복잡화(거짓말 그룹)

수학은. 실제 Lie 그룹의 복소화 또는 보편적 복소화는 원래 그룹의 모든 연속적인 동형이 다른 복소 Lie 그룹으로의 모든 연속적인 동형이 복소 Lie 그룹 간의 복소 분석 동형으로 호환 가능하게 확장되는 보편적 속성을 가진 그룹의 연속적인 동형화에 의해 주어집니다. 항상 존재하는 복잡화는 고유 동형화에 이르기까지 고유합니다. 그것의 리 대수는 원래 군의 리 대수를 복소화한 몫입니다. 원래 그룹이 선형인 이산 정규 부분군에 의한 몫을 가지면 이들은 동형입니다.

콤팩트 리 군의 경우 클로드 체발리의 이름을 따서 체발리 복소화라고도 불리는 복소화는 대표 함수의 홉프 대수의 복소 문자 군, 즉 군의 유한 차원 표현의 행렬 계수로 정의될 수 있습니다. 콤팩트 그룹의 유한 차원 충실한 단일 표현에서 그것은 복잡한 일반 선형 그룹의 닫힌 부분군으로 구체적으로 실현될 수 있습니다. 극분해 $g$ = $u$ • $exiX$ 를 갖는 연산자로 구성되며, 여기서 $u$ 는 콤팩트 그룹의 단일 연산자이고 $X$ 는 Lie 대수에서 스큐-다관절 연산자입니다. 이 경우 복소화는 복소 대수군이고 그 리 대수는 콤팩트 리 군의 리 대수의 복소화입니다.

보편복잡화

정의.

$G$ 가 Lie 군이면, 복소 리 군 G와 복소 리 군 $H$ 로의 임의의 연속 동형 사상을 갖는 $연속$ 동형 사상φ: G → G에 의해 보편 복소화가 주어지는데, 만약 f $:$ G → $H$ 가 복소 리 군 H로의 임의의 연속 동형 사상이라면, $f$ = F ∘ φ인 고유한 복소 분석 동형 사상 F: G → H가 존재합니다.

보편적 복소화는 항상 존재하며 고유한 복소 분석 동형화(원군의 포함을 보존함)에 이르기까지 고유합니다.

존재

$만약$ G가 $리$ 대수 𝖌와 연결되어 있다면, 그것의 보편 피복 군 G는 단순하게 연결되어 있습니다. $G$ 를 리 $대수$ 𝖌 = 𝖌 ⊗ C를 갖는 단순히 연결된 복소 리 군이라 하고, φ: G → G를 자연 동형 사상(φ: 𝖌 ↪ 𝖌 ⊗ $C$ 가 정준 포함인 것과 같은 고유한 형태)이라 하고, π: G → G를 보편 피복 지도라고 가정하면, ker π은 G의 기본 군입니다. $포함$ φ $($ 커 ⊂) π Z(G)가 있으며, 이는 G의 $인접$ 표현의 커널이 그 중심과 동등함과 결합된다는 사실로부터 유래합니다.

(C_{\Phi(k)})_{*}\circ \Phi _{*}=\Phi _{*}\circ (C_{k})_{*}=\Phi _{*}

$이$ 는 $모든$ k ∈커 π을 의미합니다. φφ(커 π)로 표시된 G에서 π π(커 φ)를 포함하는 가장 작은 닫힌 정규 리 부분군을 표시하면 이제 포함 ⊂(커 π) ⊂ Z(G)도 있어야합니다. 우리는 $G$ 의 보편적인 복소화를 다음과 같이 정의합니다.

G_{\mathbf {C} = {\frac {\mathbf {G} _{\mathbf {C}}} {\Phi(\ker \pi )^{*}

특히 $G$ 가 단순히 연결되어 있다면 보편적인 복잡성은 G에 $불과합니다 C$ .^[1]

맵φ: G → G는 몫에 전달하여 얻어집니다. π은 주관적인 잠수이기 때문에 맵π ∘ φ의 매끄러움은 φ의 매끄러움을 $의미$ 합니다.

Construction of the complexification map — 복합화 지도 구축

항등원 성분 $G$ 와 성분 그룹 γ= G / G를 가진 연결되지 않은 Lie 그룹 $G$ 의 경우, 확장자

\{1\}\rightarrow G^{o}\rightarrow G\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\

연장을 유도합니다.

\{1\}\rightarrow (G^{o})_{\mathbf {C}}\rightarrow G_{\mathbf {C}\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\

그리고 복소 리 군 $G$ 는_C $G$ 의 복소입니다.^[2]

보편적 재산의 증명

지도φ: G → G는 위의 복잡도 정의에 나타나는 보편적인 속성을 실제로 가지고 있습니다. 이 진술의 증명은 자연스럽게 다음의 지시도식을 고려하는 것으로부터 이어집니다.

여기서 $f\colon G\rightarrow H$ : G → $f\colon G\rightarrow H$ {\ $displaystyle$ f $\$ colon G\ $rightarrow$ H}는 복소 리 그룹을 코도메인으로 하는 리 그룹의 임의의 매끄러운 동형이다.

지도의 존재 F

단순화를 위해 $G$ ${\displaystyle$ G $}$ 가 $G$ 연결되어 있다고 가정합니다. $F {\displaystyle$ F $}$ 의 존재를 설정하려면 $F$ 저희는 먼저 리 대수 $f_{*}\colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}$ ∗의 모피즘을 자연스럽게 확장합니다: $g$ → $f_{*}\colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}$ $h$ {\ $displaystyle$ f_ ${*}\$ colon ${\overline {f}}_{*}\colon {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }\rightarrow {\mathfrak {h}}$ {\mathfrak {g $}\rightarrow {\$ mathfrak {h}}를 고유한 모피즘 f ¯ ∗로 확장합니다: g C → h {\displaystyle {\overline {f}_{*}\colon {\mathfrak {g}_{\mathbf {C}\rightarrow {\mathfrak {h}} 복소 리의 모피즘입니다. 대수학 $\mathbf {G} _{\mathbf {C} }$ $\mathbf {G$ _ ${\mathbf {C}}}$ 는 단순하게 연결되어 있기 때문에, 이제 Lie의 두 번째 기본 정리는 복소 Lie 그룹 사이의 고유한 복소 분석 ${\overline {F}}\colon \mathbf {G} _{\mathbf {C} }\rightarrow H$ ${\overline {F}}\colon \mathbf {G} _{\mathbf {C} }\rightarrow H$ ¯을 제공합니다: $GC$ → H {\ $displaystyle {\overline$ {F $}\colon \mathbf$ {G} _ ${\mathbf$ {C}\ $rightarrow$ H}, $따라서$ ( $({\overline {F}})_{*}={\overline {f}}_{*}$ ¯ $({\overline {F}})_{*}={\overline {f}}_{*}$ ∗ $({\overline {F}})_{*}={\overline {f}}_{*}$ = f ¯ ∗ ${\$ displaystyle {\overline { $F$ }_ ${*}$ = ${\$ overline {f}_{*}}입니다. F: G C → H {\displaystyle F\colon G_{\mathbf {C}\rightarrow H}를 F ¯ {\displaystyle {\overline {F}}에 의해 유도된 맵으로 정의합니다, 즉, $F(g\,\Phi (\ker \pi )^{*})={\overline {F}}(g)$ 의 g $F(g\,\Phi (\ker \pi )^{*})={\overline {F}}(g)$ φ $F(g\,\Phi (\ker \pi )^{*})={\overline {F}}(g)$ C {\displaystyle g\in \mathbf {G} _{\mathbf {C}}에 대하여 F $F(g\,\Phi (\ker \pi )^{*})={\overline {F}}(g)$ ¯ (G ⁡ π $F(g\,\Phi (\ker \pi )^{*})={\overline {F}}(g)$ = F ∗ (g) {\displaystyle F(g\,\Phi(\ker \ $pi$ )^{*}) = {\overline {F}(g)} 이 맵의 정의를 잘 나타내려면 다음과 같습니다. $\Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}$ π $\Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}$ ∗ $⊂)$ $\Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}$ $커$ $\Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}$ ¯ ∘ ${\$ displaystyle \Phi(\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}), 지 $\Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}$ $\Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}$ φ ≅ {\displaystyle {\overline {F}\circ \Phi}의 도함수를 고려합니다. 임의의 v ∈ T $\Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}$ G { g {\displaystyle v\in T_{e}\mathbf {G} \cong {\mathfrak {g}}에 대해, 우리는 다음이 있습니다.

