거짓말 그룹 표

거짓말 그룹
고전파 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수 직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) 심플렉틱 Sp(n)
단순 거짓말 그룹 고전적인 An. Bn. Cn. Dn. 특출한 G2 에프4 E6. E7. E8.
기타 Lie 그룹 원형 로렌츠 푸앵카레 등각군 미분 동형 고리 유클리드
리 대수 리 군-거짓 대수 대응 지수 지도 인접 표현 킬링 폼 색인 단순 리 대수
반단순 리 대수 다이킨 도표 카르타아게브라 루트 시스템 와일기 실제 형태 복잡화 분할 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 거짓말 그룹 표현 리 대수 표현 반단순 리 대수의 표현 이론 고전적 리 그룹의 표현 최대 무게 정리 보렐-바일-병 정리
물리학의 리 그룹 입자 물리 및 표현 이론 로렌츠 군 표현 Poincaré 그룹 표현 갈릴레이 군 표현
과학자 소퍼스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카르탕 헤르만 바일 클로드 셰발리 하리시찬드라 아르만드 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
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이 기사는 일반적인 리 그룹과 그와 관련된 리 대수의 표를 제공한다.

다음은 그룹의 위상 특성(차원, 연결성, 콤팩트성, 기본 그룹의 특성 및 단순 연결 여부)뿐만 아니라 대수적 특성(아벨리안, 단순, 반단순)에 대해서도 언급된다.

리 그룹 및 기타 관련 토픽의 더 많은 예는 단순한 리 그룹 목록, 최대 3차원의 그룹 비앙치 분류, 최대 4차원의 저차원 실제 리 대수의 분류 및 리 그룹 토픽 목록을 참조하십시오.

리얼 라이 그룹과 그 대수학

컬럼 범례

• CPT: 이 그룹은 컴팩트한가요?(예 또는 아니오)
• $0$ \$displaystyle$ \$pi _${ 0$$} : G의 성분군을 나타냅니다.컴포넌트 그룹의 순서는 연결된 컴포넌트의 수를 나타냅니다.그룹은 컴포넌트 그룹이 사소한 경우(0으로 표시)에만 연결됩니다.
• $§$ $1 (\displaystyle$ \$pi _{$1$\})$ : G가 접속될 때마다 G의 기본 그룹을 ${\displaystyle {\mathrm{부여}}_{}}$합니다.기본 그룹이 사소한 경우(0으로 표시됨)에만 그룹이 연결됩니다.
• UC: G가 단순히 연결되어 있지 않은 경우 G의 유니버설커버를 제공합니다.

