1차 부분 미분 방정식

수학에서 1차 부분미분 방정식은 n 변수의 알 수 없는 함수의 첫 번째 파생상품만 포함하는 부분미분 방정식이다.그 방정식은 형식을 취한다.

${\displaystyle F(x_{1},\ldots,x_{n}u,u_{x_{1},\ldots u_{n}}=0.\,}$

그러한 방정식은 쌍곡선 부분 미분 방정식의 특성 표면의 구성, 변동의 미적분, 일부 기하학적 문제, 그리고 용액이 특성 방법을 포함하는 기체 역학의 단순한 모델에서 발생한다.단일 1차 부분 미분방정식의 솔루션 제품군을 찾을 수 있는 경우 해당 제품군에서 솔루션 봉투를 형성하여 추가 솔루션을 얻을 수 있다.관련 절차에서 일반적인 미분방정식의 패밀리를 통합하여 일반적인 해결책을 얻을 수 있다.

일반 솔루션 및 전체 통합 솔루션

1차 순서의 부분 미분 방정식에 대한 일반적인 해법은 임의 함수를 포함하는 해법이다.그러나 독립 변수의 수만큼 임의의 상수를 갖는 1차 순서의 부분 미분 방정식에 대한 해결책을 완전 적분이라고 한다.다음 n-모수 솔루션 제품군

${\displaystyle u=\phi(x_{1},x_{2},\reason,x_{n},a_{1},a_{2},\displaysty ,a_{n}}}}}}$

${\displaystyle \text{det}}$ ${\displaystyle \varphi {}_{}}$ ${\displaystyle {x{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ ${\displaystyle {a_{}}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{j}}$ ${\displaystyle \ne {{}_{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle {\text{det}\phi _{x_{i}a_{j$}} $\neq$ 0$\}$^[1] .

파동 방정식의 특성 표면

파동 방정식의 특성 표면은 방정식의 해법에 대한 평탄한 표면이다.

${\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\왼쪽(u_{x}^{2}+u_{y)}^{2}+u_{z}^{2}\오른쪽).\,}$

$u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle u_{t}=1}$을(를) 설정하면 일반성의 손실은 거의 없다$:$ 이 경우 u가 만족한다.

${\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}.\,}$

벡터 표기법에서는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\vec}=(x,y,z)\disp {\hbox{and}\disp{p}}\bec {p}=(u_{x},u_{y},u_{z})).\,}$

평면이 평면으로 된 솔루션 제품군은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle u({\vec{x}}={\vec {p}\cdot({\vec}-{x}-{0})\,},}$

어디에

${\displaystyle {\vec{p}\, ={\frac {1}{c},\properties {\text{and}}\property},}$

x와 x가₀ 고정되어 있는 경우, u의 값이 정지해 있는 반경 1/c의 구에서 점을 찾아 이들 용액의 엔벨롭을 얻는다.$p{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$이(가) $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$- x ${\displaystyle \stackrel{}{{0\mathrm{}}_{}}}$→ ${\$}-{\$vec{x_{$0$\}\}\}\}$에 평행이면 그렇다. 따라서 봉투에는 방정식이 있다.

${\displaystyle u({\vec{x}}=\pm {\frac {1}{1}{c}}{\vec}-{x_{0}}\, .}$

이 용액은 속도 c에 따라 반경이 커지거나 작아지는 구에 해당한다.이것들은 우주 시간의 가벼운 원추형이다.

이 방정식의 초기 값 문제는 수준 표면 S를 지정하는 데 있다. 여기서 u=0은 t=0이다.용액은 S에 중심을 둔 모든 구들의 봉투를 취함으로써 얻는데, 그 구들의 반지름은 속도 c와 함께 커진다.이 봉투는 다음 사항을 요구하여 얻는다.

${\displaystyle {\frac{1}{c}}{\vec}-{x_{0}}\\\c}\quad {\vec {x_{0}}\\in,}$

${\displaystyle x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$- ${\displaystyle x\stackrel{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{0\mathrm{}}_{}}}$→ $displaystyle {\vec{x}-{\$vec{$x_{0}}\,}이($가) S에 정상이면$$ 이 조건이 충족된다.따라서 봉투는 각 정상에서 S까지의 속도를 따라 c로 움직이는 것에 해당한다.이것은 Huygens의 파도 전선의 구성이다: S의 각 지점은 시간 t=0으로 구면 파동을 방출하고, 이후 시간 t는 이러한 구면 파형의 외피다.S에 대한 표준은 광선이다.

이차원 이론

표기는 2개의 공간 차원으로 비교적 단순하지만, 주요 사상은 더 높은 차원으로 일반화된다.일반적인 1차 부분 미분 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle F(x,y,u,p,q)=0,\,}$

어디에

${\displaystyle p=u_{x},\display q=u_{y}.\,}$

이 방정식의 완전한 적분은 a와 b의 두 매개변수에 의존하는 솔루션 φ(x,y,u)이다. (n-dension case에는 n개의 매개변수가 필요하다.)그러한 해결책의 봉투는 임의 함수 w를 선택하고 b=w(a)를 설정하며, 총 파생상품을 요구하여 A(x,y,u)를 결정함으로써 얻는다.

