랜덤 매트릭스

확률론과 수리 물리학에서, 랜덤 행렬은 행렬 값 랜덤 변수이다. 즉, 일부 또는 모든 요소가 랜덤 변수인 행렬이다.물리 시스템의 많은 중요한 특성은 수학적으로 행렬 문제로 표현될 수 있습니다.예를 들어 격자 내의 입자-입자 상호작용의 동적 행렬로부터 격자의 열전도율을 계산할 수 있다.

적용들

물리

핵물리학에서, 유진 위그너는 무거운 ^[1]원자의 핵을 모형화하기 위해 무작위 행렬을 도입했다.그는 무거운 원자핵의 스펙트럼에서 선 사이의 간격이 랜덤 매트릭스의 고유값 사이의 간격과 유사해야 하며, 기초 ^[2]진화의 대칭 등급에만 의존해야 한다고 가정했다.고체물리학에서 랜덤행렬은 평균장 근사에서 무질서한 해밀턴인의 행동을 모델링한다.

양자 혼돈에서, BGS(Boigas-Giannoni-Schmit) 추측은 고전적인 상대방이 혼돈한 행동을 보이는 양자 시스템의 스펙트럼 통계는 무작위 행렬 ^[3]이론에 의해 설명된다고 주장한다.

양자 광학에서 랜덤 유니터리 행렬에 의해 기술된 변환은 고전적인 계산보다 양자의 장점을 입증하는 데 중요하다(예: 보손 샘플링 ^[4]모델 참조).게다가 이러한 랜덤 유니터리 변환은, 그러한 파라메타를 광회로 컴퍼넌트(빔 스플리터 및 위상 시프터)^[5]에 매핑 하는 것으로, 광회로에 직접 실장할 수 있다.

랜덤 매트릭스 이론은 또한 양자 색역학,^[6] 2차원 ^[7]양자 중력, 메소스코프 물리학,^[8] 스핀 전달 토크,^[9] 분수 양자 홀 효과,^[10] 앤더슨 국재화,^[11] 양자 ^[12]도트, 초전도체^[13] 등에서 키랄 디락 연산자에 대한 응용을 찾아냈다.

수리 통계 및 수치 분석

다변량 통계에서 랜덤 행렬은 큰 표본의 ^[14]통계 분석을 위해 John Wishart에 의해 도입되었습니다. 공분산 행렬의 추정을 참조하십시오.

고전적 스칼라 체르노프, 번스타인 및 호핑 부등식을 랜덤 에르미트 ^[15]행렬의 유한합 중 가장 큰 고유값으로 확장하는 유의한 결과가 나타났다.직사각형 행렬의 최대 특이값에 대한 결과 결과가 도출됩니다.

수치 분석에서 랜덤 행렬은 존 폰 노이만과 헤르만 골드스틴의^[16] 연구 이후 행렬 곱셈과 같은 연산에서 계산 오류를 설명하기 위해 사용되어 왔다.최신 결과에 대해서는, 을 참조해^[17]^[18] 주세요.

수론

수론에서, 리만 제타 함수(및 다른 L-함수)의 0 분포는 특정 랜덤 ^[19]행렬의 고유값 분포에 의해 모델링된다.그 연관성은 휴 몽고메리와 프리먼 다이슨에 의해 처음 발견되었다.힐베르트-에 연결되어 있습니다.풀랴 추측

이론신경과학

이론적인 신경과학 분야에서, 무작위 매트릭스는 뇌의 뉴런들 사이의 시냅스 연결 네트워크를 모델링하기 위해 점점 더 많이 사용되고 있다.무작위 연결 매트릭스를 가진 신경 네트워크의 동적 모델은 시냅스 가중치의 분산이 무한 시스템 크기의 한계에서 임계값을 넘을 때 카오스로의 위상^[20] 전이를 나타내는 것으로 나타났다.생물학적으로 영감을 받은 랜덤 매트릭스 모델의 스펙트럼의 통계적 특성을 무작위로 연결된 신경망의 동적 거동에 관련짓는 것은 집중적인 연구 ^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]주제이다.

