펑터 범주

범주론에서 수학의 한 분야인 펑터 범주 ${\displaystyle D^{}}$ C ${\$ D$^{C}$는 객체가$$ 펑터 $F{\displaystyle }$: C${\displaystyle }$→ D ${\displaystyle F:$$C\to D}$과(와) 형태변형은 자연변환${\displaystyle }\eta {\displaystyle }$ = ${\displaystyle F}$→ G ${\displaystyle \eta$:$F$$\to G}($$여기$서 G : C → $displaystyle G:$$C\to D}$은(는) 범주의 또 다른 개체다.Functor 범주는 다음과 같은 두 가지 주요 이유로 관심이 있다.

• 일반적으로 발생하는 많은 범주는 (일반) 펑터 범주가므로 일반 펑터 범주에 대해 입증된 모든 진술은 광범위하게 적용된다.
• 모든 범주가 요네다 임베딩을 통해 펑터 범주에 포함됨; 펑터 범주는 원래 범주보다 더 좋은 속성을 가지므로 원래 설정에서 사용할 수 없었던 특정 작업을 허용할 수 있다.

정의

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 작은 범주(즉, 개체와 형태는 적절한 클래스가 아닌 집합을 형성함)이고$$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 임의$$ 범주라고 가정하십시오.The category of functors from ${\displaystyle C}$ to ${\displaystyle D}$, written as Fun(${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$), Funct(${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$), ${\displaystyle [C,D]}$, or ${\displaystyle D^{C}}$, has as objects the covariant functors$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D$으)로$$, 그리고 그러한 functor들 사이의 자연적 변환을 형태학으로 한다.자연 변환은 $\mu {\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$( $){\displaystyle \mu (X$)인 경우$:$$F(X)\to G(X)}$은(는)${\displaystyle \mathrm{functor}}$F : C$$→ D {\$displaystyle$ F$:$로부터의 자연스러운 변형이다.Functor $G$에 대한$$ $C\to$ D${\displaystyle \}:}$ ${\displaystyle C}$→ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G:$$C\to D}$, and ${\displaystyle \eta (X):G(X)\to H(X)}$ is a natural transformation from the functor ${\displaystyle G}$ to the functor ${\displaystyle H}$, then the collection ${\displaystyle \eta (X)\mu (X):$$F{\displaystyle }$$(X)\to(X)}$는 F ${\displaystyle F}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$로 자연 변환을 정의한다$.$ 이러한 자연 변환 구성(수직 구성, 자연 변환 참조)으로 D ${\displaystyle C^{}}$ ${\$ D$^{C}}}$는 범주의 공리를 만족한다$$.

완전히 유사한 방법으로, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 D ${\displaystyle D}$까지의 모든 반대편 functor의 범주를 고려할 수도 있다$.$ 우리는 이것을 Funct(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{op}}^{}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle$ C$^{\text{op},D})$로 쓴다.$$

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$과 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 모두 사전첨가 범주(${\displaystyle }$, 형태론 집합은 아벨 그룹이고 형태론의 구성은 이선형)인$$ 경우, $우리$는 C ${\displaystyle C}$에서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystytyle$ $D}$까지의 모든 가법인의 범주를 고려할 수 있다$.$${\displaystyle }$$}$, D ${\displaystyle D}$ $$.

예

• $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) 작은 이산 범주(즉, 유일한 형태는 ID 형태)인$$ 경우 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에서 $C$ ${\displaystyle$ C$}$까지의 펑터는 기본적으로 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I$에 의해 색인된$$$C{\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle$ C$}$의 개체 $계열$로 구성된다$.$$레이스타일 C^{$$I}$은(는) $해당{\displaystyle }$ 제품 범주로 식별할 수 있다$$. 해당 요소는 C ${\displaystyle C}$의 개체군이며$$, 형태는 C ${\displaystyle$ C$}$의 형태군군이다$.$

