유니모달리티

수학에서 단수성은 독특한 모드를 갖는 것을 의미한다. 보다 일반적으로, 비모디칼리티는 어떤 수학적인 대상의 가장 높은 값이 어떻게든 정의되어 있다는 것을 의미한다.^[1]

단일 확률 분포

통계에서 단항 확률 분포 또는 단항 분포는 단일 피크를 갖는 확률 분포다. 이 맥락에서 "모드"라는 용어는 통계에서 흔히 볼 수 있는 모드의 엄격한 정의뿐만 아니라 분포의 최고점을 가리킨다.

단일 모드가 있는 경우 분포 함수를 "단일 모드"라고 한다. 더 많은 모드를 가진 경우, "바이모달"(2), "트리모달"(3), 또는 일반적으로 "멀티모달"^[2]이다. 그림 1은 단일한 분포인 정규 분포를 보여준다. 단항 분포의 다른 예로는 Cauchy 분포, 학생 t 분포, 카이 제곱 분포 및 지수 분포가 있다. 이산형 분포 중에서 이항 분포와 포아송 분포는 단항 분포로 볼 수 있지만, 일부 모수의 경우 동일한 확률로 두 개의 인접 값을 가질 수 있다.

그림 2와 그림 3은 이원 분포를 나타낸다.

기타 정의

분포함수에서 단항성에 대한 다른 정의도 존재한다.

연속분포에서는 누적분포함수(cdf)의 거동을 통해 단일성을 정의할 수 있다.^[3] cdf가 x < m의 경우 볼록, x > m의 경우 오목한 경우 분포는 단모드(m)이며, m은 모드(m)이다. 이 정의에 따르면 균일 분포는 단일 분포일 뿐 아니라,^[4] 사다리꼴 분포와 같은 값의 범위에 대해 최대 분포가 달성되는 다른 모든 분포에도 해당한다는 점에 유의하십시오. 일반적으로 이 정의는 모드에서 불연속성을 허용한다. 일반적으로 연속적인 분포에서 단일 값의 확률은 0인 반면, 이 정의는 모드에서 0이 아닌 확률 또는 "확률의 원자"를 허용한다.

또한 단일성에 대한 기준은 분포의^[3] 특성 함수 또는 라플라스-스티엘트제스 변환을 통해 정의될 수 있다.^[5]

단일 이산형 분포를 정의하는 또 다른 방법은 확률의 차이의 순서에서 부호 변화가 발생하는 것이다.^[6] A discrete distribution with a probability mass function, ${\displaystyle \{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}}$, is called unimodal if the sequence ${\displaystyle \dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p$$_{1}-p_{2},\cHB }$에는 정확히 하나의 기호 변경(제로가 포함되지 않을 때)이$$ 있다.

사용 및 결과

분포의 불균형이 중요한 한 가지 이유는 그것이 몇 가지 중요한 결과를 허용하기 때문이다. 아래에 몇 가지 불평등이 제시되어 있는데, 이 불평등은 단일한 분포에만 유효하다. 따라서 주어진 데이터 집합이 단일 분포에서 왔는지 여부를 평가하는 것이 중요하다. 다중모드 분포에 관한 논문에는 단일성에 대한 몇 가지 테스트가 제시되어 있다.

불평등

가우스의 부등식

첫 번째 중요한 결과는 가우스의 불평등이다.^[7] 가우스의 부등식은 값이 모드로부터 주어진 거리보다 더 많이 위치할 확률에 상한을 부여한다. 이 불평등은 비이상성에 달려 있다.

비소찬스키-페투닌 불평등

두 번째는 체비셰프 불평등의 정제인 ^[8]비소찬스키슈-페투닌 불평등이다. 체비셰프 불평등은 확률 분포에서 값이 "거의 모두" 평균 값에 "가까이" 있음을 보장한다. Vysochanski inequality-Petunin 불평등은 분포 함수가 연속적이고 단일하다는 전제하에 이를 더 가까운 값으로 재조정한다. 추가적인 결과는 셀케와 셀케에 의해 나타났다.^[9]

모드, 중위수 및 평균

가우스도 1823년에 단일한 분포를^[10] 위해 그것을 보여주었다.

$\displaystyle \lecma \leq \omega \leq 2\lecma }$

그리고

${\displaystyle \nu -\mu \leq {\sqrt {\frac {3}{4}}\omega ,}$

여기서 중위수는 μ이고 평균은 μ이고 Ω은 모드의 루트 평균 제곱 편차다.

단측 분포에 대해 중위수 μ와 평균 μ가 서로 (3/^1/25) μ 표준 편차 0.7746 내에 있음을 나타낼 수 있다.^[11] 기호로는

${\displaystyle {\frac {\nu -\mu }{\numa }}}}\leq {\sqrt {\frac{3}{5}}}}}}}}}$

여기서 는 절대값이다.