최적의 제어

최적 제어 이론에서 시간 경과에 따른 n개 상태 변수의 진화는 항상 자체 값과 k개 제어 변수의 값에 따라 달라집니다.선형 진화의 경우 계수 행렬이 상태 방정식(진화의 등식)에 나타납니다.일부 문제에서는 이러한 행렬의 매개변수 값을 확실하게 알 수 없으며, 이 경우 상태 방정식에 랜덤 행렬이 있으며 이 문제는 확률적 ^[26]^{: ch. 13}^[27]^[28]제어의 하나로 알려져 있다.확률 행렬을 사용한 선형 2차 제어의 경우, 핵심 결과는 확실성 등가성 원칙이 적용되지 않는다는 것이다. 승수 불확실성이 없는 경우(즉, 첨가적 불확실성만 있는 경우), 2차 손실 함수와 함께 최적의 정책은 불확실성이 무시될 경우 결정되는 것과 일치한다.상태 방정식에 랜덤 계수가 있는 경우 더 이상 유지되지 않습니다.

가우스 앙상블

가장 많이 연구된 랜덤 매트릭스 앙상블은 가우스 앙상블이다.

가우스 유니터리 ${\text{GUE}}(n)$ GUE ( ${\text{GUE}}(n)$ $)\displaystyle\text{$ $GUE}}(n)}$ 은 ${\text{GUE}}(n)$ 밀도와 함께 가우스 측정으로 기술된다.

{1}{Z_{\text}GUE}}(n)}}} e^{-{\frac {n}{2}}\mathrm {tr} H^{2}

$n\times n$ × $n\times n$ (\ $displaystyle$ $n\times$ n) 에르미트 $n\times n$ $H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}$ $=$ ( $H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}$ ) $H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}$ , $H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}$ $H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}$ n ( $H_{ij}_{i,j=1}^{$ n $H=(H_{ij})_{i,j=1}^{n}$ . $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ 서 Z $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ ( n ) $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ / $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ 、 $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ n $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ 、 $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ \ $text$ { $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ } $GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi^{\frac {1}{2}}n^{$ 2}}은 $Z_{{\text{GUE}}(n)}=2^{n/2}\pi ^{{\frac {1}{2}}n^{2}}$ 밀도의 적분이 1이 되도록 선택되는 정규화 상수이다.유니터리라는 용어는 분포가 유니터리 활용 하에서 불변하다는 사실을 말한다.가우스 유니터리 앙상블은 시간-역대칭이 결여된 해밀턴을 모델링합니다.

가우스 직교 ${\text{GOE}}(n)$ GOE ${\text{GOE}}(n)$ ( ${\text{GOE}}(n)$ $)\displaystyle\text{$ $GOE}}(n)}$ 은 ${\text{GOE}}(n)$ 밀도의 가우스 측정으로 설명됩니다.

{1}{Z_{\text}GOE}}(n)}}}} e^{-{\frac {n}{4}}\mathrm {tr} H^{2}}

n × n 실제 대칭행렬 H = (ⁿ
_i,j=1H)의_ij 공간에서.그 분포는 직교 켤레 하에서는 불변하며, 시간-역대칭으로 해밀턴을 모형화한다.

가우스 심플렉틱 ${\text{GSE}}(n)$ GSE ${\text{GSE}}(n)$ $)\displaystyle\text{$ $GSE}}(n)}$ 은 ${\text{GSE}}(n)$ 밀도와 함께 가우스 측정으로 기술된다.

{1}{Z_{\text}GSE}}(n)}}}} e^{-n\mathrm {tr} H^{2}},

n × n 에르미트 4원소 행렬의 공간, 예를 들어 4원소 행렬로 구성된 대칭 정사각형 행렬, H = (ⁿ
_i,j=1H_ij)그것의 분포는 심플렉틱 그룹에 의한 결합 하에서는 불변하며, 그것은 시간-역대칭으로 해밀턴을 모델링하지만 회전대칭은 없다.

가우스 앙상블 GOE, GUE 및 GSE는 종종 다이슨 지수, GOE의 경우 β = 1, GUE의 경우 β = 2, GSE의 경우 β = 4로 표시된다.이 인덱스는 행렬 요소당 실제 성분 수를 계산합니다.여기서 정의한 앙상블은 평균 "H_ij" = 0의 가우스 분포 행렬 요소와 다음과 같은 2점 상관 관계를 가진다.

