레일리-리츠 방법

레일리-리츠 방법은 물리적 경계 값 문제를 해결하는 맥락에서 유래된 고유값을 근사하게 나타내는 직접 수치법으로, 레일리 경과 발터 리츠 경의 이름을 따서 명명했다.

1908-1909년에 발터 리츠에 의해 숫자 절차가 출판되었기 때문에, Rayleigh-Ritz라는 이름은 발터 리츠의 이름을 따서 Ritz 방법 대 리츠 방법에 대해^[1] 논의되고 있다. 이에 따르면 레일리 경은 1911년 리츠의 작품을 축하하는 논문을 썼지만, 리츠 자신이 리츠의 방법을 자신의 책과 다른 출판물의 여러 곳에서 사용했다고 진술했다.^[1] 이 진술은, 비록 나중에 논란이 되긴 했지만, 그리고 단일 벡터의 사소한 경우에서 그 방법이 Rayleigh 지수를 초래한다는 사실은 논쟁의 여지가 있는 오성분들을 지속하게 한다. 따르면 to,[2]리처드 쿠랑, 둘 다 주님 레일리와 발터 리츠가 독자적으로 한 손에 미분 방정식의 경계 값 문제와 반면에 변화의 문제 해결의 수치 계산에를 대신하고에 의해 미적분,의 문제들 간의 동등을 이용할 생각을 했어. 잘 지내니관계 문제는 한정된 수의 매개변수를 결정해야 하는 단순한 근사치 문제. 아이러니컬하게도, 이 알고리즘의 현대적 정당성은 보리스 갈러킨의 이름을 딴 갈러킨 방법에서처럼 직교 투영의 보다 단순하고 일반적인 접근법에 찬성하는 변동의 미적분학을 떨어뜨려 리츠-갈러킨 방법의 명명으로도 이어진다.

그것은 근사치 고유값과 고유 벡터를 포함하는 모든 어플리케이션에서 사용되며, 종종 다른 이름으로 사용된다. 해밀턴을 이용해 입자 체계를 설명하는 양자역학에서 리츠 방법은 시험파 함수를 사용해 지상 상태 고유함수와 최저 에너지의 근사치를 한다. 유한요소법 맥락에서 수학적으로 동일한 알고리즘을 흔히 리츠갈레르킨법이라고 부른다. Rayleigh-Ritz 방법 또는 Ritz 방법 용어는 구조물의 고유모드 및 공명 주파수에 근사하게 하기 위해 기계 및 구조 공학에서 일반적으로 사용된다.

행렬의 경우

수치 선형대수학에서 Rayleigh-Ritz 방법은 일반적으로 고유값^[3] 문제의 근사치에 적용된다.

A{\textbf {x}=\lambda {\textbf {x}

for the matrix $A\in \mathbb {C} ^{N\times N}$ of size $N$ using a projected matrix of a smaller size $m<N$ , generated from a given matrix $V\in \mathbb {C} ^{N\times m}$ with orthonormal columns. 알고리즘의 매트릭스 버전이 가장 간단하다.

$m\times m$ $m\times m$ $m\times m$ $m\times m$ 행렬 $m\times m$ $V^{*}AV$ $V^{*}AV$ $V^{*}AV$ ${\displaystyle$ $V$ $^{*}AV}$ 를 계산하십시오 $V^{*}AV$ 여기서 $V^{*}$ $V^{*}$ ${\$ V $^{*}}$ 은(는 $)$ V {\ $displaystyle V}$ 의 복잡한 콘주게이트 전치수를 나타냄 $V^{*}$
고유값 $V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}$ $V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}$ $V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}$ $V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}$ $V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}$ V y = $V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}$ $V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}$ $V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}$ ${\$ V $^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}}}}}}$ 해결
리츠 벡터 ${\tilde {\textbf {x}}}_{i}=V{\textbf {y}}_{i}$ ~ ${\tilde {\textbf {x}}}_{i}=V{\textbf {y}}_{i}$ = ${\tilde {\textbf {x}}}_{i}=V{\textbf {y}}_{i}$ ${\tilde {\textbf {x}}}_{i}=V{\textbf {y}}_{i}$ ${\$ 및 리츠 값 ${\tilde {\lambda }}_{i}=\mu _{i}$ ~ ${\tilde {\lambda }}_{i}=\mu _{i}$ = ${\tilde {\lambda }}_{i}=\mu _{i}$ ${\tilde {\lambda }}_{i}=\mu _{i}$ ${\$ _{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.
원래 매트릭스A의 고유값 및 고유 벡터에 대한 출력 근사값 $({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\textbf {x}}}_{i})$ $~$ $({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\textbf {x}}}_{i})$ , $({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\textbf {x}}}_{i})$ ~ $({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\textbf {x}}}_{i})$ ) ${\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\$ $textbf$ ${x}}_{i$ 을 리츠 쌍이라고 함