2020년 베르나르, 카치, 반두펠은 대칭 퀀텀 평균 $q{\displaystyle \frac{{}_{}{\alpha }_{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{{(1}_{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{{\alpha }_{}}{}}$) 2 ${\$}{\$frac }}+q_{(1-$\alpha $)}}}{{{{2$}}}} 사이의 최대 거리를 도출하여 이전의 불평등을 일반화했다$.$^[12]

${\displaystyle{\frac{\left{\frac{q_{\alpha}+q_{(1-\alpha)}}{2}}-\mu\right}{\sigma}}\leq \left\{{\begin{배열}{개}{\frac{{\sqrt[{}]{{{4\frac}{9(1-\alpha)}}-1}}{\text{}}+{\text{}}{\sqrt[{}]{\frac{1-\alpha}{1/3+\alpha}}}}{2}}&{\text{에}}\alpha \in \left[{\frac{5}{6}},1\right)\!,\\{\frac{{\sqrt[{}]{\frac{3\alpha}{4-3\alpha}}.}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}\오른쪽.}$

최대 거리는 $\alpha {\displaystyle }$=${\displaystyle 0}$.5 ${\displaystyle \alpha =$ 0.$5}($즉, 대칭 계량형 평균이${\displaystyle {\mathrm{q}}_{}}$ 0.5${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle q_{0.5}=\nu$})$$에서 최소화되며, 이는 실제로 평균에 대한 강력한 추정기로서 중위수를 선택하는 데 동기가 된다. 더욱이 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$.5${\displaystyle \alpha$= 0.$5$일 때 바운드는 3${\displaystyle \sqrt{}}$/ $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$과 같으며, 이는 중위수와 단변 분포의 평균 사이의 최대 거리이다.

중위수와 모드 θ 사이에 유사한 관계가 있다. 이 관계는 서로 3 ≈ 1^1/2.732 표준 편차 내에 있다.

${\displaystyle {\frac {\nu -\theta}{\\numa }}}}\leq {\sqrt {3}.}$

또한 평균과 모드는 서로 3개^1/2 이내임을 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mu -\theta}{\\ma}}}}\leq {\sqrt {3}}.}$

왜도와 첨도

로하트기와 스체켈리는 단일 분포의 왜곡과 첨도가 불평등과 관련이 있다고 주장했다.^[13]

${\displaystyle \property \{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=12}$

여기서 κ은 첨도, γ은 뒤틀림이다. Klaassen, Mokveld 및 van Es는 모드와 평균이 일치하는 단일 분포 집합과 같은 특정 설정에만 적용된다는 것을 보여주었다.^[14]

그들은 모든 단일 분포에 적용되는 더 약한 불평등을 도출했다.^[14]

${\displaystyle \cHB ^{2}-\kappa \leq {\frac {frac}{125}=1.488}$

이 경계는 [0,1]의 균등 분포와 {0}의 이산 분포의 등가중치 혼합에 도달하기 때문에 날카롭다.

단항함수

"모달"이라는 용어는 데이터 집합과 확률 분포에 적용되며, 함수에는 일반적으로 적용되지 않기 때문에 위의 정의는 적용되지 않는다. "단일화"의 정의는 실수의 기능으로도 확장되었다.

일반적인 정의는 다음과 같다:함수 f(x)는 어떤 값 m의 경우 단조롭게 증가하고, x ≥ m의 경우 단조롭게 감소하는 경우 단조로운 기능이다. 이 경우 f(x)의 최대값은 f(m)이고 다른 로컬 최대값은 없다.

단일성을 증명하는 것은 종종 어렵다. 한 가지 방법은 그 속성의 정의를 사용하는 것이지만, 그것은 단순한 기능에만 적합한 것으로 판명되었다. 파생상품에 기반한 일반적인 방법이 ^[15]존재하지만 단순함에도 불구하고 모든 기능에서 성공하는 것은 아니다.

단항함수의 예로는 음의 2차 계수를 갖는 2차 다항함수, 텐트 맵 함수 등이 있다.

단조로운 것이 강한 단조로운 것을 암시한다는 사실에서 위와 같은 것은 때로는 강한 단조로운 것과 관련이 있다. 함수 f(x)는 x ≤ m에 대해 약하게 단조롭게 증가하고 x ≥ m에 대해 약하게 단조롭게 감소하는 값 m이 존재한다면 약하게 단조로운 기능이다. 이 경우 x의 연속적인 값의 범위에 대해 최대값 f(m)에 도달할 수 있다.강력하게 단일하지 않은 약하게 단항함수의 예는 파스칼 삼각형의 다른 모든 행이다.

문맥에 따라, 단일 함수는 최대가 아니라 하나의 국소 최소값만을 갖는 함수를 의미할 수도 있다.^[16] 예를 들어 수치 최적화를 수행하는 방법인 국소 단측 샘플링은 그러한 함수로 입증되는 경우가 많다. 이 연장 하의 단측함수는 국소극단(국소극단)이 단측함수라고 할 수 있다.

단측함수의 한 가지 중요한 특성은 골든 섹션 검색, 3차 검색 또는 연속 포물선 보간과 같은 검색 알고리즘을 사용하여 극지를 찾을 수 있다는 것이다.

기타 확장자

함수 f(x)는 "S-unimodal"(흔히 "S-unimodal map"이라고 함)이며$,$ 여기서 슈바르츠 파생상품은 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle c}$에 대해 음수인 경우 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$이(가) 임계점이다$$.^[17]

연산 기하학에서 함수가 단일인 경우 함수의 극단점을 찾기 위한 효율적인 알고리즘을 설계할 수 있다.^[18]

벡터 변수 X의 함수 f(X)에 적용 가능한 보다 일반적인 정의는 f(G(Z)가 볼록한 것처럼 1대1의 서로 다른 매핑 X = G(Z)가 있는 경우 f는 단일하다는 것이다. 보통은 G(Z)가 비정형 자코비안 매트릭스와 계속 다를 수 있기를 원할 것이다.

Quasiconvex 함수와 Quasiconcave 함수는 단일성의 개념을 고차원 유클리드 공간에 속하는 함수로 확장한다.

참고 항목

• 2모달 분포

참조