부차(선형 대수)

선형대수학에서 행렬 A의 소수는 행과 열을 하나 이상 제거하여 A에서 절단한 일부 더 작은 제곱 행렬의 결정인자다. 평방 행렬(첫 번째 미성년자)에서 1열과 1열만 제거하여 얻은 미성년자는 행렬 공요인 계산에 필요하며, 이는 평방 행렬의 결정요인과 역률 계산에 유용하다.

정의 및 일러스트레이션

첫 번째 미성년자

A가 정사각형 행렬인 경우, i th 행과 j th 열(i, j)의 항목 마이너 또는 첫 번째 마이너라고도^[1] 함)는 i th 행과 j th 열을 삭제하여 형성된 하위 행렬의 결정인자다. 이 숫자는 종종 M으로_i,j 표기된다. (i, j) 공요자는 ( $(-1)^{i+j}$ - $(-1)^{i+j}$ ) $(-1)^{i+j}$ + $(-1)^{i+j}$ 를 곱하여 구한다 $(-1)^{i+j$

이러한 정의를 설명하려면 다음 3 X 3 행렬을 고려하십시오.

{\bmatrix}1&4&7\3&0&5\\\-1&9&11\\end{bmatrix}}

부차 M과_2,3 공동 인자 C를_2,3 계산하기 위해 2행과 3열이 제거된 상태에서 위 행렬의 결정 인자를 찾는다.

M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13

따라서 (2,3) 엔트리의 공동 요소는

\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.

일반적 정의

A이 m×n행렬이고 0월<>k ≤ m과 정수 k, ≤ A의 k×k미성년자 n. k자, 또한 삭제를 통해 주문 k의 A소행렬식 또는 k×k매트릭스의 m=nA(그 단어"행렬식"자주, 그리고 그 단어"학위"가끔"주문"대신 사용됩니다 생략하)의(n−k)th 소행렬식을 결정하는, A에서 얻은 요구했다. m−k 행 및 n-k 열 때때로 이 용어는 위와 같이 A에서 얻은 k × k 행렬을 지칭하는 데 사용되지만(m-k 행과 n-k 열을 삭제함) 이 행렬은 A의 (제곱) 하위 행렬로 지칭되어야 하며, 이 행렬의 결정요인을 지칭하는 용어는 "minor"로 남겨두어야 한다. 위와 같은 행렬 A의 경우, 크기가 ${m \choose k}\cdot {n \choose k}$ k × k인 (m ${m \choose k}\cdot {n \choose k}$ ) ${m \choose k}\cdot {n \choose k}$ ( ${m \choose k}\cdot {n \choose k}$ $){\$ m $\선택 k}\cdot{n \선택$ k $}}}}$ 의 ${m \choose k} \cdot {n \choose k}$ 미성년자가 총체적으로 존재한다. 순서 0의 부차는 종종 1로 정의된다. 정사각형 행렬의 경우, 제로스 부차는 행렬의 결정 요인일 뿐이다.^[2]^[3]

1≤ 나는 1개체, 나는 2개체, ⋯<나는≤ m{\displaystyle 1\leq i_{1}< k, i_{2}<, \cdots <, i_{k}\leq m}과 1≤ j1<>j2<⋯<>j k≤ n{\displaystyle 1\leq j_{1}<, j_{2}<, \cdots <, 미성년자에 대해지 않는 한 다른 이야기 하는 등 항상 가정한다 j_{k}\leq n}, 자연스러운 질서(의 배열하자.현명한)지수의, 나. 그들에게 전화하다고 말했다 각각, J. The minor $\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$ corresponding to these choices of indexes is denoted $\det _{I,J}A$ or $\det A_{I,J}$ or ${\displaysty$ $le [A]_{I,J}}$ or $M_{I,J}$ or $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ or $M_{(i),(j)}$ (where the $(i)$ denotes the sequence of indexes I 등), 출처에 따라. 또한, 문학의 현행 정의 두 형태이다:미성년자 지수의 주문한 배열에 의해 나는 와 J, 일부 authors[4]는 위로써 지수 1세 그리고 지수 J에 열을 가지며, 반면에 어떤 다른 작가들에 있는 행에서 원본 매트릭스의 요소를 고려로 구성된 매트릭스의 결정 말입니다. 나a I 및 J와 연관된 마이너에 의한 I의 행과 J의 열을 삭제하여 원래 행렬에서 형성된 행렬의 결정인자.^[2] 어떤 표기법이 사용되는지는 항상 해당 출처에서 확인해야 한다. 이 글에서는 I행과 J행의 원소를 선택한다는 포괄적 정의를 사용한다. The exceptional case is the case of the first minor or the (i, j)-minor described above; in that case, the exclusive meaning $M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)$ is standard everywhere in the literature and is used in this article also.

