디리클레의 원리

수학, 특히 잠재 이론에서 디리클레트의 원리는 특정 에너지 기능의 최소화가 포아송 방정식의 해결책이라는 가정이다.

형식명세서

Dirichlet의 원리는 함수 $u{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle u$(x$)}$이(가) 포아송 방정식의 해결책이라면$$ 다음과 같이 기술하고 있다.

${\displaystyle \Delta u+f=0}$

경계 조건이 있는$$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 도메인 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에서

${\displaystyle u}$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$$=g}$ 경계 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ Ω ${\displaystyle \partial \Oomega$

그러면 당신은 디리클레 에너지의 최소제로서 얻을 수 있다.

${\displaystyle E[v(x)]=\int _{\Oomega }\왼쪽({\frac {1}{1}{2}} \nabla v ^{2}-vf\right)\,\mathrm {d}x}$

$\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle \partial \Oomega}$의 ${\displaystyle v}$= g ${\displaystyle v=g}($Dirichlet's integrated limited를 만드는 기능이 하나 이상 존재한다면)$$ 모든$$ 두 가지 서로 다른 $기능{\displaystyle }$ v$${\$displaystystyle v}$ 중에서.이 개념은 독일의 수학자 피터 구스타프 르주네 디리클레의 이름을 따서 명명되었다.

역사

'디리클레트의 원리'라는 명칭은 복합 분석 기능 연구에 이를 적용한 리만(Riemann) 때문이다.^[1]

리만(그리고 가우스와 디리클레와 같은 다른 사람들)은 디리클레의 적분이 아래에 경계되어 있다는 것을 알았고, 이것이 최소치의 존재를 확립한다는 것을 알고 있었지만, 그는 최소치를 달성하는 기능의 존재를 당연하게 여겼다.위어스트라스(Weierstrass)는 1870년 이 가정에 대한 첫 번째 비판을 발표하여, 최소값이 아닌 가장 큰 하한을 가지는 기능의 예를 제시했다.위어스트라스의 예는 기능적인 것이었다.

${\displaystyle J(\varphi )=\int_{-1}^{1}\{1}\왼쪽(x{\frac {d\varphi }{dx}\오른쪽)^{2}\,dx}$

where ${\displaystyle \varphi }$ is continuous on ${\displaystyle [-1,1]}$, continuously differentiable on ${\displaystyle (-1,1)}$, and subject to boundary conditions ${\displaystyle \varphi (-1)=a}$, ${\displaystyle \varphi (1)=b}$ where ${\displaystyle a}$and ${\displaystyle b}$ are constants and ${\displaystyle a\neq b}$. Weierstrass showed that ${\displaystyle \textstyle \inf _{\varphi }J(\varphi )=0}$, but no admissible function ${\displaystyle \varphi }$ can make ${\displaystyle J(\varphi )}$ equal 0.예시 적분은 디리클레 적분과 다르기 때문에 이 예는 디리클레의 원리에 반증하지 않았다.그러나 그것은 리만이 사용했던 추리를 훼손시켰고, 디리클레스의 원리를 증명하는 것뿐만 아니라 변동의 미적분학 및 궁극적으로 기능적 분석의 광범위한 진보에 관심을 불러일으켰다.^[2][3]

1900년 힐베르트는 이후 변주 미적분학에서 직접적 방법을 개발함으로써 리만의 디리클레 원리 사용을 정당화했다.^[4]

참고 항목

• 디리클레 문제
• 힐버트의 20번째 문제
• 고원의 문제
• 그린의 첫 번째 정체성

메모들

참조

• Courant, R. (1950), Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer, Interscience
• Lawrence C. Evans (1998), Partial Differential Equations, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9
• Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996), Calculus of Variations I, Springer
• A. F. Monna (1975), Dirichlet's principle: A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis, Oosthoek, Scheltema & Holkema
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet's Principle". MathWorld.