총 변동 노이즈 제거

신호처리, 특히 화상처리에서 토탈 변동 정규화 또는 토탈 변동 필터링이라고도 하는 토탈 변동 노이즈 제거는 노이즈 제거 프로세스(필터)입니다.이는 과도한 스플리어스 디테일을 가진 신호의 총변화가 크다는 원리에 기초하고 있습니다.즉, 절대 이미지 구배 적분이 높다는 것입니다.이 원리에 따르면 신호의 총 변동을 줄이면(원래 신호와 거의 일치한다는 전제 하에), 불필요한 세부 사항은 제거되지만 에지 등의 중요한 세부 사항은 보존됩니다.이 개념은 1992년 Rudin, Osher 및 Fatemi에 의해 개척되었으며, 오늘날 ROF ^[1]모델로 알려져 있습니다.

이 노이즈 제거 기법은 노이즈를 줄이면서도 더 크든 작든 가장자리를 부드럽게 하는 선형 평활화 또는 중앙 필터링과 같은 단순한 기법보다 장점이 있습니다.반면, 총 변동 노이즈 제거는 에지 보존 필터로, 즉 낮은 신호 대 잡음 ^[2]비에서도 평탄한 영역의 노이즈를 평활화하는 동시에 에지를 보존하는 데 매우 효과적입니다.

1D 신호 시리즈

예를 들어 ${\displaystyle {디지털}_{}}$ $신호{\displaystyle {}_{}}$ yn(\$displaystyle y_$n})의 경우 총 변동을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle V(y)=\sum _{n} y_{n+1}-y_{n} .}$

${\displaystyle {입력신호}_{}}$x n(\$displaystyle x_$${$n$\})$이 주어졌을 때 총변동량이 x n(\$displaystyle x_{n})$보다 작지만 ${\displaystyle x_{}}$n(\$displaystyle x_{n$에 $가까운{\displaystyle {}_{}}$ 근사값(\$display y_{n$을 찾는 것이 총변동량 디노이징의 목표입니다.에러:

${\displaystyle \operatorname {E}(x,y)=sum frac {1}{n}\sum _{n}(x_{n}-y_{n})^2}$

따라서 전체 변동 디노이징 문제는 $신호{\displaystyle {}_{}}$ $(\$에 대해 다음과 같은 이산 기능을 최소화하는 것입니다.

$\displaystyle \operatorname {E}(x,y)+\lambda V(y)입니다.}$

${\displaystyle {이}_{}}$ 함수를 y n$(\$에 $대해{\displaystyle {}_{}}$ 미분함으로써 초기 조건으로 ${\displaystyle {원래}_{}}$ 신호$$x n(\$displaystyle x_{$n$$})과 수치적으로 통합할 수 있는 해당 오일러-라그랑주 방정식을 도출할 수 있습니다.이것이 최초의 ^[1]접근법이었다.또는 볼록함수이므로 볼록최적화 기법을 사용하여 이를 최소화하고 $(\$^[3] $솔루션$을 구할 수 있습니다.

정규화 속성

디노이징 프로세스에서는 정규화 파라미터 $'\displaystyle\lambda'$가 중요한 역할을 합니다.${\displaystyle \mathrm{\theta }}$ ${\displaystyle =}$0(\$displaystyle$ \$displayda =0$이면 평활이 이루어지지 않으며 제곱합을 최소화하는 것과 같은 결과가 됩니다.As ${\displaystyle \lambda \to \infty }$, however, the total variation term plays an increasingly strong role, which forces the result to have smaller total variation, at the expense of being less like the input (noisy) signal.따라서 정규화 매개변수의 선택은 소음 제거의 적절한 양을 달성하는 데 매우 중요하다.

2D 신호 영상

이제 영상과 같은 2D 신호 y에 대해 살펴보겠습니다.1992년 기사에 의해 제안된 전체 변동 규범은 다음과 같다.

$\displaystyle V(y)=\sum _{i,j}{\sumrt {y_{i+1,j}-y_{i,j}^{2}+y_{i,j1}-y_{i,j}^{2}}}}}$

등방성이며 미분할 수 없습니다.때로는 최소화하는 것이 더 쉬울 수 있기 때문에 때때로 사용되는 변형은 이방성 버전입니다.

${\displaystyle V_{\operatorname {aniso}}(y)=\sum _{i,j}-y_{i,j}^{2}+{\displayrt {y_{i,j}-y_{i,j}^{2}}={sum_i,j}_i},{i}}$

표준적인 전변동 디노이징 문제는 여전히 그 형태입니다.

${\displaystyle \min _{y}[\operatorname {E} (x,y)+\lambda V(y)},}$

여기서 E는 2D₂ L 노름입니다.1D 사례와 달리, 이 노이즈 제거를 해결하는 것은 간단하지 않습니다.이 문제를 해결하는 최신 알고리즘은 원시 ^[4]이중 방식이라고 알려져 있습니다.

2000년대 중반 압축감지에 대한 많은 연구 덕분에 이 문제의 변형을 해결하는 스플릿 브레그만 방법 등 많은 알고리즘이 있습니다.

루딘-오셔-파테미 PDE

노이즈가 많은 $이미지{\displaystyle }$ f${displaystyle$ f$}$가 주어지고 2D 공간에 걸쳐 데노이즈된 $이미지{\displaystyle }$u{$displaystyle$u}를$$ 계산하려고 합니다.ROF에 따르면 우리가 해결하고자 하는 최소화 문제는 다음과 같습니다.^[5]

$\displaystyle \min \operatorname {BV}(\Omega)\;\u\{\operatorname {TV}(\Omega)}+{\lambda \over2}\int_{\Omega }(f-u)^{2},dx}$

$\mathrm{여기}$서 BV $($ ($\mathrm{text}$ )$$\ $textstyle \operatorname {BV }$ ( \ $Omega$)는$$ 도메인$text{\displaystyle \mathrm{}}$ \ $display$style \ $Omega$ $\mathrm{TV}$text ($text )$는 도메인 text에 대한 제한적인 변동이 있는 함수의 집합이며, \$textstyle$ \$operatorname${ $TV$} ( \ Omega$$)는 도메인 $。$u$(\textstyle$u$$)가 평활할 $경우$ 총 변동은 구배 등급의 적분에 해당합니다.

$\displaystyle \u\{\operatorname {TV}(\Omega)}=\int _{\Omega}\\\displayla u\,display}$

여기서 $‖(\textstyle \\cdot \)$은 유클리드 노름입니다.다음으로 최소화 문제의 목적 함수는 다음과 같습니다.

이 함수에서 시간 의존성이 없다고 가정할 때 최소화를 위한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 비선형 타원 부분 미분 방정식을 제공합니다.일부 수치 알고리즘에서는 ROF 방정식의 시간 의존 버전을 대신 푸는 것이 좋습니다.

적용들

루딘-오셔-파테미 모형은 블랙홀의 ^[6]첫 이미지를 만드는 데 중추적인 요소였다.

「 」를 참조해 주세요.

• 이방성 확산
• 유계 변동
• 디지털 이미지 처리
• 소음 저감
• 로컬 이외의 평균
• 신호 처리
• 총변동량
• 스탠리 오셔
• 베이스 추구 노이즈 제거
• Lasso(통계)

레퍼런스

외부 링크

• TVDIP: 풀기능의 Matlab 1D 토탈 바리에이션 노이즈 제거 실장.
• 효율적인 프라이머리-듀얼 총변동
• Matlab에서의 TV-L1 이미지 노이즈 제거 알고리즘