비교차 파티션

결합 수학에서, 비 교차 칸막이의 주제는 자유 확률 이론에 대한 그것의 적용 때문에 어느 정도 중요하게 여겨졌다.n개 요소 집합의 비교차 파티션 수는 n번째 카탈루냐 숫자다.k 블록이 있는 n-element 세트의 비교차 파티션 수는 나라야나 번호 삼각형에서 찾을 수 있다.

정의

집합 S의 파티션은 "부품" 또는 "블록"이라고 불리는 S의 비어 있지 않은 쌍으로 분리된 하위 집합의 집합이며, 조합은 S의 모든 것이다.선형적으로 배열된 유한 집합 또는 (이 정의의 목적을 위해 동등하게) 정규 n-곤의 정점처럼 주기적인 순서로 배열된 유한 집합을 고려한다.이 세트를 S = { 1, ..., n }으로 가져간다고 해서 일반성이 상실되는 것은 아니다. S의 비교차 파티션은 두 블록이 서로 "교차"하지 않는 파티션이다. 즉, a와 b가 한 블록에 속하고 x와 y가 다른 블록에 속하면 x b y 순서로 배열되지 않는다.a와 b를 기준으로 아치를 그리고 x와 y를 기준으로 아치를 그리는 경우, x b y가 아니라 x b y를 기준으로 한 아치를 그리면 두 아치가 교차한다.후자의 두 주문에서 파티션 { a, b }, { x, y } }은(는) 교차되지 않는다.

교차:	x b y
비교차:	x y b
비교차:	a b x y

마찬가지로, 정규 n곤의 정점에 1부터 n까지의 숫자로 라벨을 붙이면 칸막이의 서로 다른 블록의 볼록한 선체가 서로 분리된다. 즉, 서로 "교차"하지 않는다.S의 모든 비교차 파티션 집합은 ${\displaystyle \text{NC}(S}$) ${\displaystyle {\text{$$NC}(S$ ${\displaystyle \text{NC}({}_{}}$ $){\displaystyle{\text{}$ 사이에 명백한 순서 이형성이 있다.$NC}(S_{1})$ 및$$ ${\displaystyle \text{NC}({}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle {\$$text$}동일한 크기의$$ 두 유한 집합 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $NC$$}(S_{2})$즉, ${\displaystyle \text{NC}}$ ${\displaystyle (S}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {\text{$$NC}(S)}$은(는) $기본적$으로 S ${\displaystyle S}$의 크기에만 의존하며$$, 우리는$$ ${\displaystyle \text{NC}}$ $){\displaystyle {\text{$$NC}(n)}$ 크기 n의 모든 집합에 비교차$$ 파티션

격자 구조

{1, ..., n } 집합의 모든 파티션 집합과 마찬가지로, 모든 비교차 파티션 집합은 미세 파티션이 밀봉 파티션보다 작다고 하여 부분적으로 정렬되었을 때 격자형 파티션 집합이다.그러나 모든 파티션의 격자의 하위 집합이지만 조인 작업이 일치하지 않기 때문에 모든 파티션의 격자의 하위 집합은 아니다.즉, 두 개의 비교차 파티션보다 더 높은 가장 좋은 파티션은 항상 둘 다보다 더 강한 가장 좋은 비교차 파티션은 아니다.

집합의 모든 칸막이의 격자와는 달리 집합의 모든 비교차 칸막이의 격자는 자기 이중, 즉 부분 순서를 뒤집어서 생기는 격자("뒤로 뒤집기")에 대한 순서 이형성이다.이는 비교차 칸막이마다 보수가 있음을 관찰함으로써 알 수 있다.사실, 이 격자 안의 모든 간격은 자기 이중적이다.

자유확률론에서의 역할

비교차 칸막이의 격자는 고전적 확률 이론에서 공동 누적분을 정의할 때 모든 칸막이의 격자가 수행하는 자유 확률 이론에서 자유 누적분을 정의하는 데 동일한 역할을 한다.To be more precise, let ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\phi )}$ be a non-commutative probability space (See free probability for terminology.), ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ a non-commutative random variable with free cumulants ${\displaystyle (k_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. 그러면.

${\displaystyle \pi(a^{n})=\sum _{\pi \in {\text}NC}}(n)\prod _{j}k_{j}^{{N_{j}(\pi )}}}}}}}}}}$

여기서 $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ (${\displaystyle \pi }$ ) ${\displaystyle N_{j}(\pi )$은 비교차 파티션 $partition{\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$에 있는 $길이{\displaystyle }$ j ${\displaysty j}$의 블록 수를 의미한다$.$ 즉, 비교차 랜덤 변수의 순간은 비교차 파티션의 합계에 대한 자유 누적합으로 표현할 수 있다.이것은 고전적 확률에서 모멘트-큐뮬런트 공식의 자유 아날로그다.위그너 세미크레 분포를 참조하십시오.

참조

• 제르맹 크레베라스, "Sur les partitions non croisées d'un cycle", 이산 수학, 제1, 제4권, 페이지 333–350, 1972.
• Rodica Simion, "비교차 파티션", 이산 수학, 217권, 숫자 1-3, 페이지 367–409, 2000년 4월.
• 롤랜드 스피처, "자유 확률 및 비교차 파티션", 세미나레 로트하링엔 드 콤비나토이어, B39c(1997), 38페이지, 1997년