십이면체

십이면체

저h, 120개 주문합니다.
통상의	스몰스텔레이트-	훌륭하다	훌륭한 젤리 가공-
Th, 주문 24	T, 주문 12	오더48h	존슨(J84)
열면체	사변체	마름모꼴	삼각형의
D4h, 주문 16		D3h, 주문 12
마름모-헥사각형-	마름모꼴-	트라페조롬브-	마름모-삼각형-

In geometry, a dodecahedron (Greek δωδεκάεδρον, from δώδεκα dōdeka "twelve" + ἕδρα hédra "base", "seat" or "face") or duodecahedron^[1] is any polyhedron with twelve flat faces.가장 친숙한 12면체는 정5각형을 면으로 하는 정십이면체로, 이것은 플라톤의 고체이다.또한 볼록한 형태로 만들어진 세 개의 규칙적인 별 12면체가 있다.모두 정십면체 대칭을 가지고 있어요 120개 정도요

일부 십이면체는 정십이면체와 동일한 조합 구조를 가지고 있지만(정점과 모서리에 의해 형성된 그래프 측면에서), 오각형 면은 규칙적이지 않습니다.황철광에서 흔히 볼 수 있는 결정 형태인 황열면은 황열면대칭인 반면, 사면체는 사면체대칭이다.

마름모꼴 12면체는 열면체의 제한적인 경우로 볼 수 있으며, 팔면체 대칭을 가지고 있다.길쭉한 12면체와 트라페조-마름모꼴 12면체 변형은 마름모꼴 12면체와 함께 공간을 채운다.다른 12면체들도 많이 있다.

정십이면체는 다른 플라톤계 입체들과 많은 특징을 공유하지만, 한 가지 독특한 특성은 표면의 모서리에서 시작하여 다른 ^[2]모서리를 교차하지 않고 원래 점으로 돌아가는 도형을 가로질러 무한히 많은 직선을 그릴 수 있다는 것입니다.

정십이면체

볼록한 정십이면체는 5개의 정육면체 중 하나이며 Schléfli 기호 {5, 3)로 나타낼 수 있습니다.

이중 다면체는 각 꼭지점 주위에 5개의 정삼각형이 있는 정십면체 {3, 5}입니다.

4종류의 정십면체

볼록 정십이면체

작은 젤리 모양의 12면체

대십이면체

큰스텔레이트 십이면체

볼록한 정십이면체는 또한 세 개의 층을 가지고 있는데, 모두 정십이면체이다.그것들은 4개의 케플러-포인소트 다면체 중 3개를 형성합니다.그것들은 작은 계단식 12면체 {5/2, 5}, 큰 12면체 {5, 5/2} 및 큰 계단식 12면체 {5/2, 3)입니다.작은 계단 모양의 12면체와 큰 12면체는 서로 이중이며, 큰 계단 모양의 12면체는 큰 20면체 {3, 5/2}와 이중입니다.이 모든 규칙적인 별 12면체는 규칙적인 오각형이나 오각형의 면을 가지고 있다.볼록한 정십이면체와 큰 정십이면체는 같은 추상적인 정십이면체의 다른 실현이다; 작은 정십이면체와 큰 정십이면체는 또 다른 추상적인 정십이면체의 다른 실현이다.

기타 오각십이면체

결정학에서, 두 가지 중요한 십이면체는 정십이면체와 위상적으로 동일하지만 대칭이 덜한 입방정계의 대칭 클래스에서 결정 형태로 발생할 수 있다: 열이면체 대칭을 가진 열이면체와 사면체 대칭을 가진 사면체:

열면체

열면체
(회전 모델은 여기를 참조하십시오.)
면 폴리곤	이등변오각형
콕서터 도표
얼굴	12
가장자리	30 (6 + 24)
꼭지점	20 (8 + 12)
대칭군	Th, [4,3+], (3*2), 주문 24
로테이션 그룹	T, [3,3],+ (332), 순서 12
이중 다면체	유사이십면체
특성.	과도기에 직면하다
그물