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

m n

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

∗

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

i j H

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

m

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

=

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

j

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

n m

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

1

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

i

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

j n

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

+

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

-

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

n

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

i

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

j m

\langle H_{ij}H_{mn}^{*}\rangle =\langle H_{ij}H_{nm}\rangle ={\frac {1}{n}}\delta _{im}\delta _{jn}+{\frac {2-\beta }{n\beta }}\delta _{in}\delta _{jm}

j m j j m \

displaystyle H_{ij}H_

{mn

}^{*}\rangle

= \ langle

H_nmnm

}

모든 상위 상관관계는 이설리스의 정리에 따른다.

GUE/GOE/GSE의 고유값 δ₁₂, δ_n, ..."에 대한 공동 확률 밀도는 다음과 같다.

{\frac {1}{\beta,n}}\displaystyle _{k=1}^{n}e^{-{\frac}{4}\displayda _{j}-\displayda _{j}-\displayda _{i}~{n}{n}{n}\displaystycright } {n

여기서_β,n Z는 명시적으로 계산할 수 있는 정규화 상수이다. Selberg 적분을 참조한다.GUE(β = 2)의 경우, 공식 (1)은 결정점 과정을 나타낸다.고유값 ability $\lambda _{j}=\lambda _{i}$ $\lambda _{j}=\lambda _{i}$ $\lambda _{j}=\lambda _{i}$ i { \ $displaystyle \ displayda$ $_$ { j } = \ displayda _ { $i$ = \ $displayda$ _ { $\beta$ }} \ prob prob prob density density density density density density density density density {\ density density {\ density {\ {\ $\beta$ {\ {\ densityability has has has {\ {\ {\ ${\$ {\abilityabilityabilityabilityabilityability {\ {\

유한 차원의 GOE, GUE 및 Wishart 행렬에 대한 최대 고유값 분포는 를 참조하십시오.^[29]

수평 간격 분포

eigenvalues의 배열하는 것부터 λ 1<>…<>λ n<>λ n+1<>쭉 펼쳐져{\displaystyle \lambda_{1}<, \ldots <, \lambda _{n}<, \lambda _{n+1}<, \ldots}, 하난 정규화된 스페이싱 s)(λ n+1−λ n)/s⟨ ⟩{\displaystyle s=(\lambda_{n+1}-\lambda_{n})/\langle s\rangle}, ⟨을 정의합니다. s⟩)⟨λ n+1− λ $\langle s\rangle =\langle \lambda _{n+1}-\lambda _{n}\rangle$ s $\rangle =\displayle \displayda$ _ ${n+1}-\displayda$ _{ $n}\rangle }$ 는 $\langle s \rangle =\langle \lambda_{n+1} - \lambda_n \rangle$ 평균 간격입니다.간격의 확률 분포는 대략 다음과 같다.

p_{1}(s)=black {pi}{2}s,\mathrm {e}^{-{\frac {pi}{4}}s^{2}

직교 앙상블 $\beta =1$ β $\beta =1$ {\ $displaystyle$ \ $displaystyle =1$ 의 경우,

p_{2}(s)=sypfrac {32}{\pi ^{2}}s^{2}\mathrm {e}^{-{\frac {4}{\pi }}s^{2}}

유니터리 앙상블 $\beta =2$ $\beta =2$ $=$ 2 {\ $displaystyle$ \displaystyle $=2$ }의 $\beta =2$ 경우

p_{4}(s)=parcfrac {2^{18}{3^{6}\pi^{3}}s^{4}\mathrm {e}^{-{\frac {64}{9\pi }}s^{2}

심플렉틱 앙상블 $\beta =4$ β $\beta =4$ {\ $displaystyle$ \ $displaystyle = 4$ 의 경우.

$p_{\beta }(s)$ 상수는 p $p_{\beta }(s)$ ( $p_{\beta }(s)$ s $p_{\beta }(s)$ ) { $displaystyle p_{\beta }(s)}$ 가 $p_\beta(s)$ 정규화되도록 $p_{\beta }(s)$ .

