갈릴레이 집단의 대표이론

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

비상대적 양자역학에서는 질량과 스핀의 존재에 대한 설명(보통 위그너의 상대적 역학 분류에서 설명됨)을 비상대적 양자역학의 스페이스타임 대칭군인 갈릴레이 집단의 대표이론 측면에서 제시할 수 있다.

3 + 1차원에서 이것은 (t, x, y, z)에 있는 아핀 그룹의 부분군이며, 선형 부분은 미터법(g_μν = 1, 0, 0, 0)과 (독립) 이중 미터법(g_μν = diag (0, 1, 1)을 모두 불변한다. 유사한 정의가 n + 1차원에 적용된다.

우리는 이 집단의 투영적 표현에 관심이 있는데, 이는 1차원 리 그룹 R, cf. 기사 갈릴리 집단의 리 대수 중심 연장에 관한 기사 갈릴리 집단에 의한 갈릴리 집단의 비독점적 중심 연장에 대한 단일적 표현에 해당한다. 이를 조사하기 위해 유도 표현 방법을 사용할 것이다.

우리는 여기서 (중앙확장, 바그만) 리 대수학에 초점을 맞추고 있는데, 이는 분석하는 것이 더 간단하고 그 결과를 프로베니우스 정리를 통해 언제나 완전한 리 집단으로 확대할 수 있기 때문이다.

${\displaystyle [E,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},E]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i\hbar [\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i\hbar[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i\hbar[\delta _{j}-\delta _{jk}-\delta _{jk}C_{i}]}}$

${\displaystyle [C_{i},E]=i\hbar P_{i}}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=i\hbar M\delta _{ij}~.}$

E는 시간 변환의 발생기(해밀턴어), P는_i 번역의 발생기(모멘텀 오퍼레이터), C는_i 갈릴리 부스트의 발생기, L은_ij 회전의 발생기(사각형 모멘텀 오퍼레이터)를 의미한다. 중앙충전 M은 카시미르 불변제다.

질량 쉘 불변성

${\displaystyle ME-{P^{2} \2} 이상$

카시미르 불변제(Casimir 불변제야

3 + 1 차원에서는 세 번째 카시미르 불변제가 W인데², 여기서

${\displaystyle {\vec{W}\equiv M{\vec {L}+{\vec}\time{\vec {C},}$

상대론적 역학의 Pauli-Lubanski 유사점자와 다소 유사하다.

보다 일반적으로 n + 1차원에서 불변성은 다음과 같은 함수가 될 것이다.

${\displaystyle W_{ij}=ML_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}}}}$

그리고

${\displaystyle W_{ijk}=P_{i}L_{jk}+P_{j}L_{ki}+P_{k}L_{ij}~,}$

위의 질량 쉘 불변성 및 중심 전하뿐 아니라

슈르의 보조정리기를 사용하여, 돌이킬 수 없는 단일 표현으로, 이 모든 카시미르 불변제는 정체성의 배다. 이 계수들을 각각 m과 mE₀, 그리고 (3 + 1 치수의 경우) w라고 부른다. 우리가 여기서 단일화된 표현을 고려하고 있다는 것을 상기하면, 우리는 이러한 고유값이 실제 수치여야 한다는 것을 알 수 있다.

따라서 m > 0, m = 0, m < 0. (마지막 경우는 첫 번째 경우와 유사하다.) 3 + 1 차원에서는 m > 0에서 세 번째 불변수에 w = ms를 쓸 수 있으며, 여기서 s는 스핀 또는 내적인 각운동량을 나타낸다. 보다 일반적으로 n + 1차원에서는 발전기 L과 C가 각각 다음과 같이 총 각도 모멘텀 및 질량 중심 모멘트와 관련된다.

${\displaystyle W_{ij}=MS_{ij}}$

${\displaystyle L_{ij}=S_{ij}+X_{i}P_{j}-X_{j}P_{i}}}}$

${\displaystyle C_{i}=MX_{i}-P_{i}t~.}$

순수하게 표현-이론적 관점에서 보면, 모든 표현을 연구해야 할 것이다; 하지만, 여기서는 양자역학에 대한 적용에만 관심이 있다. 여기서 E는 열역학적 안정성이 필요한 경우 아래에 경계해야 하는 에너지를 나타낸다. 먼저 m이 0이 아닌 경우를 고려한다.

제약조건이 있는 (E, P→) 공간 고려

$$(\displaystyle mE=mE_{0}+{P^{2} \over 2}~,}$$

초경면은 v→에서 이 속도에 의해 파라메트릭된다. 속도가 0인 궤도에 있는 점(E₀, 0)의 스태빌라이저를 고려하십시오. Transitability 때문에, 우리는 단일한 irrep이 이러한 에너지-모멘텀 고유값을 가진 비경쟁적인 선형 하위 공간을 포함하고 있다는 것을 안다. (이 하위 공간은 모멘텀 스펙트럼이 연속적이기 때문에 고정된 힐버트 공간에만 존재한다.)

