쉼표 범주

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 보다 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2016년 3월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 쉼표 범주(슬라이스 범주가 되는 특수한 경우)는 범주 이론의 구성이다.그것은 형태론을 보는 또 다른 방법을 제공한다: 단순히 범주의 물체를 서로 연관시키는 대신에, 형태는 그들 자신의 권리에 있는 물체가 된다.이 개념은 F. W. 로비어(법률가, 1963 페이지 36)에 의해 1963년에 도입되었는데, 비록 그 기술은 수년이 지나도록 일반적으로 알려져 있지^{[citation needed]} 않았다.몇 가지 수학적 개념은 쉼표 범주로 취급될 수 있다.콤마 카테고리는 또한 일부 한계와 코리미트의 존재를 보증한다.그 이름은 원래 로비에르가 사용한 표기법에서 유래되었는데, 이 표기법에는 쉼표 구두점이 포함되어 있었다.표준 표기법이 바뀌었음에도 불구하고, 콤마를 연산자로 사용하는 것은 잠재적으로 혼란스러울 수 있고, 로버스트조차도 "콤마 카테고리"라는 비정보적인 용어를 싫어하기 때문에, 이 명칭은 지속된다(Lawvery, 1963 페이지 13).

정의

가장 일반적인 콤마 카테고리 구성은 같은 코도메인을 가진 두 개의 펑커를 포함한다.종종 이들 중 하나는 도메인 1(단일 객체 단일 형태론 범주)을 가질 것이다.카테고리 이론의 일부 설명에서는 이러한 특별한 경우만을 고려하지만, 실제로는 콤마 카테고리라는 용어는 훨씬 더 일반적이다.

일반형식

$A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle {\mathcal {A$ $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$ ${B$ $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ S$$ {\$displaystyle S}$ 및 $T$ ${\displaystytle$ T$}($소스 및 타겟의 경우)가 functor라고 가정합시다.

쉼표$$ 범주$({\displaystyle Ss}$ T ) ${\displaystyle \{\backslash }$displaystyle($S\downarrow$ T$)}을($를) 다음과 같이 구성할 수 있다.

• The objects are all triples ${\displaystyle (A,B,h)}$ with ${\displaystyle A}$ an object in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle B}$ an object in ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, and ${\displaystyle h:S(A)\rightarrow T(B)}$ a morphism in ${\displaystyle \mathcal{C}}$${\displaystyle {\mathcal{C}}$.
• $({\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle (A,B,h)}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{},}$ B${\displaystyle {,}^{}}$ h${\displaystyle )\}}$까지 (A, B, ${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle (A$$',$ $B', h')$ {\$displaystyle (f,g)$의 형태는 모두 쌍$({\displaystyle }$${\displaystyle f}$${\displaystyle ,}$ g${\displaystyle }$)이며$$, $여기$서${\displaystyle }$f :${\displaystyle }$${\displaystyle A}$ → ${\displaystyle {}^{,}}${\$displaysty$ {\displaystysty $f:$${\displaystyle A}$$\오른쪽$ 화살표 A'} 및$$${\displaystyle }g{\displaystyle }$$:$ B → ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle g:$$B\오른쪽$ 화살표 $B'}$은(는) $A{\displaystyle \mathcal{}}$$$ ${\$과($)$ B {\$displaystyle$ {\$mathcal {B}$의 형태로서, 다음과 같은 도표가 통용된다.

형태론은 후자 표현이 정의될 때마다${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle \prime ,}$ ${\displaystyle {}^{}}$$$${\displaystyle \prime }$ ) ${\displaystyle \circ }$(${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$)$${ (f, $displaystyle (f'$ ,$g$$')\$$circle$$$($f,g)})$이 될${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ $,$ $)}$를 취함으로써 구성된다$.$개체$({\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ h${\displaystyle }$) ${\displaystyle (A,B,h)}$의 ID 형태론은${\displaystyle }$(i ${\displaystyle {}_{}}$ A${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ d ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})$이다$.$

