패킹 밀도

일부 공간에서의 패킹 밀도 또는 패킹 비율은 패킹을 구성하는 수치로 채워진 공간의 비율입니다.간단히 말해서, 이것은 공간 자체의 부피에 대한 공간 내 물체의 부피의 비율입니다.패킹 문제에서는 일반적으로 가능한 한 가장 큰 밀도의 패킹을 얻는 것이 목적입니다.

콤팩트한 공간에서

$K n,$ ...,K가 콤팩트 $측정$ 공간 X의 측정 가능한 부분 집합이고 그 내부가 쌍으로 교차하지 않는다면, $집합 1$ [ $K i]$ 는 $X$ 의 패킹이고 패킹 밀도는 다음과 같습니다.

\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}

\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}

i

\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}

=

\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}

(

\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}

)

μ

(

\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}

X ){

displaystyle

\eta =

fr frac

{

sum _

{ i =

1 }^{n

\

mu

( K _ { i } ) } { \

mu

( X

\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}

)

\eta ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\mu (K_{i})}{\mu (X)}}

}

유클리드 공간에서

유클리드 공간과 같이 공간이 무한대인 경우에는 밀도를 점점 더 큰 반경의 공에 나타나는 밀도의 한계로 정의하는 것이 관례입니다.B가 원점을 중심으로 한 $반지름$ t의 공일 $경우 t$ 패킹 $[K i : i$ n $\mathbb {N}$ \ $displaystyle \mathbb {N}$ 의 밀도는 다음과 같다.

\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}

= lim t

\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}

→

\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}

i

\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}

=

1

(

\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}

∩

\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}

t

\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}

)

μ

(

\eta =\lim _{t\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{\infty }\mu (K_{i}\cap B_{t})}{\mu (B_{t})}}

t ){ display \

eta

= \

lim _ {t\to

\infty

}{\frac

{

sum _ {i=

1}^{\

infty }\mu

(

K_{i

}\cap

B_{T})

{

mu

}

이 한계가 항상 존재하는 것은 아니기 때문에, 상한 밀도와 하한 밀도를 각각 위의 한계보다 높고 낮은 한계로 정의하는 것도 유용합니다.밀도가 존재하는 경우, 상한 및 하한 밀도는 동일합니다.유클리드 공간의 어떤 공도 패킹의 많은 요소와 완전히 교차하고 요소의 지름이 위에서 경계가 되는 경우, (위, 아래) 밀도는 원점 선택에 의존하지 $않으며$ ,^[1] $B$ 를_t 교차하는 모든 원소에 대해 $μ i$ $(K t$ $)$ 로_i 치환할 수 있다.볼은 다른 볼록체의 희석으로도 대체될 수 있지만, 일반적으로 결과 밀도는 동일하지 않다.

최적의 패킹 밀도

사람들은 종종 특정 공급 수집의 요소를 사용하기 위해 제한된 포장에 관심이 있다.예를 들어, 공급 컬렉션은 특정 반경의 모든 볼 집합일 수 있습니다.공급 수집과 관련된 최적의 패킹 밀도 또는 패킹 상수는 공급 수집의 하위 수집인 패킹에 의해 얻어진 상위 밀도의 최상이다.공급 컬렉션이 유계 직경의 볼록체로 구성되어 있는 경우에는 패킹 밀도가 패킹 상수와 동일한 패킹이 존재하며, 밀도의 정의에 포함되는 볼록체가 다른 ^[1]볼록체의 확장에 의해 치환되어도 이 패킹 상수는 변하지 않는다.

특정 공급 컬렉션은 고정 $볼록체$ K의 모든 유클리드 운동이다.이 경우 패킹 상수를 $K$ 의 패킹 상수라고 합니다.케플러의 추측은 3개의 공을 채우는 상수와 관련이 있다.Ulam의 패킹 추측에 따르면 볼록한 고체 중 3개의 볼이 패킹 상수가 가장 낮습니다.고정 바디의 모든 번역은 공통의 관심 공급 집합이며, 해당 바디의 변환 패킹 상수를 정의합니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b Groemer, H. (1986), "Some basic properties of packing and covering constants", Discrete and Computational Geometry, 1 (2): 183–193, doi:10.1007/BF02187693

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Packing Density". MathWorld.

[groemer1986-1] Groemer, H. (1986), "Some basic properties of packing and covering constants", Discrete and Computational Geometry, 1 (2): 183–193, doi:10.1007/BF02187693

[1]

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