변이 미적분학

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미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합이다. 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

변동의 미적분은 함수 및 함수에서 작은 변화인 변동을 사용하여 함수 집합에서 실제 숫자로의 매핑인 함수의 최대값과 최소값을 찾는 수학적 분석의 분야다.^[a]기능성은 종종 기능과 그 파생상품을 포함하는 명확한 통합으로 표현된다.함수를 최대화하거나 최소화하는 함수는 변동 미적분학의 오일러-래그랑주 방정식을 사용하여 찾을 수 있다.

그러한 문제의 간단한 예는 두 점을 연결하는 최단 길이의 곡선을 찾는 것이다.제약이 없다면, 해법은 점들 사이에 직선이다.그러나 곡선이 우주 표면 위에 놓일 수 밖에 없다면, 해결책은 덜 분명하며, 아마도 많은 해결책이 존재할 수 있다.그러한 해결책은 지질학이라고 알려져 있다.관련 문제는 페르마의 원리에 의해 제기된다: 빛은 광학 길이가 매체의 재료에 따라 달라지는 두 지점을 연결하는 최단 광학 길이의 경로를 따른다.역학에서 해당하는 개념 중 하나는 최소/정지 작용의 원리다.

많은 중요한 문제들은 여러 변수의 기능을 포함한다.라플라스 방정식에 대한 경계 값 문제의 해법은 디리클레의 원칙을 만족시킨다.고원의 문제는 주어진 공간에 걸쳐 있는 최소 면적의 표면을 찾아야 한다: 해결책은 종종 비누 거품 용액에 프레임을 담그면 찾을 수 있다.그러한 실험은 비교적 수행하기가 쉽지만, 수학적 해석은 결코 간단하지 않다: 국소적으로 최소화하는 표면이 둘 이상 있을 수 있고, 비주상 위상이 있을 수 있다.

역사

변동의 미적분학은 1687년 뉴턴의 최소 저항 문제부터 시작한다고 할 수 있고, 요한 베르누이(1696년)가 제기한 브라키스토크론 곡선 문제부터라고 할 수 있다.^[2]즉시 야코프 베르누이와 후작 드 르흐피탈의 주의를 끌었으나, 레온하르트 오일러는 우선 1733년부터 시작하여 이 주제를 상세히 기술했다.라그랑주는 오일러의 업적에 영향을 받아 이론에 크게 기여했다.오일러가 19세의 라그랑주의 1755년 작품을 본 후, 오일러는 자신의 부분적인 기하학적 접근법을 라그랑이의 순수 분석적 접근법에 찬성하는 쪽으로 버리고, 주제를 1756년 강의 'Elementa Calculi Differenceum'에서 변형의 미적분학으로 개칭했다.^[3][4][1]

레전드르(1786)는 맥시마와 미니마의 차별을 위해 완전히 만족스럽지는 않은 방법을 내려놓았다.아이작 뉴턴과 고트프리드 라이프니즈도 이 주제에 대해 일찌감치 관심을 보였다.^[5]이러한 차별에 빈첸초 브루나치(1810년), 칼 프리드리히 가우스(1829년), 시메온 푸아송(1831년), 미하일 오스트로그라스키(1834년), 칼 자코비(1837년) 등이 공헌자 중 한 명이었다.중요한 일반 저작은 카우치(1844년)가 응축·개선한 사루스(1842)의 저작이다.그 밖에 스트라우치(1849년), 젤렛트(1850년), 오토 헤세(1857년), 알프레드 클레브슈(1858년), 칼(1885년)에 의해 귀중한 서간과 회고록이 저술되었지만 아마도 세기의 가장 중요한 작품은 바이에르스트라스의 저술일 것이다.그 이론에 대한 그의 유명한 강좌는 획기적이었고, 그가 그것을 확고하고 의심의 여지가 없는 기초 위에 올려놓은 첫 번째 사람이었다고 주장할 수도 있다.1900년에 발표된 20대 힐베르트 문제와 23대 힐베르트 문제는 더 이상의 발전을 촉진시켰다.^[5]

20세기에는 데이비드 힐베르트, 오스카 볼자, 길버트 아메스 블리스, 에미 노에더, 레오니다 토넬리, 앙리 르베그, 자크 하다마드 등이 상당한 공헌을 했다.^[5]Marston Morse는 현재 Morse 이론이라고 불리는 것에 변형의 미적분학을 적용했다.^[6]레프 폰트랴긴, 랄프 로카펠라, F.H. 클라크는 최적 제어 이론의 변화 미적분학을 위한 새로운 수학 도구를 개발했다.^[6]리처드 벨먼의 역동적인 프로그래밍은 변동의 미적분학의 대안이다.^[7][8][9][b]

아르테마

변동의 미적분은 함수들의 최대치 또는 최소치(집합적으로 극단이라고 함)와 관련이 있다.기능 맵은 스칼라에 기능하므로, 기능 맵은 "기능의 기능"으로 설명되어 왔다.함수에는 주어진 도메인에 걸쳐 정의된 주어진 함수 공간의 $요소{\displaystyle }$y {\$displaystyle$ y$}$에 대한 극단값이 있다.대한 기능적 J){J[y]\displaystyle}은 함수 f에서 extremum{\displaystyle f}만약Δ J)J[y]− J[f]{\displaystyle \Delta J=J[y]-J[f]}모두 어두워져서{이\displaystyle}에 f의 임의의 작은 동네의 같은 간판을 가진다.{\displaystyle f다고 한다}이 함수 f{\displayst[c].$yle f}$은(는) 극한함수 또는 극한함수라고 불린다$$.^[d]극단 $J{\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle J$$[$${\displaystyle \mathrm{f}}$$]}$은${\displaystyle (}$는) $임의$의 작은$$동네인 f , {\$displaystyle$ $f$$,}$의 모든 $곳$에 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle J}$$≤ display$0 {\$delta J$$\leq$ 0$}$이(는$$) 있을 경우 로컬 최소값으로 불린다$$.연속함수의 기능공간에 대해서는 연속함수의 첫 번째 파생상품이 모두 연속적인지 아닌지에 따라 해당함수의 극단성을 강한 극단 또는 약한 극단이라고 한다.^[11]