If the subspace with the orthonormal basis given by the columns of the matrix $V\in \mathbb {C} ^{N\times m}$ contains $k\leq m$ vectors that are close to eigenvectors of the matrix $A$ , the Rayleigh–Ritz method above finds $k$ Ritz v이 고유 벡터와 상당히 근접한 벡터. The easily computable quantity $\ A{\tilde {\textbf {x}}}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{i}{\tilde {\textbf {x}}}_{i}\$ determines the accuracy of such an approximation for every Ritz pair.

In the easiest case $m=1$ , the $N\times m$ matrix $V$ turns into a unit column-vector $v$ , the $m\times m$ matrix $V^{*}AV$ is a scalar that is equal to the Rayleigh quotient $\rho (v)=v^{*}Av/v^{*}v$ $\rho (v)=v^{*}Av/v^{*}v$ , the only $i=1$ solution to the eigenvalue problem is $y_{i}=1$ and $\mu _{i}=\rho (v)$ , and the only one Ritz vector is $v$ itself. 따라서, Rayleigh-Ritz 방법은 $m=1$ = 1 $m=1$ 인 경우 Rayleigh 몫의 계산으로 변한다 $m=1$

Another useful connection to the Rayleigh quotient is that $\mu _{i}=\rho (v_{i})$ for every Ritz pair $({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\textbf {x}}}_{i})$ , allowing to derive some properties of Ritz values ${\displaystyle \mu$ $_{i}}$ 레일리 지수에 대한 해당 이론으로부터 $\mu _{i}$ . 예를 들어, $A$ $A$ 이 $A$ (가) 에르미트 행렬인 경우, 레일리 지수(따라서 모든 리츠 값)는 실제 값이며 $A$ {\ $displaystyle A$ 의 가장 작고 가장 큰 고유값의 닫힌 간격 내에 값을 취한다.

예

행렬

A={\begin{bmatrix}2&0&0\\\0&1\\0&1&2\end{bmatrix}}

고유 값 $1,2,3$ , $1,2,3$ 2, $1,2,3$ ${\displaystyle$ 1, $2,3}$ 및 $1,2,3$ 해당 고유 벡터를 포함

\mathbf {x} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =2}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.

가져가자

V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\0&1\end{bmatrix},

그때

{\디스플레이 스타일 V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix},}

고유값 $1,3$ , $1,3$ 3 ${\displaystyle$ 1, $3}$ 및 $1,3$ 해당 고유 벡터 포함

\mathbf {y} _{\mu =1}={\matrix}1\\-1\end{bmatrix},\matbf {y}\\\\matrix}{bmatrix},

따라서 리츠 $1,3$ 은 $1,3$ , 3 ${\displaystyle$ 1 $,3}$ 이고 $1,3$ 리츠 벡터는

\mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.

리츠 벡터의 각 벡터는 $주어진$ V{\ $displaystyle$ V}에 $A$ $대한$ A{\ $displaystyle$ A $}$ 의 고유 벡터 중 하나일 $V$ 뿐 아니라 리츠 $A$ 이 A{\ $displaystyle A$ }의 세 가지 고유값 중 정확히 2개를 제공하는 것으로 관찰된다 $A$ 정확한 근사치에 대한 수학적 설명은 칼럼 스페이 있다는 사실에 기초한다.매트릭스 $V$ ${\displaystyle$ V $}$ 의 e는 이 $V$ 예에서 $\mathbf {x} _{\lambda =3}$ 두 고유 $\mathbf {x} _{\lambda =1}$ x $\mathbf {x} _{\lambda =1}$ = 1 $\mathbf {x} _{\lambda =1}$ {\ $displaystyle \mathbf {x$ _{\ $lambda=1}$ $\mathbf {x} _{\lambda =3}$ $\mathbf {x} _{\lambda =3}$ $\mathbf {x} _{\lambda =3}$ = $\mathbf {x} _{\lambda =3}$ 3 {\ $displaysty \mathbf {x} _{\lambda =3}$ 에 의해 확장된 하위 공간과 정확히 동일하다.