보완

단행(ijk...)과 열(pqr...)이 모두_{ijk...,pqr...} 제거된 행렬 A의 결정요인에 의해 단행(단행)의_{ijk...,pqr...} B가_{ijk...,pqr...} 형성된다. 원소_ij a의 첫 번째 단소의 보완은 단지 그 원소일 뿐이다.^[5]

미성년자 및 공동 인자 적용

결정인자의 공 인자 팽창

공동요인은 라플레이스의 결정인자 확장에 대한 공식에서 두드러지게 나타나며, 이는 작은 결정인자를 계산하는 방법이다. n × n 행렬 $A=(a_{ij})$ = $A=(a_{ij})$ ( $A=(a_{ij})$ j $A=(a_{ij})$ ) ${\displaystyle$ A $=(a_{ij}})$ 의 경우 $A=(a_{ij})$ det(A)로 표시된 A의 결정요인은 행렬의 모든 행 또는 열의 공 인자 합계에 이를 생성한 항목을 곱한 값으로 기록할 수 있다. 즉, $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ = $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ( $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ - 1 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ) i $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ + j $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ${\$ 을 $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 정의하면 j th 열을 따라 공동 인자 확장이 다음을 제공한다.

\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}

i번째 행을 따라 공동 인자 확장은 다음을 제공한다.

{\displaystyle \\det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}}C_{i2}+a_{i3}}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}a_{nj}C_{ij}=\sum _{j=1}a_{nj}(-1)^{i+j}M_{ij}}}}}}}}}}}}}.

행렬의 역행렬

다음과 같이 크레이머의 법칙을 이용하여 그 공분자를 계산하여 반전성 행렬의 역행성을 기록할 수 있다. 정사각형 행렬 A의 모든 공계수에 의해 형성된 행렬을 공계 행렬(공계 행렬 또는 때때로 공계 행렬이라고도 함)이라고 한다.

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}

그 다음 A의 역은 공 인자 행렬의 전치일 때 A의 결정 인자의 역수를 곱한 값이다.

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det}(\mathbf {A} )}}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.

공요소 행렬의 전치(transpose)를 A의 애드주게이트 행렬(고전적 부선이라고도 함)이라고 한다.

위의 공식은 다음과 같이 일반화할 수 있다. Let $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ and $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ be ordered sequences (in natural order) of indexes (here A is an n × n matrix). 그러면^[6]

[\mathbf {A}^{-1}_{I,J}=\pm {\frac {\mathbf {A} ]_{J',I'}{\det \mathbf{A}}},

where I′, J′ denote the ordered sequences of indices (the indices are in natural order of magnitude, as above) complementary to I, J, so that every index 1, ..., n appears exactly once in either I or I′, but not in both (similarly for the J and J′) and $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ denotes the determinant of the submatrix of A formed by choosing the rows of the index set I and columns of index set J. Also, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$ . A simple proof can be given using wedge product. 정말,

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},

여기서 $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ , $e_{1},\ldots ,e_{n}$ … $e_{1},\ldots ,e_{n}$ , $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ ${\$ 은(는) 기본 벡터다 $e_{1},\ldots ,e_{n}$ . 양쪽에서 A의 행동을 하면, 사람이 얻어진다.

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).

$(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ 는 ( $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ - $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ ) $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ s $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ = $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ k $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ - $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ s $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ = 1 $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ i s = $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ ${\$ }-{s $=1^{k}j_$ 이 되도록 계산할 수 있으므로 기호는 I과 J의 원소 합계에 의해 결정된다.

기타 응용 프로그램

실제 항목(또는 다른 필드의 항목)과 r등급이 있는 m × n 행렬을 지정하면, 0이 아닌 r × r 부차가 하나 이상 존재하는 반면, 모든 큰 미성년자는 0이 된다.

우리는 미성년자에게 다음과 같은 표기법을 사용할 것이다: A가 m × n 행렬인 경우, 나는 k 원소가 있는 {1,...,m}의 부분집합이고, J는 k 원소가 있는 {1,...,n}의 부분집합인 경우, I에 색인이 있는 행과 J에 있는 열에 해당하는 A의 k × k 마이너에 대해 [A]_I,J라고 쓴다.

I = J이면 [A]_I,J를 주성분이라고 한다.
주성분에 해당하는 행렬이 큰 행렬(즉, 선도성 주성분이라고도 함)의 정사각형 왼쪽 상층 하위 행렬(즉, 1부터 k까지 행과 열의 행렬 요소로 구성된다)인 경우 주성분 행렬을 선도성 부성분(순서 k) 또는 구석(주성) 부성분(순서 k)이라고 한다.^[3] n × n 제곱 행렬의 경우 주요 미성년자가 n명 있다.
행렬의 기본 소수는 0이 아닌 결정 인자를 가진 최대 크기의 사각형 서브트릭스의 결정 인자이다.^[3]
에르미트 행렬의 경우, 주요 미성년자는 양성 확정성 검사에 사용할 수 있으며, 주요 미성년자는 양성 반정확성 검사에 사용할 수 있다. 자세한 내용은 실베스터의 기준을 참조하십시오.