강도와 약함수 모두 연속함수의 공간을 위한 것이지만 강함수는 공간 내 함수의 첫 번째 파생형이 연속적이어야 한다는 추가 요건을 가지고 있다.따라서 강한 극단도 약한 극단이지만, 그 반대도 버티지 못할 수 있다.강한 극단성을 찾는 것은 약한 극단성을 찾는 것보다 더 어렵다.^[12]약한 극단성을 찾는 데 필요한 조건의 예는 오일러-라그랑주 방정식이다.^[13][e]

오일러-라그랑주 방정식

함수들의 극단점을 찾는 것은 함수의 최대치와 최소점을 찾는 것과 비슷하다.함수의 최대값과 최소값은 파생상품이 소멸되는 지점(즉, 0과 같음)을 찾아 위치할 수 있다.기능적 파생상품이 0인 함수를 찾아 기능적 극단값을 구할 수 있다.이것은 관련된 오일러-라그랑주 방정식을 해결하도록 이끈다.^[f]

기능 고려

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}^{x_{2}}L\왼쪽(x,y(x),y^{prime }}(x)\,dx\,x\,}$

, where

${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}은$$ 상수,

${\displaystyle y}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle y(x)}$은(는) 연속적으로 두 번 다를 수 있지만

${\displaystyle y^{\premy }(x)={\frac {dy}{dx},}$

${\displaystyle L}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, y ( x${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$,$$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ( x${\displaystyle }$) {\$displaystyle L\left(x,y(x),$y^{\$prime }}\$$primate$ }}}은$($는) x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaysty x,y,$ y, y, $and$ y ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$에 $대해{\displaystyle {}^{}}$ 연속적으로 두 배 차이가 있다$. {\displaystate$ }

기능 $J{\displaystyle }$[ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle J[y]}$이(가) $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle f,}$ 및 $\eta {\displaystyle (x}$) ${\displaystyle \eta(x)}$에서 로컬 최소값을 얻는$$ 경우, 임의의 함수로서$$ $엔드포인트{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1$${\$displaystystyle x_{1}$및$$ $2$ , ${\displaysty_{2$}에서 사라진다$$$.$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ 0에 근접$$,

$J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,}$

$\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \varipsilon \eta$}이라는 용어는 $함수{\displaystyle }$f {\$displaystyle f}$의 변화라고 하며$$$$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$. ${\displaystyle \delta f$로 표시된다$.$$}$^[1][g]

$기능{\displaystyle }$ $J{\displaystyle }$[ [ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle J[y],}$에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$에 $대해{\displaystyle }$ f +$$ ${\displaystyle \epsilon }${\$displaystyle \varepsilon$ }을(를) 대체하면 $결과는$substit$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle \varepsilon ,}$의 함수인 것이다.

$Phi(\barpsilon )=J[f+\barpsilon \eta ]\,}$

함수 $J{\displaystyle }$[ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle J[y]}$에 $대한{\displaystyle }$ 최소값이 ${\displaystyle \mathrm{y<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; J[y]\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/56de74c2aef9dcd4fdf1f824e419586cf97bb580"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:3.921ex;\; height:2.843ex;">}}$= f ${\displaystyle y=f}$이므로 함수$$function($$는 $\epsilon {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle \Phi(\varepsilon$ )이므로$$$$ \^[h]$displaysty \varepsilon =0}$이다.

$Phi ^{\premy }(0)\equiv \왼쪽.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right _{\barepsilon =0}=\int _{x_}^{x_{2}}\왼쪽.{\frac {dL}{d\varepsilon }}}\오른쪽 _{\varepsilon =0}dx=0\,}$

Taking the total derivative of ${\displaystyle L\left[x,y,y^{\prime }\right],}$ where ${\displaystyle y=f+\varepsilon \eta }$ and ${\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }+\varepsilon \eta ^{\prime }}$ are considered as functions of ${\displaystyle \varepsi$$x$ , ${\$displaystyle $x,}$이(가) 아닌 $lon }$ 수익률$$

${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y^{\prime }}}{\frac {dy^{\prime }}{d\varepsilon }}}$

그리고$$ d ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\epsilon }{}}$= ${\displaystyle \eta }$ = ${\fractyle {d}{d\varepsilon$}}=\$eta$} 및 d ${\displaystyle \frac{{}^{\mathrm{}}}{}}$ d ${\displaystyle \frac{\epsilon }{}}$ =${\displaystyle \frac{}{}{}^{}}$ = η${\displaystyle {}^{}}$ ${\dy^{\prime}}{d\varepsilon}}=\eta ^{\prempreme}}}},}}}}$

${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon}}={\frac {\partial L}{\partial y}\eta +{\partial y^{\premium }}{\partial y^{\premium }}}}}}}}$

그러므로

${\displaystyle {\regated}\int_{x_{1}^{x_{2}}\왼쪽.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right _{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f^{\prime }}}\eta ^{\prime }\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f^{\prime }}}\eta \right _{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f^{\prime }}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f^{\prime }}}\right)\,dx\\\end{aligned}}}$

여기서$$ $L{\displaystyle }$[ ${\displaystyle x,}$ y${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$$$${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle L}$[ ${\displaystyle x,}$ f${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $[\$,y$^{\prime }\right]\to L\prete[x$$,$$f,f$,f$^{\$$premium }\rimeight]$에 = = $0$이며${\displaystyle ,}$ 우리는$$ 부분별로 통합을 사용했다.${\displaystyle {line\mathrm{}}_{}}$ = 0 {\$displaystyle \$ =$0}$ x 1 {\displaystyle $x_{1},$ $x$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}에서 $정의$하기 때문에 두 번째 줄의 두 번째 항은 사라진다${\displaystyle .}$또한 앞에서 말한 바와 같이 방정식의 왼쪽이 0이므로

${\displaystyle \int_{x_{1}^{x_{2}}\eta (x)\좌측({\frace{\partial f}-{d}{dx}}{\frace}{\partial l}{\f^{\primefl}\, dx=0\, 오른쪽)}$

편차 미적분학의 기본 보조정리법에 따르면, 괄호 안의 통합부분은 0, 즉, 0이다.