\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds,p_{\displays}(s)=1}

그리고 평균 간격은

\displaystyle \int _{0}^{\infty }ds,s,p_{\display}(s)=1,}

$\beta =1,2,4$ $=$ , $\beta =1,2,4$ 2, $\beta =1,2,4$ 의 $({style$ \ $display$ \ $display =$ 1, 2, $\beta =1,2,4$ 4 $\beta =1,2,4$

일반화

위그너 행렬은 랜덤 에르미트 $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ n $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ ( $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ ( $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ , $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ ) $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ i , $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ ( \ $displaystyle \textstyle$ H_ ${n$ } = ( $H_{n}(i,j)_{i,j=1}^$ n $\textstyle H_{n}=(H_{n}(i,j))_{i,j=1}^{n}$ })입니다.

\displaystyle \left\{H_{n}(i,j)~,1\leq i\leq j\leq n\right\}

주 대각선 위는 평균이 0인 독립 랜덤 변수이며 두 번째 모멘트가 동일합니다.

불변 행렬 앙상블은 실제 대칭/허미트 행렬 $\textstyle {\frac {1}{Z_{n}}}e^{-n\mathrm {tr} V(H)}~,$ 4차 에르미트 행렬의 공간에 밀도를 갖는 랜덤 에르미트 행렬이며 $,$ $여기$ 서 \ $\frac {1}{n}}e^{-n\mathrm {tr} V$ 는 $\textstyle \frac{1}{Z_n} e^{- n \mathrm{tr} V(H)}~,$ 다음과 같다.

가우스 앙상블은 이 두 종류의 랜덤 행렬의 유일한 공통적인 특수한 경우이다.

랜덤 행렬의 스펙트럼 이론

랜덤 행렬의 스펙트럼 이론은 행렬의 크기가 무한대로 될 때 고유값의 분포를 연구합니다.

글로벌 체제

글로벌 체제에서는 $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$ $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$ $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$ $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$ - $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$ $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$ ( $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$ H $N_{f,H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H)$ ) \ $displaystyle N_{f,$ $H}=n^{-1}{\text{tr}}f(H$

경험적 스펙트럼 측정

H의 경험적 스펙트럼 측정_H μ는 다음과 같이 정의된다.

{\displaystyle \mu _{H}(A)=subfrac {1}{n},\#\left\{\text{in}}A\right\}=N_{1_{A},H},\quad A\subset \mathbb {R}}}.

통상적으로 $\mu _{H}$ H $({$ 의 $\mu_{H}$ 한계는 결정론적 측정값이며, 이는 자기 평균화의 특별한 경우이다.한계값의 누적분포함수는 상태의 적분밀도라고 불리며 N(λ)으로 표기된다.상태의 통합 밀도가 미분 가능한 경우, 그 도함수는 상태 밀도라고 불리며 θ(θ)로 표시된다.

위그너 행렬에 대한 경험적 스펙트럼 측정의 한계는 유진 위그너에 의해 설명되었습니다. 위그너 반원 분포와 위그너 추측을 참조하십시오.표본 공분산 행렬에 관한 한, 이론은 마르첸코와 ^[30]^[31]파스투르에 의해 개발되었다.

불변 행렬 앙상블의 경험적 스펙트럼 측정의 한계는 전위 ^[32]이론에서 발생하는 특정 적분 방정식에 의해 설명된다.

변동

선형 통계량_f,H N = n⁻¹ δ f(f)의_j 경우, δ f(f) dN(f)에 대한 변동에도 관심이 있다.랜덤 행렬의 많은 클래스에 대해 형식의 중심 한계 정리

{N_{f,H}-\int f(\lambda),dN(\lambda)}{\sigma _{f,n}}{\overset {D}{\longrightarrow }}}N(0,1)

이미 알고 있다,^[33]^[34] 를 참조해 주세요.

지방 정권

국소정권에서는 고유값 사이의 간격과 보다 일반적으로 순서 1/n의 길이 간격에서의 고유값의 공동분포에 관심이 있다.하나는 한계 스펙트럼 측정의 지지대 내부 간격과 관련된 벌크 통계와 지지대 경계 부근 간격과 관련된 에지 통계 사이를 구분한다.