${\dapplaystyle {d\varphi }{da}}=\varphi _{a}(x,y,u,A,w(A)+w'+w'(A)+w')\{b}(x,y,u,a,w(A)=0.\,}$

이 경우 솔루션 ${\displaystyle u_{}}$ w ${\$도 다음과 같이 제공된다$$.

${\displaystyle u_{w}=\phi(x,y,u,A,w(A))\,}$

기능의 각 선택은 PDE의 솔루션으로 이어진다.유사한 과정이 파동 방정식의 특징적인 표면으로서 라이트 콘을 형성하는 결과를 가져왔다.

완전한 적분을 사용할 수 없는 경우에도, 일반적인 방정식의 시스템을 풀어서 해결책을 구할 수 있다.이 시스템을 얻기 위해, 먼저 PDE가 각 지점에서 원뿔(빛 원뿔에 대한 아날로그)을 결정한다는 점에 주목한다. 즉, 만약 PDE가 u의 파생상품에서 선형이라면(이는 준선형이다), 원뿔은 선으로 변한다.일반적인 경우 방정식을 만족하는 쌍(p,q)은 특정 지점에서 평면 계열을 결정한다.

${\displaystyle u-u_{0}=p(x-x_{0})+q(y-y_{0}),\,}$

어디에

${\displaystyle F(x_{0},y_{0},u_{0},p,q)=0.\,}$

이들 평면의 외피는 원추형 또는 PDE가 준선형일 경우 선이다.봉투의 조건은

${\displaystyle F_{p}\,dp+F_{q}\,dq=0,\,}$

여기서 F는${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ y ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0},p,q$에서 평가되며 dp와 dq는 F=0을 만족하는 p와 q의 증분이다.따라서 원뿔의 생성기는 방향을 가진 선이다.

${\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q})\,}$

이 방향은 파동 방정식의 광선에 해당한다.이러한 방향을 따라 미분 방정식을 통합하기 위해서는 광선을 따라 p와 q의 증분이 필요하다.이는 PDE를 차별화하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}$

$F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}$

따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle (x,y,u,p,q)}$ 공간의 레이 방향은$$

${\displaystyle dx:dy:dup:dq=F_{p}+qF_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q)\,},}$

이러한 방정식의 통합은 각 지점$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$)에 레이 코노이드$(x_{0},y_{0},u_{0}})$로 이어진다$.$ 그런 다음 PDE의 일반적인 용액은 그러한 코노이드의 봉투에서 얻을 수 있다.

차등 시스템에 대한 선형 의존의 정의

이 부분은 Courant의 저서에서${\displaystyle \mathrm{}}\S {\displaystyle \mathrm{}}$ 1.2${\displaystyle .3}$ ${\displaystyle \S 1$.2$.3}$을 참조할 수 있다.^[2]

우리는 $이러한{\displaystyle }$ h$${\$displaystyle h$} 방정식이 독립적이라고 가정한다. 즉, 그 중 어느 것도 분화와$$ 제거에 의해 다른 방정식으로부터 추론할 수 없다.

— Courant, R. & Hilbert, D. (1962), Methods of Mathematical Physics: Partial Differential Equations, II, p.15-18

동등한 설명이 제시된다.1차 선형 부분 미분 방정식에 대해 선형 의존에 대한 두 가지 정의가 제시되어 있다.

${\displaystyle(**)\{\ft\{\ft{array}{*{20}{c}\sum \sum \ij}^{}{a_{ij}^{(1)}{\dfrac {\i_{j}}}{\x_}}}}}}+{f_{1}{1}}}}=0\\\vdots \\\sum \ij}^{}{a_{ij}^{n}{\dfrac {\dfrac{y_{j}}{\n1}}}}+{f_{n}}}=0\end{array}}}\right.}$

여기서 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$은(는) 독립 변수, $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 종속적인 알 수 없음, ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ k${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\$은 선형$$ 계수, ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ f_${k}}}}}$은 비균 항목이다$$.Let ${\textstyle {Z_{k}}\equiv \sum _{ij}^{}{a_{ij}^{(k)}{\frac {\partial {y_{j}}}{\partial {x_{i}}}}}+{f_{k}}}$.

Definition I: Given a number field ${\displaystyle P}$, when there are coefficients (${\displaystyle c_{k}\in P}$), not all zero, such that ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}=0}}$; the Eqs.(*) are linear dependent.

Definition II(차등 선형 의존):Given a number field ${\displaystyle P}$, when there are coefficients (${\displaystyle {c_{k}},d_{kl}\in P}$), not all zero, such that ${\textstyle \sum _{k}{{c_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{kl}{{d_{kl}}{\frac {\partial$$}{\partial {{x_{l}}}{Z_{k}}=0$ Eqs.(*)는 차등 선형 종속된 것으로 생각된다.${\displaystyle {dk}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {d_{kl}\equiv 0$이면 이 정의는 정의 I로 전락한다.

div-curl 시스템, 맥스웰 방정식, 아인슈타인의 방정식(조화 좌표 4개 포함), 양-밀스 방정식은 정의 II에서 잘 결정되는 반면, 정의 I에서는 지나치게 결정된다.

참조

추가 읽기

• Evans, L. C. (1998). Partial Differential Equations. Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002). Handbook of First Order Partial Differential Equations. London: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27267-X.
• Polyanin, A. D. (2002). Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
• Sarra, Scott (2003). "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws". Journal of Online Mathematics and Its Applications.