루크의 변이 원리

유체 역학에서, 루크의 변이 원리는 중력의 작용 아래, 자유 표면이 있는 유체에 대한 표면파의 움직임에 대한 라그랑의 변이론이다. 이 원리는 J.C.의 이름을 따서 명명되었다. 1967년에 출판한 루크.^[1] 이 변동 원리는 압축 불가능한 잠재적 흐름과 비결정적인 전위 흐름을 위한 것으로, 경도-슬로프 방정식과 같은 대략적인 파동 모델을 도출하거나,^[2] 비균형 매체에서의 파동 전파에 평균적인 라그랑지안 접근법을 사용하는 데 사용된다.^[3]

루크의 라그랑지아 제형은 또한 자유 표면의 표면 높이와 속도 전위 측면에서 해밀턴 제형으로 다시 만들 수 있다.^[4][5][6] 이것은 종종 바다 상태에서의 자유 표면의 스펙트럼 밀도 진화를 모델링할 때 사용되며, 때로는 파동 난류라고 불린다.

라그랑비아와 해밀턴의 공식은 모두 표면 장력 효과를 포함하도록 확장될 수 있으며, 클렙슈 전위를 사용하여 vorticity를 포함할 수 있다.^[1]

루크의 라그랑지안

루크의 라그랑지안 공식은 압축할 수 없고, 비회전적이고 비결정적인 잠재적 흐름에서의 비선형 표면 중력파를 위한 것이다.

이러한 흐름을 설명하기 위해 필요한 관련 성분은 다음과 같다.

• φ(x,z,t)은 속도 전위,
• ρ은 유체 밀도,
• g는 지구의 중력에 의한 가속이다.
• x는 성분 x와 y가 있는 수평 좌표 벡터,
• x와 y는 수평좌표,
• z는 수직 좌표,
• t는 시간이고,
• ∇은 수평 구배 연산자여서 ∇φ은 ∂φ/∂x와 ∂φ/∂y로 구성된 수평 유속이다.
• V(t)는 자유 표면을 가진 시간에 의존하는 유체 영역이다.

Lagrangian $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은$($는) 루크가 제공한 대로 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\{\iiint _{V(t)}\rho \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right ^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+g\,z\right]\;{\text{d}x\;{\text{d}y\;{\text{d}z\;\right\}\;{\text{d}}t.}$

베르누이의 원리로부터 이 라그랑지안은 전체 시간에 의존하는 유체 영역 V(t)에 걸친 유체 압력의 정수라고 볼 수 있다. 이것은 해리 베이트먼이 발견한 자유 표면이 없는 비실시적 흐름에 대한 변동 원리와 일치한다.^[7]

속도전위 φ(x,z,t) 및 z=η(x,t)과 같은 자유이동 표면과 같은 자유이동 표면의 변화는 모든 유체 경계의 운동학적 경계 조건과 자유 표면의 동적 경계 조건과 같은 유체 내부 및 모든 필수 경계 조건에 대한 라플라스 방정식을 야기한다.^[8] 이것은 또한 움직이는 웨이브메이커 벽과 선박 움직임을 포함할 수 있다.

자유 유체 표면이 z=η(x,t)이고 고정된 침대가 z=-h(x)인 수평으로 언바운드 영역의 경우, 루크의 변동 원리는 다음과 같은 라그랑지안을 초래한다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\rho \,\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\left {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right ^{2}+\,{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\;{\text{d}z\;+\,{\frac {1}{1}:{2}}\\,\rho \,g\,\eta ^{2}\오른쪽\}\;{\text{d}}{\cHSymbol {x}\;{\text}}}t.}$

잠재적 에너지에서 h에² 비례하는 침대 수준 용어는 상수이고 변동에 기여하지 않기 때문에 무시되어 왔다. 아래에서 루크의 변이 원리는 전위 흐름에서 비선형 표면 중력파의 흐름 방정식에 도달하기 위해 사용된다.

루크의 변이 원리에 따른 유동 방정식의 도출

속도전위 φ(x,z,t)의 변화뿐만 아니라 표면 고도 ((x,t)에 관한 라그랑기안의 변동$$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \delta {\mathcal{L}=0}$은 0이어야 한다. 우리는 이후에 두 가지 변동을 고려한다.

속도 전위와 관련된 변화

속도전위 φ에서 작은 변화 Δφ을 고려한다.^[8] 그러면 라그랑지아의 결과 변동은 다음과 같다.