열면체는 열면체(T_h) 대칭을 가진 12면체이다.정십이면체와 마찬가지로 12개의 동일한 오각형 면을 가지며, 20개의 꼭지점 각각에서 3개가 만난다(그림 ^[3]참조).그러나, 펜타곤은 규칙적이도록 구속되지 않으며, 기초 원자 배열은 진정한 5배 대칭 축을 가지지 않습니다.30개의 가장자리는 길이가 같은 24개의 가장자리와 6개의 가장자리를 포함하는 두 세트로 나뉩니다.회전 대칭의 유일한 축은 상호 수직 이중 접이식 축 3개와 3중 접이식 축 4개입니다.

정십면체는 결정에는 존재하지 않지만, 황철광의 결정에는 정십면체가 존재하며, 정십면체는 정십면체의 고체 형태를 발견하는 데 영감을 줄 수 있다.진정한 정십이면체는 진정한 5배 회전 축을 포함하는 20면체 대칭을 가진 준결정(홀뮴 마그네슘-아연 준결정 등)의 형상으로 발생할 수 있다.

수정 황철광

결정 황철광이라는 이름은 황철광(다른 하나는 입방체)이 보여주는 두 가지 일반적인 결정 습성 중 하나에서 유래했습니다.면의 밀러지수가 (210)인 황철광은 면의 밀러지수가 2·arctan(2) 126 126.87°이며, 각 오각면은 약 106.6°의 2개 각도와 약 102.6°의 반대 2개 각도에서 약 121.6°의 1개 각도를 가진다.다음 공식은 완벽한 결정의 면(자연에서는 거의 발견되지 않음)에 대한 측정을 보여 줍니다.

$디스플레이 스타일높이}}=hargfrac{cdot{5}{2}\cdot{text{긴쪽}}$

$디스플레이 스타일Width}} = flac {4} {3}} \ cdot {text {long side} }$

$디스플레이 스타일Short sides} = sq {\rt { frac { 7 } { 12 } \ cdot { text { long side } }$

천연 황철광(오른쪽 얼굴 각도)

데카르트 좌표

정육면체의 8개 정점은 좌표(±1, ±1, ±1)를 갖는다.

12개의 추가 정점의 좌표는 (0, ±(1 + h), ±(1 - h²), (±(1 + h), ±(1 - h²), 0) 및 (±(1 - h²), 0, ±(1 + h)이다.

h는 모서리 길이가 2인 입방체의 면 위에 있는 쐐기 모양의 "지붕"의 높이이다.

중요한 사례는 h =이다.완벽한 천연 황철광(Weaire의 황철면체이기도 함)을 위한 1/2(입방체 모서리 길이의 1/4).Phelan 구조).

또 다른 하나는 h = 1/sq = 0.199...정십이면체입니다.다른 경우 섹션 기하학적 자유도를 참조하십시오.

0이 아닌 좌표가 교환된 두 개의 피리토헤드라는 두 개의 십이면체의 화합물인 십이면체처럼 서로 이중 위치에 있습니다.

h = 1/2인 열면체의 직교 투영

높이 1/2 및 1/1,000

애니메이션
높이가 ±1/µ인 볼록 및 오목 피리토헤드라 교대로 이루어진 벌집	0 사이의 높이(입방체) 및 1(롬브 12면체)

기하학적 자유도

열면체는 입체 볼록한 선체의 경우 공선 모서리의 한 한계로 제한되는 기하학적 자유도를 가지며, 다른 한계로 마름모꼴 12면체는 6개의 모서리가 길이 0으로 퇴화된다.정십이면체는 모든 모서리와 각도가 동일한 특수한 중간 경우를 나타냅니다.

이러한 제한 케이스를 지나 오목 또는 비볼록 피리토면을 만들 수 있습니다.내이십이면체는 오목하고 등변형이다. 볼록한 정십이면체와 함께 공간을 테셀링할 수 있다.거기서부터 그 방향으로 나아가서, 12개의 정점이 중앙에서 일치하고, 모든 모서리와 각도가 다시 같아지고, 면이 규칙적인 5각형으로 일그러지는 퇴화된 경우를 통과합니다.마름모꼴 12면체를 지나면물고기 모양의 자기교차하는 등각면 오각형 면의 비볼록 등각면 12면체를 얻을 수 있습니다.