슬라이스 카테고리

$첫{\displaystyle \mathcal{}}$ 번째 특별한 경우는 ${\displaystyle C\mathcal{}}$= A ${\$ 펑터 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$$}$이($가{\displaystyle \mathcal{}}$) ID functor이고${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B}$= 1 {\$displaystyle${B}={\$textbf{1}($하나의 객체 $∗{\displaystystystyprotype*},$ 형태론$$)가 있는 범주)일 때 발생한다.그러면 $T{\displaystyle }$ (${\displaystyle \ast }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\$ T$(*)=$$일부{\displaystyle \mathcal{}}$ 객체 $A{\displaystyle {}_{}}$for$$${\$displaystyle $A_{*}$에 대한 $A_$${\$

In this case, the comma category is written ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})}$, and is often called the slice category over ${\displaystyle A_{*}}$ or the category of objects over ${\displaystyle A_{*}}$. The objects ${\displaystyle (A,*,h)}$ can be simplified$({\displaystyle A}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle (A,h)}$을(를) 쌍으로 구성한다$.$ 여기서${\displaystyle }h{\displaystyle }$ : ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}${\$displaystyle$ h$:$$A\rightarrow A_{*}}$. Sometimes, ${\displaystyle h}$ is denoted by ${\displaystyle \pi _{A}}$. A morphism ${\displaystyle (f,\mathrm {id} _{*})}$ from ${\displaystyle (A,\pi _{A})}$ to ${\displaystyle (A',\pi _{A'})}$ in the slice category can then${\displaystyle \mathrm{화살표}}$ f${\displaystyle }$: A${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$다음$$$다이어그램을 통근$하는 A$\오른쪽$ 화살표 A'}:

코슬리스 카테고리

슬라이스 범주에 대한 이중 개념은 코슬라이스 범주다.여기서 $C{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$에는 도메인 $1{\displaystyle }$ ${\$이(가$)$ 있고$$ T {\$displaystytle T}$은 ID functor이다.

In this case, the comma category is often written ${\displaystyle (B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})}$, where ${\displaystyle B_{*}=S(*)}$ is the object of ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ selected by ${\displaystyle S}$. It is called the coslice category with respect to ${\displaystyle B_{\ast }}$${\displaystyle B_{*},$ $또는{\displaystyle {}_{}}$ B$∗{\$에 따른 개체의 범주$.$ 개체는 $\iota {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ : ${\displaystyle {}_{}}$∗${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \iota _{B}$와 쌍$({\displaystyle B,}$ ι,$$이다$.$$B_{*}\rightarrow B}$. Given ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$ and ${\displaystyle (B',\iota _{B'})}$, a morphism in the coslice category is a map ${\displaystyle g:$다음$다이어그램을 통근$하는 B$\오른쪽$ 화살표$$ B'}:

화살표 범주

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ 및$$ $T{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$T}$은(는) $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$따라서 A =${\displaystyle B}$= ${\displaystyle C\mathcal{}}$ ${\displaystyle {A}={\mathcal{B}={\mathc})$의 ID functors이다.$$

이 경우 쉼표 범주는 화살표 범주 $C{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$→ ${\$$mathcal{C}}}}$의 $형태론이며,$ $형태론$은$$C {\$displaystyle$ {\$mathc}$의 통근 칸이다$.$^[1]

기타변동

슬라이스 또는 코슬라이스 범주의 경우, ID 펑터는 일부 다른 펑터로 대체될 수 있다. 이것은 부선 펑커 연구에 특히 유용한 범주의 집합을 산출한다.예를 들어, $T{\displaystyle }${\$displaystyle T$}이$$(가) 아벨리아 그룹을 기본 세트에 매핑하는 건망증이 심한 펑터이고$$s {\$displaystyle$ s$}$이($가$) 일부$$ 고정 세트(가)라면$,$ 쉼표 범주$↓$ ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle s}$에서 세트 언더라이리로 매핑되는 객체가 있다$$.집단에 ng이것은 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 왼쪽 연선과 관련된다$.$ 이 연사는 세트를 기초로 하는 자유 아벨리아 그룹에 매핑하는 펑터다.특히${\displaystyle }$(${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle$(${\displaystyle s}$$\downarrow$ T$)}$의 초기 개체는 표준 주입 $s{\displaystyle }$→ T${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle s\rightarrow T(G)}$이며$,$ $여기$서 G ${\displaystyle G}$은 s ${\displaystyty$ s$\}$에 의해 생성된 자유 그룹이다$$.