∗

φ

({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v

v =

({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v

(F

({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v

¯) ∗

({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v

(v ⊗

({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v

1)

({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v

π ∗ v {\display style {\overline {F})_{*}\Phi _

({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v

*

({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v

= ({\overline {F})_{*}(v\otime

({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v

1)= f_{*}\pi _{*}v},

( $\mathbf {G}$ $\mathbf {G$ 의 단순 연결로 $\mathbf {G}$ ${\overline {F}}\circ \Phi =f\circ \pi$ ¯ ∘ φ ${\overline {F}}\circ \Phi =f\circ \pi$ = f ${\overline {F}}\circ \Phi =f\circ \pi$ ∘ π ${\displaystyle$ {\overline {F}\circ \Pi = f\circ \pi}를 의미합니다. 이 동일성은 최종적으로 φ ⁡ π(ker ⊂) ⁡ ker ¯ F subset {\displaystyle \Phi(\ker \pi )\subset \ker {\overline {F}}, $그리고$ $\ker {\overline {F}}$ ⁡ $F$ ¯ {\ $displaystyle \ker$ {\overline {F}}는 GC {\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {C}}의 닫힌 정규 Lie 부분군이므로, φ ⁡ π(ker ∗ ⊂) ⁡ ker ¯ F ¯ {\displaystyle \Phi(\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}도 있습니다. π $\pi _{\mathbb {C} }$ ${\$ displaystyle \pi _ ${\$ mathbb {C}}}는 복잡한 분석 대상 잠수이므로 맵 F {\displaystyle F}는 F ¯ {\overline {F}}이므로 복잡한 분석입니다. 원하는 동등 $F\circ \varphi =f$ ∘ φ = f ${\$ displaystyle F\circ \varphi = f}가 임박했습니다.

지도의 독특함 F

$F {\displaystyle$ F $}$ 의 고유성을 표시하려면 $F$ F $F_{1},F_{2}$ F $F_{1},F_{2}$ $F_{1}, F_{2}$ 가 $F_{1}\circ \varphi =F_{2}\circ \varphi =f$ $F_{1}\circ \varphi =F_{2}\circ \varphi =f$ ∘ φ = $F$ {\displaystyle $F_{1$ }\circ \varphi = F_{2}\circ \varphi = f}인 두 개의 맵이라고 가정합니다. 오른쪽에서 π {\displaystyle \pi }로 구성하여 미분합니다. $(F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}$ 1 $(F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}$ ∗ $(F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}$ (π C) ∗ ∗ = (F 2) ∗ (π C) ∗ ∗ {\displaystyle (F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}, 그리고 φ ∗ {\ $displaystyle$ \Phi _{*}}는 ${\mathfrak {g}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ $g$ ↪ g C {\ $displaystyle$ {\mathfrak { $g}\$ hook $오른쪽 화살표$ {\mathfrak ${g$ }_{\mathbf {C}}, we get $(F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}$ . But $\pi _{\mathbf {C} }$ is a submersion, so $(F_{1})_{*}=(F_{2})_{*}$ , $G$ G ${\displaystyle$ G $}$ 의 연결은 $F_{1}=F_{2}$ 1 = $F_{1}=F_{2}$ $F_{1}=F_{2}$ ${\$ displaystyle F_{1} = F_{2}}를 의미합니다.

유니크함

보편적 속성은 보편적 복잡화가 복잡한 분석 동형화에 이르기까지 유일하다는 것을 의미합니다.

주입성

만약 원래의 군이 선형적이라면, 보편적인 복소화도 마찬가지이며 둘 사이의 동형은 포함입니다.^[3] Onishchik & Vinberg(1994)는 Lie 대수 수준에서도 동형화가 주입되지 않는 연결된 실제 Lie 군의 예를 제시합니다: 그들은 $SL(2)$ 의 보편적인 피복 군에 의해 $T$ 의 곱을 취합니다. $R)$ 첫 번째 요인에서 비합리적 회전으로 생성된 이산 순환 부분군과 두 번째 요인에서 중심의 생성기에 의해 산출된 몫입니다.

기본 예시

알려진 Lie 그룹이 있는 Lie 그룹의 복소화의 다음 동형화는 복소화의 일반적인 구성으로부터 직접 구성할 수 있습니다.

2x2 행렬의 특수한 단위 군의 복소화는

\mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

(

\mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

2, C)

\mathrm {SU

(2)

_{\mathbf {C}}\cong \mathrm {

SL} (

2,\mathbf

C})}.

이것은 리 대수의 동형으로부터 다음과 같습니다.

{\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

{\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

{\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

(2

{\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

C)

{\displaystyle {\mathfrak {su}}_{\mathbf {C}}\cong {\mathfrak {

sl}}(

2,\mathbf

C})},

\mathrm {SU} (2)

(

\mathrm {SU} (2)

\mathrm {SU} (2)

가

\mathrm {SU} (2)

간단히 연결되어 있다는 사실과 함께.

2x2 행렬의 특별한 선형군의 복소화는

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

(

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

(2

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

×

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

(2

,

C

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

{\displaystyle \mathrm {

SL} (

2,\mathbf

{C})

_{\mathbf {C}}\cong \mathrm {

SL} (

2,\mathbf {C})\times \mathrm {

SL} (

2,\mathbf

C})}.

이것은 리 대수의 동형으로부터 다음과 같습니다.

{\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

(

{\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

C

{\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

{\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

≅

(

{\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

,

{\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

⊕ sl (2, C

)

{\

displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C})_{\

mathbf {

C}}\cong {\mathfrak {sl}}(2

,\mathbf

{C})\opplus {\mathfrak {sl}(

2

{\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

mathbf {C})},

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

(

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C})

이

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

(가) 간단히 연결되어 있다는 사실과 함께.

