고전적 거짓말 집단 표현

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

In mathematics, the finite-dimensional representations of the complex classical Lie groups ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle Sp(2n,\mathbb{C})}$$$semisimple Lie Algebras의 일반적 표현 이론을 사용하여 {\$displaystyle Sp(2n,\mathb {C}$)를 구성할 수 있다$.$ 그 단체들 SL(n, C){SL(n,\mathbb{C})\displaystyle}, S 와(2n, C){Sp(2n,\mathbb{C})\displaystyle}은 정말로 단순한 리 그룹 SO(n, C){SO(n,\mathbb{C})\displaystyle}, 그리고 그들의 유한 차원의. 표현 그들의 최대 소형 서브 그룹 각각 SU를 가지고 coincide[1](.n${\displaystyle )}$ ${\displaystyle SU(n$ S ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle SO(n$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle Sp(n$ 단순한 리알헤브라의 분류에서 해당 알헤브라는

${\displaystyle {\reasoned}SL(n,\mathb {C} )&\to A_{n-1}\\\SO(n_{\text{odd},\mathb {C} )&\to B_{\frac {n-1}{2}}\\\\SO(n_{\text{ven}})&\to D_{\frac {n}{2}}\\Sp(2n,\mathb {C} )&\to C_{n}\end}}}}}}}}$

그러나, 복잡한 고전적 거짓말 집단은 선형 집단이기 때문에, 그들의 표현은 긴장된 표현이다. 각각의 불가해한 표현은 그것의 구조와 성질을 부호화한 영 도표에 의해 라벨로 표시된다.

일반 선형 그룹 및 특수 선형 그룹

웨일 건축

Let ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ be the defining representation of the general linear group ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$. Any irreducible finite-dimensional representation of ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ is a tensor representation, i.e. a subrepresentation of $$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle 일부\mathbb{}}$ 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ N {\$displaystyle k\in \mathb {N}$에 대한$$ V ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ k ${\$ k$\}\}.$

The irreducible subrepresentations of ${\displaystyle V^{\otimes k}}$ are the images of ${\displaystyle V}$ by Schur functors ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }}$ associated to partitions ${\displaystyle \lambda }$ of ${\displaystyle k}$ into at most ${\displaystyle n}$ integers, i.e. to Young diagrams of size ${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=k}$ with ${\displaystyle \lambda _{n+1}=0}$. (If ${\displaystyle \lambda _{n+1}>0}$ then ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }(V)=0}$.) Schur functors are defined using Young symmetrizers of the symmetric group ${\displaystyle S_{k}}$, which acts naturally on ${\displaystyle V^{\otimes k}}$. We write ${\displaystyle V_{\lambda }=\mathbb {S} ^{\lambda }(V)}$.

취소할 수 없는 표현들의 치수는 다음과^[1] 같다.

${\displaystyle \dim V_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}=\prod _{(i,j)\in \lambda }{\frac {n-i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

여기서 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\lambda }_{}}$( ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle h_{\lambda }(i$$,j$$)}$은 영 다이어그램 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$$$$}$에서 셀$$$({\displaystyle }$i,j)의 후크 길이입니다$.$

• 는 χ λ(g)표현 방법의 슈어 polynomials,[1]의 측면에서 캐릭터들이 x1,…,)n{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}을 드리는 것이다. sλ(x1,…,)n){\displaystyle \chi_{\lambda}(g)=s_ᆮ(x_{1},\dots{n,x_})}을 주는 공식의 차원에 대한 첫번째 공식은 특별한 경우이다.ee$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle n\mathbb{}}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle g\in GL(n,\mathb {C} )}$의 igen 값$.$
• 차원에 대한 두 번째 공식은 때때로 스탠리의 후크 내용 공식이라고 불린다.^[2]

예

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle GL(n,\mathb {C})}$의 수정할 수 없는 표현	치수	영 다이어그램
사소한 표현	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle)}$
결정론적 표현	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle(1^{n})}$
$표현{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$ 정의 중	${\displaystyle n}$	${\displaystyle(1)}$
부선 표현	${\displaystyle n^{2}-1}$	${\displaystyle(2,1^{n-2})}$
대칭 표현 ${\displaystyle {\text{Sym}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{Sym}^{k}V}$	${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}}$	${\displaystyle(k)}$
비대칭 표현 ${\displaystyle {representationk}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$	${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$	${\displaystyle(1^{k})}$

특수 선형 그룹의 경우

Two representations ${\displaystyle V_{\lambda },V_{\lambda '}}$ of ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ are equivalent as representations of the special linear group ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ if and only if there is ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ 는 ∀ 나는, λ 나는 − λ 나는 ′)k('_{나는}=k}V({\displaystyle V_{(1^{n})}}SL에(n, C){SL(n,\mathbb{C})\displaystyle}, 그것은 5편에 해당합니다는 사소한 일이다. 특히 .[1],을 결정하는 표현({\displaystyle V_{()}}말이다. .