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}-{\frac {d}{dx}}{\partial f^{\prime }=0}$

오일러-라그랑주 방정식이라고 한다.이 방정식의 왼쪽을 $J{\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle J[f]}$의 기능적 파생이라고 하며$$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$ /${\displaystyle \Delta }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \delta J/\delta f(x$)로 나타낸다$.$$}$

일반적으로 이것은 극한함수 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle f(x$)를 얻기 위해 풀 수 있는 2차 일반 미분 방정식을 제공한다$.$$}$ 오일러-라그랑주 방정식은 극단$$ $J{\displaystyle }$[ [ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle J[f]$에 필요한 조건이지만 충분하지는 않다.$}$ 최소값을 위한 충분한$$ 조건이 변동 섹션에 제시되어 있으며, 최소값을 위한 충분한 조건이 제시되어 있다.

예

In order to illustrate this process, consider the problem of finding the extremal function ${\displaystyle y=f(x),}$ which is the shortest curve that connects two points ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ and ${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right).$$}$ 곡선의 호 길이는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}^{x_{2}}{\sqrt{1+[y^{\premium }(x)]^{2}}\,dx\}}}$

와 함께

${\displaystyle y\,^{\premium }(x)={\frac {dy}{dx}\\\ \ y_{1}=f(x_{1}}\ \ y_{2}=f(x_{2})\, \.}$

^[i]

이제 오일러-라그랑주 방정식을 사용하여 $기능{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$[ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle A[y]$를 최소화하는 극단$$ 함수 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ $){\displaystyle f(x)}$를 찾을 것이다.$}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}-{\frac {d}{dx}}{\partial f^{\prime }=0}$

와 함께

${\displaystyle L={\sqrt {1+[f^{\premy }(x)]^{2}}\,}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) $L{\displaystyle }$, ${\displaystyle L,}$에 명시적으로 나타나지 않으므로$$, 오일러-래그랑주 방정식의 첫$$ 번째 용어는 모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle f(x)}$에 대해 소멸되므로,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}{\frac {\partial L}{\partial f^{\prime }}=0\,}$

$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$을(를) 대체하고$$ 파생 모델을 가져가는 경우

${\displaystyle {\frac {d}{dx}\\frac {f^{\premy }(x)}{\sqrt {1+[f^{\premy }(x)]^{2}}\=0\,.}$

그러므로,

${\displaystyle {\f^{\premy }(x)}{\sqrt {1+[f^{\premy }}^{2}}=c\}}}}}}$

$어떤{\displaystyle }$ 상수 c${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ c$.}$ 그러면$$

${\displaystyle {\f^{\premy }(x)]^{1}{1+[f^{\premy }(x)]^{2}}=c^{2}\}}}$

어디에

${\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}$

해결, 우리는 얻는다.

${\displaystyle [f^{\premy }(x)]^{2}={\frac {c^{2}}:{1-c^{2}},}\,}$

라는 것을 암시한다.

${\displaystyle f^{\premy }(x)=m}$

상수이므로 두 점$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$y ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)$${\$displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)$을 연결하는 최단 곡선

${\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$

따라서 기능 A${\displaystyle [}y{\displaystyle }$ ${\displaystyle ]}$를 최소화하는$$ 극단$$ 함수 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle A[y]}$을(를) 발견하여 $A{\displaystyle }$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A[f]}$을(를) 최소화할$$ 수 있다.직선의 방정식은 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ y$=f(x$)이다$.$$}}$ 다시$$ 말해 두 점 사이의 최단 거리는 직선이다.^[j]

벨트라미의 정체

In physics problems it may be the case that ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0,}$ meaning the integrand is a function of ${\displaystyle f(x)}$ and ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ but ${\displaystyle x}$ does not appear separately.이 경우 오일러-라그랑주 방정식은 벨트라미 아이덴티티로^[16] 단순화할 수 있다.

${\displaystyle L-f^{\premy}{\frac {\partial L}{\partial f^{}}}}=C\...}$

$여기$서 C ${\displaystyle C}$은(는) 상수임.왼쪽은 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle f^{\prime }(x$)에 관한$$ L ${\displaystyle L}$의 Legendre 변환이다$.$$}$

이 결과의 이면에 있는 $직관$은$$변수 x {\$displaystyle x}$이(가$$) 실제 시간인 경우${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}\mathrm{statement}}$ ${\displaystyle \frac{L}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ x${\displaystyle \frac{}{}}$= 0 ${\displaystyle {\frac {\partial$ L$}{\partial x}=0}$라는 문장이 라그랑지안이 시간 독립적이라는 것을$$ 암시한다는 것이다.노에더의 정리로는 관련 보존량이 있다.이 경우 이 양은 라그랑지아의 레전드르 변형인 해밀턴식(Hamiltonian)으로, (흔히) 계통의 에너지와 일치한다.이것은 벨트라미의 정체성에 있는 상수다.

오일러-포아송 방정식

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) $y{\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$, ${\displaystyle y(x)$의 상위 계수에 의존하는$$ 경우, 즉$$,

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b(x,y(x),y^{\premium }(x), ...,y^{n(n)}(x)dx,}$

그러면 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ y$}$이(가) 오일러-포아송 방정식을 충족해야 한다$$.

${\displaystyle {\frac{\frac {d}-{\frac {d}}{dx}\left_frac{\premium y^{}}\오른쪽)++...+(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}\왼쪽[{\frac {\frac {\f}{\frac y^{(n)}}}\right]=0.}$^[17]

두보이스레이몬드의 정리

지금까지의 논의에서는 $적분{\displaystyle }$ J$[\displaystyle J}$의 존재는 시험 기능의 첫 번째 파생상품만 요구하지만$$, 극단적 기능이 두 개의 연속적인 파생상품을 갖는다고 가정했다.첫 번째 변동이 극단에서 사라지는 조건은 오일러-라그랑주 방정식의 약한 형태라고 볼 수 있다.두보이스레이몬드의 정리는 이 약한 형태가 강한 형태를 내포하고 있다고 단언한다.$L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) 모든 주장에 대해 연속적인 1차 및 2차 파생상품을 가지고 있는 경우 및

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}\neq 0,}$

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에는 두 개의 연속 파생 모델이 있으며, 오일러-래그랑주 방정식을 만족한다.