3x3 행렬의 특수 직교군의 복소화는

\mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)

(

\mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)

\mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)

\mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)

\mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)

C)

\mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)

≅

\mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)

SO + (1, 3)

{\displaystyle \mathrm

{

SO}

(3

)_{\mathbf

{C

}}\cong {\frac {\mathrm {SL}

(

2,\mathbf {C})} {\mathbf

{Z} _{

2}}\cong \mathrm

SO} ^{+} (1, 3)},

여기서

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

+

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

(

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

\mathrm {SO} ^{+

(

1,

3

)}

는 적절한 직교 로렌츠 그룹을 나타냅니다

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

. 이는

\mathrm {SU} (2)

(

\mathrm {SU} (2)

\mathrm {SU} (2)

가

\mathrm {SO} (3)

(

\mathrm {SO} (3)

\mathrm {SO} (3)

의 범용(이중) 커버이므로

\mathrm {SU} (2)

다음과 같습니다

\mathrm {SO} (3)

{\mathfrak {so}}(3)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

C

≅

수

{\mathfrak {so}}(3)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

)

{\mathfrak {so}}(3)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

≅

sl

(2, C

)

{\

displaystyle {\mathfrak

{so

}}_{\

mathbf {

C}}\cong {\mathfrak

{su

}}_{\

mathbf {

C}}\cong {\mathfrak {sl}}(

2

{\mathfrak {so}}(3)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

mathbf {C})}

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

SL

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

(

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

C

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C})

이

\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

+

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

(

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

3

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

\mathrm {SO} ^{+}(1, 3)

의 보편적인 (이중) 덮개라는 사실을 사용합니다

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)

적절한 직교 로런츠 군의 복소화는

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

+

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

(

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

C

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

(2, C

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

×

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

(

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

,

)

Z 2

\mathrm {SO} ^{+

(1, 3)

_{\mathbf {C}}\cong

{\

frac {\mathrm {

SL} (

2,\mathbf {C})\times \mathrm

{SL} (

2,\mathbf {C

})}

{\mathbf

{

Z}

_

\mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

2}}.

이것은 두 번째 예에서와 같은 리 대수의 동형화에서 이어지는데, 다시 적절한 직교 로렌츠 그룹의 보편적 (이중) 덮개를 사용합니다.

4x4 행렬의 특수 직교군의 복소화는

\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

(

\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

(

\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

, C

\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

×

\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

(

\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

,

)

Z 2

\mathrm {SO

(4)

_{\mathbf {C}}\cong

{\

frac {\mathrm

{SL} (

2,\mathbf {C})\times \mathrm {

SL} (

2,\mathbf {C})}{\mathbf

{

Z}

_

\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}

2}}.

이는

\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)

(

\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)

×

\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)

(

\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)

\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)

가

\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)

\mathrm {SO} (4)

(

\mathrm {SO} (4)

\mathrm {SO} (4)

의 보편적인 (이중) 덮개라는 사실에서 비롯됩니다

\mathrm {SO} (4)

hence

{\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)

and so

{\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,

\mathbf {C}

{\mathfrak {so}}(4)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )

마지막 두 예는 동형 복잡도를 가지는 Lie 그룹이 동형이 아닐 수 있음을 보여줍니다. 또한, Lie 그룹 $\mathrm {SU} (2)$ ( $\mathrm {SU} (2)$ $\mathrm {SU} (2)$ 및 $\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )$ ( $\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbf {C})$ 의 복소는 복소가 멱함수 연산이 아님을 보여줍니다 $\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )$ . $(G_{\mathbf {C} })_{\mathbf {C} }\not \cong G_{\mathbf {C} }$ $(G_{\mathbf {C} })_{\mathbf {C} }\not \cong G_{\mathbf {C} }$ $≇$ G C {\ $displaystyle (G_{\mathbf {$ C})_ ${\mathbf$ { $C}}\not \cong$ G_ ${\mathbf$ {C}}}(이는 $\mathrm {SO} (3)$ SO $\mathrm {SO} (3)$ (3) ${\displaystyle \mathrm$ {SO} ( $\mathrm {SO} ^{+}(1,3)$ )} $\mathrm {SO} ^{+}(1,3)$ $\mathrm {SO} ^{+}(1,3)$ $\mathrm {SO} ^{+}(1,3)$ $\mathrm {SO} ^{+}(1,3)$ 1 $,$ 3) $\mathrm {SO$ ^{+}(1, 3 $\mathrm {SO} (3)$ 의 $\mathrm {SO} (3)$ 로도 표시됩니다.

쉐발리 복소화

행렬 계수의 호프 대수

$G$ 가 콤팩트 리 군일 경우, 유한 차원 유니트 표현의 행렬 계수의 *-대수 $A$ 는 $G$ 위의 복소수 연속 함수의 *-대수인 C $(G$ )의 균일한 조밀한 *-소대수입니다. 이것은 자연스럽게 다음과 같은 공배수를 갖는 호프 대수입니다.

\displaystyle {\Delta f(g,h)=f(gh)}

$A$ 의 문자는 $A$ 가 $C$ 로 들어가는 *-동형이다. 이들은 G에 $대한$ $점$ $평가$ f ↦ f( $g$ )로 식별할 수 있으며, G에 있는 그룹 $구조$ 를 복구할 수 있게 해줍니다. $A$ 에서 $C$ 로의 동형 사상도 군을 형성합니다. 복소 리 군이며, $G$ 의 $복소화 C$ G와 동일시할 수 있습니다. *-대수 $A$ 는 G의 임의의 충실한 $표현$ σ의 행렬 계수에 의해 생성됩니다. $다음$ 은 σ가 G의 충실한 복소 분석 $표현$ 을 정의하는 것입니다.