열면체의 특수한 경우
절대값이 같고 부호가 반대인 버전이 함께 허니콤을 형성합니다.(이 애니메이션을 비교해 보십시오) 표시된 비율은 모서리 길이, 즉 24개 세트(큐브 정점 터치)와 6개 세트(큐브 면)의 비율입니다.
비율	1 : 1	0 : 1	1 : 1	2 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1
h	-4205 + 1/2	−1	-4105 + 1/2	0	5 5 - 1/2	1	55 + 1/2
	−1.618...		−0.618...		0.618...		1.618...
이미지	규칙적인 별, 오각형 면의 거대한 젤리 모양의 12면체	축퇴, 중심에 12개의 꼭지점	내이십이면체라고 불리는 오목한 정십이면체.[clarification needed]	입방체는 모든 모서리와 면을 서로 다른 방향으로 이등분함으로써 정육면체로 분할할 수 있다.	정십이면체는 모서리 길이가 같은 중간 케이스입니다.	마름모꼴 12면체는 6개의 교차점이 길이 0으로 줄어든 퇴화 케이스입니다.	자기교차 정십이면체

사변체

사변체 사각형 오각형 십이면체
(회전 모델은 여기를 참조하십시오.)
면 폴리곤	불규칙 오각형
콘웨이 표기법	gT
얼굴	12
가장자리	30 (6+12+12)
꼭지점	20 (4+4+12)
대칭군	T, [3,3],+ (332), 순서 12
특성.	볼록, 면 전이

사각형(사각형 5각형 12면체, 오각형 3면체 및 사각형 5면체 12면체)은 키랄 4면체 대칭(T)을 가진 12면체이다.정십이면체와 마찬가지로, 그것은 12개의 동일한 오각형 면을 가지고 있으며, 20개의 꼭지점 각각에서 3개의 면들이 만난다.그러나 펜타곤은 정칙이 아니며 그림에는 5중 대칭 축이 없습니다.

정십면체는 결정체에는 존재하지 않지만, 사각형 형태는 존재한다.4면체라는 이름은 그리스 어근의 1/4에서 유래했는데, 이는 4분의 1이 완전한 팔면체 대칭의 1/4과 반쪽이 열면체 ^[4]대칭을 가지고 있기 때문이다.광물 코발타이트는 이러한 대칭 ^[5]형태를 가질 수 있습니다.

입방체와 사면체에서 고체의 위상과 대칭을 공유하는 추상화를 만들 수 있습니다.입방체 내에서 각 면은 비스듬한 모서리에 의해 양분된다.사면체에서는 각 모서리가 삼등분되고 면의 중심에 연결된 새로운 정점이 각각 있습니다.(콘웨이 다면체 표기법에서는 이것이 자이로 사면체입니다.)

2-폴드 및 3-폴드 축으로부터의 맞춤 투영

입방체 및 사면체형

코발타이트

다이아키스 12면체와의 관계
사각형은 다이아키스 12면체의 24면 중 12면을 확대함으로써 생성될 수 있다(여기에 표시된 사각형은 다이아키스 12면체의 48면 중 24면을 확대하여 생성된 것에 기초한다). 중앙의 다이아키스 12면체에 기초한 키랄 4면체 수정 모형 오른쪽의 결정 모델은 다이아키스 십이면체 코어의 푸른 면을 확대하여 생성된 사각형입니다.따라서 파란색 면 사이의 가장자리는 빨간색 스켈레톤 가장자리로 덮여 있습니다.

데카르트 좌표

다음 점은 사면체 대칭 아래 사각형 오각형의 꼭지점입니다.

