스플릿 리 대수

In the mathematical field of Lie theory, a split Lie algebra is a pair $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ where ${\mathfrak {g}}$ is a Lie algebra and ${\mathfrak {h}}<{\mathfrak {g}}$ is a splitting Cartan subalgebra, 여기서 "splitting"는 ${\mathfrak$ $x\in {\mathfrak {h}}$ $\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x$ }}의 $x\in {\mathfrak {h}}$ x ∈ h ${\displaystyle$ x\에 대하여 $\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x$ ⁡ x {\ $displaystyle \operatorname$ { $ad}_{\$ mathfrak {g}x}가 삼각형으로 가능함을 의미합니다. 만약 리 대수가 분할을 인정한다면, 이를 분할 리 대수라고 합니다.^[1] 축소 리 대수의 경우 카르탕 아대수는 중심을 포함해야 합니다.

복소수와 같은 대수적으로 닫힌 장에서, 모든 반단순 리 대수는 분할 가능합니다. (실제로, 카르탕 부분대수는 삼각형화 가능 행렬에 의해 작용할 뿐만 아니라 더 강합니다. 이는 대각화 가능한 것에 의해 작용하며 모든 분할은 켤레입니다. 따라서 분할 리 대수는 비대수적으로 닫힌 장에서 가장 큰 관심사입니다.

분할 리 대수는 복소 리 대수의 분할 실수 형태를 공식화하기 때문에 관심이 있으며, 어떤 분야에 대한 분할 반단순 리 대수(더 일반적으로 분할 환원 리 대수)는 대수적으로 닫힌 분야에 대한 반단순 리 대수와 많은 특성을 공유하기 때문에 본질적으로 동일한 표현 이론을 가지고 있습니다. 예를 들어, 분할 카탄 하위 대수는 대수적으로 닫힌 장 위에서 카탄 하위 대수와 같은 역할을 합니다. 예를 들어 (Bourbaki 2005)에서 다음과 같은 접근 방식을 취합니다.

특성.

대수적으로 닫힌 장 위에서 모든 카르탕 부분대수는 공집합입니다. 비대수적으로 닫힌 장 위에서, 모든 카르탕 부분대수는 일반적으로 공집합이 아닙니다. 그러나 분할 가능한 반단순 리 대수에서 카르탕 대수를 분할하는 모든 것은 공집합입니다.
대수적으로 닫힌 장에서 모든 반단순 리 대수는 분할 가능합니다.
비대수적으로 닫힌 장 위에는 분할할 수 없는 반단순 리 대수가 존재합니다.^[2]
분할 가능한 리 대수에서는 분할되지 않는 카르탕 부분대수가 존재할 수 있습니다.^[3]
분할 가능한 리 대수와 분할 가능한 리 대수의 이상의 직접적인 합은 분할 가능합니다.

실제 리 대수 분할

실제 리 대수의 경우 분할 가능은 다음 조건 중 하나와 같습니다.^[4]

실제 순위는 복소수 순위와 같습니다.
Satake 다이어그램에는 검은색 꼭짓점도 화살표도 없습니다.

모든 복소 반단순 리 대수는 고유한 (동형까지) 분할 실수 리 대수를 갖는데, 이는 또한 반단순이며, 복소 리 대수인 경우에만 단순합니다.^[5]

실제 반단순 리 대수의 경우, 분할 리 대수는 콤팩트 리 대수와 반대입니다. 해당 리 군은 콤팩트 리 대수와는 "가능한 한 멀리" 있습니다.

예

복소 반단순 리 대수에 대한 분할 실수 형태는 다음과 같습니다.^[6]

${\displaystyle A_{n},{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C}):{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {R})$
${\displaystyle B_{n},{\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbf {C}):{\mathfrak {so}}_{n,n+1}(\mathbf {R})$
$C_{n},{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {C}):{\mathfrak {sp}_{n}(\mathbf {R})$
${\displaystyle D_{n},{\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C}):{\mathfrak {so}}_{n,n}(\mathbf {R})$
예외적인 리 대수: $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ 7 $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ E $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ F $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ ${\$ 는 $E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ 분할된 실제 형태 EI, EV, EVIII, FI, G입니다.

이것들은 복소 리 군들의 분할된 실수 군들의 리 대수들입니다.

${\mathfrak {sl}}$ ${\$ 및 ${\mathfrak {sl}}$ ${\mathfrak {sp}}$ ${\$ 의 ${\mathfrak {sp}}$ 경우 실수 형식은 동일한 대수 그룹의 실수 점인 반면, ${\$ 의 경우 그룹 SO가 콤팩트하므로 분할 형식(최대 부정수 인덱스)을 사용해야 ${\mathfrak {so}}$ 합니다.

참고 항목

참고문헌

^ (Bourbaki 2005, 제8장 제2절: 분할된 반단순 리 대수의 근계, p. 77)
^ (Bourbaki 2005, 제8장 제2절: 분할된 반단순 리 대수의 근계, 연습 2a. 77)
^ (Bourbaki 2005, 제8장 제2절: 분할된 반단순 리 대수의 근계, 연습 2 b p. 77)
^ (Onishchik & Vinberg 1994, 157쪽)
^ (Onishchik & Vinberg 1994, 정리 4.4, 페이지 158)
^ (Onishchik & Vinberg 1994, 158쪽)

Bourbaki, Nicolas (2005), "VIII: Split Semi-simple Lie Algebras", Elements of Mathematics: Lie Groups and Lie Algebras: Chapters 7–9
Onishchik, A. L.; Vinberg, Ėrnest Borisovich (1994), "4.4: Split Real Semisimple Lie Algebras", Lie groups and Lie algebras III: structure of Lie groups and Lie algebras, pp. 157–158

[1] (Bourbaki 2005, 제8장 제2절: 분할된 반단순 리 대수의 근계, p. 77)

[2] (Bourbaki 2005, 제8장 제2절: 분할된 반단순 리 대수의 근계, 연습 2a. 77)

[3] (Bourbaki 2005, 제8장 제2절: 분할된 반단순 리 대수의 근계, 연습 2 b p. 77)

[4] (Onishchik & Vinberg 1994, 157쪽)

[5] (Onishchik & Vinberg 1994, 정리 4.4, 페이지 158)

[6] (Onishchik & Vinberg 1994, 158쪽)

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