변동 미적분에서 도출

이 기법을 사용하여 변동 문제를 대략적으로 파악하여 유한한 치수 문제로 귀결된다. 따라서 일체형 $I[y(x)]$ [ $I[y(x)]$ ( $I[y(x)]$ ) $I[y(x)]$ $I[y(x)]$ 을(를) 극단화하는 함수 $y(x)$ $y(x)$ ( x $y(x)$ ) $y(x)$ 을(를) 찾는 문제부터 시작합시다 $I[y(x)]$ 유형에서 선형적으로 독립된 함수의 선형 $y(x)$ 에 $y(x)$ $y(x)$ y ( $y(x)$ x ) {\ $displaystysty y$ (x $)$ 를 근사할 수 있다고 가정해 보십시오.

$y(x)\관련 \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)+c_{2}\varphi _{2}(x)\c_{N}\varphi _{N}}}}$

여기서 $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ , $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ , $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ ${\$ 는 다음과 $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ 같은 변동 방법으로 결정해야 하는 상수다.

사용할 $\varphi _{i}(x)$ 근사 함수 $\varphi _{i}(x)$ $\varphi _{i}(x)$ ( $\varphi _{i}(x)$ ) {\ $displaystyle$ \ $varphi _$ {i}( $x)}$ 을(를) 선택할 경우 다음과 같은 고려사항을 제외하고 임의로 선택할 수 있다.

a) 문제의 경계 조건이 고정된 $\varphi _{0}(x)$ , 문제의 경계 조건을 만족시키기 위해 $\varphi _{0}(x)$ $\varphi _{0}(x)$ ( x $\varphi _{0}(x)$ ) ${\displaystyle \varphi _{0}(x)$ 를 선택하고 $\varphi _{0}(x)$ , 다른 모든 other $\varphi _{i}(x)$ ( $\varphi _{i}(x)$ ) ${\displaystyle \varphi _{i}(x)$ 는 경계에서 사라진다 $\varphi _{i}(x)$ .

b) 용액의 형태가 알려진 경우 $\varphi _{i}(x)$ i $\varphi _{i}(x)$ ( x $\varphi _{i}(x)$ ) $\varphi _{i}(x)$ 을 선택하여 $y(x)$ ( x $y(x)$ ) ${\displaysty y(x)}$ 이( $y(x)$ ) $\varphi _{i}(x)$ 형태를 갖도록 $y(x)$ 할 수 있다 $\varphi _{i}(x)$ .

The expansion of $y(x)$ in terms of approximating functions replaces the variational problem of extremising the functional integral $I[y(x)]$ to a problem of finding a set of constants $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ that extremizes $I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})$ $I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})$ $I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})$ $I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})$ , $I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})$ c $I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})$ , $I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})$ $I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})$ $I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})$ ) ${\displaystyle I(c_{1},c_{2},\cdots,c_{N$ 우리는 이제 부분파생상품을 0으로 설정함으로써 이 문제를 해결할 수 있다. $i$ $i$ 의 각 값에 대해 $i$

${\partial I \over \partial c_{i}=0$

The procedure is to first determine an initial estimate of $c_{1}$ by the approximation $y(x)\approx \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)$ . Next, the approximation ${\displa$ $ystyle y(x)\ 관련 \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{$ 1}{1}(x){ $1}(x)+c_{2}\varphi _{2}(x)}$ 이(가) 사용되며 $y(x)\approx \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)+c_{2}\varphi _{2}(x)$ $,$ $c_{1}$ 1 {\ $displaystyc_{1$ }이 다시 결정된다 $c_{1}$ . The process continues with $y(x)\approx \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)+c_{2}\varphi _{2}(x)+c_{3}\varphi _{3}(x)$ as the third approximation and so on. 각 단계에서 다음 두 항목이 참이다.