라브렌티예프 현상

힐베르트는 오일러-라그랑주 방정식이 고정적인 해결책을 주기 위해 좋은 조건을 제시한 최초의 사람이었다.볼록한 영역과 양의 세 배 다른 라그랑지안 내에서 해결책은 경계를 따라 가거나 내부의 오일러-라그랑주 방정식을 만족시키는 셀 수 있는 섹션 모음으로 구성된다.

그러나 1926년 라브렌티예프는 최적의 해결책은 없지만 임의로 구획수를 늘려 접근해 갈 수 있는 상황이 있음을 보여주었다.라브렌티예프 현상은 허용 가능한 기능의 서로 다른 종류에 걸쳐 최소화 문제의 최소화의 차이를 식별한다.예를 들어 1934년 마니아에 의해 제시된 다음과 같은 문제.^[18]

${\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},\,}$

${\displaystyle {A}=\{x\in W^1,1}(0,1):x(0)=0,\x(1)=1\}$

분명히 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= t ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle {3\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\$1}{$3}}}$ 기능은 최소화하지만$$, 어떤 함수 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {W\mathrm{}}^{}}$ 1,${\displaystyle {\mathrm{\infty }}^{}}$ ${\$은(으)는$$ 최소값에서 벗어난 값을 제공한다.

예로는(1차원에서)전통적으로 W1을 가로질러, 1{\displaystyle W^{1,1}}와 W1, ∞,{\displaystyle W^{1,\infty},}지만 볼과 Mizel[19]은 1와 W1Lavrentiev의 현상 W1을 가로질러, p{\displaystyle W^{1,p}}표시 q{\displaystyle W^{1, 기능을 획득했다 발견된다.q}}1≤<>;q<>∞.{1\leq p<\displaystyle, q<, \infty.}몇가지 결과는- 하지만 결과가 종종 특정한 예를'standard 성장에 대해 그 현상이 발생하지 않는 기준-'는 두번째 변수에 대한 의존도 또는approximating 순서(D)레드의 조건을 만족시키기에 라그랑 지안을 주고 있다.그리고 appl소수 직종의 직능에 적합하다.

라브렌티예프 현상과 연계된 것은 반발 속성이다: 라브렌티예프의 현상을 보여주는 모든 기능은 약한 반발 특성을 보여줄 것이다.^[20]

여러 변수의 함수

예를 들어, $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \varphi (x,y)}$이(가) $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,y}$ 평면에서$$ 도메인$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$ 위에 있는 막의 변위를 나타내는$$ 경우, 잠재적 에너지는 표면적에 비례한다.

${\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \nabla \}}varphi }}\cdx\,dy.}$

고원의 문제는 $[\displaystyle D}$의 경계에서 규정된 값을 가정하면서 표면적을 최소화하는 함수를 찾는 것으로 구성되어 있는데$,$ 그 해법은 최소 표면이라고 한다.이 문제에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 비선형이다.

${\displaystyle \varphi _{x}{x}^{2}+\varphi _{y}(1+\varphi _{x}^{2}-{x}\varphi _{x}\varphi _{x}\varphi _{x}=0.,},}$

자세한 내용은 Courant(1950)를 참조하십시오.

디리클레의 원리

종종 작은 막의 변위만을 고려하는 것으로 충분하며, 변위 없음으로부터의 에너지 차이가 다음과 같이 근사치된다.

${\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint_{D}\nabla \varphi \nabla \cdot \nabla \varphi \,dy.}$

기능 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) $D{\displaystyle .}$ ${\displaystyle D.}$ 경계에서 규정된 값을 가정하는$$ 모든 시험 함수 $among{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$ 중에서 최소화해야 한다$$$$. $u{\displaystyle }$ ${\displaystytle u}$이(가) 최소 함수이고 $voon$에서 사라지는 임의의 부드러운 함수인 경우$$$D$의 dary${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $D$$,}$ 그러면$$ $V{\displaystyle }$[${\displaystyle u}$ +$ε$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle ]}$의$$첫 $번째$ 변형이 사라져야$$ 함$:$

${\dfrac {d}{d\varepsilon v] _{\v[u+\varepsilon v] _{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dy=0.\,}$

u에 두 개의 파생상품이 있다면, 우리는 다양성 정리를 적용하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}$

where ${\displaystyle C}$ is the boundary of ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle s}$ is arclength along ${\displaystyle C}$ and ${\displaystyle \partial u/\partial n}$ is the normal derivative of ${\displaystyle u}$ on ${\displaystyle C.}$ Since ${\displaystyle v}$ vanis$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를) 사용하다가 첫 번째 변동이 사라지면

$\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0\,}$

$D{\displaystyle .}$ ${\displaystyle D.}$의 경계에서 사라지는 모든 매끄러운 기능에 대해 1차원 통합 사례에$$ 대한 증거를 이 사례에 적용하여 다음과 같은 것을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle }$$D{\displaystyle }$. ${\displaystyle D$의 ${\displaystyle \nabla }$ u${\displaystyle \mathrm{u}}$ = 0 ${\$$$$\nabla \cdot \nabla u=0\,}$$}$

이 추론의 어려움은 최소 함수 u는 두 개의 파생상품을 가지고 있어야 한다는 가정이다.리만은 물리적 문제와의 연결에 의해 매끄러운 최소화 기능의 존재가 보장되었다고 주장했다. 즉, 막은 실제로 최소한의 잠재적 에너지를 가진 구성을 가정한다.리만은 스승인 피터 구스타프 르주네 디리클레를 기리기 위해 이 사상을 디리클레 원리로 명명했다.그러나 Weierstrass는 해결책이 없는 변동 문제의 예를 제시했다.

