힐버트의 20번째 문제

힐버트의 20번째 문제는 데이비드 힐버트가 1900년에 편집한 유명한 목록에 제시된 23개의 힐버트 문제들 중 하나이다.그것은 모든 경계 값 문제를 해결할 수 있는지(즉, 특정 경계 조건의 변동 문제에는 해결책이 있는지)를 묻는다.

소개

힐버트는 함수의 값이 경계에서 주어지는 부분 미분 방정식을 푸는 방법이 존재하지만, 문제는 경계에서 조건이 더 복잡한 부분 미분 방정식을 푸는 방법(예: 함수의 파생상품 포함)이나 변동 미적분 문제를 해결하는 방법을 요구했다고 언급했다.1차원 이상 문제(예: 최소 표면 문제 또는 최소 곡률 문제)

문제명세서

원래의 문제성명 전체가 다음과 같다.

앞에서 말한 [힐버트의 19번째 문제를 언급함]과 밀접하게 연관된 중요한 문제는 그 지역의 경계에 있는 값을 규정할 때 부분 미분방정식의 해결책에 관한 문제다.이 문제는 H. A. Schwarz, C.의 예리한 방법에 의해 주로 해결된다.Neumann, 그리고 Poincaré는 전위의 미분 방정식을 위한 것이다.그러나 이러한 방법들은 일반적으로 경계를 따라 미분 계수나 이것들과 함수의 값들 사이의 관계를 규정하는 경우로 직접 확장할 수 없는 것으로 보인다.또한, 조사 대상이 잠재적 표면이 아니라, 예를 들어, 규정된 비틀어진 곡선을 통과하거나 주어진 고리 표면 위로 뻗어나가는 최소 면적의 표면 또는 일정한 양의 가우스 곡률 표면의 경우로 즉시 확장할 수 없다.디리클레트의 원리로 본질을 나타내는 일반적인 원리를 통해 이러한 존재의 이론들을 증명하는 것이 가능할 것이라는 것이 나의 확신이다.이 일반적인 원칙은 아마도 우리가 이 질문에 접근할 수 있게 해줄 것이다:주어진 경계조건에 관한 특정 가정을 만족하고(이 경계조건에 관련된 기능이 연속적이며 하나 이상의 파생상품이 있다고 가정한다), 또한 필요한 경우 해결책의 개념이 적절히 확장되어야 하는 경우에도 모든 정규변동들이 해결책에 문제가 있지 않았는가?^[1]

경계 값 문제

미분 방정식의 분야에서 경계 값 문제는 경계 조건이라고 불리는 추가 제약 조건들의 집합과 함께 미분 방정식이다.경계값 문제에 대한 해결책은 경계 조건도 만족시키는 미분방정식에 대한 해결책이다.

적용에 유용하려면 경계 값 문제가 잘 제기되어야 한다.즉, 문제에 대한 입력을 고려할 때 입력에 지속적으로 의존하는 고유한 해결책이 존재한다는 것을 의미한다.부분 미분방정식 분야의 많은 이론적 연구는 과학 및 공학 응용에서 발생하는 경계 가치 문제가 실제로 잘 반영되어 있다는 것을 입증하는 데 전념하고 있다.

참조

• Krzywicki, Andrzej (1997), "Hilbert's Twentieth Problem", Hilbert's Problems (Mi\polhk edzyzdroje, 1993) (in Polish), Polsk. Akad. Nauk, Warsaw, pp. 237–245, MR 1632452.
• Serrin, James (1976), "The solvability of boundary value problems", Mathematical developments arising from Hilbert problems (Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., May 1974), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. XXVIII, Providence, R. I.: American Mathematical Society, pp. 507–524, MR 0427784.
• Sigalov, A. G. (1969), "On Hilbert's nineteenth and twentieth problems", Hilbert's Problems (in Russian), Moscow: Izdat. “Nauka”, pp. 204–215, MR 0251611.