Equivalently, it counts the number of sequences of nested sets ${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S}$ such that ${\displaystyle E_{i}}$ contains exactly i elements.^[4]그에 비해, q가 원소인 경우와 V가 q 원소가 있는 필드 위의 n차원 벡터 공간인 경우, q-아날로그${\displaystyle }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$$_{q}}$ is the number of complete flags in V, that is, it is the number of sequences ${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$ of subspaces such that ${\displaystyle V_{i}}$ has dimension i.^[4]앞의 고려사항들은 한 가지 원소를 가진 추측의 장 위에 있는 깃발로 중첩된 집합의 순서를 볼 수 있음을 암시한다.

음의 정수 q-brackets의 산물은 q-요소의 측면에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}:$

q-요인으로부터 다음과 같이 가우스 이항계수라고도 하는 q-이항계수를 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}$

where it is easy to see that the triangle of these coefficients is symmetric in the sense that ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}}$ for all ${\displaystyle 0\leq m\leq n}$.

는 것을 확인할 수 있다

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{정렬}}}$

또한 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ - 이항$$ 정리의 다음 변형이 이러한 계수의 관점에서 다음과 같이 확대됨을 이전의 재발 관계에서도 알 수 있다.^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\\n+m\\n\end{bmatrix}_{q}z^{n}.\end{정렬}}}$

q-다항 계수를 추가로 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}n\\k_{1},\ldots, k_{m}\end{bmatrix}}}={\frac {n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}$

여기서 인수 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$i = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}{i}_{}}$ = n ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n}$를 만족하는 음이 아닌 정수다$.$The coefficient above counts the number of flags ${\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}}$ of subspaces in an n-dimensional vector space over the field with q elements such that ${\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}$.

The limit ${\displaystyle q\to 1}$ gives the usual multinomial coefficient ${\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}}$, which counts words in n different symbols ${\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}}$ such that each ${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle k_{}}$ ${\$번$$ 나타난다.

또한 q-감마함수라 불리는 감마함수의 q-아날로그도 얻으며, q-감마함수라고 정의된다.

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\inflt }}}{{(q^{x};q)_{\inflt{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이는 q가 유닛 디스크 내부에서 1에 접근함에 따라 일반적인 감마 함수로 수렴된다.참고:

${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$

어떤 일이 있어도

${\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}}}$

n의 음이 아닌 정수 값의 경우.대안적으로, 이것은 실제 숫자 시스템에 대한 q-요인 함수의 확장으로 간주될 수 있다.

참고 항목

• 기본초기하계수열
• 타원 감마 함수
• 자코비 세타 함수
• 램버트 시리즈
• 오각수 정리
• q-message
• q-theta 함수
• q-반데르몽드 정체성
• 로저스-라마누잔의 정체성
• 로저스-라마누잔 계속 분율

참조

• George Gasper와 Mizan Rahman, 기본 초지하학 시리즈, 제2판, (2004), 수학 및 그것의 응용 백과사전, 96, 캠브리지 대학 출판부, 캠브리지 대학 출판부.ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koek과 Rene F.Swarttouw, 직교 다항식 및 그 q-아날로그, 섹션 0.2의 아스키 구조.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halsted Press, Chichester:엘리스 호우드, 1983년 ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
• M.A. 올샤네츠키와 V.B.K. 로고프(1995), 수정된 q-베셀 함수 및 q-베셀-맥도날드 함수, arXiv:q-alg/9509013.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "q-Analog". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Bracket". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Factorial". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Series". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "q-Binomial Coefficient". MathWorld.