일반 매트릭스 곱셈 공식과 두 매트릭스 곱셈 결정 인자에 대한 Cauchy-Binet 공식은 모두 두 매트릭스 제품의 미성년자에 대한 다음과 같은 일반적인 진술의 특별한 경우다. A가 m × n 행렬이고, B가 n × p 행렬이고, 나는 {1,...,m}의 부분 집합이고, J는 {1,...,p}의 부분 집합이고, k는 {1,...,p}의 부분 집합이라고 가정하자. 그러면

[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A}]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,},

여기서 합계는 k 요소가 있는 {1,...,n}의 모든 하위 집합 K에 걸쳐 있다. 이 공식은 Cauchy-Binet 공식의 직접적인 확장이다.

다변수 대수 접근법

쐐기 제품을 사용하여 미성년자에 대한 보다 체계적이고 대수적인 처리가 주어진다: 매트릭스의 k-minor는 k번째 외부 파워 맵의 항목이다.

행렬의 열이 한 번에 k로 결합되는 경우, k × k 마이너들은 결과 k-벡터의 구성 요소로 나타난다. 예를 들어, 매트릭스의 2 × 2 미성년자

{\pmatrix}1&4\\3&\\\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}

-13(첫 번째 두 행부터), -7(첫 번째 행과 마지막 행부터), 5(마지막 두 행부터)이다. 이제 쐐기 제품을 고려해 보십시오.

{\displaystyle(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e}_{3}\mathbf (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e}})

여기서 두 표현식이 우리 행렬의 두 열과 일치한다. 쐐기 제품의 특성, 즉 이선형 및 교대형 특성을 사용하여,

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=0,

대칭이 아닌

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}}}

우리는 이 표현을 단순화할 수 있다.

-13\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}

계수가 앞에서 계산한 미성년자와 일치한다.

다른 표기법에 대한 언급

어떤 책에서는 부교재라는 용어를 공분자 대신 사용한다.^[7] 또한, A로_ij 표시되며 공동 인자(co factor)와 동일한 방식으로 정의된다.

\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}

이 표기법을 사용하여 역행렬은 다음과 같이 기록된다.

{\displaystyle \mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\\vdots &\\vdots &\ddots &\\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{n}\n}\cdots &n}}}\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?

부제는 부관이나 부관이 아니라는 것을 명심하라. 현대 용어에서, 행렬의 "성인"은 흔히 해당 부선 연산자를 가리킨다.

참고 항목

서브마트릭스

참조

^ 번사이드, 윌리엄 스노우 & 팬턴, 아서 윌리엄 (1886) 방정식 이론: 이항 대수형 이론의 소개와 함께.
^ ^a ^b 기본 매트릭스 대수학(제3판), 프란츠 E. Hohn, The Macmillan Company, 1973년 ISBN 978-0-02-355950-1
^ ^a ^b ^c "Minor". Encyclopedia of Mathematics.
^ 선형 대수 및 기하학, Igor R. 샤파레비치, 알렉세이 O. Remizov, Springer-Verlag 베를린 하이델베르크, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
^ Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
^ Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Soc. pp. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
^ Felix Gantmacher, 행렬의 이론 (1차 개정, 원어는 러시아어), 모스크바: 기술 및 이론 문학 주 출판사, 1953년, 페이지 491

외부 링크

MIT OpenCourseWare에서 Google 비디오의 Cofactors에 대한 MIT 선형 대수 강의
PlanetMath 공분율 입력
Springer 수학 백과사전 미성년자 입력

[1] 번사이드, 윌리엄 스노우 & 팬턴, 아서 윌리엄 (1886) 방정식 이론: 이항 대수형 이론의 소개와 함께.

[Hohn-2] 기본 매트릭스 대수학(제3판), 프란츠 E. Hohn, The Macmillan Company, 1973년 ISBN 978-0-02-355950-1

[Encyclopedia_of_Mathematics-3] "Minor". Encyclopedia of Mathematics.

[4] 선형 대수 및 기하학, Igor R. 샤파레비치, 알렉세이 O. Remizov, Springer-Verlag 베를린 하이델베르크, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9

[5] Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.

[Prasolov1994-6] Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Soc. pp. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.

[7] Felix Gantmacher, 행렬의 이론 (1차 개정, 원어는 러시아어), 모스크바: 기술 및 이론 문학 주 출판사, 1953년, 페이지 491

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v t 선형대수학
기본개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱하기 벡터 투영법 선형스팬 선형지도 선형 투영 선형독립 선형결합 기본 기준변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값 및 고유 벡터 전치하다 선형 방정식
행렬	블록 분해 되돌릴 수 없는 마이너 곱하기 순위 변환 크레이머의 법칙 가우스 제거
바이린린 주	직교성 도트 제품 내부 제품 공간 아우터 제품 크로네커 제품 그람-슈미트 공정
다중선 대수	결정인자 크로스 제품 트리플 제품 7차원 교차 제품 기하 대수학 외부 대수 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터 공간 구성	이중 직합 함수 공간 지수 서브 스페이스 텐서 제품
숫자	부동 소수점 수치안정성 기본 선형 대수 하위 프로그램 희소 행렬 선형대수도서관 비교
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