기초표현상

리 그룹과 리 알헤브라의 표현 이론에서, 근본적 표현은 가장 높은 무게가 기본 무게인 반실행적 리 그룹이나 리 대수학의 불가해한 유한 차원 표현이다.예를 들어, 고전적인 거짓말 그룹의 정의 모듈은 기본적인 표현이다.반실현 Lie 그룹 또는 Lie 대수학의 모든 유한 차원 불가역적 표현은 Elie Cartan에 기인하는 절차에 의한 기본적인 표현으로부터 구성될 수 있다.그러므로 어떤 의미에서 근본적인 표현은 임의의 유한차원 표현을 위한 기본적인 구성 요소들이다.

예

• 일반 선형 그룹의 경우, 모든 기본 표현은 정의 모듈의 외부 제품이다.
• 특수 유니터리 그룹 SU(n)의 경우, n - 1 기본 표현은 k = 1, 2, ..., n - 1에 대해 교대 텐더로 구성된$$ 쐐기 제품 ${\displaystyle {Alt}^{}}$ k ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \text{C}{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$
• 홀수 직교 그룹의 2중 커버, 홀수 스핀 그룹의 2중 커버와 짝수 직교 그룹의 2중 커버, 짝수 스핀 그룹의 2중 반 Spin 표현은 텐서 공간에서는 실현될 수 없는 기본적인 표현이다.
• E형식의₈ 단순 Lie 집단의 부선 표현은 기본적인 표현이다.

설명

단순하게 연결된 콤팩트 리 그룹의 돌이킬 수 없는 표현은 그들의 가장 높은 가중치에 의해 지수화된다.이러한 가중치는 지배적인 일체형 가중치로 구성된 Lie 그룹의 중량 격자 내 직교 Q의₊ 격자점이다.Dynkin 다이어그램의 정점에 의해 색인화된 일련의 기본 가중치가 존재함을 증명할 수 있으며, 모든 지배적인 적분 가중치는 기본 가중치의 비 음의 정수 선형 조합이다.^[1]그에 상응하는 불가해한 표현은 거짓말 집단의 근본적인 표현이다.기본 가중치에 관한 지배적 가중치의 확대로부터 기초적 표현에 해당하는 텐서(tensor) 산출물을 취하여 그 지배적 가중치에 해당하는 불가해한 표현 1부를 추출할 수 있다.^[2]

기타 용도

리이론 외에서는 근본적 표현이라는 용어가 종종 표준이나 정의적 표현(수학적 의미가 잘 정립되어 있지 않고 역사를 더 많이 지칭하는 용어)이라고도 하지만, 때로는 가장 작은 차원 충실한 표현을 지칭하기 위해 느슨하게 사용되고 있다.

참조

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.

특정