${\displaystyle {\regated}\properties _{\\피피}{{나는\mathcal}}\,&, =\,{{나는\mathcal}}(\Phi +\delta \Phi ,\eta)\,-\,{{나는\mathcal}}(\Phi ,\eta)\\&, =\,-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint(\,\left({\frac{\partial(\delta \Phi)}{\partial지}}+\,{\boldsymbol{\nabla}}\Phi\cdot{\boldsymbol{\nabla}}(\delta \Phi)+\,{\frac{년.부분 \Phi }{\partial z}\,{\frac {\delta \Phi )}{\partial z}\,\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol{x}\;{\text{d}}}t.\end{정렬}}}$

Leibniz 적분 규칙을 사용하면 일정한 밀도 ρ:^[8]

${\displaystyle {\regated}\properties _{\\피피}{{나는\mathcal}}\,=\,&,-\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{{\frac{\partial}{\partial지}}\int _{-h({\boldsymbol{x}})}^{\eta({\boldsymbol{x}},t)}\delta \Phi\;{\text{d}}z\, +\,{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\int _{-h({\boldsymbol{x}})}^{\eta({\boldsymbol{x}},t)}\delta \Phi \,{\boldsymbol{\nabla}}\Phi.{\text{d}}z\,\right\}\,{\te.xt{d}}{\boldsymbol{)}}\;{\text{d}}t\\&,+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int_{-h({\boldsymbol{x}})}^{\eta({\boldsymbol{x}},t)}\delta \Phi\;\left({\boldsymbol{\nabla}}\cdot{\boldsymbol{\nabla}}\Phi \,+\,{\frac{\partial ^{2}\Phi}{\partial z^{2}}}\right)\,{\text{d}}z\,\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol{)}}\;{\text{d}}t\\&, +\,\.로 \,\iNt _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\frac{\partial \eta}{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol{\nabla}}\Phi\cdot{\boldsymbol{\nabla}}\eta \,-\,{\frac{\partial \Phi}{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=\eta({\boldsymbol{x}},t)}\,{\text{d}}{\boldsymbol{)}}\;{\text{d}}t\\&,-\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left는 경우에는 \left({\boldsymbol.{\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=-h({\boldsymbol {x}})}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\\=\,&0.\end{정렬}}}$

오른쪽의 첫 번째 적분은 통합 영역의 경계(x와 t)로 통합되며, 이러한 경계에서 변동 Δφ은 0으로 간주되기 때문에 0이다. 자유 표면과 베드에서 0인 변동 Δ³의 경우, 두 번째 적분은 그대로 남아 있으며, 라플라스 방정식이 다음을 포함하는 경우 유체 내부의 임의 Δ³의 경우 0에 불과하다.

${\displaystyle \Delta \Phi \,=\,0\qquad {\text{{}-h({\boldsymbol{x}}}})\,<\,\,<\eta({\boldsymbol {x},t),}$

Laplace 연산자 Δ==·∇ + ∂/∂²z와² 함께.

자유 표면에서 0이 아닌 변동을 고려할 경우 세 번째 적분만 남아 키네마틱 자유 표면 경계 조건이 발생한다.

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0.\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).}$

이와 유사하게, 변동 Δφ은 하단 z = -h에서 0이 아닌 경우에만 키네마틱 침대 상태가 된다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,-h({\boldsymbol {x}}).}$

지표면 표고에 대한 변동

작은 변화에 관한 라그랑지안의 변동을 고려하면 Δη는 다음을 제공한다.

${\displaystyle \delta _{\eta }{\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta +\delta \eta )\,-\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta )=\,-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\rho \,\delta \eta \,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right ^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \right)\,\\z=\eta({\immbol{x},t)\;{\\text{d}}{\immbyssymbol{x}}\t},=\,0.}$

임의 Δδ의 경우 0이어야 하며, 자유 표면에서 동적 경계 조건이 발생한다.

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right ^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).}$

이것은 안정적이지 않은 전위 흐름에 대한 베르누이 방정식이며, 자유 표면 위의 압력은 상수로서 단순성을 위해 일정한 압력을 0과 동일하게 취한다.