벌크 통계

$N(\lambda )$ 으로 N $N(\lambda )$ ( $N(\lambda )$ $){$ $displaystyle$ N ( \ $lambda$ )의 $N(\lambda )$ 내부에 0 $\lambda _{0}$ ( \ $displaystyle$ \ $lambda$ _ { $0$ } )를 $\lambda _{0}$ 수정합니다 $N(\lambda )$ 다음으로 포인트 프로세스를 고려합니다.

\displaystyle \Xi(\displayda _{0})=\sum _{j}\cdot }-n\rho(\displayda _{0})(\displayda _{j}-\cdot _{0}){\big},}

$\lambda _{j}$ 서 § $\lambda _{j}$ j \ $displaystyle \displayda$ _ ${j}$ 는 $\lambda _{j}$ 랜덤 매트릭스의 고유값입니다.

요점 과정(λ 0){\displaystyle \Xi(\lambda_{0})}Ξ}. 정규적인 내용은Ξ(λ 0){\displaystyle \Xi(\lambda_{0})}의 한계 잘 알려 져 있다, 따라서, GUE을 위해determinantal 점 절차 eigenvalues의 λ 0{\displaystyle \lambda_{0}의 근접 거리의 통계적 속성[2]을 포착하고 있다.ws알맹이를 씹다

K(x,y)=frac {\sin \pi (x-y)}{\pi (x-y)}

(사인 커널).

보편성 원칙에서는 n $n\to \infty$ n ${\$ \ $display style$ n \ $to$ \ $infty }$ $n\to \infty$ $\Xi (\lambda _{0})$ （ \ $displaystyle$ \ $Xi$ ( \ $displayda _$ 0 $)$ 의 $\Xi (\lambda _{0})$ 은 $\Xi(\lambda_0)$ 랜덤 매트릭스의 대칭 클래스에만 의존해야 합니다(및 랜덤 매트릭스의 특정 모델에도 $\lambda _{0}$ 하지 않습니다 $).$ 이것은 불변 행렬 앙상블의 ^[35]^[36]경우, 위그너 ^[37]^[38]행렬의 경우 등 랜덤 행렬의 여러 모델에 대해 엄격하게 증명되었다.

에지 통계

「Tracy-Widom 분포」를 참조해 주세요.

상관 함수

$n\times n$ × $n\times n$ n $n\times n$ (\ $displaystyle n\times$ n) 랜덤 $n\times n$ 에르미트 $M\in \mathbf {H} ^{n\times n}$ M $M\in \mathbf {H} ^{n\times n}$ $M\in \mathbf {H} ^{n\times n}$ n × $M\in \mathbf {H} ^{n\times n}$ (\ $displaystyle$ M $\in \mathbf {H} ^{n\times$ n $M\in \mathbf {H} ^{n\times n}$ 의 고유값의 결합 확률 밀도, 형식의 분할 함수

\displaystyle Z_{n}=\int _{M\in\mathbf {H}^{n\times n}}}d\mu _{0}(M)e^{\text{tr}}(V(M)}}}}}

어디에

V(x):=\sum _{j=1}^{\infty}v_{j}x^{j

$d\mu _{0}(M)$ $d\mu _{0}(M)$ 0 ( $d\mu _{0}(M)$ $){displaystyle$ d $\mu$ _ ${0}(M)$ 은 $d\mu _{0}(M)$ $n\times n$ n $n\times n$ × $n\times n$ $행렬$ 의 $n\times n$ $\mathbf {H} ^{n\times n}$ $\mathbf {H} ^{n\times n}$ × $(\$ $displaystyle$ $\mathbf {H} ^{$ $n\times$ n $\mathbf {H} ^{n\times n}$ })에 대한 표준 르베그 측도입니다.

p_{n,V}(x_{1},\dots,x_{n})=block {1}{Z_{n,V}}\prod _{i}(x_{i}-x_{j})^{-\sum _i}V(x_{i})^{-\sum

$k$ \ $display style$ k - 포인트 $k$ 상관 함수(또는 한계 분포)는 다음과 같이 정의됩니다.