텐서 제품

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$(${\displaystyle n}$, ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle GL(n,\mathb {C})}$의 유한 치수 표현 텐서 제품은$$^[1]

${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\\mu }=\sum_{\nu }c_{\lambda \mu }^{}V_{\nu }}}}}}}}}}$

여기서 $자연정수{\displaystyle {}_{}^{}}$ c ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ${\$은 리틀우드-리처드슨 계수다. 예를 들어,

${\displaystyle V_{(1)}\otimes V_{{(k)}=V_{(k+1)}\oplus V_{(k,1)}}$

직교군 및 특수직교군

In addition to the Lie group representations described here, the orthogonal group ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ and special orthogonal group ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ have spin representations, which are projective representations of these groups, i.e. representations of their universal cov캥거루 떼

표현 구성

Since ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ is a subgroup of ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$, any irreducible representation of ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ is also a representation of ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$, which may however not be irreducible. $O{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$, $){\displaystyle$ O$(n,\mathb {C})$의 텐서 표현을 되돌릴 수 없도록 하려면$$ 텐서가 미량이어야 한다.^[3]

Irreducible representations of ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ are parametrized by a subset of the Young diagrams associated to irreducible representations of ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$: the diagrams such that the sum of the lengths of the first two columns is a most ${\displaystyle n}$$$.^[3] The irreducible representation ${\displaystyle U_{\lambda }}$ that corresponds to such a diagram is a subrepresentation of the corresponding ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ representation ${\displaystyle V_{\lambda }}$. For example, in the case of symmetric tensors,^[1]

${\displaystyle V_{{(k)}=U_{(k)}\oplus V_{(k-2)}$

특수직교군 사례

비대칭 텐서 $){\$은(는) O${\displaystyle (n),}$ ${\displaystyle C\mathbb{}(}$은) ${\displaystyle$ O$(n$${\displaystyle ),}$$$C$)${\$mathb$$${C$\}\}\}\}$의 1차원 표현으로$$, ${\displaystyle S}$O$n,\mathb {C$}). Then ${\displaystyle U_{(1^{n})}\otimes U_{\lambda }=U_{\lambda '}}$ where ${\displaystyle \lambda '}$ is obtained from ${\displaystyle \lambda }$ by acting on the length of the first column as ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\to n$$-$${{\tilde{\\lambda }}_{1}.$

• For ${\displaystyle n}$ odd, the irreducible representations of ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ are parametrized by Young diagrams with ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n-1}{2}}}$ rows.
• For ${\displaystyle n}$ even, ${\displaystyle U_{\lambda }}$ is still irreducible as an ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ representation if ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n}{2}}-1}$, but it reduces to a sum of two inequivalent ${\displaystyle SO(n,\mathbb{C})}$${\$$displaystyle{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ $SO(n,\mathb {C} )}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{~}}_{}}$ ~${\displaystyle {}_{}{1}_{\mathrm{}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$ 2 ${\${\$tilde${\$lambda$}}}$_${1}={\$frac {n}{2$}}:$$^[3].

For example, the irreducible representations of ${\displaystyle O(3,\mathbb {C} )}$ correspond to Young diagrams of the types ${\displaystyle (k\geq 0),(k\geq 1,1),(1,1,1)}$. The irreducible representations of ${\displaystyle SO(3,\mathbb {C} )}$ correspond to ${\displaystyle (k\geq 0)}$, and ${\displaystyle \dim U_{(k)}=2k+1}$. On the other hand, the dimensions of the spin representations of ${\displaystyle SO(3,\mathbb {C} )}$ are even integers.^[1]

치수

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$(${\displaystyle n\mathbb{}}$, C${\displaystyle }$) ${\displaystyle SO(n,\mathb {C})}$의 수정할 수 없는 표현 치수는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 패리티에 따라 달라지는 공식에 의해 주어진다$$$.$^[4]

${\displaystyle (n{\text{ even}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}}$

${\displaystyle (n{\text{ odd}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\prod _{1\leq i\leq j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에는 인자화된 다항식으로서의 표현도 있다$.$^[4]

${\displaystyle \dim U_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\geq j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i<j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j-2}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

여기서 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ,$λ$~ ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \lambda {}_{}}$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$) ${\displaystyle \lambda _{i},{\tilde{\lambda }}}}{{\lambda }}}}$는 각각$$ 행 길이, 열 길이, 후크 길이입니다$.$ In particular, antisymmetric representations have the same dimensions as their ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ counterparts, ${\displaystyle \dim U_{(1^{k})}=\dim V_{(1^{k})}}$, but symmetric representations do not,

${\dim U_{(k)}=\dim V_{{(k)}-\dim V_{{(k-2)}={\frac {n+2k-2}{n-2}}{\binom{n+k-3}{k}}}}}}}}}}$

텐서 제품

In the stable range ${\displaystyle \mu + \nu \leq \left[{\frac {n}{2}}\right]}$, the tensor product multiplicities that appear in the tensor product decomposition ${\displaystyle U_{\lambda }\otimes U_{\mu }=\oplus _{\nu }N_{\lambda ,\mu ,\nu }U$$_{\nu }}$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 의존하지 않는 뉴웰-리틀우드 번호로$,$^[5] 안정적 범위를 넘어서면 텐서 제품 $승수$가$$n {\$displaystyle n}$에 따라$$ 달라진다.^[6][5][7]

심플렉틱 그룹

표현

공감대 $그룹{\displaystyle }$ S ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle \mathrm{2n}}$, ${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle Sp(2n,\mathb {C})$의 유한 차원 불가한 표현은$$ 영 다이어그램에 의해 파라메트리되며 $최대{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ 행이다$$. 해당 표현의 치수는 다음과^[3] 같다.

${\displaystyle \dim W_{\lambda }=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}+n-i+1}{n-i+1}}\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+2n-i-j+2}{2n-i-j+2}}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에는 인자화된 다항식으로서의 표현도 있다$.$^[4]

${\displaystyle \dim W_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i>j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j+2}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\leq j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

텐서 제품

직교 그룹의 경우와 마찬가지로 텐서 곱셈은 뉴웰-리틀우드 번호로 안정범위에 부여되며, 그 수정은 안정범위를 벗어난다.

외부 링크

• Lie 소프트웨어의 온라인 인터페이스인 온라인 서비스.

참조