• An arrow category ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$ (whose objects are the morphisms of ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, and whose morphisms are commuting squares in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) is just ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }}$, where 2 is the c두 개의 물체와 그들의 정체성 형태뿐만 아니라 한 물체에서 다른 물체로 화살표가 있는 식도리.
• 방향 그래프는 화살표 집합과 정점 집합으로 구성되며, 각 화살표의 시작 정점과 끝 정점을 지정하는 화살표 집합에서 정점 집합에 이르는 두 가지 함수로 구성된다.따라서 모든 방향 그래프의 범주는 펑터 범주 ${\displaystyle {\mathbf{\text{Set}}}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$ ${\$에 지나지 않으며$,$ $여기$서 C ${\displaystyle C}$는 두 개의 평행 형태론(소스 및 대상)으로 연결된 두 개체가 있는 범주이며, Set은 집합의 범주를 나타낸다.
• 어떤 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$도 모든 형태론이 뒤집힐 수 없는 단일 개체 범주로 간주할 수 있다$$.모든 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -set의 범주는 펑터 범주 Set와^{${\displaystyle G}$} 동일하다.
• 앞의 예와 마찬가지로 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 k ${\displaystyle$ k$}$ -선형$$ 표현 범주는 펑터 범주 k-Vect^{${\displaystyle G}$}(여기서 k-Vect는 필드 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 걸친 모든 벡터 공간의 범주를 나타냄)$$와 동일하다$$.
• Any ring ${\displaystyle R}$ can be considered as a one-object preadditive category; the category of left modules over ${\displaystyle R}$ is the same as the additive functor category Add(${\displaystyle R}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) (where ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ denotes the categori of abelian groups)),$$ 오른쪽 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -modules의$$ 범주는 Add(${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ R$^{\textbf {Ab}).$Because of this example, for any preadditive category ${\displaystyle C}$, the category Add(${\displaystyle C}$,${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$) is sometimes called the "category of left modules over ${\displaystyle C'}$ and Add(${\displaystyle C^{\text{op}}}$,${\displaystyle {\t$$extbf {Ab$은 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에 대한 오른쪽 모듈의 범주 입니다$.$
• 위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 사전 저장 범주는 functor 범주$$: 위상학적 공간을 $개체$로$$X {\$displaystyle$ X$}$의 개방형 세트를 가진$$$$ 범주 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$로 만들고 $U{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle U$$}$에서 V ${\$$di$$}$까지 단일 형태론을 갖는 범주로 변환한다$.$$splaystyle U}$은(는) $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 포함되어 있다$.$The category of presheaves of sets (abelian groups, rings) on ${\displaystyle X}$ is then the same as the category of contravariant functors from ${\displaystyle C}$ to ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$ (or ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$ or ${\displaystyle {\textbf {Ring}}}$).이 예 때문에 Funct(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{op}}^{}}$ ${\$ C$^{\text{op$ ${\displaystyle \mathbf{\text{세트}}}$ ${\$ 범주는 위상학적 공간에서 발생하지$$ 않는 일반 범주 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에도 "$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$displaystycase"라고 불리기도 한다.일반 범주 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에 대한 절편을 정의하려면 더 많은 구조가 필요하다$.$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 Grothendiek 위상$.$ (일부 저자는 ${\displaystyle {\mathbf{\text{Set}}}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$ ${\$에 해당하는 범주를 사전 절편 범주로 참조).^[1]

사실들

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에서 수행할 수 있는 대부분의 시공은 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 각 객체에 대해 별도로 "구성요소"를 $수행함$으로써 ${\displaystyle D^{}}$ C$${\$displaystyle$ D$^{C}$에서도 수행할 수 있다$$$.$ 예를 들어, $D{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ X$}$ 및$$$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystystytyle Y}$ 두 객체가 $있는{\displaystyle }$ 경우$yle D}$ have a product ${\displaystyle X\times Y}$, then any two functors ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle D^{C}}$ have a product ${\displaystyle F\times G}$, defined by ${\displaystyle (F\times G)(c)=F(c)\times G(c)}$ for $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 모든 $개체{\displaystyle }$ c ${\displaystyle$ c$\}.$ 마찬가지로, ${\displaystyle \mathrm{if}}$ c${\displaystyle {}_{}}$: F${\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (c}$) ${\displaystyle \eta _{c}:$$F(c)\to G(c)}$ is a natural transformation and each ${\displaystyle \eta _{c}}$ has a kernel ${\displaystyle K_{c}}$ in the category ${\displaystyle D}$, then the kernel of ${\displaystyle \eta }$ in the functor category ${\displaystyle D^{C}}$ is the functor ${\displaystyle K}$ wi$TH{\displaystyle }$ (${\displaystyle c}$)${\displaystyle }$= $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C$의 모든 개체 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$에 대해 ${\displaystyle K_{}}$ ${\$ $K$$(c)=K_{c}}.$