(s↓ T){\displaystyle(Ts\downarrow)}의 개체는 s{s\displaystyle}T{T\displaystyle}또는 T{T\displaystyle}에서 사상 화살표 도메인 -structured(S↓ t){\displaystyle(S\downarrow t)}의 개체는 S에서 사상{\displayst라고 불린다 .[1]{s\displaystyle}라고 불린다.yle$S}$ ~ $t$ ${\displaystyle t}$ 또는$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ - 코도메인 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$이(가) 있는 비용 구조화$$ 화살표$.$^[1]

Another special case occurs when both ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle T}$ are functors with domain ${\displaystyle {\textbf {1}}}$. If ${\displaystyle S(*)=A}$ and ${\displaystyle T(*)=B}$, then the comma category ${\displaystyle (S\downarrow T)}$, written ${\displaystyle (}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle (A\downarrow$ B$)\}$은 $객체$가 A ${\displaystyle A}$에서 B ${\displaystyle B}$까지의 형태인 이산 범주다$.$

인서터 범주는 쉼표 ${\displaystyle 범주}$의 (비 가득) 하위 범주로, $여기$서 A${\displaystyle }$= B ${\$ 및$$ $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=g}$이(가) 필요하다$$.The comma category can also be seen as the inserter of ${\displaystyle S\circ \pi _{1}}$ and ${\displaystyle T\circ \pi _{2}}$, where ${\displaystyle \pi _{1}}$ and ${\displaystyle \pi _{2}}$ are the two projection functors out of the product category ${\displaystyl$$e {\mathcal {A}\time {\mathcal$ {$B$

특성.

각 쉼표 범주에 대해 잊어버리는 functors가 있다.

• 도메인 functor, $S{\displaystyle \to }$ ${\displaystyle T}$ → ${\displaystyle A\mathcal{}}$ ${\$ 매핑:
  • ${\displaystyle \mathrm{객체}}$:${\displaystyle }$( A${\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto$ A$\};$
  • ${\displaystyle \mathrm{형태론}}$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \mapsto }$ f ${\displaystyle (f,g)\mapsto f}$;
• 코도메인 펑터, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle T}$→ ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\$ 매핑:
  • ${\displaystyle \mathrm{객체}}$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$, B${\displaystyle }$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto$ B$\};$
  • ${\displaystyle \mathrm{형태론}}$:${\displaystyle }$( f${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \mapsto }$ g ${\displaystyle (f,g)\mapsto$ g$}$.
• 화살표 ${\displaystyle \mathrm{functor}}$, ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}\to }$ T${\displaystyle {}^{}}$→ C$$→ {\$displaystyle S\downarrow T\to${\$mathcal{$C}^{\$rightarrow$을(를) 맵핑하여 다음과 같이 표시한다.
  • 객체:${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto$ h$\};$
  • 형태론:${\displaystyle }$( f${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle (S}$ ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (f,g)\mapsto (Sf,Tg$

사용 예

몇 가지 주목할 만한 범주

몇몇 흥미로운 범주들은 쉼표 범주의 측면에서 자연적인 정의를 가지고 있다.