불변론

Chevalley(1946)의 콤팩트 리 군의 복잡화에 대한 원래 접근법은 Weyl(1946)에 기술된 고전 불변 이론 언어 내에서 간결하게 진술될 수 있습니다. $G$ 를 단일체 군 $U$ ( $V)$ 의 닫힌 부분군이라고 하자. $여기$ 서 V는 유한 차원 복소 내적 공간입니다. 그것의 Lie 대수는 모든 스큐 인접 연산자 $X$ 로 구성되어 모든 $실수$ 에 $대하여$ extX가 $G$ 에 놓입니다. $두$ 번째 합에 대한 G의 사소한 $작용$ 으로 W = $V$ ⊕ C를 설정합니다. 그룹 $G$ 는 $W$ 에^⊗N 작용하며, 원소 $u$ 는 $u$ 로^⊗N 작용합니다. 정류자(또는 중심 대수)는 $A$ = 끝 $W$ 로 표시됩니다. 그것은 그것의 단일 연산자에 의해 *-대수로 생성되고 그것의 교환수는 연산자 $u$ 에^⊗N 의해 스팬된 *-대수입니다. $G$ 의 복소화 $G$ 는_C $GL$ ( $V)$ 의 모든 연산자 $g$ 로 구성되어 $있어 \otimes N$ G는 $A$ 와_N 커뮤테이션하고 $G$ 는 $C$ 의 두 번째 합에 사소하게 작용합니다. 정의에 따라 $이$ 는 $GL ($ V)의 닫힌 부분군입니다 $.$ 정의 관계는 $G$ 가 대수적 부분군임을 보여줍니다. $U$ $(V)$ 와의 교차점은 $G$ 와 일치합니다. 왜냐하면 그것은 G로 제한될 때 환원 불가능한 표현이 환원 불가능하고 동등하지 않은 상태를 유지하는 선험적으로 더 큰 콤팩트 그룹이기 때문입니다. $A$ 는 단위에 의해 생성되므로, 극성 $분해$ g= $u$ ⋅ p의 단위 연산자 $u$ 와 양의 연산자 $p$ 가 모두 G에 놓여 있으면, 가역 $연산자$ $g$ 는 G에 놓여 있습니다. $따라서$ G에 $대한$ 유리수이고 연산자 $p$ 는 T를 자기 인접 연산자로 사용하여 $p$ = $ext$ $T$ 로 고유하게 쓸 수 있습니다. 다항 함수에 대한 함수적분학에 $의해$ $h$ 는 만약 h = z $T$ 가 $cin이면$ $A$ 의 역수에 속하게 됩니다. $특히$ z를 순전히 허수적으로 취하면, $T$ 는 G의 리 $대수$ 에서 X와 $함께$ iX의 형태를 가져야 $합니다$ . G의 모든 유한 차원 $표현$ 은^⊗N W의 직접적인 합으로 발생하기 때문에 G에 $의해 C$ 불변으로 남아 있으므로 $G$ 의 모든 유한 차원 표현은 유일하게 $G$ 로_C 확장됩니다. 확장은 극성 분해와 호환됩니다. 마지막으로 극분해는 $G$ 가 $G$ 의_C 최대 콤팩트 부분군임을 암시하는데, 이는 엄밀하게 더 큰 콤팩트 부분군은 양의 연산자 $p$ 의 모든 정수 거듭제곱, 즉 닫힌 무한 이산 부분군을 포함하기 때문입니다.^[5]

Chevalley complexation에서의 분해

카르탕 분해

극분해로부터 유도된 분해는

\displaystyle {G_{\mathbf {C}} = G\cdot P = G\cdot \expi{\mathfrak {g}}}

$여기$ 서 𝖌는 G의 리 $대수$ 이며, G의 카르탕 $분해$ 라고 합니다. 지수 인자 $P$ 는 $G$ 에 의한 결합 하에서는 불변이지만 부분군은 아닙니다. $G$ 는 단일 연산자로 구성되고 $P$ 는 양의 연산자로 구성되기 때문에 복잡화는 결합을 취하는 경우 불변입니다.

가우스 분해

Gauss 분해는 일반 선형군에 대한 LU 분해의 일반화 및 Bruhat 분해의 전문화입니다. $GL(V)$ 의 경우, 주어진 정칙 기저 $e$ 에₁ 대하여, $GL(V)$ 의_n e 원소 $g$ 는 다음과 같은 형태로 인수분해될 수 있습니다.

\displaystyle {g=XDY}

$X$ 하단 단위 삼각형, $Y$ 상단 단위 삼각형 및 D $대각선$ 은 g의 주요 미성년자가 모두 소멸하지 않는 경우에만 해당합니다. $이$ 경우 $X,$ Y, $D$ 는 유일하게 결정됩니다.

실제로 가우스 제거는 $Xg$ 가⁻¹ 삼각형 위쪽에 있을 정도로 $고유$ 한 X가 있음을 보여줍니다.^[6]

위와 아래의 단위 삼각 행렬 $N$ 과₊₋ N은 GL(V)의 닫힌 전능 부분군입니다. 그들의 리 대수는 위와 아래의 엄격한 삼각 행렬로 구성됩니다. 지수 매핑은 Lie 대수에서 해당 부분군에 대한 nil potence에 의한 다항식 매핑입니다. 역수는 로그 매핑에 의해 주어지며, 로그 매핑은 다항식 매핑이기도 합니다. $특히 \pm$ N개의 닫힌 연결 부분군과 그들의 리 대수의 부분대수 사이에는 대응 관계가 있습니다. $A$ 와 $B$ 가 충분히 작으면 다항 함수 $로그(e A$ $e B)$ 가 주어진 Lie 부분대수에 존재하기 때문에 지수 맵은 각각의 경우 위에 있습니다.^[7]

가우스 분해는 근 분해를 사용하여 복소화된 리 대수를^[8] 다음과 같이 $기록함$ 으로써 U $($ V)의 다른 닫힌 연결 $부분군$ G의 복소화로 확장될 수 있습니다.

\displaystyle {\mathfrak {g}_{\mathbf {C}}={\mathfrak {n}}_{-}\opplus {\mathfrak {t}_{\mathbf {C}}\opplus {\mathfrak {n}_{+}}

$여기$ 서 𝖙는 $G$ 의 $최대$ $토러스$ T의 Lie 대수이고 𝖓는 해당하는 양의 근 공간과 음의 근 공간의 직접적인 합입니다. $T$ 의 $Vas$ eigenspaces의 가중치 공간 $분해에서$ 𝖙은 $대각선$ 역할을 하고 𝖓은 하향 연산자 역할을 하고 𝖓은 상향 연산자 역할을 합니다. $𝖓$ 는 무능력 연산자로 작용하는 무능력 리 대수이며, 이들은 V 위에서 서로의 $인접$ 관계입니다. $특히$ $T$ 는 𝖓의 결합에 의해 $작용하므로,$ 𝖙 ⊕ 𝖓는 아벨 리 대수에 의한 영가분 리 대수의 반직접 곱입니다.

엥겔의 정리에 의해, 𝖆 ⊕ 𝖓가 𝖆 $아벨리안$ 과 𝖓 닐퍼텐트를 $갖는$ 반직접 곱이고, 𝖆가 $대각화$ 가능한 연산자와 𝖓 닐퍼텐트의 연산자를 갖는 유한 차원 벡터 공간 W에 작용한다면, 𝖆에 대한 고유 벡터이고 𝖓에 의해 소멸되는 벡터 w가 존재합니다. $실제로$ 𝖓에 의해 소멸된 벡터가 있다는 것을 보여주기에 충분하며, 그에 따라 희미한 𝖓에 $대한$ 유도가 뒤따릅니다. 왜냐하면 파생된 대수 𝖓'는 𝖓 / 𝖓'와 𝖆가 동일한 가설로 작용하는 $벡터$ 의0이 아닌 부분 $공간$ 을 소멸시키기 때문입니다.

$이$ 주장을𝖙 ⊕ 𝖓에 반복적으로 적용하면 대각선에 0이 있는 상위 삼각 행렬로 작용하는 𝖙의 고유 벡터로 구성된 $V$ 의 정규 $기저$ $e,$ ..., e가 있음을 알 수 있습니다.

$N$ 과 $T$ 가 𝖓와 𝖙에 대응하는 복소 리 군이면, 가우스 분해는 부분 집합이라고 말합니다.