$i^{th}$ $i^{th}$ $i^{th}$ ${\$ 1} $단계$ 에서 c 1, $c_{1},\cdots ,c_{i-1}$ - $c_{1},\cdots ,c_{i-1}$ ${\$ i-1}라는 $c_{1},\cdots ,c_{i-1}$ 용어가 다시 결정된다 $c_{1},\cdots ,c_{i-1}$ .
The approximation at the $i^{th}$ stage $y(x)\approx \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)+\cdots +c_{i}\varphi _{i}(x)$ will be no worse than the approximation at the $(i-1)^{th}$ 무대를 꾸미다

절차의 수렴은 i ${\displaystyle$ i $}$ 이(가) 무한대로 경향이 있으므로 $i$ , 근사치는 적분 $I[y(x)]$ [ $y(x)$ ( $I[y(x)]$ ) $I[y(x)]$ $I[y(x)]$ 을 극단적으로 $y(x)$ 하는 정확한 함수 y $y(x)$ ( $y(x)$ ) ${\displaysty y(x)}$ 에 치우친다는 것을 의미한다 $I[y(x)]$

많은 경우, 다항식 또는 사인, 코사인 등의 전체 함수를 사용한다. A set of functions $\varphi _{i}(x)$ is called complete over $[a,b]$ if for each Riemann integrable function $f(x)$ , there is a set of values of coefficients $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ that reproduce $f(x)$ ( $f(x)$ ) ${\displaystyle f(x$

위에서 개략적으로 설명한 절차는 둘 이상의 독립 변수가 있는 경우로 확장될 수 있다.

기계공학에서의 응용

레일리-리츠 방법은 종종 기계 공학에서 스프링 질량 시스템이나 단면이 다양한 축의 플라이휠과 같은 다자유도 시스템의 대략적인 실제 공명 주파수를 찾기 위해 사용된다. 레일리 방식의 연장선이다. 또한 기둥에 대한 버클링 하중과 버클링 후 거동을 찾는 데도 사용할 수 있다.

시스템의 진동 주파수를 찾고자 하는 경우를 생각해 보십시오. 먼저, 오동그라미를 형태대로 쓰세요,

$[\displaystyle y(x,t)=Y(x)\cos \omega t}$

$Y(x)$ 수 없는 모드 $Y(x)$ Y $Y(x)$ ( x $Y(x)$ ) $Y(x)$ 를 가진 다음 $Y(x)$ 운동 에너지 용어와 잠재적 에너지 용어로 구성된 시스템의 총 에너지를 찾는다. 운동 에너지 용어는 $y(x,t)$ , $){\displaystyle$ y $(x,t)}$ 의 시간 파생물의 제곱을 포함하므로 $y(x,t)$ $\omega ^{2}$ 2 ${\$ 의 인자를 얻을 수 있으므로, 시스템의 총 에너지를 계산하여 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다 $\omega ^{2}$

$E=T+V\equiv A[Y(x)]\omega ^{2}\sin ^{2}\omega t+B[Y(x)]\cos ^{2}\omega t$

에너지의 보존에 의해, 평균 운동 에너지는 평균 잠재적 에너지와 같아야 한다. 그러므로,

$\omega^{2}={\frac {B[Y(x)]}{A[Y(x)]}}}}}=R[Y(x)]}}$

'레이리 지수'로도 알려져 있지 따라서 모드 형태 $Y(x)$ ( x $Y(x)$ ) ${\displaystyle Y(x$ 을 알면 A $A[Y(x)]$ [ $A[Y(x)]$ ( x $A[Y(x)]$ ) $A[Y(x)]$ $A[Y (x)]$ 과 $A[Y(x)]$ $B[Y(x)]$ [ Y $B[Y(x)]$ ( $B[Y(x)]$ ) $B[Y(x)]$ ${\displaystystyle B[Y (x$ 를 계산하고 차례로 고유주파수를 얻을 수 있을 것이다. 그러나 우리는 아직 모드 형태를 모른다. 이를 찾기 위해 몇 가지 근사 함수 $Y_{i}(x)$ i $Y_{i}(x)$ ( $Y_{i}(x)$ ) ${\$ $displaystyle Y(x$ )}의 조합으로 $Y(x)$ $Y(x)$ ( $Y(x)$ ) $Y(x)$ {\ $displaystyle Y_{i}(x)}$ 를 대략적으로 파악할 수 있다.