리 그룹	묘사	CPT	$\displaystyle \pi _{0}$	$\displaystyle \pi _{1}$	UC	언급	리 대수	어둡다/R
Rn	덧셈이 있는 유클리드 공간	N	0	0		아벨리안	Rn	n
R×	0이 아닌 실수(곱셈 포함	N	Z2	–		아벨리안	R	1
R+	곱셈이 있는 양의 실수	N	0	0		아벨리안	R	1
S1 = U(1)	원군: 곱셈을 포함한 절대값 1의 복소수;	Y	0	Z	R	아벨리안, SO(2), Spin(2), R/Z와 동형	R	1
Aff(1)	R에서 R로 변환되는 가역 아핀 변환.	N	Z2	–		R과× R의 분해+ 가능한 반직접 곱	$\displaystyle \left [{\begin {small matrix} a&b\0&1\end {small matrix}\right] : a\in \mathbb {R}^{*},b\in \mathbb {R} \right\}$	2
H×	곱셈이 0이 아닌 사분위수	N	0	0			H	4
S3 = Sp(1)	곱셈을 포함한 절대값 1의 4분의 1; 위상적으로 3구	Y	0	0		SU(2) 및 Spin(3)와 동형; SO(3)의 이중 커버	임(H)	3
GL(n,R)	일반 선형 그룹: 가역 n×n 실행렬	N	Z2	–			M(n,R)	n2
GL+(n,R)	양의 행렬식을 갖는 n×n 실행렬	N	0	Zn=2 Z2n>2		GL+(1,R)은 R과+ 동형이며 단순하게 연결되어 있다.	M(n,R)	n2
SL(n,R)	특수 선형 그룹: 행렬식 1이 있는 실행렬	N	0	Zn=2 Z2n>2		SL(1,R)은 단일 포인트이므로 콤팩트하고 간단하게 접속할 수 있습니다.	sl(n,R)	n2−1
SL(2,R)	SU(1,1)와 동형이며 Sp(2,R)와 동형인 Poincaré 하프플레인의 배향보존등축.	N	0	Z		유니버설 커버는 유한 차원의 충실한 표현을 가지고 있지 않습니다.	sl(2,R)	3
O(n)	직교 그룹: 실제 직교 행렬	Y	Z2	–		구(n=3) 또는 초구체의 대칭 그룹입니다.	so(n)	n(n−1)/2
SO(n)	특수 직교 그룹: 행렬식 1이 있는 실제 직교 행렬	Y	0	Zn=2 Z2n>2	스핀(n) n>2	SO(1)는 단일점이고 SO(2)는 원군과 동형이며 SO(3)는 구의 회전군이다.	so(n)	n(n−1)/2
스핀(n)	스핀 그룹: SO(n)의 이중 커버	Y	0 n > 1	0 n > 2		스핀(1)은 Z와2 동형이며 연결되지 않음, 스핀(2)은 원 그룹과 동형이며 단순하게 연결되지 않음	so(n)	n(n−1)/2
Sp(2n,R)	심플렉틱 군: 실심플렉틱 행렬	N	0	Z			sp(2n,R)	n(2n+1)
스펙(n)	콤팩트 심플렉틱 군: 4원소 이온 n×n 단위 매트릭스	Y	0	0			sp(n)	n(2n+1)
Mp(2n,R)	메타플렉틱기:실제 심플렉틱기 Sp(2n,R)의 이중 커버	Y	0	Z		Mp(2,R)는 대수적이지 않은 Lie 군이다.	sp(2n,R)	n(2n+1)
U(n)	유니터리 군: 복소수 n×n 유니터리 행렬	Y	0	Z	R×SU(n)	n=1의 경우: S와1 동형이다.주의: 이것은 복잡한 Lie 그룹/대수가 아닙니다.	u(n)	n2
SU(n)	특수 유니터리 군: 행렬식 1을 가진 복소수 n×n 유니터리 행렬	Y	0	0		주의: 이것은 복잡한 Lie 그룹/대수가 아닙니다.	su(n)	n2−1

리얼 라이 대수

리 대수	묘사	심플해요?	반단순?	언급	어둡다/R
R	실수, Lie 괄호는 0입니다.				1
Rn	Lie 괄호는 0입니다.				n
R3	Lie 브래킷은 크로스 곱입니다.	네.	네.		3
H	4등분, Lie 브래킷 포함 정류자				4
임(H)	실수 부분이 0인 사분위수, 정류자 Lie 괄호, 실수 3 벡터와 동형이다. Lie 괄호로 교차곱, su(2) 및 so(3,R)와 동형이다.	네.	네.		3
M(n,R)	n×n 행렬, Lie 괄호 포함 정류자				n2
sl(n,R)	트레이스 0의 정사각형 행렬, Lie 괄호 포함 정류자	네.	네.		n2−1
so(n)	스큐-대칭 정사각형 실행렬, Lie 괄호로 정류자를 지정합니다.	네.	네.	예외: so(4)는 반단순입니다. 간단하지 않아요.	n(n−1)/2
sp(2n,R)	JA + AJT = 0을 만족하는 실제 행렬. 여기서 J는 표준 스큐 행렬입니다.	네.	네.		n(2n+1)
sp(n)	A = -A를∗ 만족하는 정사각형 사분위 매트릭스, Lie 괄호 포함 정류자	네.	네.		n(2n+1)
u(n)	A = -A를∗ 만족하는 정사각형 복소 행렬 A, Lie 괄호 포함 정류자				n2
su(n) n22	A = -A를∗ 만족하는 궤적이 0인 제곱 복소 행렬 A, 정류자 Lie 괄호 포함	네.	네.		n2−1