${\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ^{\premy }^{2}\,dx\,})$

among all functions ${\displaystyle \varphi }$ that satisfy ${\displaystyle \varphi (-1)=-1}$ and ${\displaystyle \varphi (1)=1.}$ ${\displaystyle W}$ can be made arbitrarily small by choosing piecewise linear functions that make a transition between −1 and 1 in a small neighborhood of the origin. 그러나,${\displaystyle }W{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 0.}${\$displaystyle$W=$0.}$ 결국$$^[k] 디리클레트의 원리가 유효하다는 것이 증명되었지만 타원 부분 미분 방정식에 대해서는 정규성 이론의 정교한 적용이 필요하다. 조스트와 리-조스트(1998)를 참조한다.

기타 경계 값 문제에 대한 일반화

막의 잠재적 에너지에 대한 보다 일반적인 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}$

This corresponds to an external force density ${\displaystyle f(x,y)}$ in ${\displaystyle D,}$ an external force ${\displaystyle g(s)}$ on the boundary ${\displaystyle C,}$ and elastic forces with modulus ${\displaystyle \sigma (s)}$acting on ${\displaystyle C.}$ The functi경계 값에 대한 제한 없이 잠재적 에너지를 최소화하는 것에 대해. $u{\displaystyle }$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $u$$.}.$f ${\displaystyle$ g$}$과 g$$ ${\displaystyle$ g$}$이(가) 연속적인 경우$$$$, 규칙성 이론은 최소 함수 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가)는 두 개의 파생상품을 가질 것임을$$ 의미한다.첫 번째 변동을 취할 때, v${\displaystyle .}$ ${\displaystyle v.}$ $증분{\displaystyle }$ $v{\displaystyle }$${\displaystyle .}$ {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$의 첫 번째$$ 변동은 다음과 같다$$.

${\dsstyle \iint_{D}\왼쪽[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dx\,dx\,ddna ub+gv\right],ds=0.\,}$

다양성 정리를 적용하면 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle \iint_{D}\왼쪽[-v\nabla \cdot \nabla \nabla \naf\오른쪽]\,dx\,dx\,dx\,d}v\,ds}$

$C{\displaystyle }$ , ${\displaystyle C,}$에 v${\displaystyle }$=$$ {\$displaystyle v=0}$을(를) 처음 설정하면 경계 적분은 사라지며, 그 이전과 같이 결론을 내린다.

$\displaystyle -\displayla \cdot \cdot \cdla u+f=0\,$

$D{\displaystyle }$. ${\displaystyle D.}$에서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) 임의의 경계 값을 가정하도록$$ 허용하면 이는 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 경계 조건을 충족해야$$ 함을 의미한다.

${\displaystyle {\frac {\reason u}{\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}$

$C{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ C$.}$ 이 경계$$ 조건은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 최소 속성의 결과로서, 사전에 부과되지 않는다$.$이런 조건을 자연경계조건이라고 한다.

$앞$의 추론은 C${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \sigma}$이(가) $C{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ ${\displaystyle C}$$.}$에서 동일하게 사라진다면$$ 유효하지 않다. 이러한 경우$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$이(가) 상수인$$ 시험$$ 함수 $\phi {\displaystyle }$ $\,$ {\$displaysty \varphi equiv$ c$}$을 허용할 수 있다.그런 시험 기능을 위해서,

${\displaystyle V[c]=c\왼쪽[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}$

$c{\displaystyle }$, ${\displaystyle c,}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ V$}$을(를) 적절하게 선택하면 대괄호 안의 수량이 사라지지 않는 한 어떤 값도 가정할$$ 수 있다.따라서 변동성 문제는 그렇지 않으면 무의미하다.

${\displaystyle \iint_{D}f\,dx\,dy+\int_{C}g\,ds=0.\,}$

이 조건은 시스템에 대한 순 외부 힘이 평형 상태임을 의미한다.이러한 힘이 평형을 이루면 변이 문제는 해결책이 있지만, 임의의 상수가 추가될 수 있기 때문에 독특한 것은 아니다.자세한 내용과 예는 쿠랑과 힐버트(1953)에 있다.

고유값 문제

1차원 및 다차원 고유값 문제는 모두 변동 문제로 공식화될 수 있다.

스터름-리우빌 문제

스터름-리우빌 고유값 문제는 일반적인 2차 형태를 포함한다.

${\displaystyle Q[\varphi ]=\int _{x_{1}^{x_{2}}\왼쪽[p(x)\varphi ^{\premy ^{2}+q(x)\varphi (x)^{2}\right]\,dx,\,\}$

여기서 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 경계 조건을 충족하는 함수로 제한됨$$

${\displaystyle \varphi(x_{1})=0,\properties \varphi(x_{2}=0.\,}$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 정규화 적분으로 설정$$

${\displaystyle R[\varphi ]=\int _{x_{1}^{x_{2}}r(x)\varphi (x)^{2}\,dx.\,}$

$p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p(x)}$ 및$$ $r{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle r(x)}$ 함수는 모든 위치에서 양수여야 하며 0에서 경계로 지정되어야 한다$$.주된 변동 문제는 엔드포인트 조건을 만족하는$$ 모든 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$ $중$에서${\displaystyle }$Q/${\displaystyle R}${\$displaystyle$Q/$R}$을(를) 최소화하는 것이다.$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ 최소화에 대한 오일러-래그랑주 방정식은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle - (pu^{\premy }^{\premy }}+qu-\provda ru=0,\,}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 몫이다.

${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.\,}$

최소화하는 ${\displaystyle u}$이(가) 두 개의 파생상품을 가지고 있으며 오일러-라그랑주 방정식을 만족한다는 것을 보여줄 수 있다(Gelfand 및 Fomin 1963 참조).관련 ${\displaystyle \lambda }$은(는) $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 표시되며$,$ 이 방정식과 경계 조건의 고유값 중 가장 낮은 값이다.관련 최소화 함수는 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle u_{1}(x$)로 표시된다$.$$}$ 고유값의 이러한$$ 변동 특성화는 Rayleigh-Ritz 방법을 유도한다. 근사 ${\displaystyle u}$를 기본 함수의 선형 조합(예: 삼각함수)으로$$ 선택하고 이러한 선형 조합 중에서 유한 차원 최소화를 수행한다.이 방법은 종종 놀라울 정도로 정확하다.