(a, b, c), (-a, -b, c), (-n/d₁, -n/d₁₁, n/d), (-c, -a, b), (-n/d₂, n/d₂₂),

다음 조건 하에서.^[6]

0 a a b b c c,

n = ac² - bc²,

d₁ = a² - ab + b² + ac - 2bc,

d₂ = a² + ab + b² - ac - 2bc,

ndd₁₂ 0 0 。

기하학적 자유도

정십이면체는 필요 이상의 대칭을 가진 사각형이다.트라이아키스 사면체는 모서리가 0인 12개의 퇴화 케이스입니다.(이 평균 위에 사용된 색상으로 볼 때 흰색 정점과 녹색 가장자리가 녹색 정점에 흡수됩니다.)

정십이면체에서 삼면체까지의 사각형 변화

삼각 자이로비안티쿠폴라 쌍대

정십이면체의 낮은 대칭 형태는 삼각 자이로비안티쿠폴라라고 불리는 두 개의 삼각 반쌍둥이가 베이스에서 베이스로 연결된 다면체의 쌍으로 구성될 수 있다.D 대칭을_3d 가지며, 12차입니다.상부와 하부에 동일한 펜타곤 3개씩 2세트가 있으며, 6개의 펜타곤이 위아래로 번갈아 연결되어 있습니다.이 양식은 단면이 육각형이며 동일한 복사본을 부분 육각형 벌집으로 연결할 수 있지만 모든 정점이 일치하지는 않습니다.

마름모꼴 12면체

마름모꼴 12면체는 12개의 마름모꼴 면과 8면체 대칭을 가진 조면체이다.그것은 준규정육면체(아르키메데스의 고체)와 이중이며 결정 형태로 자연에서 발생한다.마름모꼴의 12면체는 공간을 채우기 위해 함께 채워진다.

마름모꼴 12면체는 6개의 특별한 모서리가 0으로 감소하여 5각형을 마름모꼴 면으로 줄인 퇴화된 열면체로 볼 수 있습니다.

마름모꼴 12면체에는 여러 개의 층이 있으며, 그 중 첫 번째 층은 역시 평행면체 공간필러입니다.

또 다른 중요한 마름모꼴 12면체인 빌린스키 12면체는 마름모꼴 3면체의 면과 일치하는 12개의 면을 가지고 있다. 즉, 대각선은 황금 비율의 비율이다.그것은 또한 조면체이며 1960년에 ^[7]빌린스키에 의해 기술되었다.이 그림은 또 다른 공간필러이며, 마름모꼴 3면체, 마름모꼴 20면체 및 마름모꼴 ^[8]6면체와 함께 비주기적 공간 필링에서도 발생할 수 있습니다.

기타 십이면체

에는 6,384,634 접속 형태적으로 뚜렷한 볼록 dodecahedra, 거울 제외하고 있images—the 수의 vertices 범위에서 8에 20.[9](두 polyhedra 있"접속 형태적으로 뚜렷한"고 본질적으로 다른 협정의 얼굴과 vertices 있는 것처럼 그것은 거의 불가능한 왜곡 하나로 다른 단순히를 변화시킴으로서 길이의 모서리나.월e 모서리 또는 면 사이의 각도).

위상적으로 구별되는 십이면체(오각형 및 마름모꼴 제외)