\displaystyle {N_{-}T_{\mathbf {C}}}N_{+}

는 직접 상품으로 주 미성년자가 소멸하지 않는 G의 $요소$ 로_C 구성되어 있습니다. 개방적이고 밀도가 높습니다. $또한$ $T$ 가 U $(V$ )의 최대 토러스를 나타낸다면 $,$

{\displaystyle \displaystyle {N_{\pm } =\mathbf {N} _{\pm }\cap G_{\mathbf {C}},\,\,\,\,T_{\mathbf {C} =\mathbf {T} _{\mathbf {C}}\cap G_{\mathbf {C}}}:

이러한 결과는 $GL(V$ )에 대한 해당 결과의 즉각적인 결과입니다 $.$ ^[9]

브루하트 분해

$W$ = $N (T$ ) / T $가$ $T$ 의 Weyl group을 $나타내고$ B 가 B 가 B 가 Borel $하위$ 그룹 T N 을 나타내는 경우, 가우스 분해는 또한 더 정밀한 Bruhat 분해의 결과입니다.

\displaystyle {G_{\mathbf {C}} =\bigcup _{\sigma \in W}B\sigma B,

$G$ 를_C $B$ 의 이중 공집합들의 서로소 결합으로 분해하는 것. 이중 공집합 $B$ σB의 복소 차원은 W의 $원소$ 인 σ의 길이에 의해 결정됩니다. 차원은 콕서터 요소에서 최대화되며 고유한 개방 밀도 이중 코세트를 제공합니다. 그것의 역결합 $B$ 는 $G$ 의_C 하부 삼각 행렬의 보렐 부분군에 포함됩니다.^[10]

Bruhat 분해는 $SL(n, C$ )에 대해 증명하기 쉽습니다 $.$ ^[11] $B$ 를 상삼각행렬의 보렐 부분군, $T$ 를_C 대각행렬의 부분군이라 하자. $따라서$ N $(T)$ / $T$ = $S$ . SL( $n,$ C)의 g에 대해 $bg$ 가 행의 시작 부분에 나타나는 0의 수를 최대화하도록 $b$ 를 bin B로 선택합니다. 한 행의 배수를 다른 행에 더할 수 있기 때문에 각 행에는 다른 수의 0이 포함됩니다. $N(T C$ )에서 $행렬$ 을 곱하면 $wbg$ 가 $B$ 에 있는 것으로 나타납니다. 고유성을 위해 $wb$ $w$ = $b이면$ $ww$ 의 항목은 대각선 아래로 사라집니다. 그래서 제품은 $T$ 에_C 놓여 있어 독특함을 증명합니다.

Chevalley (1955)는 b가 상위 단위 삼각형 부분군 N = N ∩ σ N σ에 놓이도록 제한되면 $g$ = b σ b의 표현이 유일해지는 것을 보여주었습니다. 실제로 M = N ∩ σ N이 σ하면, 이것은 항등식으로부터 다음과 같습니다.

{\displaystyle \displaystyle {N_{+}=N_{\sigma}\cdot M_{\sigma}}}:

그룹 $N$ 은₊ 첫 $번째 k-1$ 초각형에서 0을 갖는 정규 $부분군 +$ N $(k)$ 에 의한 자연 여과를 가지며, 연속적인 몫은 아벨리안입니다. $N (k)$ 와 $M (k)$ 를 $N (k$ )와의 교점으로 정의하면 $,$ $N (k)$ = N $(k)$ ⋅ M(k)인 $k$ 에 대한 유도를 감소시킵니다. $실제로$ , $N (k) N (k$ + 1 $)$ 및 M $(k) N (k$ + 1 $)$ 은 σ가 $순서$ i < j를 보존하는지 여부에 따라 k번째 초각형 상에서 상보적인 엔트리 $(i,$ j $)$ 가 $사라짐$ 으로써 N $(k)$ 에 지정됩니다.

다른 고전적인 단순 그룹에 대한 브루하트 분해는 $SL(n, C$ )의 접힘 자기 형태의 고정점 부분군이라는 사실을 사용하여 위의 분해로부터 추론할 수 있습니다 $.$ ^[13] $Sp(n, C)$ 의 경우, $J$ 를 반각형에 $1$ , 다른 곳에 $0$ 이 있는 n $행렬$ 로 하고 집합

{\displaystyle \displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\-J&0\end{pmatrix}}}.

그러면 $Sp(n, C)$ 는SL(2n,C $)$ 의 $인벌루션$ θ( $g$ ) = A(g) A의 고정점 부분군입니다. $부분군 \pm$ N, T, $B$ 는_C 불변입니다. $기본$ 요소가 n, $n-1, ..., 1, -1, ..., -n$ 으로 인덱싱되면 $Sp(n, C)$ 의 Weyl 그룹은 σ(j) = -j를 $만족$ 하는 σ, 즉 θ과의 $통근$ 으로 구성됩니다. $B,$ $T$ 및 $N$ 의 유사체는 $Sp$ $(n,$ $C$ )와의 교차 $,$ 즉 θ의 고정점으로 정의됩니다. 분해 $g$ = n σb =θ(n) θ(σ) θ(b)의 유일성은 Sp(n,C)에 대한 Bruhat 분해를 $의미$ 합니다.

$SO(n, C$ )에도 동일한 인수가 적용됩니다 $.$ 이는 SL(n,C)에서ψ(g) = B(g) B의 고정점으로 실현될 수 있고, 여기서 B = J.

와사와 분해.

이와사와 분해.

\displaystyle {G_{\mathbf {C}} = G\cdot A\cdot N

카탄 분해와 달리 직접 인자 $A$ ⋅ N은 닫힌 부분군이지만 G에 의한 $접합$ 하에서는 더 이상 불변하지 않는 $G$ 에 대한 분해를 제공합니다. 이것은 아벨 $부분군$ A에 의한 영소수 부분군 $N$ 의 반직접곱입니다.

$U(V)$ 와 그 복잡화 $GL(V$ )의 경우 $,$ 이 분해는 Gram-Schmidt 직교화 프로세스의 재진술로 유도될 수 있습니다.^[14]

$사실 1, ...,$ $e$ 는_n $V$ 의 정칙 기저이고 $g$ 는 $GL(V$ )의 원소라고 합니다 $.$ $ge 1, ...,$ $ge$ 에_n 그램-슈미트 과정을 적용하면, 다음과 같은 고유한 정칙적 $기저 1$ f, ..., $f n$ 및 양의 $상수$ 가_i 있습니다.