따라서 펑터 범주 ${\displaystyle D^{}}$ C ${\$가 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 "nice" 속성의 대부분을 공유한다는$$ 일반적인 경험칙이 있다$.$

• ${\displaystyle D^{}}$ ${\displaystyle D}$이(또는 cocomful) 완료되면 D C ${\$ D$^{C$
• $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이(가) 아벨 범주라면 $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$ ${\$ D$^{C}$;

또한 다음과 같은 이점이 있다.

• $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 작은 범주인 경우 사전 저장의 ${\displaystyle {Set}^{}}$ C$${\$displaystyle${\$textbf {Set}^{C}$ 범주가 topos가 된다.

따라서 위의 예에서 우리는 위상학적 공간에 대한 지시된 그래프 $범주{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$ -set$$ 및 presheave가 모두 완전하고 완전한 topoi이며, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$\},$ $링{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$에 대한 모듈 및 사전 배열이라는 결론을 바로 내릴 수 있다$.$위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는 아벨리아 그룹은$$ 모두 아벨리아인이고 완전하며 완전하다.

앞에서 언급한 펑터 카테고리에 범주$$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$을(를) 내장하는 것은 요네다 보조정리기를 주요 도구로 사용한다.$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 모든 개체 $X{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $X}$에 대해$$${\displaystyle \text{Hom}(}$-${\displaystyle }$, X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\text{$$홈}(-,X)}$은(는) $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$에서 ${\displaystyle \mathbf{\text{Set}}}$ ${\$으)로 이어지는 상이한 표현형 펑터가 된다$$$.$요네다 보조정리 요네다 보조정리부에서는 그 임무에 대해

${\displaystyle X\mapsto \operatorname {Hom}(-,X)}$

범주 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$을(를) 범주 Funkt(${\displaystyle {\text{C}}^{}}$ op$${\$displaystyle C^{\text{op$ ${\displaystyle \mathbf{\text{세트}}}${\$displaystyle${\$textbf {Set}}}$에 완전히 포함함.그래서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$는 당연히$$ 토포 안에 위치한다.

${\displaystyle \mathbf{\text{사전}}}$ 추가 범주 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$에 $대해서도$ 동일한 작업을 수행할 수 있음$:$ 그러면 $$는 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $C$$}$을$(C$ op ${\$ C$^{\text$${$op}), Ab {\$displaystyle$ {\$textbf {Ab}}}}$에 완전히$$ 포함시킨다.$$그래서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$는 자연적으로$$ 아벨의 범주 안에 위치한다.

위에서 언급한 직감($D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$에서 수행할 수 있는 구조는 $D{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$ ${\$에 대해 여러 가지 방법으로 정밀하게 만들$$ 수 있다. 가장 간결한 공식은 부선 functor의 언어를 사용한다.모든 functor $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$→ E ${\displaystyle F:$$D\to E}$은(는) functor ${\displaystyle F^{}}$ C${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C^{}}$→ ${\displaystyle E^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ F$^{C:$$D^{C}\to E^{C}}($$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$로 구성).$$$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$과 G ${\displaystyle G}$이(가) 보조 펑커의 한 쌍이라면 ${\displaystyle F^{}}$ C$${\$displaystyle$F^{$C}$와 G ${\displaystyle C^{}}${\$displaysty G^{C}$도 보조 펑커의 한 쌍이다$$.

The functor category ${\displaystyle D^{C}}$ has all the formal properties of an exponential object; in particular the functors from ${\displaystyle E\times C\to D}$ stand in a natural one-to-one correspondence with the functors from ${\displaystyle E}$ to ${\displaystyle D^{C}}$. The category $$${\displaystyle \mathbf{\text{따라서}}}$ 모든 작은 범주$$ 중 {\$displaystyle {\textbf {Cat}$은(는) functor를 모피즘으로 하는 데카르트 폐쇄 범주다$.$

참고 항목

• 다이어그램(범주 이론)

참조