$Y(x)=\sum _{i=1}^{{N}c_{i}Y_{i}(x)$

여기서 $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ , $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ , $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ ${\$ 은(는) 결정해야 할 상수다 $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ . 일반적으로 $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ , $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ c $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ , $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ , c $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ ${\$ 의 임의 집합을 선택하면 시스템의 실제 고유모드의 중첩을 설명할 것이다 $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ However, if we seek $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ such that the eigenfrequency $\omega ^{2}$ is minimised, then the mode described by this set of $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}$ will be close to the lowest possible ac시스템의 tual eigen 모드. 따라서 이것은 가장 낮은 고유진동수를 찾는다. 만약 우리가 이 근사치 최저의 고유모드에 직교하는 고유모드를 발견한다면, 다음 몇 가지 고유빈도 또한 대략 찾을 수 있다.

일반적으로 $A[Y(x)]$ $c_{i}$ $c_{i}$ ${\$ 에 있는 항들의 집합으로 $B[Y(x)]$ A $A[Y(x)]$ [ $A[Y(x)]$ ( $)]$ ${\displaystyle A$ )]}과 $A[Y(x)]$ $B[Y(x)]$ [ $B[Y(x)]$ (x $)]$ 를 표현할 수 있다 $c_{i}$

$B[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{j}K_{ij}={\bf {c^{T}Kc}}}}}}}$

$A[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{j}{j}M_{ij}={\bf {c^{T}Mc}}}}}}}$

$M$ 서 $K$ $K$ 및 $K$ M $M$ 은 $M$ (는) 이산 시스템의 강성 행렬과 질량 행렬이다.

$\omega ^{2}$ $\omega ^{2}$ ${\$ 의 최소화는 다음과 $\omega ^{2}$ 같이 된다.

${\partial \omega^{2} \partial c_{i}}={\partial c_{i}}{\frac{c^{T}Kc}}{\bf {c^{T}Mc}=0$

이걸 풀면서.

${\bf {{c^{T}Mc}{\partial c}-{\bf {{c^{T}Kc}{\partial c}{\bf {c^{T}Mc}}}}}\partial c}=0}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle{\bf}-{\frac {\bf{c^{T}Kc}}{\bf {c^{T}Mc}}{\bf {{Mc}=0}}}}}}}}}$

${\bf {{Kc}-\omega^{2}{\bf {{Mc}=0}}}$

c의 비삼각적 용액의 경우 c의 행렬 계수의 결정 인수가 0이 되어야 한다.

$\det({\bf {{K}-\omega^{2}{\bf{M}}}}}=0$

이것은 시스템의 첫 번째 고유 빈도와 고유모드에 대한 해결책을 제공하며, N은 근사함수의 수입니다.

더블 스프링-매스 시스템 단순 케이스

다음의 논의는 가장 간단한 경우를 사용하며, 이 시스템은 두 개의 스프링과 두 개의 덩어리 덩어리를 가지고 있으며, 두 개의 모드 형태만 가정한다. 따라서 M = [m₁, m₂] 및 K = [k₁, k₂]이다.

모드의 형태는 시스템에 대해 가정되며, 두 개의 항으로 가정되며, 그 중 하나는 인자 B에 의해 가중된다. 예: Y = [1, 1] + B[1, -1]. 단순 고조파 운동 이론은 편향이 0일 때의 속도가 최대 편향 시 편향(y)의 각 주파수 $\omega$ $\omega$ $\omega$ 배라고 한다. 이 예에서 각 질량의 운동 에너지(KE)는 1 ${\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}$ ${\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}$ Y ${\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}$ ${\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}$ ${\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}$ ${\$ { $1}{1$ }:{2 $}}\omega ^{$ 2}이다 $.$ $Y_{1}^{2}m_{1}:{$ 1} 등이며 ${\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}$ , 각 스프링의 전위 에너지(PE)는 1 ${\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}$ k ${\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}$ ${\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}$ ${\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}$ ${\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}$ ${\$ }} $Y_$ 등