• 균일한 다면체:
  • 십각 프리즘 – 정사각형 10개, 데카곤 2개, D_10h 대칭, 순서 40.
  • 오각형 대척점 – 정삼각형 10개, 오각형 2개, D_5d 대칭, 순서 20
• Johnson 솔리드(정규 면):
  • 오각형 큐폴라 – 삼각형 5개, 정사각형 5개, 오각형 1개, 데카곤 1개_5v, C 대칭, 순서 10개
  • 스눕 디스피노이드– 12개의 삼각형, D_2d, 순서 8
  • 길쭉한 정사각형 이각형 – 8개의 삼각형과 4개의 정사각형, D_4h 대칭, 16차
  • 메타비드 제거된 20면체 – 삼각형 10개와 5각형 2개, C_2v 대칭, 순서 4
• 일치하는 불규칙한 면: (면 전이)
  • 육각형 2각형 – 12개의 이등변 삼각형, 육각형 프리즘의 듀얼, D_6h 대칭, 순서 24
  • 육각삼면체 – 연 12개, 육각반대칭 이중_6d, D대칭, 순서 24
  • 트라이아키스 사면체 – 12개의 이등변 삼각형, 잘린 사면체 이중, T_d 대칭, 순서 24
• 기타 정규적이지 않은 얼굴:
  • 헨데카곤 피라미드– 11개의 이등변 삼각형과 1개의 정삼각형, C_11v, 순서 11
  • Trapezo-rhombic 12면체 – 6 Rhombi, 6 사다리꼴 – 이중 삼각정소성 우폴라, D_3h 대칭, 순서 12
  • Rhombo-hexagonal 12면체 또는 길쭉한 12면체 – 8 Rhombi 및 4 등변 육각형, D_4h 대칭, 차수 16
  • 깎은 오각형 삼면체, D_5d, 차수 20, 위상적으로 정십이면체와 동일

실용적 사용

Armand Spitz는 알버트 아인슈타인의 제안을 바탕으로 디지털 돔 플라네타리움 ^[10]프로젝터에 해당하는 "글로브"로 12면체를 사용했습니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 120셀 - 표면이 120개의 12면체 셀로 구성된 일반 폴리코론(4D 폴리토프)입니다.
• 브라루도스포에라 비겔로위 - 12면체 모양의 콕콜리소포(단세포 식물성 플랑크톤 조류).
• 펜타키스 12면체
• 로마 12면체
• 스누브 12면체
• 잘린 12면체

레퍼런스

외부 링크

• 폴 스티븐슨(1993년), The Mathemical Gazette, Vol. 77, No. 479 (Jul., 1993), 220–226 페이지 [1]의 플라톤의 제4고체와 "열면체"
• 열면체 VRML 모델 제작 및 열면체 애니메이션 제작 및 그 제작
• Klitzing, Richard. "3D convex uniform polyhedra o3o5x – doe".
• 인터랙티브한 3D 뷰가 있는 12면체의 편집 가능한 네트
• 통일된 다면체
• 종이접기 다면체 – 모듈러 종이접기로 만든 모델
• 가상현실 폴리헤드라 폴리헤드라 백과사전
• K.J.M. 맥린, 5개의 플라톤 고체와 기타 반정규 다면체의 기하학적 해석
• 12면체 3D 시각화
• 스텔라: 다면체 탐색기:이 페이지의 일부 이미지를 만드는 데 사용되는 소프트웨어입니다.
• 스티로폼 큐브로 12면체 만드는 법

v t 치수 2-10의 기본 볼록 정규 및 균일한 폴리토프
가족	An	Bn	I2(p) / Dn	E6/E7/E8/F4/G2	Hn
정다각형	삼각형	광장	p곤	육각형	펜타곤
균일한 다면체	사면체	8면체 • 큐브	데미큐브		12면체 • 이십면체
균일한 폴리코론	펜타코론	16 셀 • 테서랙트	데모테서랙트	24 셀	120 셀 • 600 셀
균일한 5 폴리토프	51200x	5 - ORTOPLEX • 5 - 큐브	5 데미큐브
균일한 6 폴리토프	61200x	6-정류 • 6-큐브	6-데미큐브	122 • 221
균일한 7 폴리토프	71200x	7-정류 • 7-큐브	7 데미큐브	132 • 231 • 321
균일한 8 폴리토프	8180x	8-정류 • 8-큐브	8개의 데미큐브	142 • 241 • 421
균일한 9-폴리토프	9169x	9-정류 • 9-입방체	9데미큐브
균일한 10 폴리토프	10-1996x	10 - ORTOPLEX • 10 - 큐브	10 데미큐브
균일한 n-폴리토프	n-1996x	n-ortoplex • n-입방체	n-데미큐브	1k2 • 2k1 • k21	n-오각형 폴리토프
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