해밀턴식 제형

잠재적인 흐름에서 표면 중력파의 해밀턴식 구조물은 1968년 블라디미르 E. 자카로프에 의해 발견되었고, 버트 브로어와 존 마일즈에 의해 독립적으로 재발견되었다.^[4][5][6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}}$

여기서 표면 표고 η과 표면 전위 φ은 자유 표면 z=η(x,t)에서 잠재적 φ인 표준 변수다. 해밀턴 $H{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle \phi }$ ,${\displaystyle \eta }$) ${\displaystyle {\mathcal{H}(\varphi ,\eta )}$은 유체의 운동 에너지와 전위 에너지의 합이다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}\,=\,\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left[\left {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right ^{2}\,+\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\,{\text{d}}z\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}.}$

추가적인 제약조건은 유체 영역의 흐름이 하단 z=-h(x)의 적절한 경계조건으로 라플레이스의 방정식을 만족시켜야 하며 자유 표면 z==: $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$/ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ =${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0\mathrm{.}}$ ${\displaystyle \delta$ {$H}/\delta \Phi,=\0}$과 같다는 것이다.

라그랑지아 공식과의 관계

해밀턴식 제형은 ∂φ/∂t의 적분에 대한 라이프니즈 적분 규칙을 사용하여 루크의 라그랑지식 설명에서 도출할 수 있다.^[6]

${\displaystyle {\mathcal{L}_{H}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\,{\frac {\partial \eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}\,-\,H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t,}$

$\phi {\displaystyle (x\mathit{}}$, ${\displaystyle t}$) =${\displaystyle \mathrm{\phi }(x\mathit{}}$, ${\displaystyle \eta }$( ${\displaystyle x\mathit{}}$, ${\displaystyle t}$) ,${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \varphi({\boldsymbol{x},t)=$$\Phi ({\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t)}$ the value of the velocity potential at the free surface, and ${\displaystyle H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)}$ the Hamiltonian density — sum of the kinetic and potential energy density — and related to the Hamiltonian as:

${\d}{\datastyle {H}(\varphi ,\eta )\,=\\\\iint H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol{x},t)\\\\d}{\\\boldsymbol}}}.}$

해밀턴 밀도는 운동 에너지에 그린의 세 번째 정체성을 사용하여 표면 전위의 관점에서 기록된다.^[9]

${\displaystyle H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,{\sqrt {1\,+\,\left {\boldsymbol {\nabla }}\eta \right ^{2}}}\;\;\varphi \,{\bigl (}D(\eta )\;\varphi {\bigr )}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},}$

여기서 D(η) φ은 자유 표면에서 ∂φ/∂n의 정상적인 파생상품과 동일하다. 유체 내부와 침대 z=-h 및 자유 표면 z=η의 경계 조건에 따라 유효한 라플라스 방정식의 선형성 때문에, 정상 파생 모델 φ//nn은 표면 전위 of의 선형 함수지만 표면 표고 η에 따라 비선형적으로 의존한다. 이는 디리클레-뉴만 연산자 D(η)에 의해 표현되며, φ에 선형적으로 작용한다.

해밀턴 밀도는 또한 다음과 같이 쓰여질 수 있다.^[6]

${\displaystyle H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\varphi \,{\Bigl [}w\,\left(1\,+\,\left {\boldsymbol {\nabla }}\eta \right ^{2}\right)-\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,\varphi {\Bigr ]}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},}$

w(x,t) = ∂φ/∂z 자유 표면의 수직 속도 z = η. 또한 w는 라플라스 방정식을 통해 표면 전위 φ의 선형 함수지만 w는 표면 표고 η에 비선형적으로 의존한다.^[9]

$w\,=\,W(\eta )\,\varphi ,}$

W가 φ에서 선형 작동하지만 η에서 비선형인 경우. 그 결과 해밀턴은 표면전위 φ의 이차적 기능이다. 또한 해밀턴의 잠재적 에너지 부분은 이차적이다. 표면 중력파에서 비선형성의 근원은 자유 표면 형태 η에 비선형에 따른 운동에너지를 통해서이다.^[9]

추가 ∇φ은 자유 표면에서 수평 속도 ∇φ으로 오인해서는 안 된다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi \,=\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\bigl (}{\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t{\bigr )}\,=\,\left[{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\,=\,{\Bigl [}{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\Bigr ]}_{z=\eta ({\\\symbol{x},t)}\,+\,w\,{\symbol {\bla }\eta .}$

라그랑지안 ${\displaystyle L_{}}$ H ${\$의 변형을 취함$표준$ 변수 $\phi {\displaystyle (x\mathit{}}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \varphi({\boldsymbol{x},t)}$ 및$$ $\eta {\displaystyle (x\mathit{}}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \eta({\boldsymbol{x},t)}$에 대해 다음과 같은 내용을$$ 제공한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}}$

유체 내부 φ에서 제공되는 φ은 라플라스 방정식 Δφ=0과 자유 표면에서 z=-h와 φ=φ의 하단 경계 조건을 만족시킨다.

참조 및 참고 사항