\displaystyle {f_{i}=a_{i}ge_{i}+\sum _{j<i}n_{ji}ge_{j}}

$k$ 가( $e i)$ 부터 ( $f i$ )까지의 단위 취입을 하는 경우 $,$ $gk$ 는⁻¹ 부분군 $A$ 에 속하며, 여기서 $A$ 는 ( $e i)$ 에 대한 양의 대각선 행렬의 부분군이고 $N$ 은 상위의 단위 삼각 행렬의 부분군입니다.^[15]

가우스 분해에 대한 표기법을 사용하여 $G$ 에_C 대한 이와사와 분해의 부분군은 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle {A=\expi{\mathfrak {t}}=\mathbf {A} \cap G_{\mathbf {C}},\,\,\,\,\,N=\exp {\mathfrak {n}_{+}=\mathbf {N} \cap G_{\mathbf {C}}

분해는 $GL(V$ )에 직접적이기 때문에 $G$ = $GAN$ 을 확인하는 것으로 충분합니다. $GL(V$ )에 대한 이와사와 분해의 속성으로부터 $,$ 지도 $G$ × $A$ × $N$ 은 닫힌 $G$ 에서의_C 그 이미지에 대한 차분 동형입니다. 반면, 이미지의 $치수$ 는_C G의 치수와 동일하므로 개방적이기도 합니다. $그래서$ $G$ = $GAN$ 은 G가 연결되어 있기 때문에.

Zelobenko(1973)는 분해에서 원소를 명시적으로 계산하는 방법을 제공합니다.^[18] For $g$ in $G C$ set $h = g * g$ . 이것은 긍정적인 자가 결합 운영자이므로 주요 미성년자가 사라지지 않습니다. 따라서 가우스 분해에 의해, 이것은 $X$ 는 N, D는 T, Y는 N에 있는 h = $XDY$ 형태로 유일하게 쓰여질 수 있습니다 $.$ 그의 자기 결합 때문에, 유일성은 Y = X*가 됩니다. 또한 양의 D는 A에 놓여 있어야 하며, 𝖙의 어떤 유일한 T에 대하여 D = expitT 형태를 가져야 합니다. $a$ = $expitT$ / $2$ 를 $A$ 의 고유 제곱근이라 하자. Set $n = Y$ and $k = g n -1 a -1$ . $그렇다면$ k는 유니터리이고 $G$ 에서도 마찬가지이며, $g$ = $kan$ 에서도 마찬가지입니다.

균질한 공간 위의 복잡한 구조물

이와사와 분해는 G의 유한 차원 축소 $불가능$ 한 표현의 최고 가중치 벡터의 복잡한 투영 공간에서 $G-궤도$ 의 복잡한 구조를 설명하는 데 사용될 수 있습니다. $특히$ G/ $T$ 와 $G C / B$ 사이의 식별은 보렐-와일 정리를 공식화하는 데 사용될 수 있습니다. $G$ 의 각 축소 불가능한 표현은 $T$ 의 문자로부터 복소 유도에 의해 얻어지거나, $G / T$ 위의 복소 선다발의 절들의 공간에서 실현되는 것과 동등하다고 기술되어 있습니다.

$T$ 를 포함하는 $G$ 의 닫힌 연결 부분군은 Borel–de Siebenthal 이론에 의해 설명됩니다. 그들은 정확히 토리 $S$ ⊆ T의 중심화자입니다. 모든 토러스는 위상적으로 하나의 $원소$ x에 의해 생성되므로, 이들은 𝖙에 있는 $원소$ $X$ 의 중심화자 C(X)와 같습니다. Hopf $C G (x)$ 의 결과는 항상 연결됩니다. 실제로 어떤 원소 $y$ 는 어떤 최대 토러스에 $포함$ 된 S와 함께 반드시 C $(x G$ )에 포함됩니다 $.$

$무게$ λ의 가장 높은 무게 벡터 $v$ 를 갖는 축소 불가능한 유한 차원 표현 $V$ 가 주어졌을 때, Cv G의 안정기는 닫힌 $부분군$ $H$ 입니다. v는 T의 고유 $벡터$ 이므로 H는 T를 $포함$ 합니다. $복소화 C$ $G$ 는 V에도 작용하고 $안정화제$ 는_C T를 포함하는 닫힌 복소 부분군 $P$ 입니다. $v$ 는 양의 근 $α$ 에 해당하는 모든 상승 연산자에 의해 소멸되므로, $P$ 는 보렐 부분군 $B$ 를 포함합니다. 벡터 $v$ 는 $또한$ α에 해당하는 $sl$ 의 복사에 대한 최고 가중치 벡터이므로 (λ $,$ α) = 0인 $경우$ 𝖌을 생성하는 하향 연산자에 의해 소멸됩니다. $P$ 의 Lie 대수 $p$ 는 $v$ 를 소멸시키는 𝖙와 근공간 벡터의 직접합이므로,

\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}\opplus \bigopplus _{(\alpha,\lambda)=0}{\mathfrak {g}_{-\alpha}}

$H$ = $P$ ∩ G의 Lie 대수는 p ∩ 𝖌에의해 주어집니다. 이와사와 분해 G = GAN에 의해. $AN$ 은_λ $Cv$ 를 고정하기 때문에, V의 복소 사영 $공간$ 에서 v의 $G-궤도$ 는_C G궤도와 일치하고,

\displaystyle {G/H=G_{\mathbf {C}}/P.

특히

\displaystyle {G/T=G_{\mathbf {C}}/B.

$T$ 의 리 대수를 이중으로 식별하면 $H$ 는 $G$ 에서 λ의 중심화자와 같으므로 연결됩니다. $P$ 그룹도 연결되어 있습니다. 실제로 공간 $G$ / $H$ 는 단순히 연결되어 있는데, 연결된 부분군에 의해 콤팩트 반단순군 $G$ / $Z$ 의 (compact) 보편 피복군의 몫으로 쓸 수 있고, $여기$ 서 Z는 $G$ 의 중심입니다. $P$ 가 $P$ 의 항등분이면, G / $P$ 는 피복 공간으로 G / $P$ 를 $가지므로$ $P$ = P가 됩니다. $동차$ 공간 $G C / P$ 는 복소 부분군이므로 복소 구조를 갖습니다. 복잡한 사영 공간의 궤도는 차우의 정리에 의해 자리스키 토폴로지에서 폐쇄되므로 부드러운 사영 다양성도 마찬가지입니다. Borel-Weil 정리와 그 일반화는 Serre(1954), Helgason(1994), Duistermaat & Kolk(2000) 및 Sepanski(2007)에서 이러한 맥락에서 논의됩니다.

포물선 부분군 $P$ 는 $B$ 의 이중 공집합들의 결합으로 쓸 수도 있습니다.

\displaystyle {P=\bigcup _{\sigma \in W_{\lambda}}B\sigma B,

여기서 $W$ 는 $웨일기$ W에 $있는$ λ의 안정제입니다. λ에 직교하는 단순 근에 해당하는 반사에 의해 생성됩니다.

비압축실형

동일한 복소 리 대수를 갖는 콤팩트 연결 리 군 G의 복소화의 다른 닫힌 부분군이 있습니다. 이것들은 G의_C 다른 실제 형태입니다.^[21]

단순히 연결된 콤팩트 리 군들의 관계

G가 단순히 연결된 콤팩트 리 군이고 σ가 차수 2의 자기 동형이면, 고정점 부분군 K = G가 자동으로 연결됩니다. (사실 이것은 슈타인베르크와 보렐에 의해 내적 자기동형에 대해 보여지듯이 G의 모든 자기동형에 대해서도 마찬가지입니다.)