$추가$ 제약 조건 하에서 Q {\$displaystyle Q}$을(를$)$ 최소화하여 다음으로 작은 고유값과 고유 기능을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \int_{x_{1}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)\varphi(x)\,dx=0.\,}$

이 절차를 확장하여 문제에 대한 고유값 및 고유 기능의 전체 순서를 얻을 수 있다.

변동 문제는 더 일반적인 경계 조건에도 적용된다.$엔드포인트$에서$display$ {\displaystyle $\varphi$}을$$(를) 소멸하도록 요구하는 대신 엔드포인트에서 어떠한 조건도 부과하지 않고 설정을 할 수 있다.

${\displaystyle Q[\varphi ]=\int _{x_{1}^{x_{2}}\왼쪽[p(x)\varphi ^{\premy }^{2}+q(x)\varphi (x)^{2}\right]\,dx+a_{1}\varphi (x_{1})^{2}+a_{2}\varphi (x_{2})^{2},\,}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$및$$ 2 ${\$}}은 임의로 지정된다$$.$\phi {\displaystyle }$ =${\displaystyle u}$+ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \varphi =u+\varepsilon v}$을(를) 설정하는 경우 $비율{\displaystyle }$ Q${\displaystyle /R}$ ${\displaystyle Q/R}$에 대한$$ 첫 번째 변동은$$

${\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u^{\prime }(x)v^{\prime }(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),\,}$

여기서 λ은 이전과 같은$$ $비율{\displaystyle }$ Q${\displaystyle [}$ ${\displaystyle u]}$ /${\displaystyle R}$ [ $]$ {\$displaystyle$Q[$u]/R[u]}$에 의해 주어진다.부품별 통합 후

${\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu^{\prime })^{\prime }+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u^{\prime }(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u^{\prime }(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].\,}$

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) 엔드포인트에서$$ 사라지도록 처음 요구하는 경우 다음과 같은 모든 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 대해$$ 첫 번째 변동은 다음 경우에만 사라진다.

${\displaystyle - (pu^{\premy }^{}^{\premy }+qu-\premyda ru=0\probe {\hbox{for}}\\hbox}\{1}<x_{2}},}$

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$}이(가) 이 조건을 만족하는$$ 경우, 임의 v {\$displaystyle v}$에 대한 첫 번째 변동은 다음과 같은 경우에만$$ 사라진다$.$

${\displaystyle -p(x_{1})u^{\premy }{1}+a_{1}a_{1}{1}u(x_{1}})=0,\\cHbox{and}\\p(x_{2})^{premy }(x_{2})+a_{2}=0.},}$

이러한 후자의 조건은 최소화를 위한 시험 기능에 부과되지 않고 대신 최소화의 결과물이기 때문에 이 문제에 대한 자연적인 경계 조건이다.

몇 가지 차원의 고유값 문제

상위 차원의 고유값 문제는 1차원 사례와 유사하게 정의된다.예를 들어, 경계 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$}$을(를) 3차원으로 하는 도메인 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$D}을(를) 지정할 수 있다.

${\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,\,}$

그리고

${\displaystyle R[\varphi ]=\iint _{D}r(X)\varphi(X)^{2}\,dx\,dy\,dz.\,}$

$u{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ u}을(를) 경계 B${\displaystyle .}$ ${\$$displaystyle$ Q$[\varphi ]/R[\$$displaystyle$ B$.}$에 조건이 지정되지 않은$$ $상태$에서 Q [${\displaystyle ]}$/ ${\displaystyle R}$[displaysty $u$$}$을$($를) 최소화하는 함수로 한다$$.$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 만족하는 오일러-라그랑주 방정식은$$

$\displaystyle -\nabla \cdot(p(X)\nabla u)+q(x)-\lambda r(x)=0,\,}$

어디에

${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.\,}$

최소화하는 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$도 자연 경계 조건을 충족해야$$ 함

${\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}+\sigma(S)=0,}$

경계 $B{\displaystyle }$.${\displaystyle$ B$.}$에.$$ 이 결과는 타원 부분 미분 방정식의 정규성 이론에 따라 달라진다. 자세한 내용은 조스트와 리-조스트(1998)를 참조한다.완성도 결과, 고유값의 점증적 특성 및 고유 기능의 노드에 관한 결과를 포함한 많은 확장은 Courant와 Hilbert(1953)에 있다.

적용들

광학

페르마의 원리는 빛이 끝점 사이의 광학 길이를 최소화하는 (로컬하게) 경로를 취한다고 말한다.$경로$를 따라 x ${\displaystyle x}$ -coordinate를$$ 매개 변수로 선택하고, $경로$를 따라$$ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle f(x}$) ${\displaystyle y=f(x)}$을(를) 선택한 경우, 광학 길이는 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}^{1x_{1}n(x,f(x)){\sqrt{1+f^{1+f^{\premium }^{2}}dx,\,}$

여기서 굴절률 $n{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle n(x,y)}$은 재료에 따라 달라진다$$.$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}0}$ ( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \epsilon }$ f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$) ${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}}$을(를) 시도하면 A ${\displaystytle A$}$$의 첫 번째 변동은 ε에 관한$$ $것$이다.

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}^{\prime }(x)f_{1}^{\prime }(x)}{\sqrt {1+f_{0}^{\prime }(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}^{\prime }(x)^{2}}}\right]dx.}$

첫 번째 항을 괄호 안에 부분별로 통합한 후 오일러-래그랑주 방정식을 얻는다.

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}^{\prime }}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}^{\prime }(x)^{2}}}=0.\,}$

광선은 이 방정식을 통합하여 결정할 수 있다.이 형식주의는 라그랑주 광학과 해밀턴 광학의 맥락에서 사용된다.