서브 스페이스는 E, P→, M, L로_ij 구분된다. 우리는 이미 irrep의 하위 공간이 각운동량을 제외한 모든 연산자 아래에서 어떻게 변모하는지 알고 있다. 회전 부분군은 회전(3)이다. 우리는 투영적인 표현을 고려하고 있기 때문에 그것의 이중 커버를 보아야 한다. 이것은 유진 위너가 붙인 이름인 리틀 그룹이라고 불린다. 그의 유도 표현 방법은 irrep이 mE = mE₀ + P²/2 초저면 위에 있는 벡터 번들에 있는 모든 섬유들의 직접적인 합에 의해 주어지며, 이 섬유들은 Spin(3)의 단일 적외선이다.

스핀(3)은 다름아닌 SU(2)이다.(SU(2)의 비-음수 정수 배수인 s에 의해 SU(2)의 비-음수 정수 배수가 라벨링되는 것으로 나타나는 경우 SU(2)의 표현 이론을 참조한다. 이것을 역사상의 이유로 스핀이라고 한다.)이라고 한다.

• 따라서 m ≠ 0의 경우, 단일 비위생적인 비복재는 m, E 및₀ 스핀 s로 분류된다.
• E의 스펙트럼을 살펴보면 m이 음수일 경우 E의 스펙트럼은 아래 경계를 넘지 않는 것이 분명하다. 따라서 양의 질량을 가진 경우만이 물리적인 것이다.
• 사례 m = 0. 단위별로 보면
  $${\displaystyle mE-{P^{2} \over 2}={-P^{2} \{p} \{p} \2}}:$$

  

양성적이지 않다. 0이라고 가정해 보자. 여기서, 그것은 작은 그룹을 구성하는 회전뿐만 아니라 부양책이기도 하다. 이 작은 집단의 어떤 단일 무질서한 무리는 또한 갈릴레이 집단의 투사적인 무뢰한을 낳는다. 우리가 알 수 있는 한 소그룹 아래에서 사소한 것으로 변신하는 경우만이 어떤 물리적 해석을 가지고 있으며, 그것은 무입자 상태, 즉 진공에 해당한다.

불변성이 음수인 경우는 추가 코멘트가 필요하다. 이는 m = 0과 0이 아닌 P→의 표현 등급에 해당한다. 브레디온, 럭슨, 타키온 분류를 푸앵카레 그룹의 대표이론에서 유사 분류로 확장하면, 여기서는 이러한 상태를 동기라고 할 수 있다. 그것들은 (아마도 큰) 거리에 걸쳐 0이 아닌 운동량의 순간적인 전달을 나타낸다. 위와 관련하여 "시간" 연산자가 있음

${\displaystyle t=-{\vec{P}\cdot {\vec{C}}\over P^{2}}~,}$

이동 시간과 함께 식별될 수 있다. 이러한 상태는 당연히 거리마다 즉각적으로 작용하는 힘의 전달체로 해석된다.

N.B. 3 + 1차원 갈릴레이 그룹에서 부스트 발생기는 다음과 같이 분해될 수 있다.

${\displaystyle {\vec{C}={\vec {W}\time {\vec{P}}\over P^{2}}-{\vec{P}t~~,}$

나선성과 유사한 역할을 하는 W→.

참고 항목

• 갈릴레이 공변 텐서 제형
• 푸앵카레 집단의 표현 이론
• 위그너 분류
• 파울리-루반스키 유사점자
• 차이점형 집단의 표현 이론
• 회전 연산자

참조

• 바그만, V. (1954년) "수학 연보, 제2 시리즈, 59, 제1호 (1954년 1월), 페이지 1-46, 수학 연보, 수학 연보, 수학 연보, 수학 연보, 수학 연보, 수학 연보, 시리즈 59, 제1호, 수학 연보, 제1호, 수학 연보, 제1호 (1954년 1월), 페이지 1-46
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (1967), "Nonrelativistic Particles and Wave Equations" (PDF), Communications in Mathematical Physics, Springer, 6 (4): 286–311, Bibcode:1967CMaPh...6..286L, doi:10.1007/bf01646020.
• Ballentine, Leslie E. (1998). Quantum Mechanics, A Modern Development. World Scientific Publishing Co Pte Ltd. ISBN 981-02-4105-4.
• 길모어, 로버트(2006) ISBN 0486445291