이는 인벌루션 σ가 에르미트 대칭 공간에 해당할 때 가장 직접적으로 확인할 수 있습니다. 이 경우 σ는 내부에 있으며 G의 중심에 포함된 1-모수 부분군 extT의 요소에 의해 구현됩니다. σ의 내부성은 K가 G의 최대 토러스를 포함하므로 최대 순위를 갖는다는 것을 의미합니다. 반면에 x가 K의 임의의 원소이면 x와 S를 포함하는 최대 토러스가 있으므로 원소 extT의 토러스 S에 의해 생성된 부분군의 중심화기가 연결됩니다. 반면에, 그것은 S가 K에서 중심이므로 K를 포함하고 z가 S에 있으므로 K에 포함됩니다. 따라서 K는 S의 중심화자이므로 연결됩니다. 특히 K는 G의 중심을 포함합니다.^[23]

일반적인 컨볼루션 σ의 경우, G의 연결성은 다음과 같이 볼 수 있습니다.

시작점은 단순히 연결된 군 G의 최대 원환체이고 σ가 불변 T와 양의 근(또는 이와 동등하게 Weyl chamber)을 선택하는 진화라면 고정점 부분군 T가 연결됩니다. 실제로 ${\mathfrak {t}}$ ${\mathfrak {t}$ 부터 T까지의 지수 맵의 커널은 단순 근에 의해 색인화된 Z-basis를 갖는 격자 λ이며, 이는 σ가 치환합니다. 궤도에 따라 분할하면 T는 σ가 사소하게 작용하는 항 T의 곱으로 쓰이거나 σ가 인자를 교환하는 항 T의 곱으로 쓸 수 있습니다. 고정점 부분군은 두 번째 경우에 대각선 부분군을 취하는 것과 일치하므로 연결됩니다.

이제 x를 σ로 고정된 임의의 원소라고 하고, S를 C(x)의 최대 토러스라고 하고, T를 C(x, S)의 항등원 성분이라고 합니다. 그러면 T는 x와 S를 포함하는 G의 최대 토러스입니다. σ 하에서는 불변이며 T의 항등원 성분은 S입니다. 사실, x와 S는 통근하기 때문에, 그것들은 연결되어 있기 때문에 반드시 T에 놓여야 하는 최대 토러스에 포함됩니다. 작도에 의해 T는 σ 하에서 불변입니다. T의^σ 항등원 성분은 S를 포함하고 C_G(x)^σ에 위치하며 S를 집중화하므로 S와 같습니다. 그러나 S는 T에서 중심이고, T는 아벨리안이므로 최대 토러스여야 합니다. σ의 경우, ${\mathfrak {t}}\ominus {\mathfrak {s}}$ 대수 ${\mathfrak {t}}\ominus {\mathfrak {s}}$ ⊖ ${\displaystyle$ {\mathfrak { $t}}\$ ominus {\mathfrak {s}}에서 -1의 곱셈으로 작용하므로, 이는 또한 t {\displaystyle {\mathfrak {t}}는 아벨리안입니다.

이 증명은 σ이 T와 관련된 웨일 챔버를 보존하고 있다는 것을 보여줌으로써 완성됩니다. 그렇다면^σ T는 연결되어 있으므로 S와 같아야 합니다. 따라서 x는 S에 있습니다. 따라서 x는 임의였으므로 G는^σ 연결되어 있어야 합니다.

σ 하에서 웨일 챔버 불변량을 생성하려면 x와 S가 모두 사소하게 작용한 근 공간 ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ g ${\displaystyle$ {\ $mathfrak {g}_{\$ alpha }}가 없다는 것을 주목하십시오. 이는 C(x, S)가 T와 동일한 Lie 대수를 갖는다는 사실과 모순되기 때문입니다. 따라서 S에는 t = xs가 각 근공간에 사소하지 않게 작용하는 원소가 있어야 합니다. 이 경우 t는 T의 정칙 요소이며, G에서 중심화기의 항등식 성분은 T와 같습니다. ${\$ 에는 고유한 Weyl cove A가 있으므로 ${\mathfrak {t}}$ exp A에는 0이 있고 A의 폐쇄에 있습니다. t는 σ에 의해 고정되기 때문에, 알코브는 σ에 의해 불변으로 남아 있으므로, 이를 포함하는 웨일 챔버 C도 마찬가지입니다.

복소화에 대한 공액

G를 복소화 G를_C 갖는 단순히 연결된 콤팩트 리 군이라 하자. 지도 c(g) = (g*)는 G를 고정점 부분군으로 갖는 실수 리 군으로 G의 자기 형태를 정의합니다. g ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C}}$ 에서 켤레 선형이며 c = id를 만족합니다. G_C 또는 g ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ ${\$ 의 이러한 자기 동형을 켤레라고 합니다 ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ . G는_C 또한 ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ 의 공액 ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ ${\$ 에₁ 단순히 연결되어 있기 때문에 G의_C 고유한 자기동형론 c에₁ 해당합니다 ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ .

공액 c의 분류는 복소군 G의 자기 형태론적 φ가 주어지면 다음과 같이 G의 공액 σ로 줄어듭니다.

\displaystyle {c_{0}=\varphi \c_{1}\circ \varphi^{-1}

c와 통근하다 그런 다음 결합 c는 G를 불변 상태로 두고 관여적 자기 형태 σ로 제한합니다. 단순한 연결성에 의해 Lie algebra 수준에서도 마찬가지입니다. 리 대수 준위에서 c는 σ로부터 다음과 같은 공식으로 구할 수 있습니다.

\displaystyle {c_{0}(X+iY)=\sigma(X)-i\sigma(Y)}

X, ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 입니다 ${\mathfrak {g}}$

φ의 존재를 증명하기 위해 ψ = c가 복소군 G의 자기동형성을 갖도록 합니다. 리 대수 준위에서 복소 내적에 대한 자기 인접 연산자를 정의합니다.

\displaystyle {(X,Y)=-B(X,c(Y)),}

여기서 B는 ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ ${\$ 의 Killing form입니다 ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ 따라서 ψ는 모든 실제 힘과 함께 긍정적인 운영자이자 자기 형태론입니다. 특히.

\displaystyle {\varphi = (\psi ^{2})^{1/4}

만족합니다.

\displaystyle {c_{0}c=\varphi c_{1}\varphi ^{-1}c=\varphi cc_{1}\varphi =(\psi ^{2})^{1/2}\psi ^{-1}=\varphi ^{-1}cc_{1}\varphi ^{-1}=c\varphi c_{1}\varphi ^{-1}=cc_{0}.}

실제 형태의 카르탕 분해

복소화_C G에 대해서는 카르탄 분해가 위에 설명되어 있습니다. 복소 일반 선형군에서의 극분해로부터 유도되어, 미분동형을 제공합니다.

\displaystyle {G_{\mathbf {C}} =G\cdot \expi{\mathfrak {g}} =G\cdot P=P\cdot G.