스넬의 법칙

빛이 렌즈에 들어오거나 나갈 때 굴절률의 불연속성이 있다.내버려두다

${\displaystyle n(x,y)=n_{(-)}\properties {\hbox{if}}\properties x<0,\,}$

${\displaystyle n(x,y)=n_{(+)\properties {\hbox{if}}\properties x>0,\,}$

$여기$서 n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$-$){\$과 $n{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$+$){\$은 상수다$$.그러면 오일러-래그랑주 방정식은 < > 0 ${\displaystyle$ x$<0}$ x> ${\displaystyle$ x$>0,}$의 영역에서 전과 같이 유지되며, 사실 경로는 굴절률이 일정하기 때문에 거기서 직선이다.$x{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$에서${\displaystyle x=0,}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) 연속이어야 하지만$$ f ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ }은$($는) 불연속적일 수 있다$$.별도 지역의 부품별 통합과 오일러-래그랑주 방정식 사용 후 첫 번째 변동은 형태를 취한다.

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}^{\prime }(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}^{\prime }(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}^{\prime }(0^{+})^{2}}}}\오른쪽.\,}$

$n{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$-$){\$을 곱한 인자는 $입사선의{\displaystyle }$ 각도와 x ${\displaystyle {\{\backslash }_{}}$$displaystyle x}$ 축을$$ 곱한 $인자$는 x ${\displaystyle x}$ $축$을 곱한 인자는 굴절선의 각도의 사인이다$$.스넬의 굴절 법칙은 이 용어들이 동등할 것을 요구한다.이 계산이 증명하듯이 스넬의 법칙은 광학 경로 길이의 첫 번째 변동을 소멸시키는 것과 같다.

페르마의 3차원의 원리

It is expedient to use vector notation: let ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}),}$ let ${\displaystyle t}$ be a parameter, let ${\displaystyle X(t)}$ be the parametric representation of a curve ${\displaystyle C,}$ and let ${\displaystyle {\dot {X}}($$t)}$의 접선 벡터가 된다.곡선의 광학 길이는 다음과 같다.

${\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}^{t_{1}n(X){\sqrt {{\sqrt {{X}\cdot{\X}}}\dt.\,}$

이 적분은 $C{\displaystyle }$. ${\displaystyle C.}$ 최소$$ 곡선을 위한 오일러-래그랑주 방정식의 변동에 대해 불변하다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\x}\cdot {\x}}\dot {X}}\,\nabla n,\,}$

어디에

${\displaystyle P={\frac{n(X){\dot{X}}{\sqrt{X}}{\sqrt {{\dot{X}}}}\\,}$

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 충족한다는 정의에서 따옴

${\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}.\,}$

따라서 적분 또한 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}^{1}P\cdot {\X}\dt.\,}$

$이{\displaystyle }$ 양식을 통해 P${\displaystyle }$, ${\displaystyle P}$에 의해 그라데이션이 주어지는 함수 $function$ ${\$$displaystyle$ $\psi$}을$$(를) 찾을 수 있다면 통합 간격의 $끝점$에서 { ${\displaystyle \psi}$의 차이로 통합 $A$가$주어지는$ 것을$$ 알 수 있다.따라서 일체형 정지 상태를 만드는 곡선을 연구하는 문제는 $.{\displaystyle \psi .}$의 레벨 표면의 연구와 관련될 수 있다.그런$$ 기능을 찾기 위해 우리는 빛의 전파를 지배하는 파동 방정식으로 눈을 돌린다.이 형식주의는 라그랑주 광학과 해밀턴 광학의 맥락에서 사용된다.

파동방정식과의 연결

이질성 매체에 대한 파동 방정식은

${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\cdla \cdot \cdla u,\,}$

여기서 $c{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $c}$은 속도인데$$, $일반적$으로 X에 $의존한다.$ 빛에 대한 파형$$ 전선은 이 부분 미분 방정식의 특성 표면이다. 그것들은 충족된다.

${\displaystyle \varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .\,}$

우리는 그 형태에서 해결책을 찾을 수 있다.

$\displaystyle \varphi(t,X)=t-\psi(X)\,}$

이 경우 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$이(가) 충족됨

$\displaystyle \cdla \cdot \cdla \cdla \n^{2},\,}$

여기서 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle c}$. ${\displaystyle n=1/c.}$ 1차 부분 미분 방정식의 이론에 따르면$$ $P{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ${\displaystyle \psi ,}$ ${\displaystyle$ P$=\nabla \psi ,}$이(가)$$충족되면 P {\\$displaystyle P}$이(가) 충족된다$$.

${\displaystyle {\frac {dP}{ds}=n\,\nabla n,}$

에 의해 주어지는 곡선(광선)의 체계를 따라

${\displaystyle {\frac {dX}{ds}=P.\,}$

1차 부분 미분 방정식의 해법에 대한 이 방정식은 우리가 식별을 한다면 오일러-라그랑주 방정식과 동일하다.

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\x}\cdot{\x}}}},}$

${\$$displaystyle$ $\psi$$}$ 함수는 상부 끝점의 함수로 최소화하는$$ $A$의 값이라고$$ 결론짓는다$.$즉, 곡선을 최소화하는 패밀리를 구성할 때 광학 길이의 값은 파동 방정식에 해당하는 특성 방정식을 만족시킨다.따라서 첫 번째 순서의 관련 부분 미분 방정식을 해결하는 것은 변동 문제의 해결책의 패밀리를 찾는 것과 동일하다.이것이 해밀턴-자코비 이론의 본질적인 내용인데, 이것은 보다 일반적인 변이 문제에 적용된다.

역학

고전 역학에서 작용, $S{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle S,}$은(는) 라그랑지아의 시간 적분, $L{\displaystyle .}$ ${\displaystyle L.}$ 라그랑지안은$$ 에너지의 차이,

$L=T-U,\,}$

$여기$서 $T{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle T}$은(는) 기계 시스템의 운동에너지와 U {\$displaystyle U}$의 잠재적 에너지다.해밀턴의 원칙(또는 행동 원리)은 보수적인 홀노믹(통합 가능한 제약조건) 기계 시스템의 움직임이 작용이 통합될 수 있도록 되어 있다고 기술하고 있다.

${\displaystyle S=\int _{t=t_{0}^{1}L(x,{\dot{x},t)\,dt}$

경로 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle x(t$)의 변동에 대해 정지 상태임$.$$}$ 이 시스템에 대한$$ 오일러-라그랑주 방정식은 라그랑주 방정식으로 알려져 있다.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\frac {\partial L}{\partial L}{x}}}={\partial L}{\partial x},}$

그리고 그것들은 뉴턴의 운동 방정식과 동등하다.