우리는 또한 댐핑이 없다면 최대 KE는 최대 PE와 같다는 것을 안다. 그러므로,

\sum _{i=1}^{2}\왼쪽 사진\frac {1}{1}{1}}\오메가 ^{2}Y_{i}^{2}M_{i}\오른쪽)=\sum _{i=1}^{2}\왼쪽({\frac {1}{2}}K_{i}}Y_{i}^{2}\오른쪽)

모드 셰이프의 전체 진폭은 항상 양쪽에서 취소된다는 점에 유의하십시오. 즉, 가정된 편향의 실제 크기는 문제가 되지 않고 모드 형태만 문제가 된다.

그런 다음 수학적인 조작은 최소, 즉 $d\omega /dB=0$ $d\omega /dB=0$ = 0 $d\omega=0$ 을(를) 찾기 위해 B에 대해 구별할 수 있는 B의 관점에서 $\omega$ ${\displaystyle \$ $omega$ $}$ 에 대한 식을 얻는다 $d\omega /dB=0$ 이는 $\omega$ $\omega$ 이(가) 가장 $\omega$ 낮은 B 값을 제공한다. 모드 형태를 가정하기 때문에 $\omega$ $\omega$ 이(가) 시스템의 예측된 기본 주파수가 될 것으로 기대되는 $\omega$ 경우 $\omega$ 이는 $\omega$ $\omega$ 에 대한 상한 솔루션이지만, B가 가정된 두 개의 최적 '믹스'를 찾는 데 사용되기 때문에 우리는 가정할 때 그 상한의 가장 낮은 값을 찾았다. 모드 셰이프 기능.

이 방법으로는 여러 가지 묘기가 있는데, 가장 중요한 것은 현실적인 가정한 모드 형태를 선택하려고 시도하는 것이다. 예를 들어, 빔 편향 문제의 경우 예상 용액과 분석적으로 유사한 변형 형태를 사용하는 것이 현명하다. 사분위는 변형된 용액의 순서가 더 낮더라도 단순 연계된 보의 쉬운 문제 대부분에 적합할 수 있다. 스프링과 질량은 분리될 필요가 없으며 연속(또는 혼합물)이 될 수 있으며, 분산된 KE 및 PE 용어를 쉽게 설명하거나 또는 연속적인 요소를 분리하여 분리할 수 있다면 이 방법은 스프레드시트에서 쉽게 사용할 수 있다.

이 방법은 이전 베스트 솔루션에 모드 형태를 추가해 반복적으로 사용할 수도 있고, B가 많고 모드 형태가 많은 긴 식을 쌓은 다음 부분적으로 구별할 수도 있다.

참고 항목

참고 및 참조

^ ^a ^b Leissa, A.W. (2005). "The historical bases of the Rayleigh and Ritz methods". Journal of Sound and Vibration. 287 (4–5): 961–978. Bibcode:2005JSV...287..961L. doi:10.1016/j.jsv.2004.12.021.
^ ^a ^b Ilanko, Sinniah (2009). "Comments on the historical bases of the Rayleigh and Ritz methods". Journal of Sound and Vibration. 319 (1–2): 731–733. doi:10.1016/j.jsv.2008.06.001.
^ Trefethen, Lloyd N.; Bau, III, David (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. p. 254. ISBN 978-0-89871-957-4.

외부 링크

Course on Micculation of Variation, Rayleigh-Ritz 방법에 대한 섹션이 있다.

[Leissa-1] Leissa, A.W. (2005). "The historical bases of the Rayleigh and Ritz methods". Journal of Sound and Vibration. 287 (4–5): 961–978. Bibcode:2005JSV...287..961L. doi:10.1016/j.jsv.2004.12.021.

[Ilanko-2] Ilanko, Sinniah (2009). "Comments on the historical bases of the Rayleigh and Ritz methods". Journal of Sound and Vibration. 319 (1–2): 731–733. doi:10.1016/j.jsv.2008.06.001.

[TrefethenIII1997-3] Trefethen, Lloyd N.; Bau, III, David (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. p. 254. ISBN 978-0-89871-957-4.

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