복소 리 군과 그 대수

주어진 치수는 C를 초과하는 치수입니다.모든 복잡한 Lie 그룹/대수는 두 배의 차원을 가진 실제 Lie 그룹/대수로 볼 수도 있습니다.

리 그룹	묘사	CPT	$\displaystyle \pi _{0}$	$\displaystyle \pi _{1}$	UC	언급	리 대수	어둡다/C
Cn	그룹 조작은 추가입니다.	N	0	0		아벨리안	Cn	n
C×	곱셈이 있는 0이 아닌 복소수	N	0	Z		아벨리안	C	1
GL(n,C)	일반 선형 그룹: 가역 n×n 복소 행렬	N	0	Z		n=1의 경우: C와× 동형이다.	M(n,C)	n2
SL(n,C)	특수 선형 그룹: 행렬식이 있는 복소 행렬 1	N	0	0		n=1의 경우, 이것은 단일점이므로 콤팩트하다.	sl(n,C)	n2−1
SL(2,C)	n=2에 대한 SL(n,C)의 특수한 경우	N	0	0		스핀(3,C)과 동형, Sp(2,C)와 동형	sl(2,C)	3
PSL(2,C)	투영 특수 선형군	N	0	Z2	SL(2,C)	뫼비우스기와 동형이며, 제한 로렌츠기+ SO(3,1,R)와 동형이며, SO(3,C)와 동형이다.	sl(2,C)	3
O(n,C)	직교 그룹: 복소 직교 행렬	N	Z2	–		n=1에 대한 콤팩트	so(n,C)	n(n−1)/2
SO(n,C)	특수 직교 그룹: 행렬식 1이 있는 복소 직교 행렬	N	0	Zn=2 Z2n>2		SO(2,C)는 C와× 동형이며, n>2의 경우 nonabelian이다. SO(1,C)는 단일 점이며, 따라서 콤팩트하고 단순하게 연결된다.	so(n,C)	n(n−1)/2
Sp(2n,C)	심플렉틱 그룹: 복소 심플렉틱 매트릭스	N	0	0			sp(2n,C)	n(2n+1)

복소 리 대수

주어진 치수는 C를 초과하는 치수입니다.모든 복소 리 대수는 또한 두 배의 차원의 실제 리 대수로 볼 수 있습니다.

리 대수	묘사	심플해요?	반단순?	언급	어둡다/C
C	복소수				1
Cn	Lie 괄호는 0입니다.				n
M(n,C)	변환자를 Lie 괄호로 묶은 n×n 행렬				n2
sl(n,C)	트레이스 0의 정사각형 행렬(Lie 괄호 포함) 정류자	네.	네.		n2−1
sl(2,C)	n=2인 sl(n,C)의 특수한 경우	네.	네.	su(2)$$omorphic { $display$ \$otimes$}$C$와 동형입니다.	3
so(n,C)	스큐-대칭 사각 복소 행렬(Lie 브래킷 포함) 정류자	네.	네.	예외: 따라서 (4,C)는 반단순입니다. 간단하지 않아요.	n(n−1)/2
sp(2n,C)	JA + AJT = 0을 만족하는 복소 행렬 여기서 J는 표준 스큐-대칭 행렬입니다.	네.	네.		n(2n+1)

2차원의 아핀 변환의 Lie 대수는 사실 어떤 필드에도 존재합니다.실제 리 대수의 경우 첫 번째 표에 이미 예가 나와 있습니다.

레퍼런스

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.