P {\$displaystyle{\displaystyle }$ P$}은($는) 다음에$$ 의해 정의된다.

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}\,}$

예를 들어, 다음과 같다.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot{x}^{2},\,}$

그때

${\displaystyle p=m{\dot {x}.\,}$

래그랑지안 L ${\$dot{$x{\displaystyle }$}의 레전드르 변환에 의해$$ $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\dot{x}$ 대신 결합 모멘텀이 도입될 경우 해밀턴 역학 결과: Lagrangian L {\$displaystyle L}$이(가) 정의한 $해밀턴{\displaystyle }$H {\$displaystystyle H}$

${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot{x}-L(x,{\dot{x},t)\,}$

해밀턴은 이 시스템의 총 에너지다.${\displaystyle H}$= ${\displaystyle T}$+ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle H=T+U.}$ 페르마의 원리와 유사하게$$ 라그랑주 방정식(입자 궤적)의 용액은 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$의 일부 함수의 수평면 측면에서 설명될 수 있음을 시사한다. 이 함수는 해밀턴-자코비 방정식의 해법이다.

${\displaystyle {\frac {\reason \reason \reason \}{\reason t}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x},t\right)=0.\,}$

추가 애플리케이션

변동 미적분학의 추가 적용은 다음과 같다.

• 갑상선 모양의 파생
• 뉴턴의 최소 저항 문제 해결
• 브라키스토크론 문제 해결
• tautochrone 문제에 대한 해결책
• 등측량 문제에 대한 해결
• 지리학 계산 중
• 최소 표면 찾기 및 고원의 문제 해결
• 최적제어
• 분석 역학 또는 뉴턴의 운동 법칙의 재구성, 가장 두드러진 라그랑기 역학과 해밀턴 역학
• 기하 광학, 특히 라그랑비아 광학 및 해밀턴 광학
• 변동 방법(양적 역학), 최저 에너지 고유 상태 또는 지상 상태에 대한 근사치를 찾는 한 가지 방법 및 일부 흥분 상태
• 베이시안 추론과 머신러닝에서 발생하는 난해한 통합에 대한 기술의 집합체인 가변 베이시안 방법
• 아인슈타인의 일반 상대성 이론의 문제를 해결하기 위해 변이 미적분학을 사용하는 기법 계열인 일반 상대성 이론의 변이론
• 유한요소법은 미분방정식의 경계-값 문제에 대한 수치적 해결책을 찾기 위한 변동 방법이다.
• 높은 분산 또는 노이즈가 많은 신호를 필터링하기 위한 이미지 처리 방법인 총 변동 디노이즈.

최소화를 위한 변동 및 충분한 조건

변동의 미적분학은 함수 변동에 관한 것인데, 이는 함수 변동의 주원인 함수의 작은 변화로 인한 함수 값의 작은 변화다.첫 번째 변동은^[l] 기능 변화의 선형 부분으로 정의되며, 두 번째 변동은^[m] 2차 변형으로 정의된다.^[22]

For example, if ${\displaystyle J[y]}$ is a functional with the function ${\displaystyle y=y(x)}$ as its argument, and there is a small change in its argument from ${\displaystyle y}$ to ${\displaystyle y+h,}$ where ${\displaystyle h=h(x)}$ is a function in the same function sp$as{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$, ${\displaystyle y,}$와 같이 에이스인 경우 기능상의$$ 해당 변경은

$(\displaystyle \Delta J[h]=J[y+h]-J[y]}$ ^[n]

기능 $J{\displaystyle }$[ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle J[y]}$은 다음과 같은 경우에 구별이 가능하다고 한다$$.

${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \h\}$

h의‖ h(→ 0으로 어디φ[h]{\displaystyle \varphi[h]}은 선형 functional,[제일의 것이다]‖ h‖{\displaystyle\와 같이 h\}의 풍조이다,{\displaystyle h,}[p]과 ε→ 0{\displaystyle \varepsilon \to 0}.{\displaystyle)h\ 0\to.}선형 기능φ[h]{\displaystyle \varphi[h]}은 첫번째 variati.에${\displaystyle J}$[ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle J[y]}$에 의해 표시되며,^[26]

$\delta J[h]=\varphi [h]}$

기능 $J{\displaystyle }$[ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle J[y]}$은 다음과 같은 경우 두 배 차이가 있다고 한다$$.

${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2}[h]+\varepsilon \ h\{2}}$

‖ h(→ 0으로 어디 φ 1[h]{\displaystyle \varphi_{1}[h]}은 선형 기능(첫번째 변화),φ 2[h]{\displaystyle \varphi_{2}[h]}은 2차 functional,[q]과 ε→ 0{\displaystyle \varepsilon \to 0}.{\displaystyle)h\ 0\to.}은 2차 기능 φ 2[h]{\displaystyl.e)$varphi _{2}[h]}$은(는) $J{\displaystyle }$[ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle J[y]}$의 두 번째 변형으로 다음과$$ 같이 표시된다.^[28]

${\displaystyle \filename ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h]}$

두 번째 변동 $\Delta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \delta ^{$$2$}$J[h]}$는 다음과 같은 경우에 강하게 긍정적이라고 한다$$.

${\displaystyle \filename ^{2}J[h]\geq k\ h\ ^{2}}$

모든 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$ 및$$ 일부 k> ${\displaystyle k>0}$에 대해.^[29]

위의 정의, 특히 첫 번째 변동의 정의, 두 번째 변동의 정의, 그리고 강한 양의 정의를 사용하여 최소한 기능적인 것에 대해 다음과 같은 충분한 조건을 명시할 수 있다.

참고 항목

Notes

References

Further reading

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• Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
• Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974 (reprint of 1952 ed.).

External links

• Variational calculus. Encyclopedia of Mathematics.
• calculus of variations. PlanetMath.
• Calculus of Variations. MathWorld.
• Calculus of variations. Example problems.
• Mathematics - Calculus of Variations and Integral Equations. Lectures on YouTube.
• Selected papers on Geodesic Fields. Part I, Part II.