G 위에는 G에 대응하는 켤레 연산자 c와 c로 통근하는 컨볼루션 σ가 있습니다. c = c σ라고 하고 G를 c의 고정점 부분군이라고 합니다. 행렬 그룹 G에서_C 닫히고 따라서 Lie 그룹입니다. 인볼루션 σ는 G와 G 모두에 작용합니다. G의 리 대수에 대하여 분해는

\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\opplus {\mathfrak {p}}

σ의 +1 및 -1 고유 공간으로. G에 있는 σ의 고정점 부분군 K는 G가 단순하게 연결되어 있기 때문에 연결되어 있습니다. 이것의 리 대수는 +1 ${\mathfrak {k}}$ 공간 ${\mathfrak {k}}$ k {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak$ {k $}}$ 이다₀ ${\mathfrak {k}}$ G의 리 대수는 다음과 같이 주어집니다.

\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\opplus {\mathfrak {p}}

그리고 σ의 고정점 부분군은 다시 K이므로 G ∩ G = K입니다. G에서 카르탕 분해는

\displaystyle {G_{0}=K\cdot \expi{\mathfrak {p}}=K\cdot P_{0}=P_{0}\cdot K

이는 다시 직접에 대한 미분동형이며 행렬의 극분해에 해당합니다. 그것은_C G에 대한 분해의 제한입니다. 그 곱은 G의₀ 닫힌 부분 집합에 미분 동형을 제공합니다. 사변형임을 확인하기 위해 g write g = u ⋅ p를 g와 p를 사용하여 p를 ⋅합니다. cg = g이므로 고유성은 σu = u 및 σp = p를 의미합니다. 그래서 K와 P에₀ 있습니다.

G의₀ 카탄 분해는 G가₀ 직접적인₀ 인자 P 때문에 단순히 연결되어 있고 비압축적이라는 것을 보여줍니다. 따라서 G는₀ 비콤팩트 실수 반단순 리 군입니다.^[25]

$,$ p {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak {p}}$ 에서 최대 아벨류 $a$ {\displaystyle {\ $mathfrak$ {a ${\mathfrak {p}}$ 가 주어지면, A ${\mathfrak {a}}$ = expa {\displaystyle ${\mathfrak {a}}$ {\ $mathfrak$ { $a}}$ 는 σ(a) = a on A이고, 그런 두 개의 {\displaystyle {\mathfrak {a}}는 K의 원소에 의해 공집합이 됩니다. A의 속성을 직접 보여줄 수 있습니다. A의 폐쇄는 σ(a) = a를 만족하는 토랄 부분군이므로, 그 리 대수는 m ${\displaystyle {\mathfrak$ {m}}에 ${\mathfrak {m}}$ 최대 ${\displaystyle {\mathfrak$ {a}}와 $같습니다$ . A는 단일 원소 exp X에 의해 위상적으로 생성될 수 있으므로, ${\mathfrak {a}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak {a}}$ 는 ${\mathfrak {m}}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathfrak {m}}$ 에서 X의 중심이 됩니다 ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {m}$ 의 임의의 원소의 K-궤도에는 (X,Ad k Y)가 k = 1로 최소화되는 원소 Y가 있습니다. {\ $displaystyle$ {\mathfrak {k}}에서 T를 사용하여 k = extT를 설정하면 (X,[T,Y]) = 0이므로 [X,Y] = 0이므로 Y는 {\displaystyle {\mathfrak {a}}에 놓아야 합니다. ${\mathfrak {m}}$ m ${\$ 은 ${\mathfrak {m}}$ ${\$ 의 결합체입니다 ${\mathfrak {a}}$ 특히 X의 일부 결합체는 ${\mathfrak {a}}$ {\ $displaystyle {\mathfrak$ {a $}}$ 의 다른 선택에 ${\mathfrak {a}}$ 이는 공역을 중앙 집중화합니다. 따라서 최대로 가능한 유일한 ${\mathfrak {a}}$ 은 {\displaystyle ${\mathfrak$ {a}}의 공역입니다 ${\mathfrak {a}}$ ^[26]

${\mathfrak {a}}_{0}=i{\mathfrak {a}}$ 문장은 0 = i ${\mathfrak {a}}_{0}=i{\mathfrak {a}}$ {\ $displaystyle$ ${\mathfrak {p}}_{0}$ {\ $mathfrak$ { $a}$ _{0}=i{\mathfrak {a}}에 대한 K의 작용에 대해 성립합니다. G에 대한 카탄 분해로부터, A = 가 0 {\displaystyle {\mathfrak {a}_{0}를 확장하면,

\displaystyle {G_{0}=KA_{0}K.

나는 실제 형태로 분해된 것을 보았습니다.

참고 항목

실제형태(거짓말이론)

메모들

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- 부르바키 1981, 212-214쪽
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[6] 젤로벤코 1973, 페이지 28

[7] 범프 2004, 202~203쪽

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[20] $SL(n, C)$ 을 위한 Gelfand & Naimark 1950, 섹션 18

[21] Bruhat 1956, $SO(n, C)$ 및 $Sp(n, C)$ 에 대한 p. 187

[22] 단순 콤팩트 리 군의 복소화를 위한 Chevalley 1955

[23] Helgason 1978, 403-406쪽, Harish-Chandra의 방법

[24] 대수적 군을 이용한 치료법으로 Humphreys 1981

[25] 카터 1972, 8장

[26] Dieudonné 1977, 216-217쪽

[27] 범프 2004, 205-211쪽

[11] Steinberg 1974, p. 73

[12] Chevalley 1955, 페이지 41

[13] 참조:
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[31] Steinberg 1974, 페이지 73–74

[32] 부르바키 1981a, 53-54쪽

[14] 세판스키 2007, 8페이지

[15] Knapp 2001, 페이지 117

[16] 참조:
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[36] 젤로벤코 1973, 288-290쪽

[37] Dieudonné 1977, pp. 197–207

[38] 헬가슨 1978, 257-262쪽

[39] 범프 2004, pp. 197–204

[17] 범프 2004, 203-204쪽

[18] 젤로벤코 1973, 페이지 289

[19] 1978년 헬가슨

[20] 참조:
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[44] 험프리스 1981

[45] 부르바키 1981a

[21] Dieudonné 1977, 164-173쪽

[22] 참조:
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Dieudonné 1977, p. 151, 연습문제 11

[48] 헬가슨 1978, 320-321쪽

[49] 부르바키 1982, 46-48쪽

[50] Duistermaat & Kolk 2000, 페이지 194–195

[51] Dieudonné 1977, p. 151, 연습문제 11

[23] 울프 2010

[24] 참고: 부르바키 1982, 46-48쪽

[25] Dieudonné 1977, pp. 166–168

[26] Helgason 1978, p. 248

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보편복잡화

정의.

존재

보편적 재산의 증명

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쉐발리 복소화

행렬 계수의 호프 대수

불변론

Chevalley complexation에서의 분해

카르탕 분해

가우스 분해

브루하트 분해

와사와 분해.

균질한 공간 위의 복잡한 구조물

비압축실형

단순히 연결된 콤팩트 리 군들의 관계

복소화에 대한 공액

실제 형태의 카르탕 분해

나는 실제 형태로 분해된 것을 보았습니다.

참고 항목

메모들

참고문헌