• The category of pointed sets is a comma category, ${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}}$ with ${\displaystyle \scriptstyle {\bullet }}$ being (a functor selecting) any singleton set, and ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}$ (the identity functor of) the집합의 범주이 범주의 각 개체는 집합이며 집합의 일부 요소인 "기준점"을 선택하는 함수와 함께 집합이다.형태론은 기저점을 기저점에 매핑하는 기능이다.비슷한 방식으로 뾰족한 공간 범주$(\bullet {\displaystyle }$∙ ${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle T\mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{o}}$ p$){\$을 형성할 수 있다$.$
• $링{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$ 위에 있는 연관성 있는 알헤브라의 범주는 코슬라이스 범주$$$({\displaystyle R\mathbf{r}}$ R ${\displaystyle \mathbf{i}}$ ${\displaystyle \mathbf{n}}$ g${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring})}}}}}}$이며$,$ 링 동형상동형성${\displaystyle }f{\displaystyle }$ :${\displaystyle R}$ → ${\displaystyle S}${\$daystyp:$$R\to S}$은$($는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에 $연관성{\displaystyle }$ R ${\displaystyle$R} -algebra$$ 구조를$$ 유도하며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.형태론은 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $h{\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$→ T ${\디스플레이$ 스타일 $h:$도표를 통근하게 만드는$$ $S\to$ T$}.$
• The category of graphs is ${\displaystyle \scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}}$, with ${\displaystyle \scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }}$ the functor taking a set ${\displaystyle s}$ to ${\displaystyle s\times s}$.The objects ${\displaystyle (a,b,f)}$ then consist of two sets and a function; ${\displaystyle a}$ is an indexing set, ${\displaystyle b}$ is a set of nodes, and ${\displaystyle f:a\rightarrow (b\times b)}$ chooses pairs of elements of ${\displaystyle b}$ for each input from ${\displaystyle a}$${\displaystyle }(\backslash$$displaystyle$ a$})$즉, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는) $가능$한 에지의 세트$$ b ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\times$ b$}$에서 특정 에지를 선택한다$$.이 범주의 형태론은 인덱싱 세트의 기능과 노드 세트의 두 가지 기능으로 구성된다.They must "agree" according to the general definition above, meaning that ${\displaystyle (g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')}$ must satisfy ${\displaystyle f'\circ g=D(h)\circ f}$. In other words, the edge corresponding to a certain element of the indexing set는, 번역되었을 때, 번역된 인덱스의 에지와 동일해야 한다.
• 많은 "증강" 또는 "레이블링" 연산은 쉼표 범주로 표현될 수 있다.$S{\displaystyle }$ {\$displaystyle S}$을(를$)$ 가장자리 집합으로 각 그래프를 가져가는 펑터가 되게 $하고{\displaystyle }$, A$${\$displaystyle$A}을$$(를) 특정 집합으로 지정한다. 그러면 (${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$) ${\downarrow$ A$}$은($을$) 가장자리가 A ${\displaystystyle$ A$}$의 요소에 의해 라벨이 표시되는 그래프의 범주$.$ 이 형식.$흔히{\displaystyle }$ 앞에서 $설명$한 "$A{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ A$}$ 위에 있는 개체 S ${\$displaystyle S$}-$over$$ ${\displaystyle$ $A$과 밀접하게 관련된 개체 S {\$displaystyle$ A}이라고 한다.$$여기서 각 물체는${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$) ${\displaystyle (B,\pi _{B}})$ 형태를 취하는데$,$ $여기$서 B ${\displaystyle$ $B}$은 그래프와$$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ B ${\displaystyle$ $\pi \{B}}}$의 $가장자리$로부터 A$$$${\$displaystysty A}$까지의 함수$.$그래프의 노드는 본질적으로 동일한 방법으로 라벨을 표시할 수 있다.
• 범주는 모든 조각이 카르테시안적으로 닫힌 경우(슬라이스의 개념은 위 참조) 현지에서 카르테시안적으로 닫힌다고 한다.지역적으로 데카르트 폐쇄형 범주는 종속형 이론의 분류 범주다.

한계 및 보편적 형태론

쉼표 범주의 한계 및 콜리미트는 "상속"될 수 있다.If ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ are complete, ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ is a continuous functor, and ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ is another functor (not necessarily continuous), then the comma category ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ produced is complete,^[2] and the projection functors ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}}$ and ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}}$ are continuous.Similarly, if ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ are cocomplete, and ${\displaystyle S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ is cocontinuous, then ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ is cocomplete, and the projection functors are cocontinuous.

예를 들어 위의 그래프 범주를 콤마 범주로 구성하는 경우 집합 범주는 완전하고 완전하며 ID 펑터는 연속적이고 연속적이다.따라서, 그래프의 범주는 완전하고 완전하다.