R_{n,V}^{(k)}(x_{1},\dots,x_{k}=black {n!}{(n-k)!}}\int _{\mathbf {R} }dx_{k+1}\dots \int _{\mathbb {R} }dx_{n},p_{n}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),

변수의 왜곡 대칭 함수입니다.특히, 원포인트 상관 함수, 즉 상태의 밀도는

R_{n,V}^{(1)=n\int _{\mathbb {R}set_{2}\int _{\mathbbf {R}}dx_{n},p_{n}(x_1},x_{2},\dots,{n})

Borel $B\subset \mathbf {R}$ B $B\subset \mathbf {R}$ R {\ $displaystyle$ B $\subset \mathbf {R}$ 에 $B\subset \mathbf {R}$ 대한 적분은B {\ $displaystyle$ B $B$ 에 $B$ 된 예상 고유값 수를 제공합니다.

\int _{n,V}^{(1)}(x)dx=\mathbf {E} \left(\#\{\text{}B\}\오른쪽).

다음 결과는 이러한 상관 함수를 상관기 내에 나타나는 점의 쌍 $x$ i $(x_{i},x_{j})$ $(x_{i},x_{j})$ j $(x_{i},x_{j})$ ) {displaystyle $(x_{i},x_{$ j})에서 $(x_{i},x_{j})$ 적절한 적분 커널을 평가하여 형성된 행렬의 결정 요소로 나타냅니다.

정리 [Dyson-Mehta] k{\ $displaystyle$ k $k$ $1\leq k\leq n$ n ${\displaystyle$ 1 $\leq$ k $\$ $leq$ n $}$ 에 $1\leq k\leq n$ 대해 k $R_{n,V}^{(k)}$ ${$ $displaystyle R_{n,V}^{(k)}$ 의 $k$ $R_{n,V}^{(k)}$ 점 상관함수로서 $R_{n,V}^{(k)}$ 수 있다.

{\displaystyle R_{n,V}^{(k)}(x_{1},x_{2},\dots,x_{k}=\det_{1\leq i,j\leq k}\left(K_{n,V}(x_{i},x_{j}\right),

$K_{n,V}(x,y)$ 서 K $K_{n,V}(x,y)$ n , $K_{n,V}(x,y)$ ( $K_{n,V}(x,y)$ , $K_{n,V}(x,y)$ )({ $displaystyle$ $K_{n$ $,$ $V}(x$ $n$ $,y)}$ 는 $K_{n,V}(x,y)$ $n번째$ Christofel-Darboux 커널입니다.

K_{n,V}(x,y):=\sum _{k=0}^{n-1}\psi _{k}(x)\psi _{k}(y),

준다중칭으로 작성된 V{\ $displaystyle$ V $V$ 와 관련됨

{\displaystyle \psi _{k}(x)={1\over{h_{k}}},p_{k}(z),{\rm {e}}^{-{1 \over2}V(z)}},

$\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ 서 $\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ { $\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ k ( $\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ ) $\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ } $\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ N {\ $displaystyle$ \{ $p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N}}}$ 은 $\{p_{k}(x)\}_{k\in \mathbf {N} }$ 직교 조건을 만족시키는 단일 다항식의 완전한 수열이다.

\int _{\mathbf {R}}\psi _{j}(x)\psi _{k}(x)si =\displaystyle _{jk}.

랜덤 행렬의 다른 클래스 행렬

위샤트 행렬

위샤트 행렬은 H = X X^* 형식의 n × n 랜덤 행렬이며, 여기서 X는 독립 엔트리를 갖는 n × m 랜덤 행렬(m n n)이고^*, X는 그 켤레 전치이다.Wishart에 의해 고려된 중요한 특수한 경우, X의 항목은 동일하게 분포된 가우스 랜덤 변수(실제 또는 복합)이다.

위샤트 행렬의 경험적 스펙트럼 측정의 한계는 블라디미르 마르첸코와 레오니드 파스투르에 의해 발견되었다^[30](마르첸코-파스투르 분포 참조).

랜덤 유니터리 행렬

원형 앙상블 참조.

비헤르미트 랜덤 행렬

순환법칙 참조.

레퍼런스 가이드

랜덤 매트릭스 ^[2]^[39]^[40]이론에 관한 서적:
랜덤 매트릭스 ^[17]^[31]^[41]^[42]^[43]이론에 대한 조사 기사:
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