특정 콜리밋에 대한 보편적 형태론의 개념, 또는 한계로부터는 쉼표 범주로 표현될 수 있다.본질적으로, 우리는 사물이 원뿔이고, 제한 원뿔이 단자 객체인 범주를 만든다. 그러면, 한계에 대한 각각의 보편적인 형태론은 단지 단자 객체로의 형태론일 뿐이다.이것은 듀얼 케이스에서 작동하며, 코코의 범주에 초기 물체가 있다.For example, let ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ be a category with ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ the functor taking each object ${\displaystyle c}$ to ${\displaystyle (c,c)}$ and each arrow ${\displaystyle f}$ to ${\displaystyle (}$${\displaystyle (f,f)}$. A universal morphism from ${\displaystyle (a,b)}$ to ${\displaystyle F}$ consists, by definition, of an object ${\displaystyle (c,c)}$ and morphism ${\displaystyle \rho :(a,b)\rightarrow (c,c)}$ with the universal property that for any morphism ${\displaystyle \rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)}$ there is a unique morphism ${\displaystyle \sigma :c\rightarrow d}$ with ${\displaystyle F(\sigma )\circ \rho =\rho '}$. In other words, it is an object in the comma category ${\displaystyle ((a,b)\d$자기 $화살 F)}$은(는) 해당 범주의 다른 개체에 대한 형태론을 가지고$$ 있으며, 초기 버전이다.$이$는 C ${\$에 있는 동시 유도체를 정의하는 역할을 한다$.$

부속품

Lawvere showed that the functors ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ and ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ are adjoint if and only if the comma categories ${\displaystyle (F\downarrow id_{\mathcal {D}})}$ and ${\displaystyle (i{d}_{\mathcal{C}}}$${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow G)}$, with ${\displaystyle id_{\mathcal {D}}}$ and ${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$ the identity functors on ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ respectively, are isomorphic, and equivalent element쉼표 범주의 s는 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle D\mathcal{}}$ ${\$ {$D}$의 동일한 요소에 투영될 수 있다$.$ 이렇게 하면 집합 없이 결합을 설명할 수 있으며, 사실상 쉼표 범주를 도입하게 된 최초의 동기였다.

자연 변형

$S{\displaystyle }$, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S,T}$의 도메인이 같으면$$${\displaystyle ,}$ $A$ = ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$= f${\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ = $g {\displaystyle S$$\downarrow$ T$}$에서 형태론을 정의하는 다이어그램$,$$A'=B',f=g}$ is identical to the diagram which defines a natural transformation ${\displaystyle S\to T}$. The difference between the two notions is that a natural transformation is a particular collection of morphisms of type of the form ${\displaystyle S(A)\to T(A)}$, while objects of the comma category contains그러한 형태의 모든 형태들쉼표 범주의 functor는 특정한 형태론을 선택한다.이것은 S.A.의 관찰에 의해 간결하게 설명된다.자연 변환^[3] that :${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \eta$:$S\to T}$, with ${\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$, corresponds to a functor ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ which maps each object ${\displaystyle A}$ to ${\displaystyle (A,A,\eta _{A})}$ and maps each morphism ${\displaystyle f=g}$${\displaystyle f=g}$ to ${\displaystyle (f,g)}$. This is a bijective correspondence between natural transformations ${\displaystyle S\to T}$ and functors ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ which are sections of both forgetful functors from ${\displaystyle S\downarrow T$$}$.

참조

• nLab의 쉼표 범주
• 법률상, W (1963년)"대수 이론의 좌표적 의미론"과 "대수 이론의 좌표적 의미론적 맥락에서의 일부 대수적 문제들"이다.http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

외부 링크

이 기사의 외부 링크 사용은 위키피디아의 정책이나 지침을 따르지 않을 수 있다. 너무 많거나 부적절한 외부 링크를 제거하고 적절한 경우 유용한 링크를 각주 참조로 변환하여 이 문서를 개선하십시오.(2014년 7월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

• J. 아다멕, H. 에를리히, G. 스테커, 추상적이고 구체적인 범주-고양이의 기쁨
• WildCats는 Mathematica의 카테고리 이론 패키지다.물체의 조작 및 시각화, 형태론, 범주, 펑터, 자연 변형, 범용 특성.
• 유한 집합 범주에 범주형 구성의 예를 생성하는 대화형 웹 페이지.